【文档说明】北京市第九中学2023-2024学年高二下学期4月月考数学试卷 Word版含解析.docx，共(17)页，810.570 KB，由小赞的店铺上传

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2024北京九中高二4月月考数学2024.4（考试时间120分钟满分150分）一、单选题（共40分）1.从0，1，2，3，4中选出3个数组成各位数字不重复的三位偶数，这样的数有（）个．A.24B.30C.36D.60【答案】B【解析】【分析】考虑选出的3个数中有没有0

的情况，有0时再考虑0的排法，根据分类加法原理，即可求得答案.【详解】若从0，1，2，3，4中选出3个数中没有0，则组成各位数字不重复三位偶数有1223AA12=个；若从0，1，2，3，4中选出3个数中有0，且0排在个位，则组成各位数字不重复的三位偶数有24A12=个；若从0

，1，2，3，4中选出3个数中有0，且0不在个位，则组成各位数字不重复的三位偶数有1123AA6=个；故从0，1，2，3，4中选出3个数组成各位数字不重复的三位偶数，这样的数有1212630++=个，故选：B2.在数列na中，若11a=，142

nnaa+=−，则12a=（）A.2−B.43−C.1D.4【答案】A【解析】【分析】根据给定条件，探求出数列的周期，再利用周期性计算即得.【详解】在数列na中，由11a=，142nnaa+=−，得24a=，

32a=−，41a=，因此数列na是周期性数列，周期为3，的所以1232aa==−.故选：A3.若5250125(12)xaaxaxax−=++++，则24aa+=（）A.100B.110C.120D.130【答案】C【解析】【分析】利用二项式定理分别求出24,aa即可计算得解.【

详解】5250125(12)xaaxaxax−=++++中，2225C240a==，4445C280a==，所以24120aa+=.故选：C4.已知数列na的前n项和为31nnS=−，则5a=（）A.81B.162C.243D.486【答案】B【解析】【分析】根据给

定条件，利用1(2)nnnaSSn−=−列式计算即得.【详解】数列na的前n项和为31nnS=−，所以5455433162aSS=−=−=.故选：B5.若323nxx−的展开式中各项系数之和为128−，则展开式中2x的系数为（）A.2

835−B.945C.2835D.945−【答案】D【解析】【分析】根据赋值法求系数和得7n=，即可根据展开式的通项公式求解.【详解】令1x=，得()2128n−=−，得7n=，则7323xx−的展开式的通项()()257733177C33

CrrrrrrrrTxxx−−−+=−=−，令5723r−=，得3r=，则()3322473C945Txx=−=−，故展开式中2x的系数为945−，在故选：D．6.等比数列na满足1357aaa++=，57928aaa

++=，则91113aaa++=（）A.56B.56−C.112−D.112【答案】D【解析】【分析】根据等比数列的定义解决问题.【详解】由题意知4444457913513528()7aaaaqaqaqaaaqq=++=+=+++=，解得44q=，故()4911135

79284112aaaaaaq++=++==.故选：D.7.甲､乙､丙､丁四名同学参加学校组织的植树活动，学校共组织了3个植树小组，每人只能参加一个植树小组，则甲､乙不在同一个植树小组的安排方法有（）A.81种B.54种C.36种D.12种【答案】

B【解析】【分析】根据分步计数原理分析求解即可.【详解】甲有3种参加方法，乙有2种参加方法，丙､丁均有3种参加方法，根据分步乘法计数原理可知，甲、乙不在同一个植树小组的安排方法有323354=种，故选：B．8.在数字通信中，信号是由数字0和1组成的序列.由于随机因素的干扰，发送的信号0

或1可能被错误的接收为1或0.已知发送信号0时，接收为0和1的概率分别为0.9和0.1；发送信号为1时，接收为1和0的概率分别为p和1p−.假设发送信号0和1是等可能的.已知接收到1的概率为0.475，则p的值为（）A.0.8B.0.85C.

