【文档说明】四川省遂宁市遂宁中学2024-2025学年高三上期10月月考（一诊模拟）数学试卷 Word版含解析.docx，共(17)页，916.309 KB，由小赞的店铺上传

转载请保留链接：https://www.doc5u.com/view-9ed73caad3dc33602bdb8abb68a6a653.html

以下为本文档部分文字说明：

遂宁中学介福校区高2025届第五期一诊模拟数学试题一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.若集合2Axx=Z，23Bxx=−，则AB=（）A.03

xxB.24xx−C.0,1,2,3D.2,1,0,1,2,3,4−−【答案】C【解析】【分析】首先求出集合A，再根据交集的定义计算可得.【详解】由2x，则04x，所以2040,1,2,3,4

Axxxx===ZZ，又23Bxx=−，所以0,1,2,3AB=.故选：C2.以角的顶点为坐标原点，始边为x轴的非负半轴，建立平面直角坐标系，角终边过点()2,4P，则tan4−=（）A.3−B.13−C.13D.3

【答案】C【解析】【分析】根据终边上的点求出tan，再应用两角差正切公式求值即可.【详解】由题意知：tan2=，而tantan2114tan412131tantan4−−−===++.故选：C3.已知数列na满足()123232naaanann++++=+，则66

a=（）A2B.13366C.13766D.13966.【答案】B【解析】【分析】利用2n时，1nnnaSS−=−得到()212nnann+=，代入66n=，求出答案.【详解】由题意可得12323naaanan++++=()2+n①，所以2n

时，()123231aaan++++−()()111nann−=−+②，①-②得21nnan=+，所以()212nnann+=，所以6613366a=.故选：B.4.下列说法错误的是（）A.某校高一年级共有男女学生500人，现按

性别采用分层抽样的方法抽取容量为50人的样本，若样本中男生有30人，则该校高一年级女生人数是200B.数据1，3，4，5，7，9，11，16第75百分位数为10C.在一元线性回归方程中，若线性相关系数r越大，则两个变量的线性相关性越强D.根据分类变量X与Y成

对样本数据，计算得到23.937=，根据小概率0.05=值的独立性检验()0.053.841=x，可判断X与Y有关联，此推断犯错误的概率不大于0.05【答案】C【解析】【分析】利用分层抽样计算判断A；求出第75百分位数判断B；利用线性相关系数的意义判断C；

利用独立性检验的思想判断D.【详解】对于A，该校高一年级女生人数是503020050500−=，A正确；对于B，由875%6=，得第75百分位数为911102+=，B正确；对于C，线性回归方程中，线性相关系数r绝对值越大，两个变量的线性相关性越强，C错误

；对于D，由20.053.9373.841x==，可判断x与y有关联，此推断犯错误的概率不大于0.05，D正确.故选：C5.已知角,满足()11cos,coscos34=+=，则()cos2+=（）A.13B.14C.16D.18【答案】C的的【解析】【分析】关键利用

拆角求解，即()=+−，()2+=++，然后利用和差角公式求值即可.【详解】由()()()1coscoscoscossinsin3=+−=+++=，结合()1coscos4+=，可得()111sinsin3412+=−=，所以有()()()

()6c111coscossinsos2cin412os+−=+=++−=+=，故选：C.6.若函数1()lnfxxax=−+在区间(1,e)上存在零点，则实数a的取值范围为（）A.(0,1

)B.1[,1]eC.1(1,1)e−D.(11,e)1+【答案】C【解析】【分析】先利用导数判断函数在给定区间上的单调性，再根据题设条件，结合零点存在定理得到不等式组，求解即得.【详解】由211()fxxx=+在区间(1,e)上恒为正可得，函数1()l

nfxxax=−+在区间(1,e)上为增函数，依题意，函数在区间(1,e)上存在零点，则由零点存在定理可得，(1)10,fa=−且1(e)10efa=+−，解得111ea−.故选：C.7.已知函数()πcos(0)4fxx=−在区间0,2π

内恰有3条对称轴，则的取值范围是（）A.715,88B.59,88C.513,88D.91388,【答案】D【解析】【分析】根据条件得到πππ2π444x−−−，利用cosyx

