【文档说明】八省名校2021届高三下学期5月新高考冲刺大联考数学试题含答案.docx，共(18)页，1.183 MB，由小赞的店铺上传

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1秘密★启用前八省名校2021届高三下学期5月新高考冲刺大联考数学注意事项：1.本试题卷共4页，满分150分，考试时间120分钟.2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡的相应位置.3.全部答案在答题卡上完成，答在本试题卷上无效.4.回答选择题时，选出每小题答案后

，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.5.考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要

求的1.已知集合22740Axxx=−−，ln(1)0Bxx=−，则AB=（）A.()1,4B.)1,4C.()2,4D.)2,42.若1iz=+，则2izzz−=（）A.2B.-2C.2iD.2i−3.设O为原点，直线2ykx=+与圆224xy+=相交于A，

B两点，当ABO△面积最大值时，k=（）A.22B.1C.2D.24.在等差数列na中，5321aa=−，8262aa=−，则1210aaa+++=（）A.165B.160C.155D.1455.已知命题:paD，命题0:qxR，2003xaxa−−−，若p是q成立的

必要不充分条件，则区间D为（）A.(),62,−−+B.()(),40,−−+C.()6,2−D.4,0−6.函数()sinyAx=+的图象的一部分如图所示，则函数表达式可写成（）2A.2sin23yx=+B.sin12yx=+

C.52sin26yx=−D.2sin26yx=+7.平行四边形ABCD中，4AB=，2AD=，4ABAD=，DEAB⊥，垂足为E，F是DE中点，则DFDB=（）A.12−B.3

2−C.32D.18.已知函数()22e1lnxfxxkxx=−+，若函数()fx有三个极值点，则实数k的取值范围为（）A.)()224e,2e2e,+B.0,4eC.()()224e,2e2e,+

D.)0,4e二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分.9.甲、乙两名高中同学历次数学测试成绩（百分制）分别服从正态分布()211,N，()222,N，其正态分布的密度曲线如图

所示，则下列说法中正确的是（）附：若随机变量X服从正态分布()21,N，则()0.6826PX−+.A.乙同学的平均成绩优于甲同学的平均成绩B.甲同学的平均成绩优于乙同学的平均成绩C.甲同学的成绩比乙同学成绩更集中于平均值附近3D.若15=，则甲同学成绩高

于80分的概率约为0.158710.如图，已知四棱锥PABCD−中，PD⊥平面ABCD，90DABCBD==，60ADBBDC==，E为PC中点，F在CD上，30FBC=，22PDAD==，则下列结论正确的是（）A.BE∥平面PADB.PB与平面ABCD所成角为30°

C.四面体DBEF−的体积为33D.平面PAB⊥平面PAD11.已知A，B是双曲线()2222:10,0xyCabab−=上关于原点对称的两点，点P是双曲线C的右支上位于第一象限的动点，记PA，PB的斜率分别为1k，2k，且满足12

14kk=，则下列说法正确的是（）A.双曲线C的离心率为2B.双曲线C的渐近线方程为12yx=C.若AB的最小值为4，则双曲线方程为2214xy−=D.存在点P，使得1222kk+=12.定义在R上的函数()fx满足()2(2)fxfx=−，且)0,1x时，()()()1xfx

f=，1,2x时，()4fxx=.令()()gxfxxa=−−，2,6x−，若函数()gx的零点有8个，则a的可能取值为（）A.2.5B.2.6C.2.8D.3三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.函数()23sincos

cos2fxxxx=−在0,π上的单调递增区间是____________.14.35250125(3)(1)(1)(1)xxaaxaxax+−=+++++++，则3a=______.415.如图，已知曲线2:4Cyx=，焦点()1,0F，点M在x轴上运动，P为C上的动点，

若PM的中点N落在y轴上，则FNM=______；斜率为43的直线l与C的交点为A，B，与x轴的交点为Q，若4AQQB=，则AB=______.16.如图，二面角ABDC−−的平面角的大小为120°，120BDA=，150BDC=，2ADBD==，3CD=，则四面体ABCD的外接球表

面积为______.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.（10分）已知数列na是等差数列，其前n项和为nS，数列nb的前n项和为nT，1nnTb=−且112

ab=，833aa=.（Ⅰ）求数列na，nb的通项公式；（Ⅱ）求数列nnab的前n项和nQ.18.（12分）在ABC△中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且()2coscos,1mAC=−，()tantan1,1nA

