【文档说明】广东省华南师范大学附属中学2024届高三下学期5月适应性考试 数学 Word版含解析.docx，共(14)页，1.272 MB，由小赞的店铺上传

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2024届高三年级五月适应性考试数学试题时限：120分钟满分：150分命审题：高二数学备课组一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知42Axx=−，()lg10Bxx=−，则AB=（

）A.42xx−B.42xx−C.12xxD.12xx2.函数()()lne12xxfx=+−（）A.是偶函数，且在区间()0,+上单调递增B.是偶函数，且在区间()0

,+上单调递减C.是奇函数，且在区间()0,+上单调递增D..既不是奇函数，也不是偶函数3.如图，一个电路中有A，B，C三个电器元件，每个元件正常工作的概率均为12，这个电路是通路的概率是（）A.18B.38C

.58D.144.已知数列na，则“222nnnaaa−++=（3n，*nN）”是“数列na是等差数列”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件5.已知ABC△的三

个角A，B，C的对边分别是a，b，c，若32ab=，2BA=，则cosB=（）A.716−B.716C.18−D.186.设抛物线22ypx=（0p）的焦点为F，过F的直线l与抛物线在第一象限交于点A，与y轴交于点C，若AFFC=，则直线l的斜率为（）A.33B.223C.2

2D.37.若函数()sin3cosfxxx=+（0）在区间,ab上是减函数，且()1fa=，()1fb=−，πba−=，则=（）A.13B.23C.1D.28.已知ABC△是边长为43的正三角形，点

P是ABC△所在平面内的一点，且满足3APBPCP++=，则AP的最小值是（）A.1B.2C.3D.83二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得．．．．．．

2．分．，有选错的得0分9.如图，在正方体1111ABCDABCD−中，E，F，M，N分别为棱1AA，11AD，AB，DC的中点，点P是面B，C的中心，则下列结论正确的是（）A.E，F，M，P四点共面B.平面PEF被正方体截得的截面是等腰梯形C.//EF平

面PMND.平面MEF⊥平面PMN10.已知复数1z，2z满足：1z为纯虚数，22124zz−=−，则下列结论正确的是（）A.2211zz=−B.237zC.12zz−的最小值为3D.123izz−+的最小值为311.已知函数()fx的定义域为R，对x，yR，()()()

()21fxyfxyfxfy+−−=−，且()11f=，()fx为()fx的导函数，则（）A.()fx为偶函数B.()20240f=C.()()()1220250fff+++=D.()()2211fxfx+

−=三、填空题：本题共3小题，每小题5分，满分15分.12.已知圆锥曲线221mxny+=的焦点在y轴上，且离心率为2，则mn=______.13.已知矩形ABCD中，23AB=，2BC=，以AC所在直线为旋转轴，将矩形ABCD旋转一周形成

的面所围成的几何体的体积为______.14.一只口袋装有形状、大小完全相同的3只小球，其中红球、黄球、黑球名1只，现从口袋中先后有放回地取球2n次（*nN），且每次取1只球，X表示2n次取球中取到红球的次数，,0

,XXYX=为奇数为偶数，则Y的数学期望为______.（用n表示）四、解答题：本题共5小题，共77分.15.（本小题满分13分）已知函数()eaxfxx=（0x）（1）求函数()fx的单调区间；（2）若函数()fx有最大值12，求实数a的值.16.（本小

题满分15分）（1）假设变量x与变量Y的n对观测数据为()11,xy，()22,xy…(),nnxy，两个变量满足一元线性回归模型()()20,YbxeEeDe=+==，请写出参数b的最小二乘估计；（2）为

推动新能源汽车产业高质量发展，国家出台了系列政策举措，对新能源汽车产业发展带来了巨大的推动效果。下表是某新能源汽车品牌从2019年到2023年新能源汽车的年销量w（万），其中年份对应的年份代码t为1-5.已知

根据散点图和相关系数判断，它们之间具有较强的线性相关关系，可以用线性回归模型描述。年份12345销量w（万）49141825令变量xtt=−，yww=−，则变量x与变量y满足一元线性回归模型()()20,YbxeEeDe=+==，利用（1）中结