=的图象与性质，再结合条件，即可求出结果.【详解】因为02πx，所以πππ2π444x−−−，又函数()πcos(0)4fxx=−在区间0,2π恰有3条对称轴，所以π2π2π3π4−，解得91388，故选：D.8.已知关

于x的方程3333333xxxxaaax++++++=在区间()0,2上有解，则实数a的最大值为（）A.69B.4627C.63D.62【答案】B【解析】【分析】令3()3xxfxa+=+，方

程转化为(())ffxx=，结合单调性得()fxx=，然后分离参数，利用导数求得最大值．【详解】令3()3xxfxa+=+，则()fx是R上的单调增函数，原方程整理得333()()333xxxxaaax++++++=，即(())ffxx=，若()fxx，则(())

()ffxfxx，若()fxx，则(())()ffxfxx都不成立，所以()fxx=，所以33xxax++=(0,2)上有解，整理得323xxa−+=，设32(),(0,2)3xxgxx−+=，

则22()3gxx=−+，603x时，()0gx，()gx递增，623x时，()0gx，()gx递减，在所以max646()()327gxg==，即a的最大值是4627.故选：B．【点睛】关键点点睛：本题考查用导数求最值，解题关键是引入函数3()3x

xfxa+=+，方程变形为(())ffxx=，利用函数的单调性方程化简为()fxx=，这样分离参数后利用导数求得最大值即可．二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的

得部分分，有选错的得0分.）9.下列说法正确的是（）A.若,abcR，则22acbcB.若22,abcccR，则abC.若ab，则22abD.函数2sinsinyxx=+的最小值为22【答案】BC【解析】【分析】对A举反例即可；对

B根据不等式性质即可判断；对C，利用指数函数单调性即可判断；对D举反例即可.【详解】对A，当0c=时，22acbc=，故A错误；对B，当22abcc，则20c，则ab，故B正确；对C，根据指数函数2xy=在R上单调递增，且ab，则22ab，故C正确；对D，当sin1

x=−时，2sin322sinyxx=+=−，故D错误.故选：BC.10.已知()sin()fxAx=+（0A，0，π02）的部分图象如图所示，则（）A.2A=B.()fx的最小正周期为πC.()fx在5π5π,126−内有3个极值点D.()fx在区间11π,2

π6上的最大值为3【答案】ABD【解析】【分析】根据函数的部分图象求得2A=，π3=，2=值，可得函数解析式，进而根据正弦函数的图象和性质即可逐一判断得解.【详解】对于AB，根据函数()sin()fxAx=+的部分图象知，2A=，ππ4()π312T=−=，2π2T

==，故AB正确，对于C，由五点法画图知，ππ22π,Z122kk+=+，解得ππ,Zkk=+23，由于π02，所以π3=，π()2sin(2)3fxx=+.令ππ2π,Z32xkk+=+，则π1π

,Z122xkk=+，2k=−时，11π12x=−，1k=−时，5π12x=−，当0k=时，π12x=，当1k=时，7π12x=，当2k=时，13π12x=，故()fx在5π5π,126−内有2个极值点，分别为π12x=

，7π12x=，故C错误，对于D，11π,2π6x，可得：π13π24π,33x+，故当π13π2,33x+=此时()fx取最大值13ππ2sin2sin333==，故D正确.故选：ABD.11.如果项数有限的

数列{𝑎𝑛}满足()11,2,iniaain−+==，则称其为“对称数列”，设{𝑏𝑛}是项数为()*21kk−N的“对称数列”，其中kb，1kb+，，21kb−是首项为50，公差为4−的等差数列，则（）A.若12k=，则110b=B.若1

4k=，则{𝑏𝑛}所有项的和为622C.当13k=时，{𝑏𝑛}所有项的和最大D.{𝑏𝑛}所有项的和不可能为0【答案】BCD【解析】【分析】确定{𝑏𝑛}的和221410450kSkk−=−+−，结合二次函数性质，代入数据计算得到BCD正确，计算123

