【文档说明】2023-2024学年高中数学人教A版2019 必修第二册课后习题 6-4-3　第3课时　习题课——正弦定理和余弦定理的综合应用 Word版含解析.docx，共(5)页，65.354 KB，由小赞的店铺上传

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第六章平面向量及其应用6.4平面向量的应用6.4.3余弦定理、正弦定理第3课时习题课——正弦定理和余弦定理的综合应用课后篇巩固提升必备知识基础练1.(2021四川模拟)若△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,A=2π3,b=2√3,且△ABC的面积为

3√32,则a=()A.3B.4C.√21D.3√3答案C解析∵A=2π3,b=2√3,且△ABC的面积为3√32,∴12bcsinA=3√32,即12×2√3×c×√32=3√32,解得c=√3.又a2=b2+c2-2bccosA=12+3-2×2√3

×√3×-12=21,∴a=√21.故选C.2.在△ABC中,B=60°,最长边与最短边之比为(√3+1)∶2,则最大角为()A.45°B.60°C.75°D.90°答案C解析依题意,得△ABC不是等边三角形.因为B=60°,所以角B不是最

大角.设C为最大角,A为最小角,则A+C=120°,所以𝑐𝑎=sin𝐶sin𝐴=sin(120°-𝐴)sin𝐴=sin120°cos𝐴-cos120°sin𝐴sin𝐴=√32tan𝐴+12=√3+12,解得tanA=1,所以A=45°,C=75°.3.在△A

BC中,a=2,a·sin(A+B)=c·sin𝐵+𝐶2,则△ABC周长的最大值为()A.8B.7C.6D.5答案C解析由题得a·sinC=c·cos𝐴2,∴sinA·sinC=sinC·cos𝐴2,∴sinA=cos𝐴2,∴2sin

𝐴2cos𝐴2=cos𝐴2,∵𝐴2∈(0,π2),∴cos𝐴2≠0,∴sin𝐴2=12,∴A=π3.由余弦定理得4=b2+c2-2bccosA=b2+c2-bc,∴(b+c)2=4+3bc≤4+3·(𝑏+𝑐

)24,当且仅当b=c=2时,等号成立.∴b+c≤4,∴a+b+c≤6.4.(2021吉林宁江校级三模)在①(b+a)(b-a)=c(b-c);②𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗·𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=4;③sinπ2+2A+2cos2𝐴2=1这三个条件中任选一个,补充在下面的问题中,并解

答.问题:已知△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且sinC=2sinB,b=2,,求△ABC的面积.解因为sinC=2sinB,b=2,所以c=2b=4.选①:因为(b+a)(b-a)=c(b-c),所以b2+c2-a2=bc,

所以cosA=𝑏2+𝑐2-𝑎22𝑏𝑐=12.又因为A∈(0,π),所以A=π3.所以△ABC的面积S=12bcsinA=12×2×4×√32=2√3.选②:若𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗·𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=4,则|𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗|·|𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗|cosA=4,故cosA=1

2.因为A∈(0,π),所以A=π3.所以△ABC的面积S=12bcsinA=12×2×4×√32=2√3.选③:若sinπ2+2A+2cos2𝐴2=1,则cos2A+cosA=0,故2cos2A+cosA-1=0,解得cosA=1

2(cosA=-1舍去).因为A∈(0,π),所以A=π3.所以△ABC的面积S=12bcsinA=12×2×4×√32=2√3.5.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且bcosC=3acosB-ccosB.

(1)求cosB的值;(2)若𝐵𝐴⃗⃗⃗⃗⃗·𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=2,且b=2√2,求a和c的值.解(1)由正弦定理,得sinBcosC=3sinAcosB-sinCcosB,可得sinBcosC+si

nCcosB=3sinAcosB,即sin(B+C)=3sinAcosB,可得sinA=3sinAcosB.又sinA≠0,因此cosB=13.(2)由𝐵𝐴⃗⃗⃗⃗⃗·𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=2,得accosB=2.由(1)知cosB=13,故ac=6,由b2=a2+c2-2accosB,得a2

+c2=12,所以(a-c)2=0,即a=c,所以a=c=√6.关键能力提升练6.在△ABC中,角A,B,C对边分别为a,b,c,若a2=b2+bc,且A∈(60°,90°),则𝑎𝑏的取值范围是.答案(√2,√3)解析∵△ABC中,a2=b2+b

c,由余弦定理,得a2=b2+c2-2bccosA,∴b2+bc=b2+c2-2bccosA,整理,得c=b(1+2cosA),∴a2=b2+b2(1+2cosA)=b2(2+2cosA),∴𝑎𝑏=√2+2cos𝐴,∵A∈(60°,90°),∴cosA∈(0,

