【文档说明】《决胜中考数学考前抢分冲刺（全国通用）》专题05 最值问题1之将军饮马新题型，线段最值（解析版）.docx，共(23)页，329.767 KB，由管理员店铺上传

转载请保留链接：https://www.doc5u.com/view-a0dcac6d67256b00e444acade36f9991.html

以下为本文档部分文字说明：

1专题05最值问题1之将军饮马新题型，线段最值(解析版）一．将军饮马新题型1．如图，平面直角坐标系xOy中，点A是直线y=√33x+4√33上一动点，将点A向右平移1个单位得到点B，点C（1，0），则OB+CB的最小值为√13．思路引领：设D（﹣

1，0），作D点关于直线y=√33x+4√33的对称点E，连接OE，交直线于A，连接AD，ED，作ES⊥x轴于S，根据题意OE就是OB+CB的最小值，由直线的解析式求得F的坐标，进而求得ED的长，从而求得OS和ES，然后根据勾股定理即可求得OE．答案详解：设D（﹣1，0），作D点关于

直线y=√33x+4√33的对称点E，连接OE，交直线于A，连接AD，ED，作ES⊥x轴于S，∵AB∥DC，且AB＝OD＝OC＝1，∴四边形ABOD和四边形ABCO是平行四边形，∴AD＝OB，OA＝BC，∴AD+OA＝OB+BC，∵AE＝AD，∴AE+OA＝OB+BC，即OE＝

OB+BC，∴OB+CB的最小值为OE，由y=√33x+4√33可知∠AFO＝30°，F（﹣4，0），∴FD＝3，∠FDG＝60°，∴DG=12DF=32，2∴DE＝2DG＝3，∴ES=√32DE=3√32，DS=12DE=3

2，∴OS=52，∴OE=√𝑂𝑆2+𝐸𝑆2=√13，∴OB+CB的最小值为√13．2．如图，∠AOB＝30°，点M、N分别在边OA、OB上，且OM＝1，ON＝3，点P、Q分别在边OB、OA上，则MP+P

Q+QN的最小值是√10．思路引领：作M关于OB的对称点M′，作N关于OA的对称点N′，连接M′N′，即为MP+PQ+QN的最小值．答案详解：作M关于OB的对称点M′，作N关于OA的对称点N′，连接M′N′，即为MP+PQ+QN的最小值．根据轴对称的定义可知：∠N′OQ＝∠M′OB＝3

0°，∠ONN′＝60°，∴△ONN′为等边三角形，△OMM′为等边三角形，∴∠N′OM′＝90°，∴在Rt△M′ON′中，M′N′=√32+12=√10．故答案为√10．33．如图，∠AOB＝45°

，角内有一点P，PO＝10，在角两边上有两点Q、R（均不同于点O），则△PQR的周长最小值是10√2；当△PQR周长最小时，∠QPR的度数＝90°．思路引领：根据轴对称图形的性质，作出P关于OA、OB的对称点M、N

，连接AB，根据两点之间线段最短得到最小值线段，再构造直角三角形，利用勾股定理求出MN的值即可．根据对称的性质求得∠OMN+∠ONM＝∠OPQ+∠OPR，即可求得∠QPR的度数．答案详解：分别作P关于OA、OB的对称点M、N．连接MN交OA、OB交于Q、R，则△PQR符合条件．连接OM

、ON，则OM＝ON＝OP＝10，∠MON＝∠MOP+∠NOP＝2∠AOB＝2×45°＝90°，故△MON为等腰直角三角形．∴MN=√102+102=10√2．根据对称的性质得到∠OMN＝∠OPQ，∠ONM＝∠OPR，∴∠OMN+∠ONM＝∠OPQ+∠OPR，∵△MON为等腰直角三角形

，∴∠OMN+∠ONM＝90°，∴∠OPQ+∠OPR＝90°，即∠QPR＝90°．故答案为10√2，90°．44．如图，点A（a，3）、B（b，1）都在双曲线y=3𝑥上，点C、D分别是x，y轴上的动点，则四边形ABCD的周长最

小值为6√2．思路引领：先把A点和B点的坐标代入反比例函数解析式中，求出a与b的值，确定出A与B坐标，再作A点关于y轴的对称点P，B点关于x轴的对称点Q，根据对称的性质得到P点坐标为（﹣1，3），Q点坐标

