【文档说明】内蒙古自治区通辽市开鲁县第一中学2022-2023学年高二上学期期末数学试题 含解析.docx，共(21)页，1.904 MB，由小赞的店铺上传

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开鲁一中2022—2023学年度上学期高二年级期末检测数学（理）试题命题人：2023、01一、单选题1.已知集合2,0,1,2A=−，21Bxx=，则AB=（）A.1,0,1−B.0,1C.{}2,0,1-D.{}2,0,1,

2-【答案】B【解析】【分析】根据题意，求出集合B的具体范围，然后利用交集的定义即可求解.【详解】因为集合21{|11}Bxxxx==−，又集合2,0,1,2A=−，由交集的定义可得：{0,1}AB=，故选：B.2.若

复数z满足()12i1z+=，则z的共轭复数是（）A.12i55−+B.12i55−−C.12i55+D.12i55−【答案】C【解析】【分析】根据复数除法运算可求得z，根据共轭复数定义可得结果.【详解】()()112i12i12i12i12i12i555z−−====−++−，12i5

5z=+.故选：C.3.下列命题正确的是（）A.命题“xR，使得22xx”的否定是“xR，使得22xx”B.若()0,1x，则122lgxxxC.若函数()()28fxxkxk=−−R在1,4上具有单调性，则2kD.“3x”是“2560

xx−+”的充分不必要条件【答案】D【解析】【分析】A.利用含有一个量词的命题的否定的定义判断；B.根据指数函数、对数函数和幂函数的值域判断；C.利用二次函数的单调性判断；D.利用充分条件和必要条件的定义判断.【详解】A.命题“xR，使得22xx”是存在量词命题，则其否定是全称量词命题即：

“xR，都有22xx”，故错误；B.若()0,1x，则()()()1221,2,lg,0,0,1xxx−，所以122lgxxx，故错误；C.若函数()()28fxxkxk=−−R在1,4上具有单调性，则12k或42k，解得2k或8k，故错误；D.不

等式2560xx−+解得3x或2x，所以“3x”是“2560xx−+”的充分不必要条件，故正确故选：D4.以下说法正确的是（）A.1xx+的最小值为2B.21xx+的最小值为2C.22122xx+++的最小值为2D.若正实数a，b满

足a+b=1，则11abab++的最小值为4【答案】B【解析】【分析】利用基本不等式可判断BD正误，根据反例及取等条件可判断AC的正误.【详解】对于A，取=1x−，则12xx+=−，故1xx+

的最小值不是2，故A错误；对于B，2112xxxx+=+，当且仅当1x=时等号成立，故B正确.对于C，221222xx+++，因221x+=无实数解，故等号不可取，故22122xx+++的最小值不是2，故C错误.的对于D，1112abababab++=++，若11

abab++的最小值为4，则存在正数,ab，使得124abab++=，即12abab+=，解得1ab=，而1ab+=，故12ab即14ab，当且仅当12ab==时等号成立，故1ab=不成立即11ab

ab++的最小值不为4.故选：B.5.已知ABC的内角,,ABC所对的边分别为4,,,217,52,cos5abcabA===，则ABC的面积为（）A.362B.183C.27D.36【答案】C【解析】【分析】根据余弦定理求出c，再根

据22cossin1AA+=求出3sin5A=，再根据面积公式求解.【详解】由余弦定理得：2222cosabcbcA=+−即24417502525cc=+−即282180cc−−=，即()()9220cc−+=所以92c=，又因为22cossin1AA

+=，所以()30,π,sin5AA=所以ABC的面积为113sin529227225bcA==故选：C6.已知等差数列na的前n项和为nS，若510S=，1030S=，则20S=（）A.40B.7

0C.90D.100【答案】D【解析】【分析】利用等差数列的前n项和分别求出首项和公差，代入公式即可求解.【详解】设等差数列na的首项为1a，公差为d，因为510S=，1030S=，所以1154510210910302adad+=+=，解得：1

