【文档说明】重庆市荣昌中学校2024-2025学年高二上学期10月月考数学试题 Word版含解析.docx，共(23)页，1.685 MB，由小赞的店铺上传

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荣昌中学高2026届高二上期第一次教学检测一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1.已知()()1,2,,,1,2aybx=−=，且2b∥()ab−，则（）A.1,13xy

==B.1,42xy==−C.12,4xy==D.1,1xy==−【答案】B【解析】【分析】由题意可得()()22,2,4,1,1,2bxabxy=−=−−−，又因为2b∥()ab−，则有()2bab=−，列出方程组求解即可.【详解】解：()()1,2,,,1,2aybx=−=

，且2b∥()ab−，则()()22,2,4,1,1,2bxabxy=−=−−−，因为2b∥()ab−，()2bab=−，即2(1)24(2)xxy=−==−−，解得2124xy===−.故选：B.2.已知经过()()2,,4,3AcB两点的直线的方

向向量为11,2，则c=（）A.1−B.2−C.2D.12【答案】C【解析】【分析】根据过,AB的直线的斜率与方向向量的斜率相等建立等式求解即可【详解】依题意可知132421c−=−，解得

2c=，故选：C．3.如图，四棱锥PABCD−中，底面ABCD为矩形且PA⊥平面ABCD，连接AC与BD，下面各组向量中，数量积不一定为零的是（）A.PD与ABB.PB与DAC.PC与BDD.PA与CD【答案

】C【解析】【分析】根据线面垂直的判定定理及向量垂直的充要条件即可求解.【详解】对于A,因为PA⊥平面ABCD，AB平面ABCD,所以PAAB⊥,因为底面ABCD为矩形，所以ABAD⊥,PAADA=,,

ADAP平面PAD,所以AB⊥平面PAD，PD平面PAD,所以ABPD⊥,即ABPD⊥，所以0ABPD=，故A不正确；对于B,因为PA⊥平面ABCD，AD平面ABCD,所以PAAD⊥,因为底面ABCD为矩形，所以ABAD⊥,PAABA=,,ABAP平面PAB,所以AD⊥平面

PAB，PB平面PAB,所以PBAD⊥,即PBAD⊥，所以0DAPB=，故B不正确；对于C，因为底面ABCD为矩形，所以AC与BD不垂直，所以PC与BD不一定垂直，所以PC与BD不一定垂直，所以PC与BD的数量

积不一定为0，故C正确．对于D,因为PA⊥平面ABCD，CD平面ABCD,所以PACD⊥,因为底面ABCD为矩形，所以CDAD⊥,PAADA=,,ADAP平面PAD,所以CD⊥平面PAD，PA平面PAD,所以PACD⊥,即PACD⊥，所以0PACD

=，故D不正确.故选：C.4.已知圆柱12OO的轴截面是边长为2的正方形，AB为圆1O的直径，P为圆2O上的点，则()PAPBAB+的最大值为（）A.4B.42C.5D.55【答案】A【解析】【分析】根据已知条件作出图形，利用向量的线性运算及数量积公式，结合锐

角三角函数即可求解.【详解】如图所示由题意可知2AB=，15PO=，因为1O为AB的中点，所以()112POPAPB=+,所以()111122||cos,45cos,PAPBABPOABPOABPOABPOAB+===，当

12APOO∥时，1,POAB取最小值，此时1cos,POAB取最大值55，所以()PAPBAB+的最大值为4.故选:A.5.已知𝛥𝐴𝐵𝐶的顶点()2,1B，()6,3C−，其垂心为()3,2H−，则其顶点A的坐标为A.()19,62−−B.()19,62−C.()19,62−D.(

)19,62【答案】A【解析】【分析】由垂心的定义可知AHBC⊥，BHAC⊥；根据垂直时斜率乘积为1−可知4AHk=，5ACk=，利用两点连线斜率公式可构造出方程组求得结果.【详解】H为𝛥𝐴𝐵𝐶的垂心AHBC