为（3，﹣1），PQ分别交x轴、y轴于C点、D点，根据两点之间线段最短，此时四边形PABQ的周长最小，然后利用两点间的距离公式求解可得．答案详解：分别把点A（a，3）、B（b，1）代入双曲线y=3𝑥得：a＝1，b＝3，则点A的坐标为（1，3）、B点坐标为（3，1），如图，作A点关于y

轴的对称点P，B点关于x轴的对称点Q，则点P坐标为（﹣1，3），Q点坐标为（3，﹣1），连接PQ分别交x轴、y轴于C点、D点，此时四边形ABCD的周长最小，四边形ABCD周长＝DA+DC+CB+AB＝DP+DC+CQ+AB＝PQ+AB5=√(−1

−3)2+(3+1)2+√(1−3)2+(3−1)2＝4√2+2√2＝6√2，故答案为：6√2．二．圆的最值--过圆心（共11小题）5．作图探究：如图，点P是直角坐标系xOy第三象限内一点．（1）尺规作图：请在图中作出经过O、P两点且圆心在x轴的⊙M；（不写作法，保留作图痕迹）（2）若点P的

坐标为（﹣4，﹣2）．①请求出⊙M的半径；②填空：若Q是⊙M上的点，且∠PMQ＝90°，则点Q的坐标为（−92，32）或（−12，−32）．思路引领：（1）连接OP，作OP的垂直平分线交x轴于M点，以MO我半径作⊙M，即为所求；（2）①连接PM

，作PH⊥x轴，垂足为H，设⊙O的半径为r，则PM＝MO＝r，MH＝4﹣r，PH＝2，在Rt△PHM中，由勾股定理求r即可；②过M点作PM的垂线，交⊙M于Q1，Q2，再过Q1，Q2，作x轴的垂线，利用三角形全等求Q点坐标．答案详解：（1）⊙M如图所示；（2）①连接PM，作PH⊥x

轴，垂足为H，设⊙O的半径为r，则PM＝MO＝r，MH＝4﹣r，PH＝2，在Rt△PHM中，PH2+MH2＝PM2，即22+（4﹣r）2＝r2，解得r=52；②如图，过M点作PM的垂线，交⊙M于Q1，Q2，再过Q1，Q2，作x轴的垂线，垂足为N1，N2，利用互余关系

，PM＝Q1M＝Q2M，可证Rt△PMH≌Rt△Q1MN1≌Rt△Q2MN2，6∴PH＝MN1＝MN2＝2，MH＝Q1N1＝Q2N2＝4﹣r=32，∴Q（−92，32）或（−12，−32）．故答案为：（−92，32）或（−12，−32）．6．如图，在平面直

角坐标系xOy中，半径为2的⊙O与x轴的正半轴交于点A，点B是⊙O上一动点，点C为弦AB的中点，直线y=34x﹣3与x轴、y轴分别交于点D、E，则△CDE面积的最小值为2．思路引领：如图，连接OB，取OA的中点M，连接CM，过点M作MN⊥DE于N．首先证明点C的

运动轨迹是以M为圆心，1为半径的⊙M，设⊙M交MN于C′．求出MN，当点C与C′重合时，△C′DE的面积最小．答案详解：如图，连接OB，取OA的中点M，连接CM，过点M作MN⊥DE于N．∵AC＝CB，AM＝OM，∴MC=12OB＝1，∴点C的运动轨迹是以M为圆心，1为半径

的⊙M，设⊙M交MN于C′．∵直线y=34x﹣3与x轴、y轴分别交于点D、E，∴D（4，0），E（0，﹣3），∴OD＝4，OE＝3，∴DE=√𝑂𝐸2+𝑂𝐷2=√32+42=5，∵∠MDN＝∠ODE，∠MND＝∠DOE，7∴△DNM∽△DOE，∴𝑀𝑁𝑂𝐸=𝐷𝑀

𝐷𝐸，∴𝑀𝑁3=35，∴MN=95，当点C与C′重合时，△C′DE的面积最小，△C′DE的面积最小值=12×5×（95−1）＝2，故答案为2．7．如图，正方形ABCD的边长为4，E为BC上一点，且BE＝1，F为AB边上的一个动点，连接EF，以EF为边向右侧作等