6525ad==，所以2012019622020190100255Sad=+=+=，故选：D.7.设12,FF分别是椭圆22221xyab+=的左、右焦点，若椭圆上存在点A，使12120FAF=且123A

FAF=，则椭圆的离心率为（）A.134B.135C.1510D.2【答案】A【解析】【分析】利用椭圆的定义求出213,22AaFaFA==，然后在12AFF△中利用余弦定理即可求解.【详解】由椭圆的定义可知：21

2AFAFa+=，因为123AFAF=，所以213,22AaFaFA==，在12AFF△中，由余弦定理可得：2222212121221210414cos3222acAFAFFFFAFaAFAF−+−===−，化简整理可得：221316ac=，所以2213

13164cceaa====，故选：A.8.三角形ABC的三边,,abc所对的角为,,ABC，221(sinsin)sinsincosABABC−−=+，则下列说法不正确的是（）A.π3C=B.若ABC面积为43，则

ABC周长的最小值为12C.当5b=，7c=时，9a=D.若4b=，π4B=，则ABC面积为623+【答案】C【解析】【分析】对于A，根据正弦定理和余弦定理可求出π3C=；对于B，由ABC面积为43，求出16ab=，由余弦定理得到c2()48ab=+−，再根据基本不等式可求出周长的最小

值；对于C，由余弦定理可求出结果；对于D，由正弦定理求出26c=，再根据三角形的面积公式可求出结果.【详解】对于A，由221(sinsin)sinsincosABABC−−=+，得221(sinsin)sinsin1sinABABC−−=+−，得222

sinsinsinsinsinABCAB+−=，由正弦定理得222abcab+−=，所以2221cos22abcCab+−==，因为0πC，所以π3C=，故A说法正确；对于B，因为ABC面积为43，所

以1sin432abC=，所以134322ab=，所以16ab=，由余弦定理得2222coscababC=+−222216ababab=+−=+−，所以2()216cabab=+−−2()48ab=+−，所以22()482(2)48abcabababab+

+=+++−+−224(24)48=+−12=，当且仅当4ab==时，等号成立，故ABC的周长的最小值为12.故B说法正确；对于C，当5b=，7c=时，由余弦定理得2222coscababC=+−，所以214925102aa=+−，得25240aa−−

=，解得8a=或3a=−（舍），故C说法不正确；对于D，若4b=，π4B=，由正弦定理得sinsincbCB=，得34sin2sin22bCcB==26=，所以ABC面积为11ππsin426sin(π)2234bcA=−−5π46sin1

2=，因为5πππsinsin()1246=+ππππsincoscossin4646=+23212622224+=+=，所以ABC面积为26464+623=+.故D说法正确.故选：C9.已知正项数列na的前n项和为nS

，满足2423nnnSaa=+−，则21nnSa++的最小值为（）A.1B.54C.3D.4【答案】B【解析】【分析】利用2n时，1nnnSSa−−=整理原式得到12nnaa−−=，即数列na为等差数列，然后根据等差数列的通项公式和前n项和公式得到2212222

nnSnnan++++=+，然后利用换元法和对勾函数的单调性求最小值即可.【详解】因为2423nnnSaa=+−，所以当2n时，2111423nnnSaa−−−=+−，两式相减得2211422nnnnnaaaaa−−=−+−，整理得()()()1112nnnnnnaaaaaa−−−++−=，因

为数列na为正项数列，所以10nnaa−+，则12nnaa−−=，数列na为等差数列，公差为2，当1n=时，211114423Saaa==+−，解得13a=或-1（舍去），所以21nan=+，()213222nnnSnnn−=+=+，则()()()22112221112221221n

nnSnnnannn++++++===+++++，令12nt+=，则21122nnStat+=++，函数122tyt=+在()1,+上单调递增，所以当2t=，即1n=时，21nnSa++取得最小值，最小值为54.故选：B.10

