【文档说明】云南省昆明师范专科学校附属中学2020-2021学年高一下学期期中考试数学试题含答案.doc，共(12)页，1.037 MB，由小赞的店铺上传

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昆明师专附中高2023届2020－2021学年下学期期中考试考试时间：120分钟满分：150分I选择题(共60分)一、选择题(每题只有一个选项符合题意，本大题共12小题，每小题5分，共60分)1．函数tan4yx=−的定义域为（）。A．3+,4xxkkZ

∣B．3+2,4xxkkZ∣C．,4xxkkZ+∣D．2,4xxkkZ+∣2．下列命题正确的是（）。A．abab==B．ababC．//abab=D．00aa==3．已知角α的终边经过点(

－3,4)，则sin()4+的值为（）。A．25B．－25C．210D．－2104．函数()2sin2cos2fxxx=是（）。A．周期为2的奇函数B．周期为2的偶函数C．周期为4的奇函数D．周期为4的偶函数

5．设向量()1,2a=r，(),1bm=−，且()aba+⊥rrr，则实数m=（）。A．3−B．32C．2−D．32−6．将函数()sin2fxx=的图象向左平移6个单位得到函数()ygx=的图象，则函数()gx的图象的一条对称轴方程为（）。

A．6x=−B．12x=−C．12x=D．6x=7．已知3sin45−=，且α为锐角，则cosα＝（）。A．7210−B．210−C．210D．72108．如图，ABC中，,ABaACb==，DC＝3BD，AE＝

2EC，则DE等于（）。A.1334ab−+B．53124ab−B.3143ab+D．35412ab−+9．已知向量(1,0)a=r，(,1)bm=r，且a与b的夹角为4，则m的值为()。A．-1B．2C．-2

D．110.若函数1()sin()(0,0,0)22fxAxA=+在一个周期内的图象如图所示，则（）。A．()2sin13()3fxx=+B．()fx的图象的一个对称中心为7(,0)2−C．()fx的单调递增区间是5[3,3]

44kk−−，kZD．把π()2sin()3gxx=+的图象上所有点的横坐标变为原来的23，纵坐标不变，可得()fx的图象11．设函数()sin2cos2fxxx=+，给出下列结论：①()fx的最小正周期为；②()

fx在区间,88−内单调递增；③将函数()yfx=的图象向左平移4个单位长度，可得到函数cos2yx=的图象.其中所有正确结论的序号是（）。A．①②B．①③C．②③D．①②③12．在ABC中，a，b，c分别为A，B，C的对边，13,3ac==

，且()2222sin3abCbca=+−，则ABC的面积为（）。A．332B．33C．3D．63II非选择题(共90分)二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中横线上）13．已知向量()2,1a=−，()1,2b=，()//2aakb+rrr，则k

=。14．已知向量a，b的夹角为π6，2=a，3b=，则3ab−=。15．已知锐角α，β满足sinα＝255，cosβ＝1010，则α＋β＝。16．第24届国际数学家大会会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础进行设计的，如图，会标是由四个全等的直角三角形与一个正方形拼成的一个大正方形．如果

小正方形的面积为1，大正方形的面积为25，直角三角形中较大的角为．那么tan4+=。三、解答题（本大题有6小题，共70分，写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17．已知3sin5=，,2，()1ta

n2−=.（1）求sin2cossincos+−和tan的值；（2）求()tan2−的值.18．已知函数()2sin34fxxxR=+，．（1）求()fx的最小正周期和对称轴；（2）求()fx的单调递增区间和单调递减区间．（3）当0,2x，

求()fx值域．19．向量,ab满足1ab==及32=7ab−.（1）求,ab夹角的大小；（2）求3+2ab的值.20．在ABC中，D为AC边上一点，3CD=，8BC=，7BD=.（1）求sinBDC的值；（2）若60A=，求AD的长.

21．已知ABC的内角,,ABC的对边分别是,,abc，且222abcbc=+−．（1）求角A的大小；（2）若3,33abc=+=，求ABC的面积．22．已知函数2()4coscos13fxxx=++．（1）求6f的值；（2）求(

)fx的最小正周期和对称中心；（3）求()fx在7,1212上的最大值及取最大值时对应的x的值．昆明师专附中高2023届2020－2021学年下学期期中考试数学试卷答案1．函数tan4yx=−的定义域为

（）。A．3+,4xxkkZ∣B．3+2,4xxkkZ∣C．,4xxkkZ+∣D．2,4xxkkZ+∣【详解】由()()3424xkkZxkk

Z−++故选：A2．下列命题正确的是（）。A．abab==B．ababC．//abab=D．00aa==【详解】A中，两个向量的模相等，但是方向不一定相同，所以不正确；B中，两个向量不能比较大小，所以错误；C中，向量平行只能得到方向相同或相

