【文档说明】云南省大理白族自治州2022-2023学年高二下学期期末数学试题 含解析.docx，共(22)页，1.873 MB，由小赞的店铺上传

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2022~2023学年下学期大理州普通高中质量监测高二数学试卷（全卷四个大题，共22个小题，共4页；满分150分，考试用时120分钟）注意事项：1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名､准考证号､考场号､座位号等在答题卡上填写清楚，并认真核

准条形码上的相关信息，在规定的位置贴好条形码.2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效.无效.3.非选择题用黑色碳素笔在答题卡上各题的答题区域内作答，在试题卷上作答4，考试结束后，请将本试卷和答题卡一

并交回.第Ⅰ卷（选择题，共60分）一､单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.集合2log0Axx=∣，集合24Bxx=∣，则AB=（）A.(

0,1B.(0,2C.2,1−D.22−,【答案】A【解析】【分析】解不等式求出集合,AB，利用交集的定义得出结果.【详解】∵222log0loglog101Axxxxxx===∣∣∣，2422Bxxxx==−∣∣

，∴AB=01xx∣，即(0,1AB=.故选：A.2.已知i是虚数单位，在复平面内，复数1i−+和1i−对应的点间的距离是（）A.0B.1C.2D.22【答案】D【解析】【分析】根据复数的几何意义，分别得

到两复数对应点的坐标，再由两点间距离公式，即可得出结果.【详解】由于复数1i−+和1i−对应的点分别为()1,1−，()1,1-，因此由两点间的距离公式，得这两点间的距离为22(11)(11)22−−++=.故选：D.3.已知,ab

为单位向量，且()()·30abab+−=，则a与b的夹角为（）A.π6B.π4C.πD.0【答案】C【解析】【分析】根据向量数量积的定义和运算律求解即可.【详解】设a与b的夹角为()0π，因为,ab为单位向量，()()30abab+−=，即2

2230aabb−−=，即222cos30aabb−−=，即12cos30−−=，所以cos1=−，即π=.故选：C.4.某种应用于合成孔径成像设备中的多光束合成器件如图所示，利用该方法制作的光束合成器具有加工周期短，成

本低等优势.其外形可近似为一个正六棱台，已知其上底面边长为1，下底面边长为2，高为3，则其体积为（）A.932B.152C.212D.93【答案】C【解析】【分析】将上下底面的正六边形看作六个正三角形可求面积，

再根据棱台的体积公式求解即可.【详解】如图上下底面的正六边形看作六个正三角形组合，故上底面面积为23336142=，下底面面积为2362634=.由棱台体积公式可得体积为1332136336333222V=++=.故选：C5.从甲、乙、丙、丁、戊

五名同学中选2人参加普法知识竞赛，则甲被选中的概率为（）A.15B.25C.35D.45【答案】B【解析】【分析】利用古典概型的概率求解.【详解】从甲、乙、丙、丁、戊五名同学中选2人的基本事件有：（甲

、乙），（甲、丙），（甲、丁），（甲、戊），（乙、丙），（乙、丁），（乙、戊），（丙、丁），（丙、戊），（丁、戊），共10种，甲被选中的基本事件有：（甲、乙），（甲、丙），（甲、丁），（甲、戊），共4种，所以甲被选中的概率为42105P

==，故选：B.6.已知函数()()cosfxx=+，其中02,0π，若00π1f−=，对任意的x都有()2π5fxf，则下列说法错误的是（）A.1=B.3π5=C.2π15f=−D.3π15f−=−【答案】D【解析】【分析】

根据题意cos0π10−+=，得ππ,Z102πkk−+=+①，cos12π5+=，得Z2π5π,mm+=②，联立①②结合已知条件求出,，即可判断各选项.【详解】若00π1f−=，则cos0π10−+=，

∴ππ,Z102πkk−+=+①，∵对任意的x都有()2π5fxf，∴2π15f=，∴cos12π5+=，得Z2π5π,mm+=②，②－①得()()ππ,,Z1022ππ5mkmk+=−+−