.已知P为抛物线24yx=上一个动点，Q为圆()2241xy+−=上一个动点，那么点P到点Q的距离与点P到抛物线的准线距离之和的最小值是（）A.251−B.252−C.171−D.172−【答案】C【解析】【分析】先根据抛物线方程求得焦点坐标，根据圆的方程

求得圆心坐标，根据抛物线的定义可知P到准线的距离等于点P到焦点的距离，进而问题转化为求点P到点Q的距离与点P到抛物线的焦点距离之和的最小值，根据图象可知当,,PQF三点共线时P到点Q的距离与点P到抛物线的焦点距离之和的最小，为圆心到焦点F

的距离减去圆的半径.【详解】抛物线24yx=的焦点为()1,0F，圆()2241xy+−=的圆心为()0,4C，半径1r=，根据抛物线的定义可知点P到准线的距离等于点P到焦点的距离，进而推断当,,PQF三点共线时，P到点Q的距离与点P到抛物线的焦点距离之和的最小值为17

1FCr−=−，故选C.【点睛】本题主要考查抛物线的标准方程和抛物线的简单性质及利用抛物线的定义求最值，属于中档题.与抛物线的定义有关的最值问题常常实现由点到点的距离与点到直线的距离的转化：（1）将抛物

线上的点到准线的距化为该点到焦点的距离，构造出“两点之间线段最短”，使问题得解；（2）将拋物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，利用“点与直线上所有点的连线中垂线段最短”原理解决.11.已知1F，2F是椭圆E：221812xy+=的两个焦点，过

点1F且斜率为k的直线l与E交于M，N两点，则2MNF的周长为（）A.8B.82C.83D.与k有关【答案】C【解析】【分析】根据椭圆E：221812xy+=可求得a，由椭圆的定义可得122MFMFa+=，122NFNFa+=，并且11MNMFNF=+，进

而即可求得2MNF的周长．【详解】由椭圆E：221812xy+=，则2=12a，即=23a，又椭圆定义可得122=43MFMFa+=，122=43NFNFa+=，且11MNMFNF=+，所以2MNF的周长为()()2222112=+

+=434383MNFCMFMNNFMFMFNFNF+++=+=．故选：C．12.设双曲线:C22221xyab−=()0,0ab的右顶点为A，左、右焦点分别为1F，2F，P是C在第一象限的一点，满足112PFFF=，2PFPA

=，则C的离心率为（）A.2B.3C.2D.5【答案】C【解析】【分析】根据已知条件，可得12FPF△∽2PAF△，则12222FFPFPFAF=.根据条件得出线段长度，即可得到2ca=，从而求出答案.的【详解】如图，由已知得，122PFPFa−=，1122PFFFc==，所以222PFca=

−，2AFca=−.12FPF△和2PAF△均为等腰三角形，且122212FPFPAFPFAFFP===，所以122PFFAPF=，所以12FPF△∽2PAF△，所以有12222FFPFPFAF=，即222222ccacaca−==−−，所以

2ca=，2cea==.故选：C.二、填空题13.设x，y满足约束条件110xyxyx+−，则2zxy=+的最小值是__________.【答案】1【解析】【分析】先根据条件画出可行域，要使2zxy=+的最小值，即直线2yxz=−

+在y轴上的截距最小，通过图象可知，直线2zxy=+经过可行域上的点A时，截距z最小.求出点A坐标，即可得到.【详解】x，y满足约束条件110xyxyx+−的可行域如图阴影部分所示：把2zxy=+变形为2yxz=−+，得到斜率为2−，在y轴上截距为z的一族平行直线.由图

可以看出，当直线2zxy=+经过可行域上的点A时，截距z最小.解方程01xxy=+=可得点A的坐标为()0,1.min2011=+=z.故答案为：1.14.抛物线28yx=的焦点到双曲线2213yx−=的渐近线的距离是__________.【答案】3【解析】【分

