【文档说明】河北省邯郸市大名县第一中学2022-2023学年高二下学期3月月考数学试题 含解析.docx，共(21)页，1.890 MB，由小赞的店铺上传

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高二月考数学试题一、单选（每题5分，共40分）1.直线2sin21020xy−−=的倾斜角是A.45B.135C.30D.150【答案】B【解析】【分析】由题意，取得直线的斜率1k=−，进而可求得倾斜角，得到答案．【详解】由题意得2sin2102sin301k==−=−，故倾斜

角为135.故选B.【点睛】本题主要考查了直线的斜率与倾斜角，以及三角函数的求值，其中解答中根据直线的方程，求得直线的斜率是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．2.已知函数()fx的图象如图所示，那么下列各式正确的是（）A.(1)(2)(3)0fff

B.(1)(2)(3)0fffC.(3)(2)(1)0fffD.(3)(2)(1)0fff【答案】A【解析】【分析】根据()fx的图象与导函数图象之间的关系判断．【详解】由()fx图象知，()fx递减，即()0fx，但()fx

图象的切线斜率随着x的增大而增大，导函数()fx是递增的，因此(1)(2)(3)0fff．故选：A．3.若抛物线22(0)ypxp=的焦点与椭圆22195xy+=的一个焦点重合，则该抛物线的准线方程为（）A.=1x−B.1x=C.2x=D.2x=−【答案】D【解析】【分析】先求

出椭圆的焦点坐标即是抛物线的焦点坐标，即可求出准线方程.【详解】∵椭圆22195xy+=的右焦点坐标为(2,0)，∴抛物线的焦点坐标为(2,0)，∴抛物线的准线方程为2x=−，故选：D.4.设等差数列{}na的前n项和为nS，若8748aaa+=+，则21S=（）A.28B.1

48C.168D.248【答案】C【解析】【分析】根据等差数列下标和性质及等差数列前n项和公式计算可得；【详解】解：因为等差数列{}na中，7411848aaaaa+=+=+，所以118a=，则121211121()211682aaSa+===．故选

：C．5.已知直线l：310mxym−−+=恒过点P，过点P作直线与圆C：22(1)(2)25xy−+−=相交于A，B两点，则AB的最小值为（）A.45B.2C.4D.25【答案】A【解析】【分析】写出直线的定点坐标并判断与圆的位

置关系，进而确定AB最小时直线与直线CP的位置关系，即可得结果.【详解】由(3)10mxy−−+=恒过(3,1)P，又22(31)(12)525−+−=，即P在圆C内，要使AB最小，只需圆心(1,2)C与P的连线与该直线垂直，所得弦长

最短，由||5CP=，圆的半径为5，所以225545AB=−=.故选：A6.在平行六面体1111ABCDABCD−中，1O为11AC与11BD的交点.若ABa=，ADb=，1AAc=，则下列向量中与1BO相等的向量是

（）A.1122abc++B.1122−++abcC.1122abc−−+D.1122abc−+【答案】B【解析】【分析】根据空间向量的运算求解即可.【详解】解：()111111111111222BOBBBOBBBDBBBDBBBAAD=+=+=+=++111221122AAABabADc

=−−++=+故选：B7.函数()fx的图象如图所示，其导函数为()fx，则不等式()()20xfx+的解集为（）A.()(),22,−−+B.()1,1−C.()()2,11,−−+D.()(),

21,1−−−【答案】C【解析】【分析】首先根据函数图象判断()fx的单调区间，进而得到(),1x−−或()1,x+时，()0fx¢>；()1,1x−时，()0fx，然后将()()20xfx+转化为()020fxx+或()020f

xx+，解不等式组即可.【详解】由函数()fx的图象可知()fx在(),1−−上单调递增，在()1,1−上单调递减，在()1,+上单调递增；所以(),1x−−或()1,x+时，()0fx¢>；()1,1x−时，()0f

x，又因为()()()02020fxxfxx++或()020fxx+，解得：2<<1x−−或1x，故选：C.8.()fx是定义在R上的可导函数，且()()fxfx对任意正实数a恒成立，下列式子成立的是