6bb==，A错误，得到答案.【详解】记{𝑏𝑛}的各项之和为21kS−，kb，1kb+，，21kb−是首项为50，公差为4−的等差数列，可得()()212115042522kkkkkbbbkkk+−−+++=+−=−+，所以()2111

211212kkkkkkkkSbbbbbbbb−+−+−=+++++=+++−()22410450413626kkk=−+−=−−+，当13k=时，21kS−取到最大值，且最大值为626，故选项C正确；当14k=时，27S()241413626622=−−+=

，故选项B正确；2214104500kSkk−=−+−=，方程无正整数解，所以{𝑏𝑛}所有项的和不可能为0，故选项D正确；若12k=，则123504116bb==−=，故选项A错误.故选：BCD三、填空题（

本题共3小题，每小题5分，共15分.）12.已知函数()33,0log,0xxfxxx−=，则13ff=______．【答案】3【解析】【分析】先计算出113f=−，再计算出13ff

.【详解】103，故311log133f==−，又10−，故()111333fff=−==.故答案为：313.已知()()31log19fxxx=+，设函数()()()22gxfxf

x=+，则()()maxmingxgx−=______．【答案】5【解析】【分析】先求出函数()gx的定义域，再求出()()233log4log2gxxx=++，再通过换元，利用二次函数的图象和性质求解.【详解】解：由题意得21919xx

，∴13x，∴()gx的定义域为[1，3]，()()()()()2222233331log1loglog4log2gxfxfxxxxx=+=+++=++，设3logtx=，01t，则()()224222ygxttt==++=+−，在[0，1]上为增函数，∴当0t=

即1x=时，()min2gx=，当1t=即3x=时，()max7gx=，∴()()maxmin5gxgx−=．故答案为：5．【点睛】易错点睛：本题容易忽略求函数()gx的定义域导致出错.函数的问题，要注意定义域优先的原则.14.如下图，正方形1111DCBA的边长为14cm，2222

,,,ABCD依次将11111111,,,ABBCCDDA分为3:4的两部分，得到正方形2222ABCD，依照相同的规律，得到正方形33334444nnnnABCDABCDABCD、、、.一只蚂蚁从1A出发，沿着路径123nAAAA爬行，设其爬行的长度为x，K为正整数，且x与K恒满足

不等式xK，则K的最小值是______________.【答案】21【解析】【分析】由题结合图形，通过数学归纳得出数列1nnAA+以6为首项，57为公比的等比数列，求和分析即可.【详解】由题意可知，123146cm7AA==，22233306877AA=+=

.所以122375AAAA=，同理可得233475AAAA=，344575AAAA=，L，因此由数学归纳的思想可知，1157nnnnAAAA+−=.设数列1nnAA+，则该数列以6为首项，57为公比的等比数列，所以11567nnnAA−+=，因

此()11521212117nnaqxq−==−−，又因为当n→+时，21x→,所以若x与正整数K恒满足不等式xK，则K的最小值是21.故答案为：21.四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15.已知向量(cossin,3sin),(co

ssin,2cos)mxxxnxxx=+=−，函数()gxmn=.（1）求()gx的最小正周期;（2）若函数()()fxgxa=−在区间π0,2上恰有两个零点，求实数a的取值范围.【答案】（1）π（2）[1,2).【解析】【分析】

（1）首先利用数量积公式和二倍角公式，辅助角公式，化简函数，再求周期；（2）由题意转化为ya=与函数()gx在区间π0,2上的图象恰有两个交点，利用整体代入的方法，结合正弦函数的图象，即可求解.【小问1详解】22()cossin23sincosgxmnxxxx

==−+，cos23sin22sin26xxx=+=+()gx的最小正周期2ππ2T==；【小问2详解】由题知()gxa=在区间π0,2上恰有两个不同的实数根，即函数()gx在区间π0,2上的图象与直线ya=恰有两个交点，

令72,0,,,6266uxxu=+，作出72sin,66yuu=的图象与直线ya=，如图.由图知，当12a时，72sin,66yuu=

的图象与直线ya=有两个交点，实数a的取值范围为[1,2).16.为了研究家用轿车在高速公路上的车速情况，交通部门随机对50名家用轿车驾驶员进行调查，得到其在高速公路上行驶时的平均车速情况为：