，即()()12,,Zmkmk=−+−，∵02，∴取1mk−=，∴1=，故A正确；将1=代入②得Z2ππ5,mm+=，即Z2π5π,mm=−，∵0π，取1m=，∴3π5=，故B正确；∴()3π5

cosfxx=+，∴53π52π2πcoscosπ15f=+==−，故C正确；3π3πcoscos01553π5f−=−+==，故D错误.故选：D.7.在三棱锥−PABC中，,3,1,2ACABABACP

APBPC⊥=====，则三棱锥−PABC外接球表面积为（）A.2πB.4πC.8πD.16π3【答案】B【解析】【分析】取BC的中点O，可求得1POAOBOCO====，从而得三棱锥−PABC外接球的球心为的O，半径1R=，代入球的表面积公式计算即可.【详解】

取BC的中点O，连接,POOA，∵,3,1ACABABAC⊥==，∴12,12BCAOBOCOBC=====，∵2PBPC==，∴222PBPCBC+=，∴PBPC⊥，112POBC==，∴1POAOBOCO===

=，∴三棱锥−PABC外接球的球心为O，半径1R=，故三棱锥−PABC外接球的表面积24π4πSR==．故选：B．8.若451sin3,,e5abc−===，则（）A.abcB.acbC.bcaD.bac【答案】A【解析】【分析】,ab可以构造函

数()πsin(0)2fxxxx=−，利用函数的单调性求解，,bc可以构造函数()1exgxx−=−求导判断单调性与正负判断.【详解】设()πsin(0)2fxxxx=−，()cos10xxf=−，则()fx在π0,2上为增函数，故()()sin00fxxxf=−=，即

πsin(0)2xxx.又sinyx=在π0,2上为增函数，且1π0π352−，则有()11sin3sinπ3sin55=−，即1sin35，故ab.设()()10,1e,xgxxx−=−，则()10e1xgx−−=

，故()()10,1e,xgxxx−=−为减函数，()()10gxg=，即()1e,0,1xxx−，故141551ee5−−=，即bc.综合可得：abc．故选：A二､多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有

多项是符合题目要求的.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）9.记nS为等差数列na的前n项和，已知545,3Sa==，则（）A1nan=−B.25nan=−C24nSnn=−D.229nSnn=−【答案】BC【解析】【分析】利用等差数列的通项公式及

求和公式即可得出．【详解】设等差数列{}na的公差为d．∵545,3Sa==，∴154552ad+=，且133ad+=，解得：13a=−，2d=，∴32(1)25nann=−+−=−，2(325)42nnnSnn−+−==−．故选

：BC．10.某市举办了普法知识竞赛，从参赛者中随机抽取1000人，统计成绩后，画出频率分布直方图如图所示，则下列说法正确的是（）A.直方图中x的值为0.030B.估计该市普法知识竞赛成绩的平均数为85分..C.估计该市普法知识竞赛成绩的中

位数为90分D.估计该市普法知识竞赛成绩的众数为95分【答案】AD【解析】【分析】根据直方图面积为1可判断A，再根据直方图中平均数、中位数与众数的求法判断BCD.【详解】对A，()0.0050.0100.0150

.04101x++++=，故()0.07101x+=，解得0.03x=，故A正确；对B，该市普法知识竞赛成绩的平均数为()0.005550.010650.015750.03850.04951084++++=，故B错误；对C，由表可得小于90分的人数频

率()0.0050.0100.0150.030100.60.5+++=，故竞赛成绩中位数不为90，故C错误；对D，由表可得估计该市普法知识竞赛成绩的众数为90100952+=分，故D正确；故选：AD11.过抛物线2:2Cypx

=上一点()1,2A作两条相互垂直的直线，与C的另外两个交点分别为,MN，则（）A.C的准线方程是=1x−B.过C的焦点的最短弦长为2C.直线MN过定点()5,2−D.若直线MN过点()1,1-，则AMN的面积为24【答案】AC【解

析】【分析】由题可得抛物线C为24yx=，进而判断A；利用焦点弦的方程结合抛物线的定义结合条件可判断B；设直线MN为xmyn=+，联立抛物线利用韦达定理结合条件可得m、n的数量关系，可判断C；由直线MN过点()1,1-可得直线MN为430xy++=，进而结合点到直线的距离和弦长公式求解，进而判断