C=−，mn⊥.（Ⅰ）求B的大小；（Ⅱ）若7b=，133sinsin14AC+=，求ABC△的面积.19.（12分）在空间直角坐标系Oxyz−中，以坐标原点O为圆心，r为半径的球体上任意一点(),,Pxyz，它到坐标原5点O的距离222dxyzr=++，可知以坐标原点为球心，r为半径的球

体可用不等式2222xyzr++表示.还有很多空间图形也可以用相应的不等式或者不等式组表示.记1P满足的不等式组222160xyzz++，表示的几何体为1W.（Ⅰ）当zh=表示的图形截1W所得的截面面积为12π时，求实数h的值；（Ⅱ）请运用祖暅原理求证：记2P满足

的不等式组2221604zxyz+，所表示的几何体2W，当zh=时，2W与1W的体积相等，并求出体积的大小.（祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”.意思是：所有等高处横截面积相等的两个同高立体

，其体积也必然相等）20.（12分）当前，全国上下正处在新冠肺炎疫情“外防输入，内防反弹”的关键时期，为深入贯彻落实习近平总书记关于疫情防控的重要指示要求，始终把师生生命安全和身体健康放在第一位.结合全国第32个爱国卫生月要求，学校某班组织开展了“战疫有我，爱卫同行”防控疫情知识竞赛活动，抽取

四位同学，分成甲、乙两组，每组两人，进行对战答题.规则如下：每次每位同学给出6道题目，其中有一道是送分题（即每位同学至少答对1题）.若每次每组答对的题数之和为3的倍数，原答题组的人再继续答题；若答对的题数之和不是

3的倍数，就由对方组接着答题.假设每位同学每次答题之间相互独立，无论答对几道题概率都一样，且每次答题顺序不作考虑，第一次由甲组开始答题.求：（Ⅰ）若第n次由甲组答题的概率为nP，求nP；（Ⅱ）前4次答题中甲组恰好答题2次的概率为多少？21.（12分）已知椭圆2222:1

(0)xyEabab+=的左、右焦点分别为1F，2F，M为椭圆上一动点，当12MFF△的面积最大时，其内切圆半径为3b，椭圆E的左、右顶点分别为A，B，且4AB=.（Ⅰ）求椭圆E的标准方程；（Ⅱ）过1F的直线与椭圆相交于点C，D（不与顶点重合），过右顶点B分别作直线BC，BD与直线4x=−

相交于N，M两点，以MN为直径的圆是否恒过某定点？若是，求出该定点坐标；若不是，请说明理由.22.（12分）6（Ⅰ）求证：()1112xxx++−；（Ⅱ）已知()1exfxxa=+−，求()0fx=的根的个数；（Ⅲ）求证：若0x，则21e(2)142xxxx+++−.数学答案详解12345

6789101112DDBDBDCCACDACDBCBC1.D【解题思路】基础性考查落实，试题以集合为背景，考查集合的交集运算以及一元二次不等式、对数不等式的解法，考查运算求解能力，考查数学运算核心素养.由22740xx−−得142x−，所以集合1,42A=−，由(

)ln10x−得()ln1ln1x−，即11x−，解得2x，所以集合)2B=+，，所以)2,4AB=，故选D.2.D【解题思路】基础性考查落实，试题以复数为背景，考查共轭复数、复数的模、复数的除法运算，考查运算求解能力，考查数学运算核心素养.∵22zzz

==，∴22i22i2(1i)2i1i2zzz−−−===−+，故选D.3.B【解题思路】基础性考查落实，试题以直线与圆的位置关系为背景，考查直线与圆的位置关系以及点到直线的距离公式，考查化归与转化思想和运算求解能

力，考查直观想象、数学运算核心素养.设圆心O到直线2ykx=+的距离为d，则221dk=+.由弦心距公式得222244222411kABdkk=−=−=++，所以214||44212112ABOkSABdkkkkk====++△，当且仅当1kk=，即1k=时，ABOS△取最大值2，故选B

.7【一题多解】显然点()0,2A是直线与圆的交点.设AOB=，则1sin2sin22ABOSOAOB==△，当2=时，ABOS△有最大值2，此时点B是圆224xy+=与x轴的交点，易知()2,0B，所以1k=，故选B.4.D【解题思路】基础性考查落实，试