（）A.()()0eaffaB.()()0eaffaC.()()e0afafD.()()e0afaf【答案】D【解析】【分析】令()()exfxFx=，求出()Fx，即可得到函数的单调性，即可得解

；【详解】解：令()()exfxFx=，则()()()()()()2eeeexxxxfxfxfxfxFx−−==．因为()()fxfx，所以()()0fxfx−，所以()0Fx，所以()Fx在R上单调递增，又因为0a，所以()()0FaF，即()()0ee0af

af，即()()e0afaf，故D正确，故选：D．二、多选题（每小题5分，共20分.全部选对5分，部分选对2分，有选错的0分）9.已知数列na满足12nnaa+=，则下列说法正确的有（）A.若12a=，则2nna=B.数列na为等比数列C.若11a

=，则数列na的前n项和为21n−D.若11a=−，则数列na单调递减【答案】ACD【解析】【分析】由题知10a时，数列na为等比数列，再根据等比数列的知识依次讨论各选项即可.【详解】解：对于A选项，当12a=时，由12nnaa+=得12nnaa+=，所以数

列na为等比数列，2nna=，故A选项正确；对于B选项，当10a=时，0na=，此时数列na不等比数列，故B选项错误；对于C选项，当11a=时，由12nnaa+=得12nnaa+=，所以数列na

为等比数列，所以，数列na的前n项和为()()112121211221nnn−−==−−−，故C选项正确；对于D选项，当11a=−时，由12nnaa+=得12nnaa+=，所以数列na等比数列，所以12nna−=−，1112220nnnnnaa−−+−=−+=−

，所以数列na单调递减，故D选项正确．故选：ACD10.已知函数()fx满足()()321fxxxf=−，则（）A.()11f=B.()fx在()1,+上单调递增C.()fx的极大值为0D.()f

x在()0,1上单调递减【答案】ABC是为【解析】【分析】求导后令1x=即可求出()11f=，再令()0fx即可求出()fx的单调区间与极值，则可得判断出答案.【详解】由()()321fxxxf=−得()()2321fxxxf=−，则()()1321f

f=−，故()11f=，故A正确；则()232fxxx=−，由()0fx¢=得0x=或23x=，且当0x或23x时，()0fx¢>，当203x时，()0fx¢<，则()fx在(),0−，2,3+上单调递增，在20,3上单调递减，又()0

0=f，所以()fx的极大值为0，故B、C正确，D错误．故选：ABC.11.已知数列na满足1112222nnnaaan−++++=，则（）A.14a=B.na的前10项和为150C.(1)nna−的前11项和为14−D.10n

a−的前16项和为168【答案】ACD【解析】【分析】根据递推公式得22nan,=+进而根据等差数列的求和公式即可判断AB,根据并项求和可判断C,根据正负去绝对值以及等差数列求和可判断D.详解】由1112222nnnaaan−++++=得：当2n时，()21212212nn

naaan−−+++=−，两式相减得()()11122221nnnnnnnna−+=−−=+，故()222nan,n=+?，当1n=时，14a=也符合，故22nan,=+对于A,14a=,故A正确，【对于B，na的前10项和为()422101302+=，故B错误，对于C，(

1)nna−的前11项和为()12341145214aaaaa-+-+--=-+?=-，故C正确,对于D,当02810−=−nan，解得4n所以*10,1310,N10,4nnnananan−−=−所以10na−的前16项和为()()()()()(

)1234516101010101010aaaaaa-+-+-+-+-+-()()()0241364202424=12+=1682+?=+++++++,故D正确，故选：ACD12.在正方体1111ABCDABCD−中，E是棱1

CC上一点，且二面角CABE−−的正切值为22，则（）A.异面直线AE与BC所成角的余弦值为155B.在棱AB上不存在一点F，使得1//CF平面BDEC.1B到平面ABE的距离是C到平面ABE的距离的2倍D