在30名男性驾驶员中，平均车速超过100km/h的有20人，不超过100km/h的有10人．在20名女性驾驶员中，平均车速超过100km/h的有5人，不超过100km/h的有15人．（1）完成下面的列联表，并判断是否有99.5%的把握认为平均车速超过的

人与性别有关；平均车速超过100km/h人数平均车速不超过100km/h人数合计男性驾驶员人数女性驾驶员人数合计（2）以上述数据样本来估计总体，现从高速公路上行驶的大量家用轿车中随机抽取3辆，记这3辆车中驾驶员为女性且车速不超过100km/h的车辆数为，若每次抽取的结果

是相互独立的，求的数学期望.参考公式：()()()()()22nadbckabcdacbd−=++++，其中nabcd=+++．参考数据：()2PKk0.150.100.050.0250.0100.0050.001k2.0722.7063.8415.0246.6

357.87910.828【答案】（1）有，理由见解析；（2）0.9.【解析】【分析】（1）根据题干信息填写列联表，计算出卡方值，与7.879比较作出判断即可；（2）根据条件可知3310B

，，由公式得到期望值.【小问1详解】平均车速超过100km/h人数平均车速不超过100km/h人数合计男性驾驶员人数201030女性驾驶员人数51520合计252550∵()22502015105258.3337.879302025253−==K，∴所以有99.5%的

把握认为平均车速超过100km/h与性别有关.【小问2详解】根据样本估计总体的思想，从高速公路上行驶的大量家用轿车中随即抽取1辆，驾驶员为女性且车速不超过100km/h的车辆的概率为1535010=.所以的可能取值为0,1,2,3，且3310B

，，数学期望为()330.910Enp===.17.已知数列na的首项为11a=，且满足()11nnnana+=+，数列nb满足121ba=，且131nnnbbb+=+．（1）求na，nb的

通项公式；（2）设数列2nanb的前n项和为nT，求nT．【答案】（1）()*nann=N，131nbn=−（2）()18342nnTn+=+−【解析】【分析】(1)利用累乘法可求na的通项公式，再利用等差数列的定义求nb的通项公式；(2)利用错位相减法求和.

【小问1详解】证明：∵()11nnnana+=+，∴11nnanan++=，∴()121nnannan−=−，∴()132112211432212321nnnnnaaaannaannaaaann−−−−===−−，

当1n=时，上式成立，∴()*nann=N又因为131nnnbbb+=+，112b=，所以1113nnbb+−=，所以数列1nb是以2为首项，公差为3的等差数列，所以()123131nnnb=+−=−，所以131nbn=−．【小问2详解】由（1），()223

1nannnb=−，所以()()1231225282342312nnnTnn−=++++−+−，①()()23412225282342312nnnTnn+=++++−+−，②所以①−②得，()2341432222(31)2nnnTn+−=+++++−−()

()2112124331212nnn−+−=+−−−()18342nn+=−−−所以()18342nnTn+=+−．18.已知函数()sin(0)fxx=在区间[0,]3上单调递增，在

区间2[,]33上单调递减．如图，四边形OACB中，a，b，c为ABCV的内角A，B，C的对边，且满足4coscossinsin3sincosBCBCAA−−+=．（1）证明：2bca+=；（2）若bc=，设

AOB=，(0)，22OAOB==，求四边形OACB面积的最大值．【答案】（1）证明见解析（2）5324+.【解析】【分析】（1）由题意知243=，解得，代入已知条件化简可得:sinsin2sinCBA+=,

再由正弦定理将角化边即可得证；（2）由条件和（1）的结论可得ABCV为等边三角形，可得OACBOABABCSSS=+=213sin24OAOBAB+,化简为532sin34−+，由()0,求得最大值.【小问1详解】解：因为函数()sin(0)fxx

=在区间[0,]3上单调递增，在区间2[,]33上单调递减，所以函数的最小正周期243T==，解得32=，∵sinsin2coscossincosBCBCAA+−−=，∴sincossincos2sincossincossin