反，不能得到向量一定相等，所以错误；D中，如果一个向量的模等于0，则这个向量是0，正确.故选：D.3．已知角α的终边经过点(－3,4)，则sin()4+的值为（）。A．25B．－25C．210D．－210【详解】解：设角

的终边经过点()3,4P−，22345OP=+=，由三角函数的定义知：3cos5=−，4sin5=，()222π43sinsincos+cossin444525210+==−=.故选：C.4．函数()2sin2c

os2fxxx=是（）。A．周期为2的奇函数B．周期为2的偶函数C．周期为4的奇函数D．周期为4的偶函数【详解】由题意得2()2sin2cos2sin42fxxxx==，所以22()sin(4)sin4()22fxxxfx−=−=−=−，故()fx为奇函数，周期242T==，故选：A

5．设向量()1,2a=r，(),1bm=−，且()aba+⊥rrr，则实数m=（）。A．3−B．32C．2−D．32−【详解】由题意，向量()1,2a=r，(),1bm=−，可得()1,1abm+=+rr，因为()aba+⊥rrr，可得()120

abam+⊥=++=rrr，解得：3m=−.故选：A.6．将函数()sin2fxx=的图象向左平移6个单位得到函数()ygx=的图象，则函数()gx的图象的一条对称轴方程为（）。A．6x=−B．12x=−C．12x=D．6x=【详解】解：将函数()sin2fxx=的图象向左平移6个单

位，得到()sin2sin263yxgxx+=+==令2,32xkkZ+=+，解得,212kxkZ=+，当0k=时，12x=.故选：C7．已知3sin45

−=，且α为锐角，则cosα＝（）。A．7210−B．210−C．210D．7210【详解】因为3sin45−=，且α为锐角，则﹣4＜4a−＜4，即cos（4a−）＝231()5−＝45，则cosα＝cos[（4a−）+4]＝cos（4a−）cos4﹣s

in（4a−）sin4＝22（45﹣45）＝210.故选：C.8．如图，ABC中，,ABaACb==，DC＝3BD，AE＝2EC，则DE等于（）。A.1334ab−+B．53124ab−C．3143ab+D．35412ab−+【详解】3

143DEDCCEBCAC=+=+−()3143ACABAC=−−35412ABAC=−+35412ab=−+，故选：D9.已知向量(1,0)a=r，(,1)bm=r，且a与b的夹角为4，则m的值为()。

A．-1B．2C．-2D．1【详解】解：（1）由向量夹角的坐标表示121222221122,cosxxabababyyxyxy+==++得：()22021mmm=+，解得：1m=；故选D.10.若函数1()sin()(0,0,0)22fxAxA=+在一个周期内的

图象如图所示，则（）。A．()2sin13()3fxx=+B．()fx的图象的一个对称中心为7(,0)2−C．()fx的单调递增区间是5[3,3]44kk−−，kZD．把π()2sin()3gxx=+

的图象上所有点的横坐标变为原来的23，纵坐标不变，可得()fx的图象【详解】由题图可知2A=，函数()fx的最小正周期4()34T=−=，故24312T===，解得43=，所以2()2sin()3fxx=+，又函数()fx的图象经过点(,2)4，所以()2sin(

2)2434f=+=，即sin()16+=，因为02，所以2663+，所以62+=，解得3=，所以()2sin13()3fxx=+，故A不正确；因为2377()2sin[()]2sin(2)022

3f−=−+=−=，所以()fx的图象的一个对称中心为7(,0)2−，故B正确；令2222332πππkπxkπ−++，kZ，解得5ππ3π3π44kxk−+，kZ，所以()fx的单调递增区间是

5[3,3]44kk−+，kZ，故C错误；把π()2sin()3gxx=+的图象上所有点的横坐标变为原来的23，纵坐标不变，可得到32sin()23yx=+的图象，故D错误．故选：B．11．设函数()sin2cos2fxxx=+，给

出下列结论：①()fx的最小正周期为；②()fx在区间,88−内单调递增；③将函数()yfx=的图象向左平移4个单位长度，可得到函数cos2yx=的图象.其中所有正确结论的序号是（）。A．①②B．①③C．

②③D．①②③【详解】由()sin2cos22sin(2)4fxxxx=+=+，所以()fx的最小正周期为22=，故①正确；要求()fx的单调增区间，即3222()42288kxkkxkkZ−+++−+

+，而3,[,]()8888kkkZ−−++故②正确；将()sin2cos22sin(2)2sin[2()]48yfxxxxx==+=+=+的图象向左平移4个单位长度，得到2sin[2()]2sin(2)2cos(2)84cos4422yxxxx

=++=++=+，故③错误．故选：A．12．在ABC中，a，b，c分别为A，B，C的对边，13,3ac==，且()2222sin3abCbca=+−，则ABC的面积为（）。A．332B．33C．3D．63【详解】()2222si

n3abCbca=+−，2222sin322abCbcabcbc+−=，即sin3cosaCAc=，由正弦定理可知，sin3cosAA=，即tan3A=，所以3A=，由余弦定理2213323cos3bb=+−，解得4b=（负值舍