0.9D.0.95【答案】B【解析】【分析】利用全概率公式计算可得.【详解】设A=“发送的信号为0”，B=“接收到的信号为0”，则A=“发送的信号为1”，B=“接收到的信号为1”，所以()0.5PA=，()0.5PA=，(|)0.9PBA=，(|)0.1PBA=，

(|)1PBAp=−，(|)PBAp=，所以接收信号为1的概率为：()()(|)()(|)0.50.10.50.475PBPAPBAPAPBAp=+=+=，解得0.85p=故选：B.9.排球比赛实

行“每球得分制”，即每次发球后，谁取胜谁就得1分，得分的队有发球权，最后先得25分的队获得本局比赛胜利，若出现比分24:24，要继续比赛至某队领先2分才能取胜，该局比赛结束.甲、乙两队进行一局排球比赛，已知甲队发

球时甲队获胜的概率为23，乙队发球时甲队获胜的概率为25，且各次发球的胜负结果相互独立.若此时甲、乙两队双方比分为22:22平，且甲队拥有发球权，则甲队得25分且取得该局比赛胜利的概率为（）A.827B.72135C.6413

5D.80135【答案】C【解析】【分析】甲队得25分且取得该局比赛胜利包含甲以25：22取得比赛胜利和甲以25：23取得胜利两个事件，再利用事件的相互独立性及互斥事件加法公式求概率.【详解】记事件A=“甲队得25分且取得该局比赛胜利”，事件B=“甲以25:22取得该局

胜利”，C=“甲以25:23取得该局胜利”，因为各次发球的胜负结果相互独立，且B，C互斥，所以()222833327PB==，()222222222222811135333353333545PC=−+−+−=，所以()

()()()88642745135PAPBCPBPC==+=+=，所以甲队得25分且取得该局比赛胜利的概率为64135.故选：C10.已知nS是数列na的前n项和，且121aa==，1223nn

naaa−−=+（3n），则下列结论正确的是（）A.数列1nnaa+−为等比数列B.数列12nnaa++为等比数列C.()20401314S=−D.()11312nnna−−+−=【答案】D【解析】【分析】A选项，计算出120aa−=，故

1nnaa+−不是等比数列，A错误；B选项，计算出12nnaa++的前三项，得到72337，B错误；C选项，由题干条件得到()1123nnnnaaaa−−−+=+，故1nnaa++为等比数列，得到1123nnnaa

−++=，故212aa+=，24323aa+=，……，38403923aa+=，相加即可求出4040314S−=，C错误；D选项，在1123nnnaa−++=的基础上，分奇偶项，分别得到通项公式，最后求出(

)11312nnna−−+−=.【详解】由题意得：321523aaa==+，4321031323aaa+===+，由于120aa−=，故数列1nnaa+−不是等比数列，A错误；则123212aa++==，232527aa+=+=，342131023aa+=+=，由于72337

，故数列12nnaa++不为等比数列，B错误；3n时，1223nnnaaa−−=+，即()1123nnnnaaaa−−−+=+，又12112aa+=+=，故1nnaa++为等比数列，首项为2，公比为3，

故1123nnnaa−++=，故212aa+=，24323aa+=，……，38403923aa+=，以上20个式子相加得：()40402438401331213332194S−−=++++==−，C错误；因为1123nnnaa−+

+=，所以2123nnnaa+++=，两式相减得：112232343nnnnnaa−−+−=−=，当2nk=时，2322243kkkaa−−−=，25222443kkkaa−−−−=，……，4243aa=−，以上式子相加得：()21213232233334

3334192kkkkaa−−−−−−=+++==−，故212122333122kkkaa−−−−=+=，而21a=也符和该式，故212312kka−−=，令2kn=得：()111313122nnnna−−−+−−==，当21nk=−时，24212343kkkaa

−−−−=，26232543kkkaa−−−−=，……，03143aa−=，以上式子相加得：()222224260211133143334192kkkkkaa−−−−−−−−=+++==−，故2

222211313122kkkaa−−−−+=+=，而11a=也符号该式，故2221312kka−−+=，令21kn−=得：()11312nnna−−+−=，综上：()11312nnna−−+−=，D正确.故选：D【点睛】当遇到()2nnaafn+−=时，数列往往要分奇数项和偶数项，分别求出通项公

式，最后再检验能不能合并为一个，这类题目的处理思路可分别令21nk=−和2nk=，用累加法进行求解.二、填空题（共25分）11.在数列na中，若121,2,nnnnan−−=为奇数为偶数，则45aa+的值为__________．【答案】

17【解析】【分析】将4,5nn==时分别代入偶数与奇数对应na通项，即可求解.【详解】依题意，4532(251)17aa=+−=+．故答案为：1712.在等差数列na中，12,3ad==，则na的前10项和10S=__________.【答案】155【解析】【分

析】由等差数列求和公式即可得解.详解】由题意101109101024531552Sad=+=+=.故答案为：155.13.已知甲、乙两人投篮的命中率分别为0.5和0.8，且两人投篮相互没有影响.若投进一球得2分，未进得0分，则每人投篮一次，得分相等的概率为______.【答

案】0.5##12【解析】【分析】根据独立事件同时发生的概率公式，即可求解.【详解】若两人都没有投进，概率()()110.510.80.1P=−−=,若两人都投进，概率20.50.80.4P==，则得分相等的概率120.