题以等差数列为背景，考查等差数列的通项公式、前n项和公式，考查运算求解能力，考查数学运算核心素养.设等差数列na的公差为d，由题意得()()11114221,762,adadadad+=+−+=+−解得

11,3,ad==∴121010(101)10131452aaa−+++=+=，故选D.5.B【解题思路】基础性考查落实，试题以充分必要条件为载体，考查解不等式，考查推理论证能力，考查数学运算、逻辑推理核心素养.设2()fxxaxa=−−，由题可知，关于x的不等式23x

axa−−−的解集不是空集，即()3fx−在()−+，上有解，则()2min434aafx+=−−，解得6a−或2a，故选B.6.D【解题思路】基础性考查落实，试题以三角函数为背景，考查三角函数的图象

和性质，考查运算求解能力，考查数学运算核心素养.由题图知2A=，令()2sin()fxyx==+，则()02sin1f==，取6=，则2sin6yx=+.当1112x=时，0y=，则11()126kk+=Z，当2k=

时，2=，故选D.7.C【解题思路】基础性考查落实，试题以平行四边形为背景，考查平面向量的线性运算与数量积，考查推理论证能力、运算求解能力，考查逻辑推理与数学运算核心素养.因为4AB=，2AD=，4ABAD=，所以1c

os2ABADDABABAD==，所以3DAB=在RtDAE△中，2AD=，易得1AE=，于是()11112282DFDEDAAEABAD==+=−.又DBABAD=−，所以1182DFDBABAD=−8()2215138822ABADABABADAD−=−+=，

故选C.【一题多解】解法一：因为4AB=，2AD=，4ABAD=，所以1cos2ABADDABABAD==，所以3DAB=，又2AD=，则易得1AE=，3DE=，23DB=，3BDE=，于是313cos233222DFDBDFDB===，故选C.解法二：因

为4AB=，2AD=，4ABAD=，所以1cos2ABADDABABAD==，所以3DAB=.又2AD=，则易得1AE=，3DE=，所以33322DFDBDFDE===，故选C.8.C【解题思路】综合性考查落实，试题以函数极值点为背

景，考查利用导数研究函数的单调性，考查运算求解能力、推理论证能力，考查化归与转化思想，考查数学运算、逻辑推理核心素养.由题意，()()23(1)2exkfxxkxx−−=，令()0fx=，则1x=或22e

(1)xkxx=.令()22exgxx=，则()222e(21)xxgxx−=.当102x时，()0gx；当12x时，()0gx，()min14e2gxg==，当x从0的右侧趋向于0时，()gx→

+，当x→+时，()gx→+，所以4ek且22ek，故选C.9.ACD【解题思路】基础性考查落实，试题以正态分布曲线为背景，考查正态分布曲线及参数的意义，考查推理论证能力、数据处理能力，考查逻辑推理、数据分析、数学运算核心素养.由题图可知，甲同学的图象关于直线75

x=对称，乙同学的图象关于直线85x=对称，所以175=，285=，所以12，故选项A正确，选项B错误；又甲同学的图象比乙同学的图象更“高瘦”，所以甲同学成绩比乙同学成绩更集中于平均值附近，故选项C正确；当15=时，()()10.6826807550.15872PXP

X−=+==，故选项D正确，故选ACD.10.ACD【解题思路】综合性考查落实，试题以四棱锥的线面位置关系为背景，考查线面平行的判定定理、9直线与平面所成角、面面垂直的判定定理、锥体的体积，考查空间想象能力、推理论证能力，考查数学运算、逻辑推理核心素养.∵30FBC=，90C

BD=，∴60FBD=.又60ADB=，∴FBDADB=，∴//BFAD.∵60BDFDBF==，30FBCFCB==，∴DFBFFC==，即F为CD中点.连接EF.∵E为

PC中点，∴//EFPD.∵BFEFF=，ADPDD=，∴平面//EBF平面PAD，所以//BE平面PAD，故选项A正确；在RtABD△中，90DAB=，60ADB=，1AD=，则2BD=.∵PD⊥平面ABCD，∴PBD为直线PB与平面ABCD所成角，且tan1PBD=，∴45P