.直线BE与平面11BDDB所成角的大小等于二面角CABE−−的大小【答案】CD【解析】【分析】建立空间直角坐标系，根据二面角CABE−−的正切值求出点E的位置，利用空间向量与线面之间的关系可列式得出A、B、D选项；利用等体积法即可求出1B到平面ABE的距离和C到平面A

BE的距离，即可判断出选项C.【详解】如图建立直角坐标系，设正方体边长为2因为二面角CABE−−的正切值为22，所以二面角CABE−−的余弦值为63设平面ABC的法向量为()10,0,1n=，设平面ABE的法向量为()2,,nxyz=uur()2,0,0A，()2,2,0B，()0,2

,E，()0,2,0AB=，()2,0,BE=−222020ABnyBEnxz===−+=，设1x=，解得221,0,n=()121212226cos,341nnnnnn===+，解得2=10AE=，2AD=，6DE=，222410610co

s252210ADAEDEDAEADAE+−+−===，A错误；()2,2,0B，()0,2,2E，()0,0,0D，()2,2,0DB=，()0,2,2DE=设平面BDE法向量为()3,,nxyz=33220

220DBnxyDEnyz=+==+=，设1x=，解得()31,1,2n=−()10,2,2C，()2,,0Fy，()12,2,2CFy=−−若1//CF平面BDE，则3122220nCFy=−+−=，解得4222y=−故在棱AB上存在一点F，使得1//CF

平面BDE，B错误；设1B到平面ABE的距离为1h，C到平面ABE的距离为2h，其中6ABES=1111162233BABEEABBVVh−−===，解得1263h=21162233CABEE

ABCVVh−−===，解得2233h=，122hh=，C正确；()2,0,2BE=−，平面11BDDB的法向量为()2,2,0AC=−()43cos,368BEACBEACBEAC===，直线BE与平

面11BDDB所成角的余弦值为63，D正确.故选：CD三、填空题（每题5分，共20分）13.已知函数()sinπfxx=，则()1f=__________.【答案】π−【解析】【分析】根据导数的运算法则，求得()πcosπfxx=，进而求得()1f的值.【详解】由题意，

函数()sinπfxx=，可得()πcosπfxx=，则()1πcosππf==−.故答案为：π−.14.设数列na的前n项和为nS，点()*,nSnnNn均在函数32yx=−的图象上，则数列na的通项公式na=________．【答案】()*65nannN=−

【解析】【分析】代入法求得nS，由nS表达式数列{}na为等差数列，求得首项和公差后可得通项公式．【详解】依题意得32nSnn=−，即232nSnn=−，所以数列na为等差数列，且111aS==，2217aSS=−=，设其公差为d，则6d=，所以()*65nannN=−．故答案为：

()*65nannN=−.15.2022年北京冬奥会开幕式始于24节气倒计时，它将中国人的物候文明、传承久远的诗歌、现代生活的画面和谐统一起来.我国古人将一年分为24个节气，如图所示，相邻两个节气的日晷长变化量相同，冬至日晷长最长，夏至日晷长最短，周而

复始.已知冬至日晷长为13.5尺，芒种日晷长为2.5尺，则一年中夏至到大雪的日晷长的和为______尺.【答案】84【解析】【分析】根据给定条件可得以冬至日晷长为首项，芒种日晷长为第12项的等差数列，求出公差即可列

式计算作答.【详解】依题意，冬至日晷长为13.5尺，记为113.5a=，芒种日晷长为2.5尺，记为122.5a=，因相邻两个节气的日晷长变化量相同，则从冬至日晷长到芒种日晷长的各数据依次排成一列得等差数列{},N,12nann，数列{}

na的公差1212.513.51121121aad−−===−−−，因夏至与芒种相邻，且夏至日晷长最短，则夏至的日晷长为11.5ad+=，又大雪与冬至相邻，且冬至日晷长最长，则大雪的日晷长为1212.5ad+=，显然夏至到大雪的日晷长依次排成一列是递增等差数列，