D.【详解】将()1,2A代入C中得42p=，即2p=，则抛物线C为24yx=，所以C的准线方程是=1x−，故A正确；抛物线C的焦点为()1,0，可设过C的焦点的直线为1xty=+，联立214xtyyx=+=，可得2440yty

−−=，设交点为()(),,,EEFFExyFxy，则4EFyyt+=，()22422EFEFxxtyyt+=++=+，所以24EFEFxx=++，即过C的焦点的最短弦长为4，故B不正确；设211,4yMy，222,4yNy，直线MN为xmyn=+，联立24xm

ynyx=+=，可得：2440ymyn−−=，所以124yym+=，124yyn=−，又AMAN⊥，所以()()()()222212121212441,21,22204416yyyyAMANyyyy−−=−−−−=+−−=，因为12y，22y

，即()()12220yy−−，所以()()12022611yy+++=，化简整理得()12122200yyyy+++=，即48200nm−++=，得25nm=+，所以直线MN为()25xmy=++，所以直线MN过定点()5,2P−，故C正确；若直线MN过点()1,1-，则()5112m=

−++，即4m=−，3n=−，所以1216yy+=−，1212yy=，直线MN为()254xy=−++，即430xy++=，所以()()()2222121214141641217413MNmyyyy=++−=+−−−=，点()1,2A到直线MN的距离为2218

3121714d++==+，所以31111174132412227AMNSdMN===，故D不正确.故选：AC.12.设定义在R上的函数()fx和()gx的导函数分别为()fx和()gx，若()()()()112,11fxgxfx

gx+−−=−=+，且()1gx+为偶函数，则下列说法一定正确的是（）A.()gx的图象关于1x=对称B.()gx的图象关于()2,0对称C.2为函数()gx的周期D.()fx为偶函数【答案】ACD【解析】【分析】由

()1gx+为偶函数，得()()11gxgx−+=+，即可判断A；由()()11gxgx−+=+，得()()2gxgx−=，两边求导，即可判断B；由()()11fxgx−=+，所以()()11fxgxa−=++，（a为常数），再根据所给条件推出2a=，即可得到()()

22gxgx−=+，结合()()2gxgx−=，推出()gx的周期性即可判断C；由()()22fxgx=++，可推得()()2fxgx−=−+，结合()()20gxgx+−=求解即可判断D.【详解】∵()1gx+为偶函数，∴()()11gxgx−+=+，∴()gx的

图象关于1x=对称，故A正确；∵()()11gxgx−+=+，∴()()2gxgx−=，∴()()2gxgx−−=，∴()()20gxgx+−=，∴()gx的图象关于()1,0对称，故B错误；因为()()11fxgx−=+，所以()()11fxgxa−=++，（a

为常数），则()()2fxgxa=++，又因为()()112fxgx+−−=，所以()()22fxgx=−+，所以()()222gxgxa−+=++，令0x=，则()()222gga+=+，所以2a=

，所以()()22fxgx=++，()()22gxfx=−−，()()22gxgx−=+，因为()()2gxgx−=，且()()22gxgx−=+，所以()()2gxgx+=，所以2为函数()gx的周期，故C正确；∵()()22fxgx=++，∴()()2fxgx=+，()()2fxgx

−=−+，又()()20gxgx+−=，∴()()()()()222fxgxfxfxfx−=−=−−=−=，故()fx为偶函数，故D正确.故选：ACD.【点睛】方法点睛：关于函数的对称性，周期性总

结如下：（1）若()()faxfax+=−，则函数()fx关于xa=对称；（2）若()()2faxfaxb++−=，则函数()fx关于(),ab对称；（3）若()()fxfax=+，则函数()fx的周期为a；（4）若

()()0fxfax++=，则函数()fx的周期为2a．第II卷（非选择题，共90分）三､填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.某校高中三个年级共有学生2800名．已知在全校学生中随机抽取1名，抽到高二年级学生的可能性是0.32．该校高三年级学生人数比高二年级学生

多112人，现用分层随机抽样的方法在全校共抽取75名学生，则应在高三年级抽取的学生人数为__________.【答案】27【解析】【分析】先求出高三年级学生人数，再根据分层随机抽样的方法计算，可得答案．【详解】高二年级学生

