【文档说明】湖南省邵阳市邵东市223-2024学年高一下学期期末考试数学试题 Word版含解析.docx，共(20)页，1.656 MB，由小赞的店铺上传

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2024年上学期高一联考数学试卷考试时间：120分钟试卷满分：150分一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知复数z满足2i1iz=+−，则z=（）A.1B.2C.3D.5【答案】D【解析】【

分析】直接根据复数的除法运算以及复数模的定义即可得到答案.【详解】()()()21i2ii1ii12i1i1i1iz+=+=+=++=+−−+，所以22125z=+=．故选：D．2.某校高一学生550人，高二学生500人，高三学生450人，现有分层抽样，在高三抽取了18

人，则高二应抽取的人数为（）A.24B.22C.20D.18【答案】C【解析】【分析】根据分层抽样的知识求得正确答案.【详解】设高二应抽取的人数为x人，则18450500x=，解得=20x人.故选：C3.已知向量,ab满足10ab=，且()3,4b=−，则

a在b上的投影向量为（）A.()6,8−B.()6,8−C.68,55−D.68,55−【答案】C【解析】【分析】向量a在向量b上的投影向量的定义计算即可.【详解】解：因为向量()3,4b=−，且10ab=，那么()223

45b=−+=，所以向量a在向量b上的投影向量为()3468cos,555babaabbb−==−，，，故选：C.4.已知、、是三个不同的平面，l、m、n是三条不同的直线，则（）A.若//m，

//n，则//mnB.若m=，n=，//，则//mnC.若m，n⊥，ln⊥，则//lmD.若l=，且//ml，则//m【答案】B【解析】【分析】根据空间中线线、线面、面面的位置关

系一一判断即可.【详解】对于A：若//m，//n，则//mn或m与n相交或m与n异面，故A错误；对于B：根据面面平行的性质定理可知，若//，且m=，n=，则//mn，故B正确；对于C：若n⊥，m，则nm⊥，又ln⊥，则//lm或m与l相交或m与l异面，故C错误；对于D：若l

=，且//ml，则//m或m，故D错误.故选：B5.下表是足球世界杯连续八届的进球总数年份19941998200220062010201420182022进球总数141171161147145171169172则进球总数的第一四分位数是（）A.145B.146C.

147D.166【答案】B【解析】【分析】根据百分位数的定义将数据按照从小到大的顺序重新排列，取第二和第三个数的平均数即可求得第一四分位数.【详解】将八届进球总数按照从小到大的顺序重新排列为：141,

145,147,161,169,171,171,172，由825%2=可得，第一四分位数应该是第二个数和第三个数的平均数，即1451471462+=，所以进球总数的第一四分位数是146.故选：B6.一个质地均匀的正

四面体的四个面上分别标有数字1，2，3，4.连续抛掷这个正四面体两次，并记录每次正四面体朝下的面上的数字.记事件A为“两次记录的数字和为奇数”，事件B为“两次记录的数字和大于4”，事件C为“第一次记录的数

字为奇数”，事件D为“第二次记录的数字为偶数”，则（）A.A与D互斥B.C与D对立C.A与B相互独立D.A与C相互独立【答案】D【解析】【分析】列举出基本事件，对四个选项一一判断：对于A：由事件A与D有相同的基本事件，否定结论；对于B：由事件C与D有相同的基本事件，否定结论；对于C、D：利

用公式法进行判断.【详解】连续抛掷这个正四面体两次，基本事件有：()1,1,()1,2,()1,3,()1,4,()2,1,()2,2,()2,3,()2,4,()3,1,()3,2,()3,3,()3,4,()4,1,()4,2,

()4,3,()4,4.其中事件A包括：()1,2,()1,4,()2,1,()2,3,()3,2,()3,4,()4,1,()4,3.事件B包括：()1,4,()2,3,()2,4,()3,2,()3,3,()3,4,()4,1,()4

,2,()4,3,()4,4.事件C包括：()1,1,()1,2,()1,3,()1,4,()3,1,()3,2,()3,3,()3,4.事件D包括：()1,2,()1,4,()2,2,()2,4,()3,2,()3,4,()4,2,()4,4.对于A：因为事件

A与D有相同的基本事件，()1,2,()1,4,()2,3,()3,2,故A与D互斥不成立.故A错误；对于B：因为事件C与D有相同的基本事件，()1,2,()1,4,()3,2,()3,4,故C与D对立不成立.故B错误；对于C：因为()81162PA==,()105

168PB==,而()63168PAB==.因为()()()PABPAPB，所以A与B不是相互独立.故C错误；对于D：因为()81162PA==,()81162PC==,而()41164PAC==.因为两个事件的发生与否互不影响，且()()()PACPAPC=，所以A与C相互独立.

