【文档说明】《精准解析》山西省晋城市2022-2023学年高二上学期期末考试数学试题（解析版）.docx，共(22)页，1.038 MB，由小赞的店铺上传

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山西省2022-2023学年第一学期高二期末考试数学全卷满分150分.考试用时120分钟第I卷（选择题60分）一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.直线3410xy+−=的一个方向向量是（）A.(4,3)B.(4,3)

−C.(3,4)−D.(3,4)【答案】B【解析】【分析】直线0AxByC++=可知，直线的方向向量为(,)BA−，代入直线方程即可.【详解】由直线0AxByC++=可知，直线的方向向量为(,)BA−，则直线3410xy+−=的方向向量为(4,3)−.故选：B2.有一机器

人的运动方程为2()6sttt=+，（t是时间，s是位移），则该机器人在时刻2t=时的瞬时速度为（）A.5B.7C.10D.13【答案】C【解析】【分析】对运动方程求导，根据导数的意义，将2t=代入导函数即可求解.【详解】因为2()6sttt=+，所以(

)26stt=+，则(2)22610s=+=，所以该机器人在时刻2t=时的瞬时速度为10，故选：C.3.若直线4ykx=+经过第四象限，且被圆22(2)4)(4xy−+−=截得的弦长为2，则该直线的倾斜角为（）A.π6B.π3C.2π3D.5π6【答案】

C【解析】【分析】先得到0k，利用垂径定理结合点到直线距离公式得到3k=−，得到倾斜角.【详解】因为直线4ykx=+经过第四象限，故0k，因为直线被圆22(2)4)(4xy−+−=截得的弦长为2，设圆心到直线距离为d，故2214d+=，又22244211kkdkk+−==++，所以22

231kk=+，结合，0k，解得：3k=−，设该直线的倾斜角为，)0,π，故tan3=−，解得：2π3=，所以该直线的倾斜角为2π3；故选：C4.与椭圆22134xy+=焦点相同，离心率互为倒数的双曲线方程是（）A.224413xy−=B.22

4413xy−=C.224413yx−=D.224413yx−=【答案】D【解析】【分析】根据椭圆方程求得c，离心率和焦点的位置，然后再根据椭圆与双曲线的关系求解．【详解】由椭圆22134xy+=，得1c=，12e=，焦点在y轴上．由

题意得双曲线1c=，焦点在y轴上，2e=，所以cea=，12cae==，所以22234bca=−=．所以双曲线方程为224413yx−=．故选：D5.设等差数列na的前n项和为nS，若23a=，4516aa+=，则10S=（）A.60B.8

0C.90D.100【答案】D【解析】【分析】由题设条件求出1,ad，从而可求10S.【详解】设公差为d，因为23a=，4516aa+=，故11232716adad+=+=，解得112ad==，故1010910121

002S=+=，故选：D.6.在正方体1111ABCDABCD−中，M为棱11CD的中点，则直线AM与平面11BBDD所成角的正弦值为（）A.24B.22C.223D.33【答案】B【解析】分析】建立空间直角坐标系，计算平面11BBDD的法向量，利用线面角的向量公式即得解．【

详解】解：不妨设正方体1111ABCDABCD−的棱长为2，连接AC，以D为坐标原点如图建立空间直角坐标系Dxyz−，则(2A，0，0)，(0C，2，0)，(0M，1，2)，(2,2,0)=−AC，(2,1,2)AM=−，由于1DD⊥平面ABCD，

AC平面ABCD，故1ACDD⊥，又正方形ABCD，故ACBD⊥，1DDBDD=，1DD，BD平面11BBDD，故AC⊥平面11BBDD，所以AC为平面11BBDD的一个法向量，【62cos,262AC

AMACAMACAM===，故直线AM与平面11BBDD所成角的正弦值为22．故选：B．7.设6e36a=,7e49b=,8e64c=,则a,b,c的大小关系为A.abcB.bacC.cbaD.cab

【答案】C【解析】【详解】试题分析：由e2,可得8777e2eee64643249=,7666e2e2ee49497236=,故选C.考点：指数函数性质8.已知函数()yfx=()Rx的

图象如图所示，则不等式()01fxx−的解集为（）A.()1,0,22骣÷ç-ト÷ç÷ç桫B.()()1,11,3−C.11,,222−D.()1,1,22−【答案】D【解析】【分析】原不等