⊥，BHAC⊥又311624BCk−==−−−，211325BHk−==−−−直线,AHAC斜率存在且4AHk=，5ACk=设(),Axy，则243356AHACykxykx−==+−==+，解得：1962xy=−=−()19,62A−−本题正确选

项：A【点睛】本题考查根据直线与直线垂直的位置关系求解参数的问题；关键是能够利用垂心的性质得到直线与直线的垂直关系.6.如图，棱长为1的正方体1111ABCDABCD−中，P为线段1AB上的动点（不含端点），则下列结论正确的是（）A.直线1DP与AC所成的角可能是6B.平面11

DAP⊥平面1AAPC.三棱锥1DCDP−的体积不是定值D.平面1APD截正方体所得的截面可能是直角三角形【答案】B【解析】【分析】判断结论是否正确,需要每个选项都验证;对于A选项,在该空间几何体中建立空间直角坐标

系,用向量法求出异面直线所成的角即可;B选项用面面垂直的判定证明平面11DAP⊥平面1AAP;C选项用换底法11DCDPPCDDVV−−=;得出体积为定值;D选项则直接观测即可判断.【详解】对于A，以D为原点，DA为x轴

，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，D1(0,0,1),A(1,0,0),C(0,1,0),设(1,,)Pab,(01,01)ab1(1,,1),(1,1,0)DPabAC=−=−,112211cos,||1(1)2DPACaD

PACDPACab−==++−,2201,01,11,1(220,1)aabab++−−−12<cos,02DPAC−，直线D1P与AC所成的角为42，，故

A错误;对于B，正方体ABCD-ABCD中，11111,ADAAADAB⊥⊥，111,AAABAAD=⊥平面1AAP，11AD⊥平面11DAP，∴平面11DAP⊥平面1AAP,故B正确;对于C，1111122CDDS==,P到平面1CDD的距离BC=1，∴

三棱锥1DCDP−的体积:111111326DCDPPCDDVV−−===为定值，故C错误;对于D，P为线段1AB上的动点（不含端点），连接AP并延长，若AP的延长线交于1BB，如图，此时截面为四边形，若AP的延长线交于1AA，设交点为S，此时截面为1ASD，设1,01A

Smm=，则211DSASm==+，12DA=，故22211DSASDA+，故1ASD不为直角三角形，故D错误.故选：B.7.如图所示，在平面直角坐标系中，以𝑂(0,0)，()1,1A，()3,0B为顶点构造平行四边形，下列各点中不能作为平行四边形顶点坐标的是（）A.()3,1−

B.()4,1C.()2,1−D.()2,1−【答案】A【解析】【分析】根据平行四边形的对称性，利用中点坐标公式进行求解即可.【详解】设第四个顶点为(),Cxy，当OA是对角线时，则有()013222,101022xCy+

+=−++=，当OB是对角线时，则有()031222,100122xCy++=−++=，当OC是对角线时，则有()013224,101022xCy++=++=，故选：A8.如图，正方体1111ABCDABCD−的棱长为6，点M为

1CC的中点，点P为底面1111DCBA上的动点，满足BPAM⊥的点P的轨迹长度为（）A.22B.32C.63D.33【答案】B【解析】【分析】建立如图所示的空间直角坐标系，利用坐标法可得动点P的轨迹为线段即可得结果.

【详解】分别以DA，DC，1DD为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则()6,0,0A，()6,6,0B，()0,6,3M，设(),,6Pxy，0,6,0,6xy，则()6,6,3AM=−，()6,6,6BPxy=−−，由BPAM⊥得()()66

66360xy−−+−+=，即3yx=−，由于0,6,0,6xy，所以3,6x，0,3y，所以点P的轨迹为面1111DCBA上的直线：3yx=−，3,6x，即图中的线段EF，由图知：223332EF=+=，故选：B.二、多项选择题（本题共3小题

，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，有选错的得0分，若只有2个正确选项，每选对一个得3分；若只有3个正确选项，每选对一个得2分．）9.如图，在平行六面体1111ABCDABCD−中，以顶点A为端点的三