论求y关于x的经验回归方程，并预测2025年该品牌新能源汽车的销售量.17.（本小题满分15分）如图，在四棱锥PABCD−中，底面ABCD为菱形，PA⊥平面ABCD，AC与BD相交于点E，点F在PC上，EFPC⊥，42AC=，4BD=，2EF=.（1）证明：DF⊥平

面PBC；（2）若PA与平面BDF所成的角为，平面PAD与平面PBC的夹角为，求+.18.（本小题满分17分）已知圆E：()22632xy++=，动圆C与圆E相内切，且经过定点()6,0F.（1）求动圆圆心C的轨迹方程；（2）若直线l：yxt=+与（1）中轨迹交于不同的

两点A，B，记OAB△外接圆的圆心为M（O为坐标原点），平面上是否存在两定点C，D，使得MCMD−为定值，若存在，求出定点坐标和定值，若不存在，请说明理由.19.（本小题满分17分）对于数列na，如果存在等差数列nb和等比数列nc，使得nnnabc=+（

*nN），则称数列na是“优分解”的.（1）证明：如果na是等差数列，则na是“优分解”的；（2）记1Δnnnaaa+=−，21ΔΔΔnnnaaa+=−（*nN），证明：如果数列na是“优分解”的，则2Δ0na=（*nN）或数列2Δna是等比

数列；（3）设数列na的前n项和为nS，如果na和nS都是“优分解”的，并且13a=，24a=，36a=，求na的通项公式2024届高三年级5月适应性考试数学试题参考答案及评分标准一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.题号12345678答案CAB

BDCAC二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.题号91011答案BDABDBCD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，满分15分.12.1313.56π914.233nnn+选择题与填空题详解：1.【答案】C【解析】∵()lg1

0x−，∴011x−，∴12x，∴()1,2B=，()1,2AB=，故正确选项为C2.【答案】A【解析】∵()fx的定义域为R，∴()()()()()lne1lne1lne1222xxxxxxfxxfx−−=++=+−+=+−=∴()fx为偶函数；当0x时，()()e1

e10e122e1xxxxfx−=−=++，∴()fx在区间()0,+上单调递增，故正确选项为A.3.【答案】B【解析】∵这个电路是通路，∴原件A正常工作，且元件B，C至少有一个正常工作其概率为11131112228P=−−−=

，故正确选项为B4.【答案】B【解析】先判断充分性：∵222nnnaaa−++=，∴22nnnnaaaa+−−=−，令2nk=（*kN），则22222242kkkkaaaaaa+−−=−==−，∴数列na的偶数项成等差数列，令21nk=−（*kN），则21212

12331kkkkaaaaaa+−−−−=−==−，∴数列na的奇数项成等差数列，但数列na不一定是等差数列，如：1，1，2，2，3，3，∴“222nnnaaa−++=（3n，*nN）”不是“数列na是等差数列”的充分条件；再判断必要性：若数列

na是等差数列，则22221122222nnnnnnnnnnaaaaaaaaaa−+−+−+++=+=+=++，∴222nnnaaa−+=+，∴“222nnnaaa−++=（3n，*nN）”是“数列na是等差数列”的必要条件；综上，“222

nnnaaa−++=（3n，*nN）”是“数列na是等差数列”的必要不充分条件，故正确选项为B.5.【答案】D【解析】∵32ab=，∴3sin2sinAB=，∵2BA=，∴3sin2sin24sincos

AAAA==，∵()0,πA，∴sin0A，∴3cos4A=，2231coscos22cos12148BAA==−=−=，故正确选项为D.6.【答案】C【解析】∵AFFC=，∴F为AC的中点，过点A作AA垂

直于y轴于点A，∴OF为AAC△的中位线，则AAp=，∴A的坐标为(),2pp，则直线l的斜率为22212pkp==，故正确选项为C.7.【答案】A【解析】()πsin3cos2sin3fxxxx=+=+，依题意，π5π2π36ak+=+（kZ），π7π2π3