式等价于()()10xfx−，根据()yfx=()Rx的图象判断函数的单调性，可得()0fx¢>和()0fx的解集，再分情况()100xfx−或()100xfx−解不等式即可求解.【详解】由函数()y

fx=()Rx的图象可知：()yfx=在1,2−和()2,+上单调递增，在1,22上单调递减，所以当()1,2,2x−+时，()0fx¢>；当1,22x时，()0fx；由()01fxx−可得()()10xfx−，所以

()100xfx−或()100xfx−，即1122xx或1122xxx或，解得：12x或12x，所以原不等式的解集为：()1,1,22−，故选：D

二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.9.下列结论正确的是（）A.若sinyx=，则'cos

yx=B.若lnyxx=，则'ln1yx=+C.若sinyxx=，则'cosyxx=D.若sin21yx=+（），则()'cos21yx=+【答案】AB【解析】【分析】利用基本初等函数的导数公式，导数的乘法公式，复合函数的导数公式，依次计算即可判断【详解】由基本初等函数的导数公式

：(sin)cosxx=，故选项A正确；由导数的乘法公式：(ln)ln(ln)ln1xxxxxxx=+=+，故选项B正确；.由导数的乘法公式：(sin)sin(sin)sincosxxxxxxxxx=+=+，故选项C错误；由复合函数的导数公式：[sin(21)]2cos(

21)xx+=+，故选项D错误故选：AB10.已知等比数列{}na的各项均为正数，120a=，65420aaa+−=，数列{}na的前n项积为nT，则（）A.数列{}na单调递增B.数列{}na单调递减C.nT的最大值为5

TD.nT的最小值为5T【答案】BC【解析】【分析】由已知结合等比数列的通项公式先求出公比q，进而可求通项公式，然后结合选项即可判断．【详解】等比数列{an|的各项均为正数，120a=，65420aaa+−=，所以244420qaqaa+−=

，即2210qq+−=，又q＞0，解得q12=或q＝-1（舍），所以数列{}na为单调递减数列，A错误，B正确；则352nna−=，易得：51a，61a，所以nT的最大值为5T，C正确，D错误．故选：BC．11.已知函数()227xxxfxe+−=，则下列结论正确

的是（）．A.函数()fx有极小值B.函数()fx在0x=处切线与直线910yx−+=垂直C.若()fxk=有三个实根，则k的取值范围为2384,ee−D.若0,xt时，()max38fxe=，则t的最小值为3【答案】AD【解析】【分析】对函数求导，利用极小值的定

义、导数的几何意义逐一判断即可.的【详解】由已知()()()22222279xxxxxexxefexxe+−+−−==，()03xfx==，当3x−或3x时，()0fx，33x−时，()0fx

¢>，所以()fx在(),3−−和()3,+上递减，在()3,3−上递增，()fx极小值为()343fe−=−，()fx极大值为()383fe=，A正确；切线斜率()109kf==，直线910yx−+=

斜率219k=，121kk−，两直线不垂直，B错误；x→−时，()fx→+，x→+时，()0fx→，若()fxk=有三个实根，则380,ke；当240ek−时，()fxk=只有两个根，C错误；若0,x

t时，()max38fxe=，则3t，t的最小值为3，D正确．故选：AD．12.如图，正方体1111ABCDABCD−的棱长为1，E、F、G分别为BC、1CC、1BB的中点，则（）A.直线1DD与直线AF垂直B.直线1AG与平面AEF平行C.

平面AEF截正方体所得的截面面积为98D.点C与点G到平面AEF的距离相等【答案】BC【解析】【分析】以点D为坐标原点，DA、DC、1DD所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可判断ABD选项；作出截面，计算出截面面积，可判断C选项.【详解】以点D为坐标原点，DA

、DC、1DD所在直线分别为x、y、z轴建立如下图所示的空间直角坐标系，则()1,0,0A、()1,1,0B、()0,1,0C、()0,0,0D、()11,0,1A、()11,1,1B、()10,1,1C、()10,0,1D、1,1,02E、10,1,2F、11,1,

2G，对于A选项，()10,0,1DD=，11,1,2AF=−，则1102DDAF=，所以，直线1DD与直线AF不垂直，A错；对于B选项，设平面AEF的法向量为(),,mxyz=，1,

1,02AE=−，11,0,22EF=−，则10211022mAExymEFxz=−+==−+=，取2x=，可得()2,1,2m=，110,1,2AG=−，所以，1110AGm=−=，即1AGm⊥，

因为1AG平面AEF，1//AG平面AEF，B对；对于C选项，连接1AD、1DF、1BC，因为E、F分别为BC、1CC的中点，则1//EFBC，11//ABCD且11ABCD=，所以，四边形11ABCD为平行四边形，则11//ADBC，所以，1//EF