条棱长都是1，且它们彼此的夹角都是60°，M为11AC与11BD的交点，若1,,ABAbcaDAA===，则下列正确的是（）A.1122BMabc=−+B.1ACabc=++C.1AC的长为5D.16cos,3ABAC=【答案】B

D【解析】【分析】AB选项，利用空间向量基本定理进行推导即可；C选项，在B选项的基础上，平方后计算出216AC=，从而求出16AC=；D选项，利用向量夹角的余弦公式进行计算.【详解】根据题意，依次分析选项：对于A选项，()11111122

2BMBBBMAABABCbac=+=++=−+，A错误，对于B选项，11ACABADCCabc=++=++，B正确：对于C选项，1ACabc=++，则222221()2226ACabcabcabacbc=++=+++++=，则16AC=，C错误：对于()212ABACaabca

abac=++=++=，则1116cos,3ABACABACABAC==，D正确.故选：BD.10.下面四个结论正确的是（）A.空间向量(),0,0abab，若ab⊥，则0ab=B.若空间四个点,,,PABC，1344PCPAPB=+，则,,ABC三点共线C.已知向量(

)()1,1,3,,9axbx==−，，若310x，则,ab为钝角D.任意向量,,abc满足()()abcabc=【答案】AB【解析】【分析】由空间向量的数量积及其运算性质可判断ACD，由空

间向量的基本定理与共线定理可判断B.【详解】对于A：因为0,0abrrrr，ab⊥，则0ab=，故A正确；对于B：因为1344PCPAPB=+，则11334444PCPAPBPC−=−，即3ACCB=，又AC

与CB有公共点，所以,,ABC三点共线，故B正确；对于C：103abx=−，若,ab为钝角：则0ab，且a与b不共线，由0ab得310x，当//ab时，1139xx==−，即3x=−，由a与b不共线得3x−，于是得当310x且3x−时，,ab为钝角，故C错误；对于D：()ab

c是c的共线向量，而()abc是a的共线向量，当a，c不共线时，()()abcabc，故D错误，故选：AB11.如图，正方体1111ABCDABCD−的棱长为2，动点P，Q分别在线段1CD，AC上，则下列命题正确的是（）A.直线BC与平面11ABCD所成的角

等于4B.点C到平面11ABCD的距离为2C.异面直线1DC和1BC所成的角为4.D.线段PQ长度的最小值为233【答案】ABD【解析】【分析】根据直线和平面所成的夹角，点到平面的距离，异面直线所成的角以及异面直线距离的计算方法进行逐项判断.

【详解】解：由题意得：正方体1111ABCDABCD−的棱长为2对于选项A：连接1BC，设11BCBC、交于O点111,BCBCBCAB⊥⊥1BC⊥平面11ABCD1CBC即为直线BC与平面11ABCD所成的角，且14CBC=，故A正确；对于选项B：连接1BC，设11BCBC、交于O

点11,COBCBCAB⊥⊥CO⊥平面11ABCD点C到平面11ABCD的距离为11122222COBC===,故B正确；对于选项C：连接1DC、1AD，由正方体性质可知1AD∥1BC故异面直线1D

C和1BC所成的角即为1DC和1AD所成的角1ADC又11ADACCD==1ADC为等边三角形13ADC=故C错误；对于选项D：过P作PMCD⊥，过M作MQAC⊥，连接PQPQ为异面直线之间的距离

，这时PQ距离最小；设DPx=，RtDPM为等腰直角三角形，则22PMx=，222CMCDDMx=−=−RtCQM也为等腰直角三角形，则2221222222MQCMxx==−=−PMQ为直角三角形故

22222222133224222()224433PQPMMQxxxxx=+=+−=−+=−+当223x=时，2PQ取最小值43，故min233PQ=，故D正确；故选：ABD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知