首项为1.5尺，末项为12.5尺，共12项，所以一年中夏至到大雪的日晷长的和为1.512.512842+=(尺).故答案为：8416.设函数()()2lg1,0e2,0xxxfxxx+−=+,

若方程()fxm=至少有3个不同的实数根，则实数m的取值范围为______．【答案】21,2ee−【解析】【分析】当0x时求出函数的导函数，即可得到函数的单调性，即可求出函数在0x上的最小值，再画出函数图象，依题意()yfx=与ym=的图象至少有3个交点，结合函

数图形即可求出参数的取值范围；【详解】解：当0x时，由()()2e2xfxx+=+得()()2e3xfxx+=+，当3x−时，()0fx，当30x−时，()0fx¢>，故()fx在(),3

−−上单调递减，在(3,0−上单调递增，又()13ef−=−，所以当0x时，()fx的最小值为1e−，且<2x−时，()0fx，当0x时()lg1fxx=−，易知()fx在()0,1上单调递减，在()

1,+上单调递增，又()11f=−，所以当0x时，()fx的最小值为1−，画出函数()yfx=与ym=的图象如图所示，由图可知，要使方程()fxm=至少有3个不同的实数根，即()yfx=与ym=的图象至少有3个交点，只需21,2eem

−．故答案为：21,2ee−四、解答题（17题10分，其他各题12分，共70分）17.记nS为等差数列na的前n项和.已知14a=，公差0d，4a是2a与8a的等比中项.（1）求数列na的通项公式；（2）求数列1nS

前n项和为nT.【答案】(1)()*4nannN=；(2)2(1)nnTn=+【解析】【分析】（1）由等比数列的性质结合已知条件列出等式即可求得d，代入等差数列的通项公式即可得解；（2）求出等差数列na的前n项和，再由裂项相消法求数列1nS前n项和为nT.【详解】（1）因为4a

是2a与8a的等比中项，所以2428aaa=，即()()()221113740adadaddd+=++−=，解得4d=或0d=，又0d，所以4d=，数列na的通项公式为()*1(1)4naandnnN=+−=；（

2）()1n2nnaaS2n2n2+==+，2n111112n2n2nn1S==−++则n12n111TSSS=+++111111111122231212(1)nnnnn=−+−++−=−=+++.【点睛】本

题考查等差数列通项公式及前n项和公式，裂项相消法求和，属于基础题.18.已知函数()33fxxxa=−+，()singxxx=−.（1）求()yfx=的单调区间；（2）若对10x，20x，()()12fxgx恒成立，求实数a的取值范围.【答

案】（1）递增区间为(,1)−−，(1,)+，递减区间为()1,1−；（2）)2,+.【解析】【分析】(1)求出()fx，令()0fx，()0fx解出不等式，即可得到函数的单调区间.（2）依题意有(

)()()minmaxfxgx,利用导数分别求出函数()(),fxgx的单调区间，得出对应的最值，从而得出答案.【详解】（1）2()333(1)(1)fxxxx=−=+−令()0fx，解得1x或

1x−，()0fx，解得11x−x(),1−−1−()1,1−1()1,+()fx+0−0+()fx增极大值减极小值增由上表知()fx的递增区间为(,1)−−，(1,)+，递减区间为()1,1−.（2）依题意有()()()minmaxfxgx，由（1）知当0x时min((

))(1)2.fxfa==−而()cos10gxx=−，()gx在)0,+上为减函数，所以当0x时max(())(0)0.gxg==20,2.aa−故a取值范围为)2,+.19.如图，四棱锥PABCD−的底面为菱形且60BAD=，

PA⊥底面ABCD，AB=2，23PA=，E为PC的中点．（1）求直线DE与平面PAC所成角的大小；（2）求二面角EADC−−平面角的正切值．【答案】（1）30（2）2【解析】【分析】（1）建系，利用空间向量求线面夹角；的（2）利用空