AD，所以，E、F、A、1D四点共面，故平面AEF截正方体1111ABCDABCD−所得截面为1ADFE，且2222EFCECF=+=，同理可得152AEDF==，12ADEF=，所以，四边形1ADFE为等腰梯形，分别过点E、F在平面1ADFE内作1EMAD⊥，1F

NAD⊥，垂足分别为M、N，如下图所示：因为1AEDF=，1EAMFDN=，190EMAFND==，所以，1RtRtAEMDFN△≌△，故1AMDN=，EMFN=，因为//EFMN，EMMN⊥，ENMN⊥，则四边形EFNM为矩形，所以，22MNEF==，1122

4ADEFAMDN−===，故22324EMAEAM=−=，故梯形1ADFE的面积为()11928ADFEEFADEMS+==梯形，C对；对于D选项，1,0,02CE=，则点C到平面AEF的距离为113CEm

dm==，()1,0,0FG=，则点G到平面AEF的距离为223FGmdm==，所以，点C与点G到平面AEF的距离不相等，D错.故选：BC.第II卷（非选择题90分）三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡的相应位置.13.若直线2(1

)20xmy−+−=与直线(1)230mxmy+−−=垂直，则m=______.【答案】1−【解析】【分析】根据两直线垂直的充要条件列出方程，解之即可求解.【详解】因为直线2(1)20xmy−+−=与直线(1)230mxmy+−−=

垂直，所以2(1)2(1)0mmm+++=，解得：1m=−.故答案为：1−.14.椭圆2212516xy+=的左、右焦点为F1､F2，点P在椭圆上，若RtF1PF2，则点P到x轴的距离为_____.【答案】165或163【解析】【

分析】点(,)Pxy，易得点P到x轴的距离为||y，然后分1290PFF=或2190PFF=，1290FPF=，三种情况结合椭圆的定义求解.【详解】设点(,)Pxy，则到x轴的距离为||y，因为5a=，4b=，3

c=，当1290PFF=或2190PFF=时，则3x=，得2y=291616(1)2525−=，16||5y=，即P到x轴的距离为165．当1290FPF=时，则122221210||6PFPFPFPF+=+=，22121||||(106)

322PFPF=−=，121211||||||||22PFPFFFy=，6|1|3y=，由（1）（2）知：P到x轴的距离为165或163，故答案为：165或163．15.已知向量()2,1,1axx=+，()22,,bxtx=−−，若函数()fxab=

在区间()0,1上单调递增，则实数t的取值范围为______.【答案】)1,+【解析】【分析】利用向量数量积的坐标公式可得()fx，利用导数确定参数范围.【详解】由已知得()()()223221fxabxxtxxxxtxt==−++−=−+++，则()232fxxxt=−++，所以()2

320fxxxt=−++在()0,1上恒成立，即232txx−恒成立，设()221132333gxxxx=−=−−，()0,1x，当1x=时，()11g=，则()1gx，故1t.故答案为：)1,+.16.已知抛物线212yx=，点,AB在抛物线上且位于x轴两侧，

若14OAOB=（O为坐标原点），则AOB面积的最小值为______.【答案】42【解析】【分析】设直线AB的方程为：(0)xmytt=+，联立直线方程和抛物线方程，结合韦达定理可得121211,22yymyyt+==-，由14OAOB=可得4t=，122yy=−，进而可得2121|

|84yym-=+，由121||2AOBStyyV=鬃-求解即可.【详解】解：由题意可得直线AB不与x轴平行，设直线AB的方程为：(0)xmytt=+，由212xmytyx=+=，可得211022ymyt--=，则有21204mtD=+>，设1122(,),(

,),AxyBxy则有121211,22yymyyt+==-，所以22221212122(2)4()xxyyyyt=?=，所以212121142OAOBxxyytt=+=−=uuuruuur，解得：72t=−(舍)，4t=，所以直线AB的方程为：4xmy=+，12122yyt=-=-所

以221212121||()484yyyyyym-=+-=+，所以22121211||2||283224AOBStyyyymmV=鬃-=-=+=+，所以当0m=时，AOBS取最小值为：42.故答案为：42【点睛】方法点睛：对于直线与圆锥曲线类的题，常用的方法是联立直线与

圆锥曲线方程，再结合韦达定理求解即可.四、解答题：本大题共70分.17.已知各项均不相等的等差数列na的前4项和为414S=，且137,,aaa成等比数列.（1）求数列na的通项公式；（2）求数列11nnaa