直线1l经过点()()3,,2,3AaBa−，直线2l经过点()()2,3,1,2CDa−−，若12ll⊥，则a的值为________________.【答案】0或5【解析】【分析】分类讨论直线1l斜率不存在与存在两种情况，结合直线垂直的性质即可得解.【详解】因为直线2l经过点

()()2,3,1,2CDa−−，且21−，所以2l的斜率存在，而1l经过点()()3,,2,3AaBa−，则其斜率可能不存在，当1l的斜率不存在时，23a−=，即5a=，此时2l的斜率为0，则12ll⊥，满足题意；当1l的斜率存在时，23a−，即5a，此时直线12

,ll的斜率均存在，由12ll⊥得121kk=−，即32312312aaa−−−=−−−−−，解得0a=；综上，a的值为0或5.故答案：0或5.13.已知直线l的斜率3,1k−，则直线l的倾斜角的取值范围是_________【答案】π2π0,,π43

【解析】【分析】知道斜率，由倾斜角的取值范围，直接得出倾斜角的范围.为【详解】tan3,1k=−∵)0,π∴π2π0,,π43故答案为：π2π0,,π4314.在正三棱锥PABC−中，|12OPDDA

BCPDABCOPOA⊥=,，，若14OABCPABCVV−−=，则三棱锥PABC−体积的取值范围是_______.【答案】83643,2727【解析】【分析】设底面ABCV的边长为a，侧棱长为b，ODh=，根据题意计算可

得ab=，2224ah=，由383PABCVh−=，可求三棱锥PABC−体积的取值范围.【详解】设底面ABCV的边长为a，侧棱长为b，由正三棱锥PABC−，可知ABCV是等边三角形，又PDABC⊥，所以点D是ABCV的中

心，由14OABCPABCVV−−=，所以4PDOD=，设ODh=，则||||3OPOAh==，||4PDh=,由题意可得12sin603aaAD==，在RtAPD中，222(4)()3ahb=−，在RtAOD中，222(3)()3ahh=+，两式

相加可得22225hbh=+，解得2224bh=，由222(3)()3ahh=+可得2224ah=，所以ab=，又132h，所以1233h，所以2283224[,]33ah=，22213sin606324ABCSaah===，所以318364348

3[,]32727PABCABCVShh−==.故答案为：83643[,]2727.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.如图，在空间四边形OABC中，2BDDC=，点

E为AD的中点，设OAa=，OBb=，OCc=.（1）试用向量a，b，c表示向量OE；（2）若3OAOC==，2OB=，60AOCBOCAOB===，求OEAC的值.【答案】（1）111236abc++；（2）3

2−【解析】【分析】（1）根据向量的线性运算求出OE即可；（2）根据向量的运算性质代入计算即可.【小问1详解】2=BDDC，111()()333==−=−BDBCOCOBcb，故121(),333→=+=+−=+ODOBBDbcbbc∵点E为

AD的中点，故1111()2236OEOAODabc=+=++.【小问2详解】由题意得9,3,32acabcb===，故ACOCOAca=−=−，故111()()236=++−OEACabcca2

21111126333acacbcba=−+++−1119119933263233=−+++−32=−.16.如图，在四棱锥P－ABCD中，四边形ABCD为菱形，2PAPB==，2ADBDPD===．（1）证明：平面PAB⊥平面ABC

D；（2）求二面角P－AD－B的余弦值．【答案】（1）证明见解析（2）217【解析】【分析】（1）作图，取AB的中点E，连接PE，DE，分析图中的几何关系，即可证明；（2）根据第1问的结果，过点E作EFAD⊥，垂足为F，则∠PFE即为二面角P—AD

—B的平面角.【小问1详解】取AB的中点E，连接PE，DE，则PEAB⊥，由已知可得1,3PEDE==，∴222,PEDEPDPEDE+=⊥，AB平面ABCD，DE平面ABCD，∵ABDEE=∴PE⊥平面

ABCD，∵PE平面PAB，∴平面PAB⊥平面ABCD；【小问2详解】过点E作EFAD⊥，垂足为F，连接PF，则AD⊥平面PEF，∴ADPF⊥，∴∠PFE即为二面角P—AD—B的平面角，在RtAED△中，EF是AD边上的高，