6bk+=+（kZ）两式相减得()π3ba−=，∵πba−=，∴13=，故正确选项为A.8.【答案】C【解析】（方法一）设ABC△的重心为G，则33APBPCPAGBGCGGPGP++=+++=，∵3APBPCP++=，∴1GP=，∴点P的

轨迹是以G为圆心，1为半径的圆，∴AP的最小值是13AG−=，故正确选项为C.（方法二）以AC所在直线为x轴，以AC中垂线为y轴建立直角坐标系，则()23,0A−，()0,6B，()23,0C，设(),Pxy，∵3APBPCP++=，∴1GP=，点P的轨迹方程为()2221

xy+−=，设圆心为G，由圆的性质可知当AP过圆心时AP最小，最小值为1413AP−=−=，故正确选项为C.9.【答案】BD【解析】易得经过E，F，M三点的平面为一个正六边形，点P在平面外，∴E，F，M，P四点不共面，∴选项A错误；分别连接E，F和B，1C，则平面PEF即平面1CBEF，截

面1CBEF是等腰梯形，∴选项B正确；分别取1BB，1CC的中点G，Q，则平面PMN即为平面QGMN，EF显然不平行平面QGMN，∴选项C错误，同时∵EMMN⊥，EMMG⊥，∴EM⊥平面PMN，∴平面MEF⊥平面PMN，∴选项D正确.综上，正确选项为BD.

10.【答案】ABD【解析】∵1z为纯虚数，∴设1izb=（0b），∴22211zbz=−=−，∴选项A正确；∵22124zz−=−，则2z所对应点的轨迹是以()5,0为圆心，以2为半径的圆，∴237z

，∴选项B正确；∵1z为纯虚数，∴1z对应点在y轴上（除去原点），∴12zz−的取值范围为()3,+，∴12zz−无最小值，选项C错误；∵()1223i3izzbz−+=+−，∵()3ib+（0b）为纯虚数或0，对应的点在y轴上（除去点()0,3），∴当3b=−时123iz

z−+取得最小值3，∴选项D正确，故正确选项为ABD.11.【答案】BCD【解析】令0x=，则()()()()()212fyfyffyfy−−==，∴()()fyfy=−−，∴()fx为奇函数，故选项A不正确；令0xy==，则()00f=，令1y=，则()()()()()112112

1fxfxfxffx+−−=−=−，∵()fx为奇函数，∴()()11fxfx−=−−，∴()()11fxfx+=−−，∴()fx的周期为4，∴()()202400ff==，故选项B正确；∵()fx为奇函数，∴()()fxfx=−−，∴()()fxfx=−，∴()fx为

偶函数；∵()()11fxfx+=−−，∴()()11fxfx+=−−，∴()fx的周期为4，且()()()()12340ffff+++=，∴()()()()1220251ffff+++=，∵()fx为偶函数，∴()()11fxfx−=−，∴

()()11fxfx+=−−，∴()fx关于()1,0对称，∴()10f=，∴()()()1220250fff+++=，故选项C正确；令1xy=−，则()()()21122ffyfy−−=，即()()()21122ffxfx−−=①，令1yx=−

，则()()()212121ffxfx−−=−②，由①＋②得()()()()()()22221211221212fxfxffxfxf+−=−−−−==，∴()()2211fxfx+−=，故选项D正确，故正确选项是BCD.12.【答案】13−【解析】∵圆锥曲线的离心率为2，∴该圆锥曲线是双曲

线，将方程化成焦点在y轴上的标准形式22111yxnm−=−，则1141mnnmmn−−==，∴13mn=−.13.【答案】56π9【解析】如图，以AC所在直线为旋转轴，ABC△旋转一周形成两个共底面的圆锥，ADC△旋转一周形成一个倒立的相同的几何体，将其体积记为1V，这两个几何体重叠

部分是以圆O为底面，A，C为顶点的两个小圆锥，其体积记为2V，则所求几何体体积()221211235622π34π4π3339VVV=−=−=14.【答案】233nnn+【解析】由题知12,3XBn，∴0,1,0,3,0,21,0Yn=−()(