+的前n项和nT.【答案】（1）1nan=+（2）()22nnTn=+【解析】【分析】（1）设公差为d.利用基本量代换联立方程组解得1d=，12a=，即可求出1nan=+；（2）利用裂项相消法求和

即可.【小问1详解】设公差为d.由已知得()()12111461426adadaad++=+=，解得1d=或0d=（舍去），所以12a=，故1nan=+.【小问2详解】()()111111212nnaannnn+==−++++，()

111111...23341222nnTnnn=−+−++−=+++.18.已知三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且coscos2cosaBbAcB+=.（1）求角B；（2）

若π4A=，角B的角平分线交AC于点D，2BD=，求CD的长.【答案】（1）π3B=（2）31CD=−【解析】【分析】（1）根据正弦定理边角互化得1cos2B=，进而得3B=；（2）根据题意得2BCBD==，进而在BCD△中，由余弦定理即可得答案.【小

问1详解】因为coscos2cosaBbAcB+=，所以由正弦定理可得sincossincos2sincosABBACB+=，所以()sin2sincosABCB+=，即sin2sincosCCB=，因为0πC，所以sin0C，故1cos2B=，因为0πB，所以π3B=．【小

问2详解】由（1）可知π6ABDCBD==，又π4A=；所以7π12ADB=，5π12CDB=，5π12BCD=，所以2BCBD==，在BCD△，由余弦定理可得2222cosCDBDBCBDBCCBD=+−，即()2

2322242312223CD=+−=−=−，解得31CD=−．19.已知函数()ln14xafxxx=+−−，其中Ra，且曲线()yfx=在点(1,(1))f处的切线垂直于直线12yx=（1）求a的值.（2）求函数()fx的单调区间与极值；【答案】（1）54a=（2

）增区间为()5,+,减区间()0,5；极小值()15ln52h=−,没有极大值.【解析】【分析】（1）由()2()ln14114afxafxxxxxx=+−=−−−，而曲线()yfx=在点(1,(1)

)f处的切线垂直于12yx=，所以(1)2f=−，解方程可得a的值；（2）由（1）的结果知()()22545ln1444xxxfxxfxxx−−=+−−=,于是可用导函数求()fx的单调区间与极值；小问1详解】对()f

x求导得()2114afxxx=−−，由()fx在点()()1,1f处切线垂直于直线12yx=，知()312,4fa=−−=−解得54a=；【小问2详解】【由（1）知5()ln144xfxxx=+−−，则()22215145,444xxfxxxx

−−=−−=令()0fx=，解得=1x−或5x=.因=1x−不在()fx的定义域()0,+内，故舍去.当()0,5x时，()0,fx故()fx在()0,5内为减函数；当()5,x+时，()0,fx

故()fx在()5,+内为增函数；所以函数()fx在5x=时取得极小值()15ln52h=−,没有极大值.20.如图，在四棱锥PABCD−中，侧面PAD⊥底面ABCD，PAD是以AD为斜边的等腰直角三角形，BCAD∥，CDAD⊥，22ADDCCB==，点E为AP的中点

.（1）证明：BE∥平面PCD；（2）求二面角PBDE−−的余弦值.【答案】（1）见解析；（2）53333．【解析】【分析】(1)用线线平行证明线面平行，∴在平面PCD内作BE的平行线即可；(2)求二面角的大小，可以用空间向量进

行求解，根据已知条件，以AD中点O为原点，OB，AD，OP分别为x、y、z轴建立坐标系﹒【小问1详解】如图，取PD中点F，连接EF，FC﹒∵E是AP中点，∴EF12AD，由题知BC12AD，∴BCEF，∴BCFE是平

行四边形，∴BE∥CF，又CF平面PCD，BE平面PCD，∴BE∥平面PCD；【小问2详解】取AD中点为O，连接OP，OB，∵PAD是以AD为斜边等腰直角三角形，∴OP⊥AD，又平面PAD⊥平面ABCD，

平面PAD∩平面ABCD＝AD，∴OP⊥平面ABCD，∵OB平面ABCD，∴OP⊥OB，由BC∥AD，CD⊥AD，AD＝2BC知OB⊥OD，∴OP、OB、OD两两垂直，故以O为原点，OB、OD、OP分别为x、y、z轴，建立空间直角坐标系Oxyz，如图：设|BC|＝1，