运用等面积法得：32EF=，2237122PF=+=，∴321cos77EFPFEPF===，∴二面角P－AD－B的余弦值为217；综上，二面角P－AD－B的余弦值为217.17.四边形ABCD是平行四边形，π4CBA=，四边形ABEF是梯形，//BEAF，且ABAF⊥

，112ABBEAF===，2BC=，平面ABCD⊥平面ABEF．（1）求证：ACEF⊥；（2）求直线EC与平面EFD所成角的正弦值．【答案】（1）证明见解析（2）3333【解析】【分析】（1）利用余弦定理求出AC，即可得到ACAB⊥，由面面垂

直的性质得到AC⊥平面ABEF，即可得证；（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算可得；【小问1详解】证明：因为1AB=，2BC=，π4CBA=，由余弦定理22222cos1221212ACABBCABBCCBA=+−=+−=，所以1AC=，则222ACABBC

+=，所以π2BAC=，即ACAB⊥，又平面ABCD⊥平面ABEF，平面ABCD平面ABEFAB=，AC平面ABCD所以AC⊥平面ABEF，又EF平面ABEF，所以ACEF⊥；【小问2详解】解：如图建立空间

直角坐标系，则()1,1,0E、()0,2,0F、()0,0,1C、()1,0,1D−，所以()1,1,1EC=−−，()1,1,0EF=−，()2,1,1ED=−−，设平面EFD的法向量为(),,nxyz=，所以020nEFxynEDxyz=−+==−−+=，

令1x=，则()1,1,3n=，设直线EC与平面EFD所成角，则133sin33311ECnECn===，故直线EC与平面EFD所成角的正弦值为3333；18.如图，在四棱锥PABCD−中，//ADBC，90ADCP

AB==，12BCCDAD==，E为棱AD的中点，异面直线PA与CD所成的角为90.（1）在平面PAB内是否存在一点M，使得直线//CM平面PBE，如果存在，请确定点M位置，如果不存在，请说明理由；（2）若二面角PCDA−−的大小为45，求P到直线CE的距离.【答案】（1）存在

，在平面PAB可以找到一点()MMABCD=，使得直线//CM平面PBE（2）322【解析】【分析】（1）作出辅助线，证明出四边形BCDE为平行四边形，即//EBCD，故//CMBE，从而找到点M的位置；（2）先求出PDA是二面角PCDA−−的平面角，大小为45

，得到PAAD=，设2AD=，则112BCCDAD===，建立空间直角坐标系，求出EC方向上的单位向量，求出P到直线CE的距离.为的【小问1详解】延长AB交直线CD于点M，点E为AD的中点，12AEEDAD

==，12BCCDAD==，∴EDBC=，AD//BC，即//EDBC，四边形BCDE为平行四边形，即//EBCD.ABCDM=，∴MCD，故//CMBE，BE平面,PBECM平面PBE，//CM平面PBE，

,MABAB平面PAB，M平面PAB，故在平面PAB内可以找到一点()MMABCD=，使得直线//CM平面PBE；【小问2详解】如图所示，90ADCPAB==，即PAAB⊥，且异面直线PA与CD所成的角为90，即PACD⊥，又,,ABCDMABCD=平面A

BCD，AP⊥平面ABCD.AD平面,ABCDPAAD⊥，又,,,,ADCDPACDADPAAADPA⊥⊥=平面PAD，CD\^平面PAD，PD平面PAD，CDPD⊥，因此PDA是二面角PCDA−−的平面角，大小为45.PAAD=.不妨

设2AD=，则112BCCDAD===.以A为坐标原点，平行于CD的直线为x轴，AD所在直线为y轴，AP所在直线为z轴，建立空间直角坐标系Axyz−，()()()0,0,2,0,1,0,1,2,0PEC−，()()1,1,0,0,1,2ECEP=−=−，E