有28000.32896=人，则高三年级学生有8961121008+=人，根据分层随机抽样的方法可知，高三年级抽取的学生人数为100875272800=．故答案为：27．14.已知直线310xy+−=与圆22220xy

x++−=交于,AB两点，则AB=__________.【答案】22【解析】【分析】先求出圆心坐标和半径，再求出圆心到直线的距离，由222ABrd=−可得答案.【详解】圆22220xyx++−=化为()2213x

y++=，则圆心为()1,03r−=，，圆心到直线310xy+−=的距离为11113d−−==+，所以22223122ABrd=−=−=.故答案为：22.15.若二次函数()223fxx=+的图象与曲线():e3xCgxa=+的图象有3个公共点，则实数a的取值范围是__________

.【答案】280,e【解析】【分析】由题意()()fxgx=，得22exxa=，令22()exxhx=，由题意，直线ya=与()hx的图象有3个公共点，利用导数研究()hx的性质，作出图象，

数形结合可得答案.【详解】由题意()()fxgx=，得223e3xxa+=+，即22exxa=，令22()exxhx=，由题意，直线ya=与()hx的图象有3个公共点，2422(2)()eexxxxxxhx−−==，当0x时，()

0hx，()hx单调递减；当02x时，()0hx，()hx单调递增；当2x时，()0hx，()hx单调递减，所以，当0x=时，()hx取极小值(0)0h=，当2x=时，()hx取极大值28(2)eh=，当0x=时(0)0h=，当0x时()0hx，作出()hx的大致图象，

如图，由图可知，当280,ea时，直线ya=与()hx的图象有3个公共点，则实数a的取值范围是280,e.故答案为：280,e.16.已知椭圆2222:1(0)xyCabab+=，点12,FF是椭圆

的左、右焦点，点A是椭圆上一点，12AFF△的内切圆的圆心为M，若12320MFMFMA++=，则椭圆的离心率为__________.【答案】15##0.2【解析】【分析】取线段1AF的中点N，由已知条件得出2OMMN=，从而,,OMN三点共线，且2OMMN=，

则1136MNAyyyr===，再利用12126AFFMFFSS=，即可求出离心率.【详解】不妨设点A在x轴上方，设点A的纵坐标为Ay，点M的纵坐标为My，12AFF△的内切圆的半径为r，椭圆焦距为2c,取

线段1AF的中点N，设点N的纵坐标为Ny，因为12320MFMFMA++=，所以()()2112FMMFMFMA=−++，∴42MOMN=−，即2OMMN=，∴,,OMN三点共线，且2OMMN=，∴1136MNAyyyr===，∵1212121211,22FAAFFMFMSyFFSyFF=

=，∴12126AFFMFFSS=，()()()1212121212112222AFFMFFAMFMAFSSSSrFFAFAFrcarca==++++=+=+,121211222MFMFSyFFrcrc

===，∴()6rcarc+=，∴椭圆的离心率15cea==，故答案为：15.【点睛】方法点睛：椭圆离心率的三种求法：（1）若给定椭圆的方程，则根据焦点位置确定22,ab，求出,ac的值，利用公式cea=直接求解．（2）求椭圆的离心率时，若不能直

接求得ca的值，通常由已知寻求,,abc的关系式，再与222abc=+组成方程组，消去b得只含,ac的方程，再化成关于e的方程求解．（3）求离心率时要充分利用题设条件中的几何特征构建方程求解，从而达到简化运算的目的

．四､解答题（共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.已知数列na中，111,21nnaaa+==+.（1）证明：数列1na+为等比数列，并求数列na的通项公式；（2）求数列na的前n项和nS.【答案】（1）

证明见解析，21nna=−（2）122nnSn+=−−【解析】【分析】（1）利用等比数列的定义证明，可得1na+的通项公式，进而得数列na的通项公式；（2）利用分组求和可求解.【小问1详解】由121nnaa+=+可得112(1)nnaa++=+,即1121nna

a++=+，所以1na+是以2为首项，以2为公比的等比数列，所以12nna+=，所以21nna=−.【小问2详解】()()()()12312321212121nnnSaaaa=++++=−+−+−++−()()()1232122222111112nnn−=