故D正确.故选：D7.点,,OGP为ABC所在平面内的点，且有222222OABCOBCAOCAB+=+=+，0GAGBGC++=，()()()0PAPBABPBPCBCPCPACA+=+=+=，则点,,OGP分别为ABC的

（）A.垂心，重心，外心B.垂心，重心，内心C.外心，重心，垂心D.外心，垂心，重心【答案】A【解析】【分析】由题中向量的关系，根据数量积转化为位置上的关系，进而可判断.【详解】由2222||||||||OABCOBCA+=+，得2222OA

OBCABC−=−，即()()()()OAOBOAOBCABCCABC+−=+−，则()()OAOBBABACACB+=+，得()0OAOBCACBBA+−−=所以20OCBA=，则OCAB⊥，同理可得OABC⊥，OBAC⊥，即O是

ABC三边上高的交点，则O为ABC的垂心；由0GAGBGC++=，得GAGBGC+=−，设AB的中点为M，则2GGAMGCGB==−+，即G，M，C三点共线，所以G在ABC的中线CM上，同理可得G在ABC的其余两边的中线上，即G是ABC三边中线的交

点，故G为ABC的重心；由()0PAPBAB+=，得20PMAB=，即PMAB⊥，又M是AB的中点，所以P在AB的垂直平分线上，同理可得，P在BC，AC的垂直平分线上，即P是ABC三边垂直平分线交点，故P是ABC的外

心，故选：A8.在三棱锥−PABC中，22ABAC==，120BAC=，26PBPC==，25PA=，则该三棱锥的外接球的表面积为（）A.40B.20C.80D.60的【答案】A【解析】【分析】在BAC中由余弦定理求得26

BC=，即知PBC为等边三角形，又由已知，若ABC的外接圆的圆心为1O有1ABOC为菱形，则PH⊥平面ABC，进而确定外接球球心O，由球心与相关点的位置关系求球的半径，最后求表面积即可.【详解】在BAC中，2222cos24BCABAC

ABACBAC=+−=，即26BC=，又26PBPC==，∴PBC为等边三角形根据题意，有如下示意图：如图，设ABC的外接圆的圆心为1O，连接1OC，1OA，1BCOAH=，连接PH.由题意可得AHBC⊥，且1

122AHOA==，162BHBC==.∴由上知：PHBC⊥且22(26)632PH=−=，又222PHAHPA+=，∴PHAH⊥，由AHBCH=，PH⊥平面ABC.设O为三棱锥−PABC外接球的球心，连接1OO，OP，OC过O作ODPH⊥，垂足为D，则外接球的半径R满足

()22222111()ROOCOPHOOOD=+=−+，122ACBO==，12ODOHAH===，代入解得12OO=，即有210R=，∴三棱锥−PABC外接球的表面积为2440R=.故选：A.【点睛】关键点点睛：利用三角形的性质确定三棱锥一面的

外接圆圆心，由三棱锥外接球球心与面的外接圆圆心的关系以及已知线段的长度求球体半径，即可求球体的体积.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，

有选错的得0分.9.某校举办数学文化节活动，10名教师组成评委小组，给参加数学演讲比赛的选手打分.已知各位评委对某名选手的打分如下：45484652474943514745则下列结论正确的为（）A.平均数为48B.极差为9C.中位数为47D.第75百分位数为51【

答案】BC【解析】【分析】运用平均数、极差、中位数及百分位数的公式计算即可.【详解】对于A项，平均数为4548465247494351474547.310+++++++++=，故A项错误；对于B项，极差为52439−=，故B项正确；对于C项，这组数从小到大排序为：43、45、45、46、