12),可得2+2cosA∈(2,3),∴√2+2cos𝐴∈(√2,√3),即𝑎𝑏∈(√2,√3).7.已知a,b,c分别是△ABC的内角A,B,C的对边,b2+c2=accosC+c2cosA+a2,且S△ABC=√3

2,则△ABC周长的最小值为.答案3√2解析由b2+c2=accosC+c2cosA+a2,得b2+c2=c(acosC+ccosA)+a2=bc+a2,即bc=b2+c2-a2.故cosA=𝑏2+𝑐2-𝑎22𝑏𝑐=12,∴A=π3.由三角形面积公式得12bcsinA=√32,

bc=2.所以三角形的周长a+b+c=√𝑏2+𝑐2-𝑏𝑐+√(𝑏+𝑐)2=√𝑏2+𝑐2-2+√𝑏2+𝑐2+4≥√2𝑏𝑐-2+√2𝑏𝑐+4=√2+√8=3√2,当且仅当a=b=c=√2时,等号成立.故周长的最小值为3√2.8.在△ABC中,角A,B,C所对的

边分别为a,b,c,且𝑎sin𝐴+𝑏sin𝐵-𝑐sin𝐶sin𝐵sin𝐶−2√33a=0.(1)求角C;(2)若△ABC的中线CE的长为1,求△ABC的面积的最大值.解(1)由𝑎sin𝐴+𝑏si

n𝐵-𝑐sin𝐶sin𝐵sin𝐶−2√33a=0,得𝑎·𝑎+𝑏·𝑏-𝑐·𝑐𝑏·sin𝐶=2√33a,即𝑎2+𝑏2-𝑐22𝑎𝑏=√33sinC,由余弦定理的变形,得cosC=

√33sinC,∴tanC=√3.∵C∈(0,π),∴C=π3.(2)由余弦定理,得b2=1+𝑐24-2×1×𝑐2·cos∠CEA,①a2=1+𝑐24-2×1×𝑐2·cos∠CEB,②①+②,得b2+a2=2+𝑐22,即2(b2+a2)=4+c2,∵c2=a2+b2-2ab·cosC,

∴a2+b2=4-ab≥2ab,∴ab≤43,当且仅当a=b时,等号成立.S△ABC=12absinC≤12×43×√32=√33.△ABC的面积的最大值是√33.9.(2021广东湛江一模)如图,在平面四边形ABCD中,AD⊥CD,∠BAD=3π4,2AB=BD=4.(

1)求cos∠ADB;(2)若BC=√22,求CD.解(1)在△ABD中,由余弦定理的推论,得cos∠BAD=𝐴𝐷2+𝐴𝐵2-𝐵𝐷22𝐴𝐷·𝐴𝐵,即-√22=𝐴𝐷2+4-164𝐴𝐷,解得

AD=√14−√2(AD=-√14−√2舍去).故cos∠ADB=𝐴𝐷2+𝐵𝐷2-𝐴𝐵22𝐴𝐷·𝐵𝐷=√144.(2)由(1)得sin∠ADB=√1-1416=√24.因为AD⊥CD

,即∠ADC=π2,所以cos∠BDC=cosπ2-∠ADB=sin∠ADB=√24.根据余弦定理的推论,得cos∠BDC=𝐵𝐷2+𝐶𝐷2-𝐵𝐶22𝐵𝐷·𝐶𝐷,即√24=16+𝐶𝐷2-222×4×𝐶𝐷,解得CD=3√2(CD=

-√2舍去),故CD=3√2.学科素养创新练10.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,满足cosC+cosAcosB=2√2sinAcosB.(1)求cosB的值;(2)若a+c=2,求b的取值范围.解(1)因为cosC+cosAcosB=2√2sinAcosB,所以-

cos(A+B)+cosAcosB=2√2sinAcosB,即sinAsinB=2√2sinAcosB,因为sinA≠0,所以sinB=2√2cosB>0,又因为sin2B+cos2B=1,解得cosB=13.(2)∵a+c=2,可得c=2-a,由

余弦定理,得b2=a2+c2-2accosB=a2+c2-23ac=a2+(2-a)2-23a(2-a)=83(a-1)2+43.∵0<a<2,