5PPP=+=.故答案为：0.514.如图，在由二项式系数所构成的杨辉三角形中，第10行中最大的数与第二大的数的数值之比为__________（用最简分数表示）.【答案】65【解析】【分析】第10行从左至右依次为0121010101010C,C,C,,C，由二项式系数性质可

得答案.【详解】观察知第10行从左至右依次为0121010101010C,C,C,,C，由二项式系数的性质可得510C252=最大，其次为461010CC210==，【所以第10行中最大的数与第二大的数的数值之

比为510410C2526C2105==.故答案为：65.15.已知数列:1,1,2,1,2,4,1,2,4,8,na，其中第一项是02，接下来的两项是012,2，再接下来的三项是0122,2,2,，以此类推，则下列说法正确的是__________．①第10个1

出现在第46项；②该数列的前55项的和是1012；③存在连续六项之和是3的倍数；④满足前n项之和为2的整数幂，且100n的最小整数n的值为440【答案】①③④【解析】【分析】把题设中的数列分成如下的组：()()()()1,1,2,1,2,4,1,2,4,8,，求出

每组的和为kb，命题①通过计算每组项数的和求解；命题②恰好是前10组之和；命题③通过找到345678aaaaaa+++++符合题意得出判断；命题④设前n项由前k行和第1k+行前()11,Nmmkm+项组成，算出前n和为nT后结合前n项和为2的整数幂可得n的最小

值.【详解】将数列na排成行的形式1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，第()*Nkk行为：0112,2,,2k−，则第k行和为()1122112kkkb−==−−，前k行共有(1)2kk+

个数，前k行的和为()12122212kkkSkk+−=−=−−−，对于命题①，第10个1出现在第123456789146+++++++++=项，故①正确；对于命题②，因为10(101)552+=，所以数列的前55项的和是111022102036S=−−

=，故②错误；对于命题③，因为34567821241212aaaaaa+++++=+++++=，是3的倍数，所以存在连续六项之和是3的倍数，故③正确；对于命题④，设前n项由前k行和第1k+行前()11,Nmmkm+项组成，则(1)=2kknm++.前n项和为1

2221kmnkmTSbk+=+=−−+−，若前n项和为2的整数幂，则有221mk+=−，即32mk+=.因为N,Nmk，所以当324mk+==时，1,2,3100kmn===；当328mk+==时，5,3,18100kmn===；当3216mk+==时，13,4,95100kmn=

==；当3232mk+==时，29,5,440100kmn===；所以满足前n项之和为2的整数幂，且100n的最小整数n的值为440，故④正确.故答案为：①③④【点睛】关键点点睛：本题考查分组数列的和以及与不定方程的整数解，对于分组数列的

前n项和的问题，一般采用计算“大组”和，再计算“小组”和，而不定方程的整数解问题，则需把和式放缩为2的正整数幂的形式，从而确定和的表达式.三、解答题（共85分）16.已知在等差数列na中，593,5aa==−．（1）求数列na

的通项公式；（2）若数列na的前n项和nS，则当n为何值时nS取得最大，并求出此最大值．【答案】（1）132nan=−；（2）6n=时nS取得最大值为36.【解析】【分析】（1）根据已知及等差数列通项公式求基本量，进而写出通项公式；

（2）写出等差数列前n项和，应用其二次函数性质求最大值和对应n.【小问1详解】设等差数列na的公差为d，则954538daa=−=−−=−，故2d=−，所以5(5)32(5)132naandnn=+−=

−−=−.【小问2详解】由111a=，且21()(11132)1222nnnaannSnn++−===−，所以2(6)36nSn=−−+，故6n=时nS取得最大，最大值为36.17.已知公差不为0的等差数列na

的前n项和为nS，且420S=，124,,aaa成等比数列.（1）求数列na的通项公式；（2）设()*2nanbn=N，求数列nb的前n项和nT.【答案】（1）2nan=；（2）1443n+−.【解析】【分析】(1)设等差数列na的公差为

d，根据题意列出关于1a和d的方程组求解即可；(2)证明nb是等比数列，根据等比数列前n项和公式即可求解.【小问1详解】设等差数列na的公差为()0dd，420S=，124,,aaa成等比数列，()121114620,()3adadaad+=+=+，解得12,2,ad==(

)()112122naandnn=+−=+−=；小问2详解】由(1)得，2224nannnb===，【14=b，11444nnnnbb++==，nb是首项为4，公比为4的等比数列，()()1414441441433nnnnT