），故三角形面积为113sin4333222bcA==，故选：B13．已知向量()2,1a=−，()1,2b=，()//2aakb+rrr，则k=。【详解】由()2,1a=−，()1,2b=，()24,22akbkk+=−++rr，()//2aakb+rrrQ，则444k

k−−=−+，0k=．故答案为:014．已知向量a，b的夹角为π6，2=a，3b=，则3ab−=。【详解】22222π3(3)9696cos6abababababab−=−=+−=+−=2336362321+−=.故答案为：21.15．已知锐角α，β满足sinα＝255

，cosβ＝1010，则α＋β＝。【详解】因为锐角α，β满足sinα＝255，cosβ＝1010，25cos1sin5=−=，2310sin1cos10=−=，()510253102coscoscossinsin5105102

+=−=−=−，,为锐角，0+，34+=.故答案为：34.16．第24届国际数学家大会会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础进行设计的，如图，会标是由四个全等的直角三角形与一个正方形拼成的一个大正方形．如果小正方

形的面积为1，大正方形的面积为25，直角三角形中较大的角为．那么tan4+=。【详解】由题意直角三角形的面积为25164−=，设直角三角形中小直角边长为x，则大直角边长为1x+，于是1(1)62xx+=，解得3x=，（4x=−舍去），所以4tan3=，41

tantan34tan()7441tantan1143+++===−−−．故答案为：7−．17．已知3sin5=，,2，()1tan2−=.（1）求sin2cossincos+−和tan的值；（2）求()ta

n2−的值.【详解】（1）由3sin5=，,2，可得234cos155=−−=−，sin3tancos4==−，因此sin2costan25sincostan17++=

=−−−；又由()1tantan2−=−=，1tan2=−；（2）由（1）得，3tan4=−，22tan4tan21tan3==−−，()tantan27tan21tantan224−−==+.18．已知

函数()2sin34fxxxR=+．（1）求()fx的最小正周期和对称轴；（2）求()fx的单调递增区间和单调递减区间．（3）当0,2x，求()fx值域．【详解】（1）∴23T=，令3,42xkkZ+=+，则,123kxkZ=+，故最小正周期为23

T=，对称轴为()Z123kxk=+.（2）∵232242kxk−+++，∴2243123kxk−++，∵3232242kxk+++，∴252123123kxk++，∴()fx的单调递增区间为()2

2,Z43123kkk−++，()fx的单调递减区间为()252,Z123123kkk++.（3）∵0,2x，∴73444x+，∴()22fx−，∴()fx的值域为2,2−.19．设向量,ab满足|a|1b==及|3

2ab−|7=.（1）求,ab夹角的大小；（2）求|32ab+|的值.【详解】解：（1）∵1ab==，|32ab−|7=，∴|32ab−|2=(32ab−)2=92−a1224abb+=7，即92a−1224abb+=7，可得13﹣1

2=ab7，解之得12ab=.设ab､夹角等于α，则cosα12abab==，∵α∈(0，π)，∴α3=，即ab､夹角的大小为3；（2）∵112abab===，.|32ab+|2=922124aabb++=9+1212+4=19

，∴3219ab+=20．在ABC中，D为AC边上一点，3CD=，8BC=，7BD=.（1）求sinBDC的值；（2）若60A=，求AD的长.【详解】（1）在BCD△中，据余弦定理，有2227381cos2737BDC+−=

=−.又0BDC，所以2143sin=177BDC−−=.（2）因为BDCAABD=+，则60ABDBDC=−.所以()4311353sinsin60727214ABDBDC=−=−−=.在ABD△中，据正弦定理，有

sinsinADBDABDBAD=.所以537sin145sin32BDABDADBAD===.21．已知ABC的内角,,ABC的对边分别是,,abc，且222abcbc=+−．（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）若

3,33abc=+=，求ABC的面积．【详解】（Ⅰ）依题意：2221cos222bcabcAbcbc+−===∵A∈(0，π)3A=（Ⅱ）由余弦定理得：2222cosabcbcA=+−即：22()2abcbc

bc=+−−，223()24bcbca=+−=，即8bc=1sin232ABCSbcA==22.已知函数2()4coscos13fxxx=++．（1）求6f的值；（2）求()fx的最小正周期和对称中心；（3）求()fx在7,1212

上的最大值及取最大值时对应的x的值．【详解】（1）由213()4coscos14coscossin1322fxxxxxx=++=−−+22cos3sin213si

n2cos22sin26xxxxx=−−+=−−=−+2sin22sin2sin2666362f=−+=−+=−=−（2）()fx的最小

正周期22T==令26,xkkZ+=，解得-+122,kxkZ=故()fx的对称中心为-+0122,kkZ（）（3）7,1212x，72,66x，42,633x+

由正弦函数性质知当42+=63x时，即7=12x时，所以4()=-2sin33maxfx=.