47、47、48、49、51、52，所以中位数为47.故C项正确；对于D项，因为1075%7.5=，所以第75百分位数为49.故选：BC10.ABC中，内角,,ABC的对边分别为,,abc，O为ABC的外心，4b=，5c=，ABC的面积S满足()2243bcaS+−=.若AOABA

C=+.则下列结论正确的是（）A.π3A=B.103S=C.92AOBC=−D.1320+=【答案】ACD【解析】分析】由余弦定理、面积公式、辅助角公式化简条件可判断A；利用面积公式计算可判断B；分别取ABAC、的中点DE、可得、⊥⊥ODABOEAC，求出ABAO、ACAO

，再计算AOBC可判断C；对AOABAC=+两边分别乘以,ABAC可判断D．.【【详解】对于A，由()2243bcaS+−=，得222223sinbcabcbcA+−+=，由余弦定理得2cos223sinbcAbcbcA+=，即cos13sinAA+=，得π1sin62A

−=，又0πA，故ππ5π666A−−，∴ππ66A−=，即π3A=，所以A正确；对于B，113sin4553222===SbcA，所以B错误；对于C，如图，分别取ABAC、的中点DE、，连接ODOE、，、⊥⊥ODABOEAC，所以()21

2522ABAOABADDOABADAB=+===，()2182ACAOACAEEOACAEAC=+===，()22119222AOBCAOACABACAB=−=−=−，所以C正确；对于D，1cos6045102ABACAB

AC===，由AOABAC=+，可知22AOABABACABAOACABACAC=+=+，得252510281016=+=+，解得：14=，2=5，故1320+=，所以D正确．故选：ACD.11.如图，在正方体11

11ABCDABCD−中，2AB=，点P为线段1AA上的一动点，则（）A.三棱锥11BPBC−的体积为定值43B.当1APPA=时，直线1PC与平面11BBCC所成角的正切值为52C.直线PB与直线AC所成角的余弦值可能为58D.()212BPDPPC++的最小值为64322+【答案】ACD【

解析】【分析】利用等体积法可知三棱锥11BPBC−的体积为定值43，即A正确；由1APPA=可得P为1AA的中点，利用线面角的定义可得直线1PC与平面11BBCC所成角的正切值为255，即B错误；将直线AC平移可知当275AP=时，满足直线PB与直线AC所成角

的余弦值为58，即C正确；利用平面展开图和正方体的棱长即可求得()212BPDPPC++的最小值为64322+，可得D正确.【详解】对于A，根据等体积法可知1111BPBCCBPBVV−−=，点P在线段1AA上

运动时，1PBB的面积为定值，112222PBBS==，此时11BC即为三棱锥11CBPB−的高，所以1111111422333PBBCBPBVSBC−===；即点P在线段1AA上运动时，三棱锥11BPBC−的体积为定值

43，即A正确；对于B，当1APPA=时即可知，P为线段1AA的中点，取1BB的中点为Q，连接1,PQQC，如下图所示：易知//PQAB，由正方体性质可得AB⊥平面11BBCC，所以可得PQ⊥平面11BBCC；即直线1PC与平面11BBCC所成角的平面角即为1PCQ

，易知190PQC=，且12,5PQCQ==，所以11225tan55PQPCQCQ===，所以B错误；对于C，在1CC上取一点M，使APCM=，取PM中点为N，连接BN，如下图所示：则可得//PMAC，异面直线PB与直线AC所成的角的平面角即为MPB，易

知PBBM=，所以可得PNBN⊥，因此2cosPNMPBBPBP==，若直线PB与直线AC所成角的余弦值为58，即5cos8MPB=，可得825BP=；又22212825BPABAP=+=，可得1275APAA=<符合题意；所以C正确；对于D，易知BPDP=，所以()

()()2221114222BPDPPCBPPCBPPC++++==，即当1BPPC+取最小时，()212BPDPPC++的值最小；将正方体展开使得111,,AABBCC在同一平面内，如下图所示：易知11BPPCBC+，当且仅当1,,BPC三点共线时，1BPPC+取最小值1BC，所以()()()