边△EFG，连接CG，则CG的最小值为52．思路引领：由题意分析可知，点F为主动点，G为从动点，所以以点E为旋转中心构造全等关系，得到点G的运动轨迹，之后通过垂线段最短构造直角三角形获得CG最小值．答案详解：由题

意可知，点F是主动点，点G是从动点，点F在线段上运动，点G也一定在直线轨迹上运动将△EFB绕点E旋转60°，使EF与EG重合，得到△EFB≌△EHG从而可知△EBH为等边三角形，点G在垂直于HE的直线HN上作CM⊥HN，则CM即为CG的最小值作EP⊥CM，可知四边形HEPM为矩形，则CM

＝MP+CP＝HE+12EC＝1+32=528故答案为52．8．如图，⊙M的半径为2，圆心M的坐标为（3，4），点P是⊙M上的任意一点，PA⊥PB，且PA、PB与x轴分别交于A、B两点，若点A、点B关于原点O对称，则AB的最小值为（）A．3B．4

C．5D．6思路引领：由Rt△APB中AB＝2OP知要使AB取得最小值，则PO需取得最小值，连接OM，交⊙M于点P′，当点P位于P′位置时，OP′取得最小值，据此求解可得．答案详解：连接OP，∵PA⊥PB，∴∠APB＝90°，∵AO＝BO，∴AB＝2PO，若要使AB取得最小值，则PO需取得最小

值，连接OM，交⊙M于点P′，当点P位于P′位置时，OP′取得最小值，过点M作MQ⊥x轴于点Q，则OQ＝3、MQ＝4，∴OM＝5，又∵MP′＝2，∴OP′＝3，∴AB＝2OP′＝6，故选：D．9．如图，点A，B的坐标分别为A

（2，0），B（0，2），点C为坐标平面内一点，BC＝1，点M为线段AC的中点，连接OM，则OM的最大值为（）9A．√2+1B．√2+12C．2√2+1D．2√2−12思路引领：根据同圆的半径相等可知：点C在半径为1的⊙B上，通过画

图可知，C在BD与圆B的交点时，OM最小，在DB的延长线上时，OM最大，根据三角形的中位线定理可得结论．答案详解：如图，∵点C为坐标平面内一点，BC＝1，∴C在⊙B上，且半径为1，取OD＝OA＝2，连接CD，∵AM＝CM，OD＝O

A，∴OM是△ACD的中位线，∴OM=12CD，当OM最大时，即CD最大，而D，B，C三点共线时，当C在DB的延长线上时，OM最大，∵OB＝OD＝2，∠BOD＝90°，∴BD＝2√2，∴CD＝2√2+1，∴OM=12CD=√2+12，即OM的最大值为√2+12；故选：B．10．在锐角△AB

C中，AB＝4，BC＝5，∠ACB＝45°，将△ABC绕点B按逆时针方向旋转，得到△DBE．（1）当旋转成如图①，点E在线段CA的延长线上时，则∠CED的度数是90度；（2）当旋转成如图②，连接AD、CE，若△ABD的面积为4，求△CBE

的面积；（3）点M为线段AB的中点，点P是线段AC上一动点，在△ABC绕点B按逆时针方向旋转过程中，点P的对应点P′，连接MP′，如图③，直接写出线段MP′长度的最大值和最小值．10思路引领：（1）根据旋转的性质

可知：∠DEC＝45°，再由等边对等角得∠BEC＝45°，则∠CED＝90°；（2）由△ABC≌△DBE得出BA＝BD，BC＝BE，进而得出𝐵𝐴𝐵𝐶=𝐵𝐷𝐵𝐸，证明△ABD∽△CBE，根据面积比等于相似比的平方求出△CBE的面积；（

3）作辅助线，当点P在F处时BP最小，则BG最小，MP'最小；当点P在点C处时，BP最大，则BH最大，MP'最大，代入计算即可得出结论．答案详解：（1）如图1，由旋转得：∠DEB＝∠ACB＝45°，BC＝BE，∴∠ACB＝∠BEC＝45°，∴∠CED＝90°，故答案为：90；（2）