BACAABACA+=−−，sincoscossinsincoscossin2sinBABACACAA+++=，sin()sin()2sinABACA+++=，sinsin2sinCBA+=，2b

ca+=.【小问2详解】解：因为2bca+=，bc=，所以abc==，所以ABCV为等边三角形，所以213sin24OACBOABBCSSSOAOBAB=+=+()223sin2cos4OAOBOAOB=++−53sin3cos4=−+532sin

34=−+，∵()0,，∴2,333−−，当且仅当32−=，即56=时取最大值，OACBS的最大值为5324+.19.设函数()e,()lnxfxgxx==．（1）已知elnx

kxx对任意(0,)x+恒成立，求实数k的取值范围；（2）已知直线l与曲线(),()fxgx分别切于点()()()()1122,,,xfxxgx，其中1>0x．①求证：212eex−−；②已知()21e0xxx

x−++对任意)1,xx+恒成立，求的最大值．【答案】（1）1,ee（2）①证明见解析；②1【解析】【分析】（1）利用参变量分离法可得出lnexxkxx，其中0x，利用导数分别求出函数()lnxuxx=的最大值

、函数()exvxx=的最小值，即可得出实数k的取值范围；（2）①利用导数的几何意义可得出直线l两种不同的方程，可得出()112121ee1ln1xxxxx=−=−，整理可得出()111e110xxx---=，构造函数()()1e1xhxxx=---，其中0x，求出1x的

取值范围，再由12exx−=可证得结论成立；②由()21e0xxxx−++可得21exxxx−−，设()1exxFxx=−−，其中1xx，利用导数求出函数()Fx的最小值，即可得()2minxFx，结合12exx−=可得

出实数的取值范围.小问1详解】由已知可得lnexxkxx，其中0x，设()lnxuxx=，其中0x，则()21lnxuxx−=，【当0ex时，()0ux，即()ux在()0,e上单调递增，当ex时

，()0ux，即()ux在()e,+上单调递减，所以，()()max1eekuxu==；令()exvxx=，其中0x，则()()2e1xxvxx−=，当01x时，()0vx，即函数()vx在()0,1上单调递减，当1x时，()0vx，即函数()vx在()

1,+上单调递增，所以，()()min1ekvxv==，综上所述，实数k的取值范围是1,ee.【小问2详解】①因为()exfx=，()lngxx=，则()exfx=，()1gxx=，所以，直线l可表示为()111eexxyxx−=−，即

()111ee1xxyxx=+−，直线l的方程也可表示为()2221lnyxxxx−=−，即221ln1yxxx=+−，故有()112121ee1ln1xxxxx=−=−，所以，12exx−=，所以，()111e11xxx-=--，即()111e110xxx---=，设()()1e1

xhxxx=---，其中0x，则()e1xhxx=−，令()e1xpxx=−，其中0x，则()()1e0xpxx=+对任意的0x恒成立，所以，函数()e1xhxx=−在()0,+上单调递增，又因

为()010h=−，()1e10h=−，所以，存在()00,1x，使得()00hx=，当()00,xx时，()0hx，即函数()hx在()00,x上单调递减，当()0,xx+时，()0hx，即函数()hx在()0,x+上单调递增，因为()020h=−，

则()()000hxh，()120h=−，所以，函数()hx在()0,1上无零点，因为()22e30h=−，所以，存在()11,2x，使得()10hx=，所以，112x，则()1212ee,exx−−−=；②由①

可知，12exx−=，当11xx时，()111e11xxx−=+，由()21e0xxxx−++可得21exxxx−−，设()1exxFxx=−−，其中1xx，则()1e110eexxxxxFx−+−=−=对任意的

1xx恒成立，所以函数()Fx在)1,x+上单调递增，所以()()()111111111mine111eeexxxxxxxFxFxx−−==−−==，所以，122exxx−=，解得1，故实数的最大值为1.【点睛】结论点睛：利用参变量分离法求解函数不等式恒（能）成立，可根据以下原

则进行求解：（1）xD，()()minmfxmfx；（2）xD，()()maxmfxmfx；（3）xD，()()maxmfxmfx；（4）xD，()()minmfxmfx.