析】先求出抛物线的焦点坐标，再求出双曲线的渐近线方程，利用点到直线的距离公式即可求解.【详解】抛物线28yx=的焦点为(2,0)，双曲线2213yx−=的渐近线方程为3yx=，利用点到直线的距离公式可得：23313d==+，故答案为

：3.15.一道单选题，现有甲、乙、丙、丁四位学生分别选择了A，B，C，D选项．他们的自述如下，甲：“我没选对”；乙：“甲选对了”；丙：“我没选对”；丁：“乙选对了”．其中有且仅有一位同学说了真话，则

选对正确答案的同学是______．【答案】丙【解析】【分析】根据甲、乙两人有且只有一人说的是真话，以及四位同学中有且仅有一位同学说了真话，推出丙说的是假话，即答案为C，这样可得出结果.【详解】因为是单选题，即四个选项中有且只有一个正确，根据甲：“我没选对”；乙：“甲选对了”，可知甲和乙有且只有一

人说的是真话，又四位同学中有且仅有一位同学说了真话，所以丙说的是假话，即答案为C，所以丙同学选对了，此时也满足丁说的是假话.故答案为：丙.16.数列na满足1,N(21)(23)nannn=++，其前n项和为nS若nSM恒成立，则

M的最小值为________________________．【答案】16【解析】【分析】由裂项公式得11122123nann=−++，结合叠加法求得nS，可进一步判断M的取值范围.【详解】()()111121232212

3nannnn==−++++，则1112121111111123557233236nSnnn−−+++=−+−++=，因为nSM恒成立，所以16M，即M的最小值为16故答案为：16三、解答题17.设

函数()22fxxaxb=−++.（1）当2ab==时，求不等式()10fx的解集；（2）已知0a，0b，()fx的最小值为2，求证：41312ab++.【答案】（1）[]3,2-（2）证明见解析【解析】【分析】（1）利用零点分区间法去

绝对值号，即可解得；（2）先利用绝对值三角不等式得到22ab+=，再利用基本不等式“1”的妙用即可证明.【小问1详解】当2ab==时，不等式()10fx即为222410xx−++≤..去掉绝对值号可得：14210xx+或21610x−

或24210xx−−−，解得：12x或2<<1x−或32x−−≤≤，即为32x−所以不等式()10fx的解集为[]3,2-.【小问2详解】()()()2222222fxxaxbxaxbab=−++−−+=+

≥（当且仅当()()2220xaxb−+≤时取“＝”）.所以22ab+=∵0a，0b，∴222abab+=+=.∴123ab++=，∴()4114118112512312312baabababab++=+++=+++++181

523312baab++=+≥，（当且仅当1422abab+=+=，即1a=，12b=时取“＝”）.18.记锐角ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，sinsintancoscosACBAC+=+．（1）求B；（2）求()2aca

b−的取值范围．【答案】（1）π3B=（2）21,33−【解析】【分析】（1）通过化简得sin()sin()BACB−=−，则BACB−=−，结合πABC++=解得π3B=；（2）根据余弦定理得222acacb−=−，则22()1ac

acbb−=−，则转化为求cb的范围，根据正弦定理得sin23sinsin3cCCbB==，求出ππ62C，则1sin12C，则32333cb，，则得到答案.【小问1详解】因为sinsintancoscosACBAC

+=+，即sinsinsincoscoscosBACBAC+=+，所以sincossincoscossincossinBABCBABC+=+，即sincoscossincossinsincosBABABCBC−=−

，所以sin()sin()BACB−=−，因为0πA，0πB，所以ππBA−−，同理得ππCB−−，所以BACB−=−或()()πBACB−+−=（不成立），所以2BAC=+，结合πABC++=得