1122112222444BAPDPPCBPCPCBCCCBA==+++++()224222264322=++=+，即()212BPDPPC++的最小值为64322+，所以D正确.故选：ACD【点睛】方

法点睛：在立体几何中求解距离最值问题时，往往利用平面展开图转化成平面距离最值问题，从而求得空间当中距离最值的问题.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知向量(2,1),(1,)ab=−=，

若(2)//(2)abab+−，则实数=__________．【答案】12−【解析】【分析】由向量的加法、减法运算，数乘运算可得：2(4,21)ab+=−,2(3,2)ab−=−−,由向量共线的坐标运

算可得：4(2)(21)3−−=−，求解即可.【详解】解:因为向量(2,1),(1,)ab=−=，所以2(4,21)ab+=−,2(3,2)ab−=−−,又(2)//(2)abab+−，所以4(2)(21)3−−=−,解得12

=−,故答案为12−.【点睛】本题考查了向量的加法、减法运算，数乘运算及向量共线的坐标运算，重点考查了运算能力，属基础题.13.哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如835=+，在不超过11的素数中，随机

选取两个不同的数，其和为偶数的概率是________（用分数表示）．【答案】35##0.6【解析】【分析】先把不超过11的素数列举出来，再利用列举法与古典概型的概率求法求解即可.【详解】因为不超过11的素数有2,3,5,7,11五个数，从中选取两个不同的数的基本事件有()

()()()()()()()()()2,3,2,5,2,7,2,11,3,5,3,7,3,11,5,7,5,11,7,11共10件；其中和为偶数的基本事件有()()()()()()3,5,3,7,3,

11,5,7,5,11,7,11共6件；所以和为偶数的概率为63105=.故答案为：35.14.《九章算术·商功》中描述几何体“阳马”为底面为矩形，一棱垂直于底面的四棱锥.现有阳马PABCD−，如图，PA⊥平面ABCD，1==PAAB，3A

D=，点E，F分别在线段AB，BC上，则当空间四边形PEFD的周长最小时，直线PA与平面PFD所成角的正切值为____________.【答案】355【解析】【分析】将平面PAB沿AB展开，延长DC到D¢，使得1CD=，可确定当

空间四边形PEFD周长最小时，,,,PEFD四点共线，此时在四棱锥中，作AGDF⊥，AHPG⊥，由线面垂直和面面垂直的判定与性质可证得APG即为所求角，根据长度关系可求得结果.【详解】把平面PAB沿AB展开到

与平面ABCD共面的PAB的位置，如图1，延长DC到,D使得1,CD=连接,FD则DFDF=.因为PD的长度为定值，所以要使空间四边形PEFD的周长最小，只需使PEEFFDPEEFFD++=++最小,即,,,PEFD

四点共线，此时，在图2中，过点A作AGDF⊥的延长线于点G,连接PG,PA⊥平面,ABCDDF平面,ABCDPADF⊥,又,AGPA平面,,PAGAGPAAFD=⊥平面PAG,FD平面PFD,平面PAG⊥平面PFD,过A作AHPG⊥于点H,则AH⊥平面PFD,

故APG即直线PA与平面PFD所成的角.14,2,,2,52CFCDPDDDCFFDPDDD======,35,5CDADAGFD==则在RtPAG△中,35tan5AGAPGAP==故

答案为:355.【点睛】关键点点睛：本题考查立体几何中的直线与平面所成角的求解，解题关键是能够根据空间四边形周长最小确定,,,PEFD四点共线，由此可得四棱锥中各点的位置关系.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.已

知向量()sin,1ax=，1,sin3bx=−，()fxab=.（1）求函数()fx的单调递增区间和最小正周期；（2）若当0,4x时，关于x的不等式()21fxm−有解，求实数m的取值范围.【答案】（1

）单调增区间为52,266kk−++，Zk；2T=；（2）31m−.【解析】【分析】（1）利用向量的数量积的坐标运算,并利用两角和差的三角函数公式化简得到函数()fx的解析式，有三角函数的性质求得周期，单调增区间；（2）将不等式分离参数，根据不等式有解的意

义得到()min12mfx+；然后根据角的范围，利用三角函数的性质求得函数的最小值，进而求得m的的取值范围.【详解】（1）因为()13sinsinsincossin3223fxabxxxxx==+−=+=+所以函数()fx的最小正周期2

