【文档说明】天津市第一中学2020-2021学年高一下学期期末考试数学试题 PDF版含答案.pdf，共(11)页，554.846 KB，由小赞的店铺上传

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天津一中2020－2021－2高一年级数学学科期末质量调查试卷本试卷分为第I卷（选择题）、第II卷（非选择题）两部分，共100分，考试用时90分钟。第Ⅰ卷为第1页，第Ⅱ卷为第2-3页。考生务必将答案涂写规定

的位置上，答在试卷上的无效。祝各位考生考试顺利!第Ⅰ卷一．选择题：（每小题4分，共32分）在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．复数z满足112iiz，则z（）A．25B．105C．1025D．102．已知向量(1,),(3,2)amb

，且()abb，则m（）A．8B．8C．6D．63．“幸福感指数”是指某个人主观地评价他对自己目前生活状态的满意程度的指标，常用区间[0,10]内的一个数来表示，该数越接近10表示满意度越高.现随机抽取10位和平区居民，他们的幸福感指数为3，4，5，5

，6，7，7，8，9，10.则这组数据的80%分位数是（）A.7.5B.8C.8.5D.94．在普通高中新课程改革中，某地实施“3+1+2”选课方案．该方案中“2”指的是从政治、地理、化学、生物4门中任选2门作为选考科目，假设每门科目被选中的可能性相等，那么化学和生物至多有一门被选中的概

率是（）A．16B．12C．23D．565．为了给热爱朗读的师生提供一个安静独立的环境，某学校修建了若干“朗读亭”．如图所示，该朗读亭的外形是一个正六棱柱和正六棱锥的组合体，正六棱柱两条相对侧棱所在的轴截面为

正方形，若正六棱锥与正六棱柱的侧面积之比为7:8，则正六棱锥与正六棱柱的高的比值为（）A．32B．23C．34D．126．2021年是中国共产党建党100周年，为全面贯彻党的教育方针，提高学生的审美水平和人文素养，促进学生全面发展．某学校高一年级举办了班级合唱活动．现从

全校学生中随机抽取部分学生，并邀请他们为此次活动评分（单位：分，满分100分），对评分进行整理，得到如图所示的频率分布直方图，则下列结论不正确的是（）A．0.028aB．若该学校有3000名学生参与了评分，则估计评分超过90分的学生人数为600C．学

生评分的众数的估计值为85D．学生评分的中位数的估计值为837.ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，则下列说法正确的个数是（）①若AB，则sinsinAB②若30A，4b，3a，则ABC有

两解③若ABC为钝角三角形，则222abc④若60A，2a，则ABC面积的最大值为3A．1个B．2个C．3个D．4个8．ABC中，E为AC上一点，3ACAE，P为BE上任一点，若(0,0)APmABnACmn

，则31mn的最小值是（）A．9B．10C．11D．12第Ⅱ卷二．填空题：（每小题4分，共24分）9．某高校甲、乙、丙、丁四个专业分别有150，150，400，300名学生．为了解学生的就业倾向，用分层随机抽样的方法从该校这四个专业共抽取40名学生进行调查，应在丙专业

抽取的学生人数为________人．10．某同学进行投篮训练，在甲、乙、丙三个不同的位置投中的概率分别13，12，p，该同学站在这三个不同的位置各投篮一次，恰好投中两次的概率为718，则p的值为__________．11．已知某6个数据的平均数为4，方差为8，现加入2和6两个

新数据，此时8个数据的方差为__________．12．已知边长为4的正方形ABCD中，AC与BD交于点E，且F、G分别是线段EC和线段EB的中点，则FDEAAG__________．13.如图在三棱锥BCDA中，,2,

3BCADCDBDACABNM,分别是BCAD,的中点，则异面直线AN与CM所成角的余弦值为__________．14．如图三棱锥PABC，平面PBC平面ABC，已知PBC是等腰三角形，ABC是等腰直角三角形，若2ABBC，5PBPC，球O是三棱锥PABC的外接球

，则球O的表面积是_________．三．解答题：(本大题共4小题，共44分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。)15.在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知cos3sin0abcAaC．（Ⅰ）求C的值；（Ⅱ）若23c，2ba，求ABC的面积S．

16.如图，在四棱锥PABCD中，底面四边形ABCD满足ABAD，//BCAD，2ADBC，且M为PA的中点.（Ⅰ）求证：//BM平面PCD；（Ⅱ）若平面PAD平面ABCD，且DPDA，求证：平面BDM平面PAB.17.天津

市某中学高三年级有1000名学生参加学情调研测试，用简单随机抽样的方法抽取了一个容量为50的样本，得到数学成绩的频率分布直方图如图所示：（Ⅰ）求第四个小矩形的高，并估计本校在这次统测中数学成绩不低于12

0分的人数和这1000名学生的数学平均分.（Ⅱ）已知样本中成绩在[140，150]内的学生中有两名女生，现从成绩在这个分数段的学生中随机抽取2人做学习交流，①写出这个试验的样本空间；（用恰当的符号表达）②设事件A:”选取的两人中至少有一名女生”,写出事件A的样本点，并求事件A发生的