π3B=．【小问2详解】由余弦定理2221cos22acbBac+−==得，222acacb=+−，所以222acacb−=−，则2222222()1acaacacbcbbbb−−−===−，由正弦定理得，sin23sinsi

n3cCCbB==，因为π3B=，2π3AC+=，π02A，π02C，所以ππ62C，1sin12C，所以32333cb，，2()2133acab−−，．19.已知公比大于1的等比数

列{}na满足24320,8aaa+==．（1）求{}na的通项公式；（2）求112231(1)nnnaaaaaa−+−++−.【答案】（1）2nna=；（2）2382(1)55nn+−−【解析】【分析】(1)由题意得到关于首项、公比的方程组，求解方程组得到首项、公比的值即可确定数列的通项公式；

(2)首先求得数列()111nnnaa−+−的通项公式，然后结合等比数列前n项和公式求解其前n项和即可.【详解】(1)设等比数列na的公比为q(q>1)，则32411231208aaaqaqaaq+=+===，整理可得：225

20qq−+=，11,2,2qqa==，数列的通项公式为：1222nnna−==.(2)由于：()()()1121111122112nnnnnnnnaa−−++−+=−=−−，故：112231(1)nnnaaaaaa−+−++−35791212222(1)2nn−+

=−+−++−()()3223221282(1)5512nnn+−−==−−−−.【点睛】等比数列基本量的求解是等比数列中的一类基本问题，解决这类问题的关键在于熟练掌握等比数列的有关公式并能灵活运用，等差数列与等比数列求和公式是数列求和的基础.20

.如图，在直三棱柱111ABCABC-中，ABAC⊥，M、N分别是11,AABB的中点，12,1ABAAAC===．（1）求证：1CMCN⊥；（2）求直线CN与平面BCM所成角的正弦值；（3）求平面BCM与平面11ABBA所成角的余弦值．【答案】（1）证明见解析（2）69（3）23【解析

】【分析】（1）根据题意可知，利用线面垂直的性质定理即可证明线线垂直；（2）建立空间直角坐标系，利用线面角的向量方法即可求得直线CN与平面BCM所成角的正弦值；（3）首先求得两平面的法向量，用向量法即可求得平面BCM与平

面11ABBA所成角的余弦值.【小问1详解】连接MN，如下图所示，由于111ABCABC-是直三棱柱，易知1AAAB⊥，又因ABAC⊥，且1AAACA=，所以AB⊥平面11AACCM、N分别是11,AABB的中点，所以//MNAB，因此MN⊥平面11AACC；又1CM平面11

AACC，所以1MNCM⊥；易知11111,1,2AMAACACCCM=====，所以12CMCM==，满足22211CMCMCC+=，由勾股定理可知，1CMCM⊥，又因为MNCMM=，所以1CM⊥平面C

MN，又CN平面CMN，所以，1CMCN⊥.【小问2详解】由（1）可知，1,,ABACAA两两垂直，以A坐标原点，1,,ABACAA所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，如下图所示：为为

易得(0,0,0),(2,0,0),(0,1,0),(0,0,1),(2,0,1)ABCMN，(2,1,1),(2,1,0),(0,1,1)CNBCCM=−=−=−；设平面BCM的一个法向量为(,,)nxyz=，则·20·0nBC

xynCMyz=−+==−+=，令2y=得，1,2xz==，即(1,2,2)n=；设直线CN与平面BCM所成的角为，所以26sincos936nCNnCNnCN====，；即直线CN与平面B

CM所成角的正弦值为69.【小问3详解】由（2）知，平面BCM的一个法向量为(1,2,2)n=，易知，平面11ABBA的一个法向量为(0,1,0)AC=，设平面BCM与平面11ABBA所成的角（锐角）为，所以，2coscos,3nACACnnAC===；所以，平面

BCM与平面11ABBA所成角的余弦值为23.21.近年来，“直播带货”受到越来越多人的喜爱，目前已经成为推动消费的一种流行的营销形式．某直播平台800个直播商家，对其进行调查统计，发现所售商品多为小吃、衣帽、生鲜、玩具、饰品类等，各类