)12132321113212221212121321333333nnnnnnnEYCCnC−−−−=+++−()12132321122

2212322123nnnnnnnCCnC−−−+++−∵12212kknnkCnC−−=，∴()()021223221212121222223nnnnnnnnEYCCC−−−−−−=+++∵()()21210211222232212102121212121212

222221nnnnnnnnnnnnCCCCC−−−−−−−−−−−−+=+++++−021122223221210212121212122222nnnnnnnnnnCCCCC−−−−−−−−−−=

−+++−，∴21021223221212121312222nnnnnnnCCC−−−−−−−++++=，∴()21222313233nnnnnnEY−+==+四、解答题：15.【解析】

（1）()112eee22axaxaxaxfxaxxx+=+=（0x）1°当0a时()0fx，∴()fx在区间()0,+上单调递增。2°当0a时，10,2xa−时，()0fx，∴()f

x单调递增1,2xa−+时，()0fx，∴()fx单调递减综上，当0a时，()fx的增区间是()0,+，当0a时，()fx的增区间是10,2a−，减区间是1,2a−+.（2）由（1）知当0a时，()fx无最大值.当0a时，()12max111

222faxfea−=−=−=，平方有112e4a−=，解得2ea=−，∴2ea=−.16.【解析】（1）()()222221112nnniiiiiiiiiiQeybxybxybx=====−=−+2221112nnniiiiii

ibxbxyy====−+要使残差平方和最小，当且仅当1121ˆniiniixybx===；（2）∵xtt=−，yww=−，由（1）知()()()551155221151ˆ5.110iiiiiiiiiixyttwwbxtt====−−====−

，∴y关于x的经验回归方程为5.1yx=，∴()5.1wwtt−=−，∵3t=，14w=，∴()5.15.11.3wttwt=−+=−，当7t=，5.171.334.4w=−=（万）因此，预计2025年该品牌新能源汽车的销售量将达到34.4万辆，17.【解析】（1）证明：∵

底面ABCD是菱形，∴ACBD⊥，∵PA⊥平面ABCD，BD平面ABCD，∴PABD⊥，又∵ACPAA=，∴BD⊥平面PAC，∵PC平面PAC，∴BDPC⊥，又∵EFPC⊥，∴PC⊥平面BDF，∵DF平面BDF，∴PCDF⊥，∵2EFEDEB===，∴90DFB=即DFFB

⊥，∴DF⊥平面PBC.（2）（方法一）由（1）知PC⊥平面DBF，延长PA，FE，相交于点G，图3则PGF即为PA与平面BDF所成的角∵PGFPCA△∽△，∴45PGFPCA==，∴45=.过P作//lAD，作DHl⊥于点H，连接FH，∵DF⊥平面PBC

，∴DFBC⊥，∵//BCAD，//lAD，∴//lBC，∴DFl⊥，又∵DHl⊥，∴l⊥平面DFH，∴lFH⊥∴DHF即为平面PBC与平面PAD的夹角，221sin242DFDH===，∴30=，∴453075+=+=（方法二

）以E为原点，以EA为x轴，EB为y轴，过点E且平行PA的直线为z轴建立空间直角坐标系，则()22,0,0A，()22,0,0C−，()0,2,0D−，()2,0,2F−，图3∴()2,2,2DF=−，()22,2,0AD=−−∵EFPC⊥，2EF=，22EC=，∴45ACP=，∴4

2PAAC==，∴45APC=∵PC⊥平面BDF，∴PA与平面BDF所成的角为9045APC=−=∴DF⊥平面PBC，∴DF是平面PBC的一个法向量，又∵平面PAD⊥平面ABCD，设(),

,0nxy=只需nAD⊥，则n⊥平面PAD，()(),,022,2,02220nADxyxy=−−=−−=令()1,2,0n=−，则323cos2322nDFnDF===，∴30=，∴453075+=+=.18.【详解】（1）设圆E的半径为r