+−−−===−.18.国务院正式公布的《第一批全国重点文物保护单位名单》中把全国重点文物保护单位（下述简称为“第一批文保单位”）分为六大类.其中“A：革命遗址及革命纪念建筑物”、“B：石窟寺”、“C：古建筑及历史纪念建筑物”、“D：石刻及其他”、“E：古遗址”、

“F：古墓群”，某旅行机构统计到北京部分区的17个“第一批文保单位”所在区分布如下表：行政区门类个数东城区A：革命遗址及革命纪念建筑物3C：古建筑及历史纪念建筑物5西城区C：古建筑及历史纪念建筑物2丰台区A：革命遗

址及革命纪念建筑物1海淀区C：古建筑及历史纪念建筑物2房山区C：古建筑及历史纪念建筑物1E：古遗址1昌平区C：古建筑及历史纪念建筑物1F：古墓葬1（1）某个研学小组随机选择该旅行社统计的北京市17个“第一批文保单位”中的一个进行参观，求选中的参观单位恰好为“C：古建筑及历史纪念建筑

物”的概率；（2）小王同学随机选择该机构统计到的北京市“第一批文保单位”中的“A：革命遗址及革命纪念建筑物”中的一个进行参观；小张同学随机选择统计到的北京市“第一批文保单位”中的“C：古建筑及历史纪念建筑物”中的一个进行参观，两人选择参观单

位互不影响，求两人选择的参观单位恰好在同一个区的概率：（3）现在拟从该机构统计到的北京市“第一批文保单位”中的“C：古建筑及历史纪念建筑物”中随机抽取2个单位进行常规检查.记抽到海淀区的概率为1p，抽不到海淀区的概率为2p，试判断

1p和2p的大小（直接写出结论．．．．．．）.【答案】（1）1117（2）1544（3）12pp【解析】【分析】（1）由题意知总样本数为17，C:古建筑及历史纪念建筑物共有11，利用古典概型概率公式从而求解.（2）由题意可知小王参观A:革命遗址及革命纪念建筑物与

小张参观C:古建筑及历史纪念建筑物在同一个区的只有东城区，然后分别求出他们参观东城区的概率，从而求解.（3）利用分类讨论求出抽到海淀区的概率1p和抽不到海淀区的概率2p，从而求解.【小问1详解】设选中参观单位恰好为“C:古建筑

及历史纪念建筑物”为事件C，由题意知总共有17个，“C:古建筑及历史纪念建筑物”有11，所以()1117PC=.【小问2详解】设两人选择的参观单位恰好在同一个区为事件B，由题意可知小王参观A:革命遗址及革命纪念建筑物与小张参观C:古建筑及历史纪念建筑物在

同一个区的只有东城区，所以小王参观东城区景区的概率为34，小张参观东城区景区的概率为511，所以()351541144PB==.【小问3详解】当抽到的2个都是海淀区的概率为521110115=，当抽到的2个中有1个是海淀区的

概率为52211109185=，所以111819555555p=+=，2193615555p=−=，所以12pp.19.已知数列na的前n项和为nS，且满足()*233NnnSan=−．（1）求数列na的通项公式；（2）设3lognnba=，数列nb的前n项和

为nT，求证121112nTTT+++L．【答案】（1）()3Nnnan=（2）证明见解析【解析】【分析】（1）由nS与na的关系结合等比数列的定义、通项计算即可；（2）利用等差数列求和公式结合裂项相消法证明不等式即可.【小问1详解】由已知()111123323332332nnnnnnn

nnSaaaaaaSan−−−−=−=−==−，又111123323Saaa=−==，即na是以3为首项和公比的等比数列，即()1133Nnnnaan−==；【小问2详解】由（1）可知3lognnnba==，所以()()11211

2211nnnnTTnnnn+===−++，则12111111111222122311nTTTnnn+++=−+−++−=−++，因为Nn

，显然201n+，则2221n−+，证毕.20.2020年5月1日起，北京市实行生活垃圾分类，分类标准为厨余垃圾、可回收物、有害垃圾和其它垃圾四类．生活垃圾中有一部分可以回收利用，回收1吨废纸可再造出0.8吨

好纸，降低造纸的污染排放，节省造纸能源消耗．某环保小组调查了北京市某垃圾处理场2020年6月至12月生活垃圾回收情况，其中可回收物中废纸和塑料品的回收量（单位：吨）的折线图如下图：（1）从2020年6月至12月中随机选取1个月