直播商家所占比例如图1所示．（1）该直播平台为了更好地服务买卖双方，打算随机抽取40个直播商家进行问询交流．如果按照分层抽样的方式抽取，则应抽取小吃类、玩具类商家各多少家？（2）在问询了解直播商家的利润状况时，工作人员对抽取的40个商家的平均日利润进行了统计（单位：元

），所得频率分布直方图如图2所示．请根据频率分布直方图计算下面的问题；（ⅰ）估计该直播平台商家平均日利润的中位数与平均数（结果保留一位小数，求平均数时同一组中的数据用该组区间的中点値作代表）；（ⅱ）若将平均日利润超过420元的商家成为“优秀商家”，估计该直播平台“优秀商家”的个数．【

答案】（1）小吃类16家，玩具类4家；（2）（i）中位数为342.9，平均数为352.5；（2）128.【解析】【分析】（1）根据分层抽样的定义计算即可；（2）（i）根据中位数和平均数的定义计算即可；（ii）根据样本中“优秀商家”的个数来估计总体中“优秀商家”的个数即可.【小问1详解】()4

0125%15%10%5%5%16−−−−−=，4010%4=，所以应抽取小吃类16家，玩具类4家.【小问2详解】（i）根据题意可得()0.00130.0030.0050.007501a++++=，解得0.002a=，设中位数为x，因为()0.0010.003500.2

+=，()0.0010.0030.007500.55++=，所以()3000.0070.20.5x−+=，解得342.9x，平均数为()2250.0012750.0033250.0073750.0054250.0024750.0015250.00150352.5++

++++=，所以该直播平台商家平均日利润的中位数为342.9，平均数为352.5.（ii）4504200.0020.0010.0015080012850−++=,所以估计该直播平台“优秀商家”的个数为128.22.已知椭圆()2222:

10xyCabab+=的左、右焦点分别为1F，2F，且124FF=，且2ab=.（1）求椭圆C的方程；（2）过点1F的直线l与椭圆C交于A，B两个不同的点，求证：x轴上存在定点P，使得直线PA与直线PB的斜率之和为零.

【答案】（1）22184xy+=；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）利用待定系数法求出椭圆C的方程；（2）对直线l的斜率是否存在，进行分类讨论：当直线l的斜率存在时，设直线l：()2ykx=+.设x轴上存在定点(),0Pt，利

用“设而不求法”表示出0PAPBkk+=，求出()4,0P−；再由对称性判断出直线l的斜率不存在时符合题意.【小问1详解】由题意可得：222242cabcab==+=，解得：2282cab===

，所以椭圆C的方程为22184xy+=.【小问2详解】设()()1122,,,AxyBxy.当直线l的斜率存在时，设为k，则直线l：()2ykx=+.联立()221842xyykx+==+，消去y可得：()2222128880kxkxk+++−=.所以221

21222888,1212kkxxxxkk−+=−=++.设x轴上存在定点(),0Pt，则110PAykxt−=−，220PBykxt−=−.因为1212000PAPByykkxtxt−−+=+=−−，所以()()()()1221120P

APByxtyxtkkxtxt−+−+==−−，所以()()12210yxtyxt−+−=，即()()()()1221220kxxtkxxt+−++−=，整理得：()()12122240xxtxxt+−+−=，所以()222288822

401212kkttkk−+−−−=++，所以22221616168480kktkttk−−+−−=，解得：4t=−.即()4,0P−.当直线l的斜率不存在时，由对称性可知：A，B关于x轴对称，由()4,0P−，可知直线PA与直线PB关于x轴对称，所以直线PA与直线PB的斜

率之和为零.符合题意.综上所述：x轴上存在定点()4,0P−，使得直线PA与直线PB的斜率之和为零.获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxue100.com