如图2，∵△ABC≌△DBE，∴BA＝BD，BC＝BE，∠ABC＝∠DBE，∴𝐵𝐴𝐵𝐶=𝐵𝐷𝐵𝐸，∵∠ABD＝∠CBE，∴△ABD∽△CBE，∴𝑆△𝐴𝐵𝐷𝑆△𝐶𝐵𝐸=（𝐴𝐵𝐵𝐶）2=1625∵S△

ABD＝4，∴S△CBE=254；（3）∵M是AB的中点，∴BM=12AB＝2如图③，过点B作BF⊥AC，F为垂足，∵△ABC为锐角三角形，∴点F在线段AC上，在Rt△BCF中，BF＝BC×sin45°=5√22，以B为圆心，BF为半径画圆

交AB于G，BP'有最小值BG．11∴MP'的最小值为MG＝BG﹣BM=5√22−2，以B为圆心，BC为半径画圆交AB的延长线于H，BP'有最大值BH．此时MP'的最大值为BM+BH＝2+5＝7，∴线段MP'的最大值为7，最小值为5√22−2．

11．如图，在Rt△AOB中，OA＝OB＝5√2，⊙O的半径为1，点P是AB边上的动点，过点P作⊙O的一条切线PQ（点Q为切点），则切线长PQ的最小值为2√6．思路引领：连接OP，OQ，由PQ为圆O的切线，利用切线的性质得到OQ与PQ垂直，利用勾股定理列出

关系式，由OP最小时，PQ最短，根据垂线段最短得到OP垂直于AB时最短，利用面积法求出此时OP的值，再利用勾股定理即可求出PQ的最短值．答案详解：连接OP、OQ，如图所示，∵PQ是⊙O的切线，∴OQ⊥PQ，根据勾股定理知：PQ2＝OP2﹣OQ2，∴当PO⊥AB时，线段

PQ最短，∵在Rt△AOB中，OA＝OB＝5√2，∴AB=√2OA＝10，∴S△AOB=12OA•OB=12AB•OP，即OP=𝑂𝐴⋅𝑂𝐵𝐴𝐵=5，∴PQ=√𝑂𝑃2−𝑂𝑄2=2√6．故答案为：2√61212．如图，⊙C半径为1，圆心坐标为（3，4），点P（m，n）是⊙C内或

⊙C上的一个动点，则m2+n2的最小值是16．思路引领：由于圆心C的坐标为（3，4），点P的坐标为（m，n），利用勾股定理可计算出OC＝5，OP=√𝑚2+𝑛2，这样把m2+n2理解为点P点到原点的距离的平

方，利用图形可得到当点运动到线段OC上时，点P离原点最近，即m2+n2有最小值，然后求出此时的PC长即可答案详解：连OC交⊙O于P′点，如图，∵圆心C的坐标为（3，4），点P的坐标为（m，n），∴OC＝5

，OP=√𝑚2+𝑛2，∴m2+n2是点P点原点的距离的平方，∴当点运动到线段OC上时，即P′处，点P离原点最近，即m2+n2有最小值，此时OP＝OC﹣PC＝5﹣1＝4，则m2+n2＝16．故答案为16．13．在边长为2的菱形

ABCD中，∠A＝60°，M是AD边的中点，若线段MA绕点M旋转得线段MA'．（Ⅰ）如图①，线段MA'的长＝1．（Ⅱ）如图②，连接A'C，则A'C长度的最小值是√7−1．13思路引领：（Ⅰ）由中点的定义和旋转的性质可求解；（Ⅱ）当A'在MC上时，线段A'C长度最小，作ME

⊥CD于点E，首先在直角△DME中利用三角函数求得ED和EM的长，然后在直角△MEC中利用勾股定理求得MC的长，然后减去MA的长即可求解．答案详解：（Ⅰ）∵M是AD边的中点，∴MA＝1，∵线段MA绕点M

旋转得线段MA'．∴MA'＝1，故答案为：1；（Ⅱ）如图②，作ME⊥CD于点E．∵菱形ABCD中，∠A＝60°，∴∠EDM＝60°，在直角△MDE中，DE＝MD•cos∠EDM=12×1=12，ME＝MD•sin∠ED

M=√32，则EC＝CD+ED＝2+12=52，在直角△CEM中，MC=√𝐶𝐸2+𝑀𝐸2=√254+34=√7，当A'在MC上时A'C最小，则A′C长度的最小值是：√7−1，故答案为√7−1．14．如图，⊙O的半径为1，点P（a，a﹣4）为⊙O外一点，过点P