T=；因为函数sinyx=的单调增区间为2,222kk−++，kZ，所以22232kxk−+++，kZ，解得52266kxk−++，kZ，所以函数()fx的单调增区间为52,266kk

−++，kZ；（2）不等式()21fxm−有解，即()min12mfx+；因为0,4x，所以73312x+，又75sinsinsin12123=，故当33x

+=，即0x=时，()fx取得最小值，且最小值为()302f=，所以31m−.16.如图，在三棱柱111ABCABC-中，直线1CB⊥平面ABC，平面11AACC⊥平面11BBCC.（1）求证：1AC

BB⊥；（2）若12ACBCBC===，在棱11AB上是否存在一点P，使得四棱锥11PBCCB−的体积为43？若存在，指出点P的位置；若不存在，请说明理由.【答案】（1）证明见讲解；（2）当点P为11AB中点时，四棱锥11PBCCB−的体

积为43，理由见详解.【解析】【分析】（1）过点B作1BDCC⊥，垂足为D，由面面垂直性质定理及线面垂直判定定理，即可证明1ACBB⊥；（2）设点P到平面11BBCC的距离为h，由棱锥的体积公式求出h，与1A到平

面11BBCC的距离比较可得出点P为11AB中点时，符合题意.【小问1详解】过点B作1BDCC⊥，垂足为D，因为平面11AACC⊥平面11BBCC，平面11AACC平面111BBCCCC=，BD平面1

1BBCC，所以BD⊥平面11AACC，又因为AC平面11AACC，所以BDAC⊥，又因为1CB⊥平面ABC，AC平面ABC，所以1CBAC⊥，又11,,BDCBBBDCB=平面11BBCC，所以AC⊥平面11BBCC，又1

BB平面11BBCC，所以1ACBB⊥.【小问2详解】当点P为11AB中点时，四棱锥11PBCCB−的体积为43，理由如下：过点P作11//PQBC，交11AC于点Q，因为1CB⊥平面ABC，BC平面ABC，所以1CBBC⊥，又12BCBC==，所以122CC=，由（1）可知

，1BDCC⊥，所以1111122BCCSCCBDBCBC==，即11222222BD=，所以2BD=，设点P到平面11BBCC的距离为h，则111114222333PBCCBVCCBDhh−==

=，所以1h=，即P到平面11BBCC的距离为1，在三棱柱111ABCABC-中，11//ACAC，11=ACAC由（1）可知，AC⊥平面11BBCC，所以11AC⊥平面11BBCC，又2AC=，所以112AC=

，又11//PQBC，PQ平面11BBCC，11BC平面11BBCC，所以//PQ平面11BBCC，所以Q到平面11BBCC的距离为1，即11QC=，故Q为11AC中点，所以P为11AB中点时，四棱锥11PBCCB−体积为43.17.4月2

3日是联合国教科文组织确定的“世界读书日”.某高校为了了解全体师生阅读时间的分配情况，对全校师生进行抽样问卷调查日平均阅读时间（单位：小时），得到样本数据，并绘制如图所示的频率分布直方图.的（1）求频率分布直方图中a的值；（2）根据频率分布直方图估算全校

师生日平均阅读时间t；（每组数据用该组的区间中点值作代表）（3）将（2）所得到的日平均阅读时间t保留为整数，并根据频率分布直方图估算师生日平均阅读时间的方差2.【答案】（1）0.1a=（2）9.16（小时）（3）9；13.28.【解析】【分析】（1）由频率分布直方图概率

之和为1，求解即可；（2）由频率分布直方图平均数的计算公式求解即可；（3）由频率分布直方图的方差公式求解即可.【小问1详解】由概率和为1得：()20.020.030.050.050.150.050.040.011a++++++++=，解得0.1a=.【小

问2详解】由题意知，t为全校师生日平均阅读时间，则0.0410.0630.150.170.390.2110.1130.08150.02179.16t=++++++++=，所以全校师生日平均阅读时间为9

.16t=（小时）.【小问3详解】将t保留整数则9t，由题意知：2222220.04(19)0.06(39)0.1(59)0.1(79)0.3(99)=−+−+−+−+−22220.2(