BD=，故选项B错误；在BFD△中，2BFDF==，60BFDBDF==，∴122sin6032BDFS==△.∵//EFPD，PD⊥平面ABCD，∴EF⊥平面ABCD.∵112EFPD==，∴1333DBEFEBDFBDFVVSEF−−===△，故选项C正确；∵B

APD⊥，BAAD⊥，PDADD=，∴BA⊥平面PAD，∴平面PAB⊥平面PAD，故选项D正确.综上所述，故选ACD.11.BC【解题思路】基础性考查落实，试题以双曲线为背景，考查双曲线的方程及几何性

质、直线与双曲线的位置关系，考查运算求解能力、推理论证能力，考查数学运算、逻辑推理核心素养.设()11,Pxy，(),Amn，(),Bmn−−.因为P，A，B都在双曲线C上，所以2211122xy−=，22221mnab−=，两式相减得22221122xmynab−−=，即222122

21ynbxma−=−，所以22211112222111ynynynbkkxmxmxma−+−===−+−，所以2214ba=，即12ba=，故选项B正确；又22151142cbeaa==+=+=，故选项A错误；因为AB的最小值为4，所以24a=

，2a=，所以1b=，所以双曲线C的方程为2214xy−=，故选项C正确；因为121212212kkkk+==，当且仅当1212kk==时等号成立，所以12212kk+，故选项D错误.综上，故选BC.12.BC【解题思路】综合性考查落实，试题以函数零点为背景，

考查函数的图象与性质、分段函数，考查运算求解能力与数形结合、化归与转化思想，考查数学抽象、逻辑推理核心索养.由题意，()14f=，当)0,1x时，()4xfx=；当1,2x时，()4fxx=.∵()()gxfxxa=−−，2,6x−，且函数

()fx满足()()22fxfx=−，即自变量x每增加2个单位，函数图象纵坐标伸长为原来的2倍，分别画出当102,6x−时，函数()yfx=和yxa=+的图象，如图所示，由图象可知，当函数()yfx=与yxa=+在2,6x−上有8个交点时，5,32a，故

选BC.13.0,3，5,6【解题思路】基础性考查落实，试题以三角函数为背景，考查三角恒等变换及正弦函数的性质，考查运算求解能力，考查数学运算核心素养.由题意，()313sin2cos22sin2cos22sin2226fxxxxxx=−=

−=−，由222()262kxkk−−+Z得()63kxkk−+Z，所以函数()fx的单调递增区间为,()63kkk−+Z，所以()fx在

0,π上的单调递增区间为0,3，5,6.14.-9【解题思路】综合性考查落实，试题以二项式为背景，考查二项式展开式，考查运算求解能力，考查数学运算核心素养.由题可知352

50125(12)(11)(1)(1)(1)xxaaxaxax++−+−=+++++++，∴0022335C2C(1)9a=−−=−.15.2254【解题思路】基础性考查落实，试题以抛物线为背景，考查直线与抛物线的位置关系，考查推理论证能力、运算求解能力及数形结合思想，考查逻辑推理、数学运

算核心素养.如图，延长FN至点D，使DNNF=，连接FP，PD，DM.因为N为PM中点，易知四边形PDMF是平行四边形，且PDPF=，所以四边形PDMF为菱形，所以π2FNM=.设直线l：43yxb=+，()11,Axy，()

22,Bxy.联立24,34,yxbyx=+=消去x得2330yyb−+=，由韦达定理得123yy+=，123yyb=.因为4AQQB=，所以将11124yy=−代入123yy+=得21y=−，14y=，将21y=−，14y=代入抛物线C的方程24yx=得214x=，14x=，

所以221254(41)44AB=−++=.16.116π【解题思路】综合性考查落实，试题以空间几何体生成外接球为背景，考查球的表面积，考查空间想象能力、运算求解能力，考查数学运算、逻辑推理、直观想象核心素养.如图，过BCD△和ABD△的

外接圆圆心分别作两平面的垂线确定球心O，设两外接圆半径分别为1r，2r，M为BD的中点，连接1OM，2OM，则12OMO是二面角ABDC−−的平面角，12120OMO=，且点O，1O，2O，M共圆，OM是圆的直径，由已知条件得23A