作⊙O的两条切线，切点分别为点A和点B，则四边形PBOA面积的最小值是√7．14思路引领：由点P的坐标为（a，a﹣4），得到OP=√𝑎2+(𝑎−4)2=√2𝑎2−8𝑎+16，由于PA，PB是⊙O的两条切线，得到PA＝PB，∠OAP＝∠OBP，可证△OPA≌△OBP，在Rt△OAP中，

根据勾股定理得到PA的长度，于是得到四边形PBOA面积＝2×△OPA的面积＝2×12OA•PA=√2𝑎2−8𝑎+15=√2(𝑎−2)2+7，即可得到结果．答案详解：∵点P的坐标为（a，a﹣4），∴OP=√𝑎2+(𝑎−4)2=√2𝑎2−8𝑎+16，∵PA，P

B是⊙O的两条切线，∴PA＝PB，∠OAP＝∠OBP，在△OPA与△OBP中，{𝑃𝐴=𝑃𝐵∠𝑂𝐴𝑃=∠𝑂𝐵𝑃𝑂𝑃=𝑂𝑃，∴△OPA≌△OBP（SAS），在Rt△OAP中，PA

=√𝑂𝑃2−12=√2𝑎2−8𝑎+16−1=√2𝑎2−8𝑎+15，∴四边形PBOA面积＝2×△OPA的面积＝2×12OA•PA=√2𝑎2−8𝑎+15=√2(𝑎−2)2+7，∵2＞0∴当

a＝2时，四边形PBOA面积最小，最小值为√7，故答案为√7．15．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，点F在边AC上，并且CF＝2，点E为边BC上的动点，将△CEF沿直线EF翻折，点C落在点P处，则点P到边AB距离的最小值是（）A．1.5B．1

.2C．2.4D．以上都不对15思路引领：先依据勾股定理求得AB的长，然后依据翻折的性质可知PF＝FC，故此点P在以F为圆心，以2为半径的圆上，依据垂线段最短可知当FP⊥AB时，点P到AB的距离最短，然后依据题意画出图形，最后，利用相似三角形的性质求解即可．答案详解：如图所示：当PE∥AB．在R

t△ABC中，∵∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，∴AB=√62+82=10，由翻折的性质可知：PF＝FC＝2，∠FPE＝∠C＝90°．∵PE∥AB，∴∠PDB＝90°．由垂线段最短可知此时FD有最小值．又∵FP为定值，∴PD有

最小值．又∵∠A＝∠A，∠ACB＝∠ADF，∴△AFD∽△ABC．∴𝐴𝐹𝐴𝐵=𝐷𝐹𝐵𝐶，即410=𝐷𝐹8，解得：DF＝3.2．∴PD＝DF﹣FP＝3.2﹣2＝1.2．故选：B．三．线段差最大16．如图所示，已知A（12，y1），B（2，y2）为反比例函数y=1𝑥图

象上的两点，动点P（x，0）在x正半轴上运动，当线段AP与线段BP之和达到最小时，点P的坐标是（1.7，0）；当线段AP与线段BP之差达到最大时，点P的坐标是（52，0）．16思路引领：（1）如图1，过x轴作点B的对称点B′，连接AB′与x轴的交点即为

所求的点P．根据点A、B′的坐标可以求得直线AB′的解析式，根据该解析式可以求得点P的坐标；（2）如图2，求出AB的坐标，设直线AB的解析式是y＝kx+b，把A、B的坐标代入求出直线AB的解析式，根据三角形的三边关系定理得出在△ABP中，|AP﹣B

P|＜AB，延长AB交x轴于P′，当P在P′点时，PA﹣PB＝AB，此时线段AP与线段BP之差达到最大，求出直线AB于x轴的交点坐标即可．答案详解：∵把A（12，y1），B（2，y2）代入反比例函数y=1𝑥得

：y1＝2，y2=12，∴A（12，2），B（2，12）．（1）如图1，过x轴作点B的对称点B′，连接AB′与x轴的交点即为所求的点P，则B′（2，−12）．设直线AB′为y＝kx+b（k≠0），则{2=12𝑘+𝑏−12=2𝑘+𝑏．解

得{𝑘=−53𝑏=176．故直线AB′的解析式为：y=−53x+176．令y＝0，解得，x＝1.7．故P（1.7，0）；（2）∵在△ABP中，由三角形的三边关系定理得：|AP﹣BP|＜AB，∴延长AB交x轴于P′，当P在P′点时，PA﹣PB＝AB，即此时线段AP与线段BP之差达