，求该垃圾处理厂可回收物中废纸和塑料品的回收量均超过4.0吨的概率；（2）从2020年7月至12月中随机选取4个月，记X为这几个月中回收废纸再造好纸超过3.0吨的月份个数．求X的分布列及数学期望；（3）假设2021年1月该垃圾处理

场可回收物中塑料品的回收量为a吨．当a为何值时，自2020年6月至2021年1月该垃圾处理场可回收物中塑料品的回收量的方差最小．（只需写出结论，不需证明）【答案】（1）17（2）分布列见解析，()2EX=（3）

4.4【解析】【分析】（1）记“该垃圾处理厂可回收物中废纸和塑料品的回收量均超过4.0吨”为事件A，推出只有8月份的可回收物中废纸和塑料品的回收量均超过4.0吨，然后求解概率．（2）X的所有可能取值为1，2，3，利用超几何概率公式求出概率得到分布列，然

后求解期望即可．（3）根据方差的计算公式，结合二次函数的性质即可求解最小值．【小问1详解】记“该垃圾处理厂可回收物中废纸和塑料品的回收量均超过4.0吨”为事件A由题意，只有8月份的可回收物中废纸和塑料品的回收量均超过4.0吨所以1()

7PA=【小问2详解】因为回收利用1吨废纸可再造出0.8吨好纸所以7月至12月回收的废纸可再造好纸超过3.0吨的月份有：7月、8月、10月，共3个月．X的所有可能取值为1，2，3．313364CC31(

1)C155PX====，223346CC93(2)C155PX====，313346CC31(3)C155PX====所以X的分布列为：X012P153515131()1232555EX=++=【小问3详解】4.4a=，当添加的新数a等于原几

个数的平均值时，方差最小．理由如下：由于2020年6月至2020年12月该垃圾处理场可回收物中塑料品的回收量分别为2.83.54.94.24.94.95.6,,,,,,，故其平均数为2.83.54.94.24.94.95.64.47

++++++=，2020年6月至2021年1月该垃圾处理场可回收物中塑料品的回收量方差为2222222222222221271271271111[()()()()][8]8888sxxxxxxxxxxaxxaxxax=−+−++−−++++−+++++−==2222

222222127127127111174.4888888xxxaaxxxaxxxa++++++−++++−+++==()2222212774.41774.486464xxxaa

++++−=-，其中1x，2x，7x为2020年6月至2020年12月该垃圾处理场可回收物中塑料品的回收量）由于()222212774.41864xxx+++-为定值，所以只需要2774.464aa−取最小即可，根据二次函数的性

质可知当4.4a=，2774.464aa−取最小，所以当添加的新数a等于原几个数的平均值时，方差最小．21.已知无穷数列na满足11a=.（1）若对于任意*Nn，有11nnaa+−=.（ⅰ）

当44a=时，求2a，3a；（ⅱ）求证：“20232023a=”是“1a，2a，3a，L，2023a为等差数列”的充分不必要条件.（2）若22a=，对于任意*Nn，有12nnnaaa++−=，求证：数列na

不含等于零的项.【答案】（1）（ⅰ）22a=，33a=；（ⅱ）证明见解析（2）证明见解析【解析】【分析】（1）（ⅰ）结合条件代入计算即可；（ⅱ）若20232023a=，由于202312022−=，所以当12023n，数列na为递增数列，不能存在降低的部分，否则2023a

达不到2023，若数列的公差为1−，20232021a=−；（2）假设ka为数列na的第一个为0项，而后进行反证即可.【小问1详解】解：（ⅰ）因为413aa−=，所以当14n，数列na为递增数列，且公差为1，不能存在降低的部分，所以2112aa=+=，31123

aa=+=.（ⅱ）若20232023a=，由于202312022−=，所以当12023n，数列na为递增数列，且公差为1，不能存在降低的部分，否则2023a达不到2023，所以其是充分条件，若数列公差为1−，20232021a=−，可见其是不必要条

件，所以”20232023a=”是“1a，2a，3a，L，2023a为等差数列”的充分不必要条件；【小问2详解】证明：假设0ka=，2k，是数列第一个为0项，则120kkaa−−−=，所以322kkaa−−=，42kkaa−−=或23ka−，以此

类推，可得21(,appqaq=为整数)，显然与已知矛盾.所以数列na不含等于零的项.的【点睛】与数列的新定义有关的问题的求解策略：1、通过给出一个新的数列的定义，或约定一种新的运算，或给出几个新模型来创设新问题的情景，要求在阅

读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实心信息的迁移，达到灵活解题的目的；2、遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、运算、验证，使得问题得以解决.