119)0.1(139)0.08(159)0.02(179)13.28+−+−+−+−=所以估算师生日平均阅读时间的方差为13.28.18.如图所示，长方形ABCD中，1AD=，2AB=，点M是边CD的中点，将ADM△沿

AM翻折到PAM△，连接,PBPC，得到图的四棱锥PABCM−．（1）求四棱锥PABCM−的体积的最大值；（2）若棱PB的中点为N，求CN的长；【答案】（1）24；（2）52.【解析】【分析】（1）确定当平面PAM⊥平面ABCM时四棱

锥PABCM−的体积取得最大值，结合棱锥的体积公式计算即可求解；（2）如图，根据题意和中位线的性质可得四边形CNQM为平行四边形，结合勾股定理计算即可求解.【小问1详解】取AM的中点G，连接PG，因为PAPM=，则PGAM

^，当平面PAM⊥平面ABCM时，P点到平面ABCM的距离最大，四棱锥PABCM−的体积取得最大值，根据面面垂直的性质，易得此时PG⊥平面ABCM，且1222PGAM==，底面ABCM为梯形，面积为()1312

122+=，则四棱锥PABCM−的体积最大值为13223224=；【小问2详解】取AP中点Q，连接,NQMQ，因为N为PB中点，所以NQ为PAB的中位线，所以//NQAB且12NQAB=，因为M为CD的中点，四边形ABCD为矩

形，所以//CMAB且12CMAB=，所以//CMNQ且CMNQ=，故四边形CNQM为平行四边形，所以2215122CNMQ==+=.19.若函数()fx在,xab时，函数值y的取值区间恰为11,ba，就称区间,ab为()fx的一个“倒域区间”.

已知定义在22−,上的奇函数()gx，当0,2x时，()22gxxx=−+.（1）求()gx的解析式；（2）求函数()gx在1,2内的“倒域区间”；（3）求函数()gx在定义域内的所有“

倒域区间”.【答案】（1）()222,022,20xxxgxxxx−+=+−（2）151,2+（3）151,2+和15,12−−−【解析】【分析】（1）设)2,0x−，利用奇函数的定义可求得函数()gx在)2,0−上的解析式，由

此可得出函数()gx在22−,上的解析式；（2）设12ab，分析函数()gx在1,2上的单调性，可出关于a、b的方程组，解之即可；（3）分析可知0abab，只需讨论02ab或20ab−，分析二次函数()gx的单调性，根

据题中定义可得出关于实数a、b的等式组，求出a、b的值，即可得出结果.小问1详解】解：当)2,0x−时，则(0,2x−，由奇函数的定义可得()()()()2222xgxgxxxx=−−=−−−=++−，所以，()222,022,20xx

xgxxxx−+=+−.【小问2详解】解：设12ab，因为函数()gx在1,2上递减，且()gx在,ab上的值域为11,ba，所以，()()22121212gbbbbgaaaaab=−+==−+=，解得11

52ab=+=，所以，函数()gx在1,2内的“倒域区间”为151,2+.【小问3详解】解：()gx在,ab时，函数值()gx的取值区间恰为11,ba，其中ab¹且0a，0b，所以，11abba，则0ab

ab，只考虑02ab或20ab−，①当02ab时，因为函数()gx在0,1上单调递增，在1,2上单调递减，故当0,2x时，()()max11gxg==，则11a，所以，12a，所以，12ab，由（2）知()gx在1,2内的“倒

域区间”为151,2+；【②当20ab−时，()gx在2,1−−上单调递减，在1,0−上单调递增，故当2,0x−时，()()min11gxg=−=−，所以，11b−，所以，21

b−−.21ab−−，因为()gx在2,1−−上单调递减，则()()22121221gaaaagbbbbab=+==+=−−，解得1521ab+=−=−，所以

，()gx在2,1−−内的“倒域区间”为15,12−−−.综上所述，函数()gx在定义域内的“倒域区间”为151,2+和15,12−−−.【点睛】关键点点睛：本题考查函数的新定义，解题的关键在于分析函数的单调性，结合题意

得出关于参数的方程，进行求解即可.