，圆E与动圆C内切于点Q，∵点F在圆E内部，∴点C在圆E内部∴4226CECFCECQrEF+=+===，∴点C的轨迹是焦点在x轴上的椭圆，其方程为22182xy+=.（2）（方法一）联立yxt=+与椭圆方程，消y得2258480xtxt++−=，设()11,Axy，()22,

Bxy，则1285txx+=−，212485txx−=，OA的中垂线方程为：111122yxxyxy−=−−，即21111122xxyyxyy=−++①同理可得OB的中垂线方程为：22222222xxyyxy

y=−++②由①②两式可得2211122211222222xxyxxyxxyyyy−++=−++，∴OAB△外接圆圆心M的横坐标()()222112211221122Mxyxyyyyyxxyxy−+−=−，其中()()()2122112112xyxyxxt

xxttxx−=+−+=−()()()()()()22222112211221122112xyxyyyyyxxtxxtxxxtxt−+−=+−++−++()()()()()22222112212112xxxxtxxxxxtxt=−+

−+−++()()()()21122112xxxxtxxxtxt=−+++++()()221122122xxxxtxxt=−+++∴()()()()22211221122121222222Mxxxxtxxtxxtxxtxtxxt−++++++==−12213

82105xxttxxtt=+++=−−，又∵AB的中垂线方程为121222yyxxyx++−=−−，即35tyx=−−，∴圆心M的纵坐标为383381055105Mttyttt=−−−−=−+，∴222238384810510525MMttxytt

−=−−−−+=，∴圆心M在双曲线224825xy−=上，∴存在定点46,05C−，46,05D，使得835MCMD−=（定值）（方法二）设OAB△外接圆方程为220xydxey+++=

，联立yxt=+与圆的方程消y得()22220xtdextet+++++=，则122825tdetxx+++=−=−，22124825tettxx+−==，∴1625ttde++=，228165ttet−+=，解得31655tdt=+，3

1655tet=−，设圆心坐标为(),Mxy，则382105dtxt=−=−−，38105tyt=−+，∴222238384810510525ttxytt−=−−−−+=，∴圆心M在双曲线224825xy−=上，∴存在定点46,05C

−，46,05D，使得835MCMD−=（定值）19.【解析】（1）∵na是等差数列，∴设()()111111naandand=+−=−+−+，令()111nband=−+−，1nc=

，则nb是等差数列，nc是等比数列，所以数列na是“优分解”的.（2）因为数列na是“优分解”的，设nnnabc=+（*nN），其中()11nbbnd=+−，11nnccq−=（10c，0q），则()111Δ1nnnnaaadc

qq−+=−=+−，()22111ΔΔΔ1nnnnaaacqq−+=−=−.当1q=时，2Δ0na=（*nN）；当1q时，2Δna是首项为()211cq−，公比为q的等比数列.（3）一方面，∵数列nS是“优分解”

的，设nnnSBC=+（*nN），其中()11nBBnD=+−，11nnCCQ−=（10C，0Q），由（2）知()2211Δ1nnSCQQ−=−因为1212Δ4SSSa=−==，2323Δ6SSSa

=−==，所以2121ΔΔΔ2SSS=−=.∴()2112CQ−=，∴1Q，∴2ΔnS是首项为2，公比为Q（1Q）的等比数列.另一方面，因为na是“优分解”的，设nnnabc=+（*nN），其中()11nbbnd=+−，11

nnccq−=（10c，0q）11ΔnnnnSSSa++=−=，()21211ΔΔΔ1nnnnnnSSSaadcqq+++=−=−=+−.∵2ΔnS是首项为2，公比为Q（1Q）的等比数列，∴0q，1q，且()()()2222213ΔΔΔSSS=，∴()()()2231111

11dcqqdcqqdcqq+−=+−+−，化简得()3110cdqq−=，∵10c，0q，1q，∴0d=，∴()111Δ1nnnnaaacqq−+=−=−，即数列Δna是首项1211aaa=−=

，公比为q的等比数列.又∵232Δ2aaa=−=，∴2q=，又∵21Δ2S=，∴()112dcqq+−=，∵0d=，2q=，∴解得11c=，∴111312bac=−=−=，综上所述，()1111122nnnabndcq−−=+−+=+.