到最大，设直线AB的解析式是y＝ax+c（a≠0）把A、B的坐标代入得：{2=12𝑥+𝑐12=2𝑥+𝑐，17解得：{𝑎=−1𝑐=52，∴直线AB的解析式是y＝﹣x+52，当y＝0时，x=52，即P（52，0）；故答案是

：（1.7，0）；（52，0）．17．如图所示，已知A（1，y1），B（2，y2）为反比例函数y=2𝑥图象上的两点，动点P（x，0）在x轴正半轴上运动，当线段AP与线段BP之差达到最大值时，点P的坐标是（）A．（3，0）B．（72，0）C．（53，0）D．（52，0）思路引领：求出A

、B的坐标，设直线AB的解析式是y＝kx+b，把A、B的坐标代入求出直线AB的解析式，根据三角形的三边关系定理得出在△ABP中，|AP﹣BP|＜AB，延长AB交x轴于P′，当P在P′点时，PA﹣PB＝AB，此时线段AP与线段BP之差达到最大，求出直线AB于x轴的交点坐标

即可．答案详解：∵把A（1，y1），B（2，y2）代入反比例函数y=2𝑥得：y1＝2，y2＝1，∴A（1，2），B（2，1），∵在△ABP中，由三角形的三边关系定理得：|AP﹣BP|＜AB，∴延长AB交x轴于P′，当P在P′点时，PA﹣PB＝AB，即此时线段AP

与线段BP之差达到最大，设直线AB的解析式是y＝kx+b，18把A、B的坐标代入得：{𝑘+𝑏=22𝑘+𝑏=1，解得：k＝﹣1，b＝3，∴直线AB的解析式是y＝﹣x+3，当y＝0时，x＝3，即P（3，0）．故选：A．四．线段和差最值综合---巧借三边关系，中位线原理，瓜豆原理）1

8．如图，在△ABC中，BC＝3，将△ABC平移5个单位长度得到△A1B1C1，点P、Q分别是AB、A1C1的中点，PQ的最小值等于72．思路引领：取AC的中点M，A1B1的中点N，连接PM，MQ，NQ，PN，根据平移的性质和三角形的三边关系

即可得到结论．答案详解：取AC的中点M，A1B1的中点N，连接PM，MQ，NQ，PN，∵将△ABC平移5个单位长度得到△A1B1C1，∴B1C1＝BC＝3，PN＝5，∵点P、Q分别是AB、A1C1的中点，∴NQ=12B1C1=32，∴5−32≤PQ≤5+

32，即72≤PQ≤132，19∴PQ的最小值等于72，故答案为：72．19．如图，在▱ABCD中，∠B＝60°，AB＝10，BC＝8，点E为边AB上的一个动点，连接ED并延长至点F，使得DF=14DE，以EC、EF为邻边构造▱EFGC，连接EG，

则EG的最小值为9√3．思路引领：根据题意和平行四边形的性质，可以得到ED和EF的比值，再根据三角形相似和最短距离，即可得到EG的最小值，本题得以解决．答案详解：作CH⊥AB于点H，∵在▱ABCD中，∠B＝60°，BC＝8，∴CH＝4√3，∵四边形EC

GF是平行四边形，∴EF∥CG，∴△EOD∽△GOC，∴𝐸𝑂𝐺𝑂=𝐷𝑂𝑂𝐶=𝐸𝐷𝐺𝐶，∵DF=14DE，∴𝐷𝐸𝐸𝐹=45，∴𝐸𝐷𝐺𝐶=45，20∴𝐸𝑂𝐺𝑂=45，∴当EO取得最小值时，EG即可取得

最小值，当EO⊥CD时，EO取得最小值，∴CH＝EO，∴EO＝4√3，∴GO＝5√3，∴EG的最小值是9√3，故答案为：9√3．20．如图，在△ABC中，AB＝2，∠ABC＝60°，∠ACB＝45°，D是BC的中点，

直线l经过点D，AE⊥l，BF⊥l，垂足分别为E，F，则AE+BF的最大值为（）A．√6B．2√2C．2√3D．3√2思路引领：把要求的最大值的两条线段经过平移后形成一条线段，然后再根据垂线段最短来进行计算即可．答案详解：如图，过点C作CK⊥l于点K，过点A作AH