B=，22r=，弦心距23OM=，13BC=，113r=，弦心距123OM=，∴1221OO=，1227sin120OOOM==.设四面体ABCD的外接球的半径为R，则222229RODMDOM==+=，116πS=球.17.【解题思路】综合性考查落实，试题以数列为背景，考查等差、等比数列的通

项公式与前n项和、错位相减法求数列的前n项和，考查运算求解能力，考查数学运算核心素养.（I）由1nnTb=−，令1n=，可求出1b，当2n时，111nnTb−−=−，两式相减再结合等比数列的定义即可求出数列nb的通项公式.利用等差数列的通项公式及已知条件即可求出数

列na的通项公式；（Ⅱ）由（Ⅰ）求出nnab，再利用错位相减法即可求解解：（Ⅰ）设等差数列na的公差为d，12因为1nnTb=−，当1n=时，1111Tbb=−=，所以112b=；当2n时，()1

111nnnnnbTTbb−−=−=−−−，整理得112nnbb−=，所以数列nb是首项为12，公比为12的等比数列，故12nnb=.（4分）由833aa=，得()17312dd+=+，解得2d=.又1121

ab==，所以21nan=−.（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，1(21)2nnnabn=−，所以()231111135212222nnQn=++++−，①则()2341111111352122222nnQn+

=++++−，②①-②得2311111111222(21)222222nnnQn+=++++−−1111142112(21)122

12nnn−+−=+−−−，所以2332nnnQ+=−.18.【解题思路】综合性考查落实，试题以向量为背景，考查正弦定理、余弦定理、三角形的面积公式、平面向量的坐标运算，考查运算求解能力，考查逻辑推理核心素养.（I）利用平面向量的坐标运算及两

向量的关系，结合两角和的余弦公式即可求解；（Ⅱ）利用正弦定理求出13ac+的值，再利用余弦定理求出ac的值，最后利用三角形的面积公式即可求解.解：（I）∵mn⊥，∴0mn=，即()2coscostantan11mnAC

AC=−−2sinsin2coscos1ACAC=−−()2cos1AC=−+−2cos1B=−0=，∴1cos2B=.∵(0,)B，∴3B=.（Ⅱ）∵14sinsinsin3abcABC===，∴3sin14Aa=，3sin14Cc=.∵133sinsin14AC+

=，∴13ac+=.又∵2222cosbacacB=+−，即22272cos3acac=+−，∴40ac=，（10分）∴11πsin40sin103223ABCSacB===△.19.【解题思路】综合性考查落实，试题以祖暅原理为背景，考查立体几

何的基本知识、球的体积公式，考查运算求解能力、空间想象能力和推理论证能力，考查直观想象逻辑推理核心素养.（I）由已知条件结合球的特征即可求解；（Ⅱ）由祖暅原理结合球的体积公式即可求解.解：（1）当zh=时，22216xyh+−，截面为圆面，则21612h−=，解得2h=

.又0h，所以2h=.（6分）14（Ⅱ）在1W中，平面zh=所截的截面为圆，其面积为()216h−，在2W中，平面zh=所截的截面为圆环，其面积为()216h−，即zh=截1W，2W所得面积均相等，从而由祖暅原理知，1W，2W体积相等，由1W为半球知其体

积3141284233V==.（12分）20.【解题思路】应用性考查落实，试题以防控疫情知识竞赛活动为背景，考查古典概型、独立事件、数列的递推公式，考查数据分析、逻辑推理、数学运算核心素养.（Ⅰ）先求出第()1n+

次由甲组答题的概率，再结合数列的递推公式即可求解；（Ⅱ）先列出所求概率的等式，再结合（Ⅰ）问即可求解.解：（Ⅰ）若第()1n+次由甲组答题，则包括第n次由甲组答题，第()1n+次继续由甲组答题，以及第n次由乙组答题，第()1n+次由甲组答题.答对的题数之和为3的倍数分别为12+，24+，1

5+，45+，33+，66+，36+，其概率为5221363+=，则答对的题数之和不是3的倍数的概率为23，所以第n次由甲组答题，第()1n+次继续由甲组答题的概率为13nP，第n次由乙组答题，第()1n+次由甲组答题的概率为()213nP−，因此()(

)*1121213333nnnnPPPPn+=+−=−+N，则1111232nnPP+−=−−.（5分）15因为第一次由甲组开始，则11P=，所以12nP−是首项为12，公比为13−的等比数列，所以1111