++++−++++=−−122nn+=−−.18.在锐角ABC中，内角,,ABC的对边分别为,,abc，且满足()()3abcabcab+++−=.（1）求角C的大小；（2）求sincosAB的取值范围.【答案】（1）π3C=（2）23,3

+【解析】【分析】（1）化简()()3abcabcab+++−=为222abcab+−=，结合余弦定理即可求解；（2）根据两角差的正弦公式及同角三角函数关系化简3s2in2canst

o1BAB=+，进而结合正切函数的图象及性质求解即可.【小问1详解】由()()3abcabcab+++−=，整理得222abcab+−=，所以2221cos22abcCab+−==，又0πC，则π3C=.【小问2详解】1332πsinc

ossinsin32coscoscos12tan22BBBBABBB−+==+=，因为ABC为锐角三角形，所以π022ππ032BB−，即ππ62B，所以3tan3B，即

3s1in2co323tnsa2ABB+=，所以sincosAB的取值范围为23,3+.19.某项选拔共有三轮考核，每轮设有一个问题，能正确回答问题者进入下一轮，否则被淘汰.已知甲选手能正确回答第一、二、三轮的问题的概率分别为432,,543，乙选手

能正确回答第一、二、三轮的问题的概率分别为221,,332，且两位选手各轮问题能否正确回答互不影响.（1）求甲选手进入第三轮才被淘汰的概率；（2）求至少有一名选手通过全部考核的概率.【答案】（1）15（2）815【解析】【分析】（1）

根据题意，设事件(1,2,3)iAi=表示“甲选手能正确回答第i轮问题”，设事件C表示“甲选手进入第三轮才被淘汰”，由独立事件概率的乘法公式，计算可得答案；（2）利用独立事件的概率乘法公式求出甲选手通过全部考核的概率与乙选手通过全部考核的概率，然后利用对立事件的概率

公式求解．【小问1详解】设事件(1,2,3)iAi=表示“甲选手能正确回答第i轮问题”，由已知()()()1233,45,243PAPAPA===，设事件C表示“甲选手进入第三轮才被淘汰”，即甲选手第一、二轮的问题回

答正确，而第三轮的问题回答错误，则()12343254351()1PCPAAA==−=；【小问2详解】设D表示“甲选手通过全部考核”，则()()()()123123()PDPAAAPAPAPA==43225435==．设事件(1,2,3)jBj=表

示“乙选手能正确回答第j轮问题”，由已知()()()12321,3,232PBPBPB===，设E表示“乙选手通过全部考核”，则()()()()123123()PEPBBBPBPBPB==22123329==．

则至少有一名选手通过全部考核的概率为2281()()1115915PPDPE=−=−−−=.20.如图，在三棱柱111ABCABC-中，112π,,3ABBCABAAAAC⊥⊥=，点M为棱1CC的中点，点T是线段BM

上的一动点，1223AAACAB===.（1）证明：1CCAT⊥；（2）设直线AT与平面11BBCC所成角为，求sin的取值范围.【答案】（1）证明见解析（2）3,13【解析】【分析】（1）根据三棱柱中的垂

直关系以及角度，可通过证明1CC⊥平面ABM，利用线面垂直的性质定理即可证明；（2）可证得AB⊥平面11BBCC，则直线AT与平面11BBCC所成角为ATB=，根据题中条件求出sin的最值，即可得出答案.【小问1详解】由

题意可知，11//CCAA，又1ABAA⊥，所以1ABCC⊥，连接1,AMAC，如图所示：由12π3AAC=，1AAAC=可知，1ACC△是正三角形，又点M为棱1CC的中点，所以1CCAM⊥，AB平面ABM，AM平面ABM，AMABA=，所以1CC⊥平面ABM，AT平面ABM

，所以1CCAT⊥.【小问2详解】因为1ABAA⊥，11//BBAA，所以1ABBB⊥，又ABBC⊥，1BBBCB=，1,BBBC平面11BBCC，所以AB⊥平面11BBCC，则直线AT与平面11BB

CC所成角为ATB=.在正1ACC△中，23AC=，所以32332AM==，RtABM中，33,AMAB==，当T与B重合时，sin取最大值1；当T与M重合时，sin取最小值33，所以，sin