间向量求二面角.【小问1详解】连结对角线AC、BD相交于点O，连结DE、OE，∵,OE分别为,ACPC的中点，则EOPA，132EOPA==，且PA⊥平面ABCD，则EO⊥平面ABCD，∵底面是菱形ABCD，60BAD=，AB=2，23PA=，则BD=2，23AC=，以O为原点，OA、OB、O

E所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则有(0,0,0)O，()3,0,0A，()3,0,0C−，(0,1,0)D−，()0,0,3E，可得()0,1,3DE=，()3,1,0AD=−−．∵平面PAC的法向量为()0,1,0OD=−uuur，11cos,122ODDEOD

DEODDE−===，设直线DE与平面PAC所成的角0,90，则1sin2=，故直线DE与平面PAC所成的角为30.【小问2详解】设二面角EADC−−的平面角为()0,90，平面ADC的法向量为()0,0,3OE=，设平面EA

D的法向量为(,,)nxyz=，则3030ADnxyDEnyz=−−==+=，令1x=，则3,1yz=−=，得到()1,3,1n=−，∴35cos,535OEnnOEnOE===uuurruuurruuurr，即5cos5=，则225sin1cos5=−=，∴tan2

=，故二面角EADC−−的平面角的正切值是2．20.已知数列na为等比数列，其前n项和为nS，且满足()2nnSmmR=+.（1）求m的值及数列na的通项公式；（2）设2log5nnba=−，求数

列nb的前n项和nT.【答案】（1）1m=−，12nna−=（2）2211,1621160,62nnnnTnnn−=−+【解析】【分析】（1）当2n时，112nnSm−−=+，两式相减得()122nnan−=，由1121am=+=，可

求出m的值；（2）由（1）知6nbn=−，由绝对值定义结合等差数列的前n项和公式即可求出数列nb的前n项和nT.【小问1详解】因为2nnSm=+，所以2n时，112nnSm−−=+，所以()122nnan−=.又由数列na为等比数列，所以12nna−=.又因为1111122

1aSm−==+==，所以1m=−，综上11,2nnma−=−=.【小问2详解】由（1）知6nbn=−，当16n时，2561122nnnnTn−+−−=−=，的当6n时，()61662nnTTn+−=+−()()56152nn−−=+211602nn−+=所以2211,16211

60,62nnnnTnnn−=−+.21.已知抛物线E：x2＝2py(p>0)的焦点为F，A(2，y0)是E上一点，且|AF|＝2.（1）求E的方程；（2）设点B是E上异于点A的一点，直线AB

与直线y＝x－3交于点P，过点P作x轴的垂线交E于点M，证明：直线BM过定点.【答案】（1）x2＝4y；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）利用抛物线的定义与性质求得p的值，即可写出抛物线方程；（2）设点()11,Bxy、()22,Mxy，由直线BM的方程和

抛物线方程联立，消去y，利用韦达定理和A、P、B三点共线，化简整理可得BM的方程，从而求出直线BM所过的定点．【详解】（1）由题意得002224pAFypy=+==，解得021py==，所以，

抛物线E的标准方程为24xy=.（2）证明：设点()11,Bxy、()22,Mxy，设直线BM的方程为ykxb=+，联立24ykxbxy=+=，消去y得2440xkxb−−=，由韦达定理得124xxk+=，124xxb=−，

由MPx⊥轴以及点P在直线3yx=−上，得()22,3Pxx−，则由A、P、B三点共线，得21214122xkxbxx−+−=−−，整理得()()()12121241260kxxkxbxb−−−++−−=，将韦达定理代入上式并整理得()()122

30xkb−+−=，由点B的任意性，得230kb+−=，得32bk=−，所以，直线BM的方程为()2323ykxkkx=−+=−+，即直线BM过定点()2,3.【点睛】本题考查了抛物线的性质，直线和抛物线的位置关系，以及直线过定点的应用问题，利用韦达定理处理由A、P、B三点共线是