223nnP−−=−，即1111232nnP−=−+.（Ⅱ）由于第1次由甲组答题，则只要第2次、第3次、第4次这3次中再由甲组答题一次即可，所以所求概率()()())()()123412341234111(111PPPPPPPPPPPPP=−

−+−−+−−，由（Ⅰ）可知213P=，359P=，41327P=，所以100243P=.（12分）21.【解题思路】综合性考查落实，试题以椭圆为背景，考查圆的方程、椭圆的标准方程、直线与椭圆的位置关系，考查推理论证能力、运算求

解能力和化归与转化思想，考查逻辑推理和数学运算核心素养.（Ⅰ）根据已知条件列出关于a，b，c的等式，即可求得椭圆E的标准方程；（Ⅱ）设出直线CD的方程，与椭圆方程联立，建立C，D坐标间的关系，表示出直线BC，求出点N的坐标，同理求出点M的坐标，利用端点圆方

程，写出以MN为直径的圆的方程，利用方程与m无关，即可找到定点坐标.解：（Ⅰ）由题意及三角形内切圆的性质可得112(22)223bcbac=+，化简得12ca=.①又24ABa==，所以2a=，1c=，223bac=−=，所以椭圆E的标准方程为22143xy

+=.（Ⅱ）由（Ⅰ）知1(1,0)F−，(2,0)B，由题意，直线CD的斜率不为0，设直线CD的方程为1xmy=−，代入椭圆E的方程22143xy+=，16整理得()2234690mymy+−−=.设()11,Cxy，()22,Dxy，则122634myym+=+，122934yy

m=−+②直线11:(2)3yBCyxmy=−−.令4x=−，得1164,3yNmy−−−，同理可得2264,3yMmy−−−，（8分）所以以MN为直径的圆的方程为121266(4)(4)033yyxxyymymy++++

+=−−，即()()2212121212663681603333yyyyxxyymymymymy++++++=−−−−，③由②得121223yymyy+=−，代入③得圆的方程为228760xxymy+++−=.（

10分）若圆过定点，则20,870,yxx=++=（11分）解得1,0,xy=−=或7,0,xy=−=所以以MN为直径的圆恒过两定点()7,0−，()1,0−.22.【解题思路】综合性考查落实，试题以不等式证明与函数零点为背景，考查利用导数研究函数的单调性、最值、零点存在性定理

，考查推理论证能力和化归与转化思想，考查数学抽象与逻辑推理核心素养.（Ⅰ）根据x的取值范围，构建平方和，即可得证；（Ⅱ）分xa与xa进行讨论，利用导数研究函数的单调性，再结合a的取值范围，分别求解即可；（Ⅲ）由（Ⅰ）将不等式转化，构造新函数，利用导数研究函数的单调性，

再结合零点存在性定理即可得证.解：（Ⅰ）证明：当1x−时，204x，17∴211142xxxx+++=+.（Ⅱ）当xa时，()0fx恒成立，∴函数()fx没有零点；当xa时，()1e()1exxxa

fxxaxa−+=+=−−.令()e()1xhxxa=−+，则()e(1)xhxxa=−+，易知(1)0ha−=，∴当(),1xa−−时，()0hx，()hx是减函数；当()1,xaa−时，()

0hx，()hx是增函数，∴函数()hx在(),a−上的最小值为1(1)1eaha−−=−.显然，当1a=时，()10ha−=，∴1xa=−是函数()fx的唯一的零点；当1a时，()111e0ah

a−−=−，∴函数()fx没有零点；当1a时，()111e0aha−−=−，∴函数()fx有两个零点.（6分）（Ⅲ）证明：由（Ⅰ）知当0x时，112xx++，∴只需证当0x时，21e(2)1422xxxx+++−.设()221e(2)14e2222xxxMxxxx

x=−++−+=−−+，则()e22xMxx=−−.18令()e22xxx=−−，则()e2xx=−，易知()x在()0,ln2上单调递减，在()ln2,+上单调递增.∵()()120，∴()Mx在(

)0+，上只有一个零点()0012xx，即00e220xx−−=，∴()Mx在()00,x上单调递减，在()0,x+上单调递增，∴022000()e2240xMxxxx−−+=−，∴21e(2)1422xxxx+++−.又112xx++，∴21(2)142xexxx

+++−.