则B(1，0，0)，D(0，1，0)，E(0，1122−，)，P(0，0，1)，则()()1131101010112222BEDEBPDP−−−−−＝，，，＝，，，＝，，，＝，，，设平面BED的法向量为(

)111mxyz＝，，，平面PBD的法向量为()222nxyz＝，，的则1110130mBExyzmDE＝＝＝＝，取()113m＝，，，22200nBPxyznDP＝＝＝＝，取()111n＝，，．设二面角PBDE−−的大小为θ，则cosθ＝1135333311

3mnmn＋＋＝＝﹒21.已知数列na的前n项和为Sn，且满足*32(N)nnaSn=−.（1）求数列na的通项公式；（2）求数列(31)nna−的前n项和Tn.【答案】（1）112nna−=−

（2）1211332nnTn−=++−【解析】【分析】（1）根据11,1,2nnnSnaSSn−==−计算即可；（2）根据（1）的结论得出：11(31)(31)()2nnnan−−=−−，则数列{(31)}nna−的前

n项和可用错位相减法求得．【小问1详解】当1n=，1113232aSa=−=−，解得11a=，当2n时，32nnaS=−，1132nnaS−−=−，两式相减得13nnnaaa−−=，化简得112nnaa−=−，所以数列na是首项为1，公比为12−的等比数列，所以112nna−=−

；【小问2详解】由（1）可得：11(31)(31)()2nnnan−−=−−，01211111258(31)2222nnTn−=−+−+−++−−①，2111111125

23(4)(312)222nnnnTn−−=−+−−−++−−+②，由①−②得1213111123322221)2(23nnnnT−=+−+−−−+

+−−111213(31)1212nnn−−=−+−−−−−()11312nn=−+−，所以()123121211332332nnn

nTn−+=−−=++−.22.设函数2()(21)ln(R)fxaxaxxa=+−−.（1）讨论()fx的单调性；（2）若函数()()(21)1gxfxax=−−−有两个零点1x，2x，求实数a的范围.【答案】（1）当0a时，()fx在区

间()0,+上单调递减；当0a时，单调递减区间10,2a，单调递增区间1,2a+.（2）0e2a【解析】【分析】（1）求出函数()fx的导数，分类讨论a的取值范围，根据导数的正负，即可得答案;（2）分类讨论a的取值，确定()gx的单调性，若()gx为单

调函数，不可能有两个零点;当()gx先减后增时，要使()gx有两个零点，需要其最小值小于0，求得a的取值范围，再证明()gx确实有两个零点.【小问1详解】由于()()()221lnRfxaxaxxa=+−−，则定义域为(0,)+，可得：()()()()()222111211221

axaxxaxfxaxaxxx+−−+−=+−−==，当0a时，∵0x，∴()0fx，故()fx在区间()0,+上单调递减；当0a时，∵0x，∴由()0fx¢>可得12xa，由()0fx得12xa，故()fx在区间10,

2a上单调递减，在区间1,2a+上单调递增.【小问2详解】()2ln1gxaxx=−−，()21212axgxaxxx=−=−，0x，当0a时，()0gx，()gx为单调函数，不可能有两个零点，舍去;当0a时，由()0gx=得1

2xa=或12xa=−(舍去).当10,2xa时，()0gx，()gx为减函数，当1,2xa+时，()0gx，()gx为增函数，所以当12xa=时取得最小值111ln2222gaa=−，要使()gx有

两个零点1x，2x，需要102ga，即11ln2022a−，解得0e2a，又2211ln1ln2>02e4e2e4eaag=−−=+，且12e12a，所以()gx在12e1,2a

上有唯一的零点1x，令()ln1hxxx=−−，()1xhxx−=，当()0,1x时，()0hx，()hx为减函数，当()1,x+时，()0hx，()hx为增函数，所以当1x=时取得最小值(

)10h=，故()0hx，即ln10xx−−（当且仅当1x=时取等号），21111ln1ln1>0agaaaaa=−−=−−，且112aa，所以()gx在11,2aa

上有唯一的零点2x，综上:当0e2a时，()gx有两个零点.【点睛】方法点睛：利用导数确定函数零点或方程根个数的常用方法:(1)将函数可方程变形构建新函数()gx，利用导数研究函数()gx的单调性、极值，并确定定义区间端

点值的符号(或变化趋势)等，画出()gx的图象草图，数形结合求解函数零点的个数.(2)利用零点存在性定理，先用该定理判断函数在某区间上有零点，然后利用导数研究函数的单调性、极值(最值)及区间端点值符号，进而判断函数在该区间上零点的个数.获得更多资源请扫码加入享

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