⊥BC于点H，在Rt△AHB中，∵∠ABC＝60°，AB＝2，∴BH＝1，AH=√3，在Rt△AHC中，∠ACB＝45°，∴AC=√𝐴𝐻2+𝐶𝐻2=√(√3)2+(√3)2=√6，∵点D为BC中点，∴BD＝CD，在△BFD与△CKD中，21{∠𝐵𝐹𝐷=∠𝐶𝐾𝐷=

90°∠𝐵𝐷𝐹=∠𝐶𝐷𝐾𝐵𝐷=𝐶𝐷，∴△BFD≌△CKD（AAS），∴BF＝CK，延长AE，过点C作CN⊥AE于点N，可得AE+BF＝AE+CK＝AE+EN＝AN，在Rt△ACN中，AN＜AC，当直线l⊥AC时，最大值为√

6，综上所述，AE+BF的最大值为√6．故选：A．21．如图，在平面直角坐标系中，Q是直线y=−12x+2上的一个动点，将Q绕点P（1，0）顺时针旋转90°，得到点Q'，连接OQ'，则OQ'的最小值为（）A．4√55B．√5C．5√23D．6√55思路引领：利用等

腰直角三角形构造全等三角形，求出旋转后Q′的坐标，然后根据勾股定理并利用二次函数的性质即可解决问题．答案详解：作QM⊥x轴于点M，Q′N⊥x轴于N，∵∠PMQ＝∠PNQ′＝∠QPQ′＝90°，∴∠QPM+∠NPQ′＝∠PQ′

N+∠NPQ′，∴∠QPM＝∠PQ′N在△PQM和△Q′PN中，{∠𝑃𝑀𝑄=∠𝑃𝑁𝑄′=90°∠𝑄𝑃𝑀=∠𝑃𝑄′𝑁𝑃𝑄=𝑃𝑄′∴△PQM≌△Q′PN（AAS），∴PN＝QM，Q′N＝PM，22设Q（m，

−12𝑚+2），∴PM＝|m﹣1|，QM＝|−12m+2|，∴ON＝|3−12m|，∴Q′（3−12m，1﹣m），∴OQ′2＝（3−12m）2+（1﹣m）2=54m2﹣5m+10=54（m﹣2）2+5，当m＝2时，OQ′2有最小值为5，∴OQ′的最小值为√5，当m＝2时，OQ

′2有最小值为5，故选：B．五．函数相关22．若点（m，n）在函数y＝2x﹣4的图象上，则m2+n2的最小值是165．思路引领：根据一次函数图象上点的坐标特征用m表示出n，然后整理成二次函数解析式的形式，再根据二次函数的最值问题解答．答案详解：∵

点（m，n）在函数y＝2x﹣4的图象上，∴n＝2m﹣4，∴m2+n2＝m2+（2m﹣4）2，＝5m2﹣16m+16，∵a＝5＞0，∴m2+n2的最小值=4×5×16−(−16)24×5=165．故答案为：165．23．如图，在矩形OABC中，OA＝3，OC＝2，F是AB上的一个动点（F不

与A，B重合），过点F的反比例函数y=𝑘𝑥（k＞0）的图象与BC边交于点E．（1）当F为AB的中点时，求该函数的解析式；（2）当k为何值时，△EFA的面积最大，最大面积是多少？23思路引领：（1）当F为AB的中点时，点F的坐标为（3，1），由此代入求得函数解析式即可；（2

）根据图中的点的坐标表示出三角形的面积，得到关于k的二次函数，利用二次函数求出最值即可．答案详解：（1）∵在矩形OABC中，OA＝3，OC＝2，∴B（3，2），∵F为AB的中点，∴F（3，1），∵点F在反比例函数y=𝑘𝑥

（k＞0）的图象上，∴k＝3，∴该函数的解析式为y=3𝑥（x＞0）；（2）由题意知E，F两点坐标分别为E（𝑘2，2），F（3，𝑘3），∴S△EFA=12AF•BE=12×13k（3−12k），=12k−112k2=−112（k2﹣6k+9﹣9）=−112（k﹣3

）2+34，在边AB上，不与A，B重合，即0＜𝑘3＜2，解得0＜k＜6，∴当k＝3时，S有最大值．S最大值=34．