解第二问的关键，是中档题．22.已知函数()()()21ln1R2fxxaxaxa=+−+．（1）当2a=时，求函数()yfx=的极值；（2）求当0a时，函数()yfx=在区间[1,e]上的最小值()Qa；（3）若关于x的方程21()2fxax=有两个不同实根12,xx，求实数a

的取值范围并证明：212exx．【答案】（1）极大值为5ln24−−，极小值为2−（2）2111e(1)e,02e11()ln1,12e11,12aaaQaaaaaa+−+=−−−−−（3）111ea−

−，证明见解析【解析】【分析】（1）求导，根据函数的单调性和极值的概念即可得到结果；（2）由函数()fx的定义域是(0,)+，分为10,01aa，11ea和1ea四种情况，进行分类讨论即可求出结果；（3）根据题意和函数的单调性，结合函数的图象可知，当111ea−−

时，()212fxax=有两个不同实根12,xx，满足()11ln1xax=+，()22ln1xax=+，两式化简得到12122211lnlnxxxxxxxx+=−，不妨设12xx，利用分析证明法和换元法即可证明结果．【小问1详解】当2a=时，函数2()ln3(0)fxx

xxx=+−．1(21)(1)()23xxfxxxx−−=+−=，令()0fx=，得1x=或12x=当1(0,)2x时，()0fx，()fx在1(0,)2上单调递增，当1(,1)2x时，()0fx，()fx在1(,1)2上单调递减，当(

1,)x+时，()0fx，()fx在(1,)+上单调递增，则()fx在12x=处取得极大值，在1x=处取得极小值．极大值为15()ln224f=−−，极小值为(1)2f=−．【小问2详解】函

数()fx的定义域是[1,e]，1()(1)1()(1)(0)axxafxaxaaxx−−=+−+=．当0a时，令()0fx=有两个解，1x=或1xa=．当10ea，即1ea时，()0fx，()fx在[1,e]上单调递减，()f

x在[1,e]上的最小值是(e)f211e(1)e2aa=+−+，当11ea，即11ea时，当1(1,)xa时，()0fx，()fx在1(1,)a上单调递减，当1(,e)xa时，()0fx，()fx在1(,e)a上单调递增，()fx在[

1,e]上的最小值是11()ln12faaa=−−−，当1a，即101a时，[1,e]x，()0fx，()fx在[1,e]上单调递增，()fx在[1,e]上的最小值是(1)f112a=−−．综上，2111e(1)e,

02e11()ln1,12e11,12aaaQaaaaaa+−+=−−−−−．【小问3详解】关于x的方程21()2fxax=有两个不同实根12,xx，即ln(1)0xax−+=有两个不同实根12,xx，得l

n1xax+=，令ln()(0)xgxxx=，21ln()xgxx−=，令()0gx=，得ex=，当(0,e)x时，()0gx，()gx在(0,e)上单调递增，当(e,)x+时，()0gx，()gx在(e,)+上单调递减，

ex=时，()gx取得最大值1e，且(1)g0=，当1x时()0gx，得()gx的大致图象如下：11(0,)ea+．即当111ea−−时，21()2fxax=有两个不同实根12,xx．两根满足11ln

(1)xax=+，22ln(1)xax=+，两式相加得：1212ln()(1)()xxaxx=++，两式相减得：2211ln(1)()xaxxx=+−，上述两式相除得12122211ln()lnxxxxxxxx

+=−．不妨设12xx，要证：212exx，只需证：12212211ln()ln2xxxxxxxx+=−，即证22211212112(1)2()ln1xxxxxxxxxx−−=++，设211xtx=，令2(1)4()lnln2

11tFttttt−=−=+−++，则22214(1)()0(1)(1)tFttttt−=−=++，函数()Ft在(1,)+上单调递增，且(1)F0=．()0Ft，即2(1)ln1ttt−+，212exx．