的取值范围是3,13.21.设12,FF分别是双曲线222:1(0,0)4xyCabb−=的左､右两焦点，过点2F的直线():0,lxmytmt+−=R与C的右支交于,MN两点，曲线C的虚轴的端点与其焦点的距离为27.（1）求双曲线C的方程；在（2）当

112=MFFF时，求直线l的方程.【答案】（1）221412xy−=（2）015154xy−=【解析】【分析】（1）结合题意可得()2222222427abcabc=+=+=，解方程组即可求解；（2）由（1）知2a=，4

c=，()24,0F，进而得到4t=，1128MFFF==，24MF=，在12FMF△中，由余弦定理可得211cos4MFF=，进而得到21tan15MFF=，进而得出直线l的斜率为15，进而求解.【小问1详解】由题意可得，

()2222222427abcabc=+=+=，解得24a=，212b=，216c=，所以双曲线C的方程为221412xy−=.【小问2详解】由（1）知2a=，4c=，则()24,0F，因为直线:0lxmyt+−=过点2F，所以40t−=，

即4t=，由11228MFFFc===，1224MFMFa−==，则24MF=，在12FMF△中，由余弦定理得2222221221211228481cos22844FFMFMFMFFFFMF+−+−===，所以221

2115sin1cos4MFFMFF=−=，则22121212121sin15tan1cossin15cos4MFFMFFMFFMFFMFF==−==，即直线l的斜率为15，所以115

m−=，即1515m=，即直线l的方程为015154xy−=.22.已知()()2lnfxxaxa=+R.（1）讨论()fx的单调性；（2）若()()()121212222212122,,0,1,,fxfxaxxxxxxxx−=−−恒成立，求实数的取值范围.【

答案】（1）答案见解析（2）1,4+【解析】【分析】（1）求出()fx的导数()fx，根据a的取值范围进行分类讨论即可；（2）不妨设12xx，根据已知条件结合()fx的单调性去绝对值得()()221212fxxfxx−

−，构造函数()()()20,1,Gxxxfx−=，问题转化为()Gx在(0,1)时单调递增时，求实数的取值范围，从而得()0Gx在(0,1)x上恒成立，求解即可.【小问1详解】由已知，()2lnfxxax=+（

aR）定义域为()0,+，()222axafxxxx+=+=，①当0a时，()0fx¢>在区间()0,+上恒成立，()fx在区间()0,+上单调递增；②当a<0时，令()0fx=，解得102ax=−−（舍），202ax=−，∴当0,2ax−

时，()0fx，∴()fx在区间0,2a−上单调递减，当,2ax−+时，()0fx¢>，∴()fx在区间,2a−+上单调递增，综上所述，当0a时，()fx在区间()0,+上单调递增；当a<0时，()fx在区间0,2

a−上单调递减，在区间,2a−+上单调递增.【小问2详解】当2a=−时，()2ln2fxxx=−，由（1）知，()fx在区间()0,1上单调递减.()1212,0,1,xxxx，不妨设12xx，∴()()12fxfx，2212xx，∴()()

1222221212fxfxxxxx−−，∴()()()1221222211222211xxfxfxxxxx−−=−，∴()()221212fxxfxx−−，设()()222ln2xGxfxxxx=−−=−，()0,1x，则12,(0,1)

xx，且12xx，()()221212fxxfxx−−等价于()()12GxGx，即()Gx在(0,1)上单调递增，∴()32220Gxxxx=−+在(0,1)x上恒成立，∴42xx−+在

(0,1)x时恒成立，令()24221124Fxxxx=−+=−−+，的∵()0,1x，()20,1x，∴当212x=，即22x=时，()Fx的最大值为2124F=，∴14，综上所述，实数

的取值范围是1,4+.【点睛】关键点睛：本题第（2）问解题的关键点有两个，一个是去绝对值，将()()1222221212fxfxxxxx−−等价转换为()()221212fxxfxx

−−，便于构造函数；另一个是通过构造函数()()()20,1,Gxxxfx−=，把问题转化为()Gx在(0,1)上单调递增时，求实数的取值范围，从而得()0Gx在(0,1)x时恒成立.获得更多

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