C方向上的单位向量坐标为11,,022u=−，则EP在EC上的投影的绝对值为|2|||2EPuEPuu==，所以P到直线CE的距离为22132()522EPEPu−=−=.19.如图，AB是圆O的直径，点C是

圆O上异于A，B的点，直线PC⊥平面ABC，E，F分别是PA，PC的中点．（1）记平面BEF与平面ABC的交线为l，试判断直线l与平面PAC的位置关系，并加以证明；（2）设（1）中的直线l与圆O的另一个

交点为D，且点Q满足12DQCP=．记直线PQ与平面ABC所成的角为θ，异面直线PQ与EF所成的角为，平面EFB和平面ACB的夹角为．求证：sinθsinsin=．【答案】（1）直线//l平面PAC，证明见解析（2）证明见解析【解析】【分析】（1）根据线面平行

的判定定理和性质定理证明.（2）法1：分别确定直线PQ与平面ABC所成角θ，异面直线PQ与EF所成的角，平面EFB和平面的ACB的夹角，结合三角函数的定义，表示出它们的正弦，验证可得结论.法2：建立空间直角坐标系，利用

空间向量表示线线角、线面角、二面角的正弦值，验证可得结果.【小问1详解】直线//l平面PAC，证明如下：连接EF，因为E，F分别是PA，PC中点，所以//EFAC，又EF平面ABC，且AC平面ABC，所以//EF平面ABC．而EF平面BEF，且平面BEFI平面=ABCl，所以/

/EFl．因为l平面PAC，EF平面PAC，所以直线//l平面PAC．【小问2详解】（综合法）如图1，连接BD，由（1）可知交线l即为直线BD，且//lAC．因为AB是⊙O的直径，所以ACBC⊥，于是lBC⊥．已知PC⊥平面ABC，而l平面ABC，所以PCl⊥．而PCBC

C=，所以l⊥平面PBC．连接BE，BF，因为BF平面PBC，所以lBF⊥．故CBF为平面EFB和平面ACB的夹角，即CBF=．由12DQCP=，作//DQCP，且12DQCF=．的连接PQ，

DF，因为F是CP的中点，2CPPF=，所以DQPF=，从而四边形DQPF是平行四边形，//PQFD．连接CD，因为PC⊥平面ABC，所以CD是FD在平面ABC内的射影，故CDF就是直线PQ与平面ABC所成的角，即θCDF=

．又BD⊥平面PBC，有BDBF⊥，知BDF=，又//EFl，所以PDB为PD与EF所成的角.于是在RtDCF，RtFBD，RtBCF中，分别可得sinθCFDF=，sinBFDF=，sinCFBF=.从而sinsinsinθCFBFCFBFDFDF===．即sinθ=sinsi

n.（向量法）如图2，由12DQCP=，作//DQCP，且12DQCF=．连接PQEFBEBFBD，，，，，由（1）可知交线l即为直线BD．以点C为原点，向量,,CACBCF所在直线分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标

系，设CAa=，CBb=，2CPc=，则有()0,0,0C，(),0,0Aa，()0,,0Bb，()0,0,2Pc，(),,Qabc，1,0,2Eac，()0,0,Fc.于是1,0,02FEa=

，(),,QPabc=−−，()0,,BFbc=−.∴222cosFEQPaFEQPabc==++从而222222sin1cosbcabc+=−=++，又取平面ABC的一个法向量为()0,0,1m=，可得2

22||sin||||mQPcmQPabc==++，设平面BEF的一个法向量为(),,nxyz=，所以由00nFEnBF==可得1020axbycz=−+=，令yc=，则()0,,ncb=．于是22cosmnbBmnbc==+，从而222si

n1coscbc=−=+．故2222222222sinsinsinθbcccabcbcabc+===+++++，即sinθsinsin=.【点睛】关键点点睛：本题的关键是弄清楚空间角的概念及做法.根据空间角的概念，构造、判断线线角，线面角，二面角的平面角，再表示出它们的正

弦值，验证结论即可.