概率.18．如图，在三棱柱111ABCABC中，1AA平面1,2ABCAAACBC,90ACB，,DE分别是111,ABCC的中点（Ⅰ）求证：1//CD平面1ABE；（Ⅱ）求直线1BC与平面1ABE所成角的正弦值；

（Ⅲ）在棱1CC上是否存在一点P，使得平面PAB与平面1ABE的夹角为60？若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明理由．参考答案：1．【答案】B【分析】根据复数除法的运算性质以及复数模长的计算公式代入化简求解.【详解】由题意，

221(1)(21)12312(21)(21)415iiiiiiziiii，则223110555z.故选：B.2．【答案】B【解析】因为向

量(1,),(3,2)amb，所以4,2abm，又()abb，所以12220m，所以8m．故选B．3.C4．【答案】D【分析】采用列举法得到所有可能的情况，根据古典概型概率计算公式得到结果.【详解】从4门学科中任选2门共有：政治+地

理、政治+化学、政治+生物、地理+化学、地理+生物、化学+生物，共6种情况，其中满足化学和生物至少有一门被选中的有5种情况，所以其概率为56.故选：D5．【答案】D【解析】设正六棱柱底面边长为a，由题意可知正六棱柱的高为2a，则可知正六棱柱的侧面积为26212aaa．设正六棱锥

的高为h，可知正六棱锥侧面的一个三角形的边为a上的高为2234ah，所以正六棱锥的侧面积为222213363244aahaah，由题意有2223374128aahhaa，所以六棱锥与正六棱柱的高的比值为122aa．故选D．6．【

答案】D【分析】对A，由频率之和为1可得；对B，根据频率分布直方图直接计算；对C，由最高长方形底边中点对应的横坐标是样本数据的众数可得；对D，先判断出中位数在80,90内，列出式子可求.【详解】对于A，由频率分布直方图中各个小

矩形的面积之和为1，知0.060.06100.40.21a，解得0.028a，A正确；对于B，由频率分布直方图易知，估计参与评分的3000名学生中，评分超过90分的人数为30000.0210600，B正确；对于C，由频率分布直方图

可知，众数的估计值为85，C正确；对于D，前三组频率之和为0.0060.0060.028100.4，前四组频率之和为0.40.04100.8，则中位数在80,90内，设学生评分的中位数的估

计值为x，则0.4800.040.5x，解得82.5x，D错误．故选：D.【点睛】频率分布直方图中的常用结论：（1）频率分布直方图中所有小长方形的面积之和为1；（2）频率分布直方图中最高长方形底边中点对应的横坐标是样本数据的众数；（3）平分频

率分布直方图中小矩形的面积且垂直于横轴的直线与横轴交点的横坐标是样本数据的中位数；（4）频率分布直方图中每个小长方形的面积与对应小长方形底边中点的横坐标的乘积之和是样本数据的平均数．7.【答案】C【分析】利用正弦定理结合大边对大角定理可判断A选项的正误；利用正弦定理可

判断B选项的正误；利用余弦定理可判断C选项的正误；利用基本不等式、余弦定理结合三角形的面积公式可判断D选项的正误.【详解】对于A选项，若AB，则ab，由正弦定理可得sinsinabAB，所以，sinsinAB，A选项正确；对于B选

项，sin4sin302bA，则sinbAab，所以，ABC有两解，B选项正确；对于C选项，若ABC为钝角三角形且C为钝角，则222cos02abcCab，可得222abc，C选项

错误；对于D选项，由余弦定理与基本不等式可得2222242cos2abcbcAbcbcbcbcbc，即4bc，当且仅当2bc时，等号成立，所以，13sin324ABCSbcAbc△，D选项正确.故选：C.【点睛

】方法点睛：求三角形面积的最值是一种常见的类型，主要方法有两类：（1）找到边与边之间的关系，利用基本不等式来求解；（2）利用正弦定理，转化为关于某个角的三角函数，利用函数思想求解.8．【答案】D【分析】由题意结

合向量共线的充分必要条件首先确定,mn的关系，然后结合均值不等式的结论整理计算即可求得最终结果.【详解】由题意可知：3APmABnACmABnAE，,,PBE三点共线，则：31mn，据此有：3131993662

12nmnmmnmnmnmnmn，当且仅当11,26mn时等号成立.综上可得：31mn的最小值是12.本题选择D选项.9．【试题来源】2011年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）【答案】16【解析】因为高校甲乙丙丁

四个专业分别有150150400300，，，名学生，所以本校共有学生1000名，因为用分层抽样的方法从该校四个专业共抽取40名学生进行调查，所以每个个体被抽到的概率是401100025，因为丙专业有400

人，所以要抽取14001625人．10．【答案】23【分析】在甲、乙、丙处投中分别记为事件A，B，C，恰好投中两次为事件ABC，ABC，ABC发生，由此利用相互独立事件概率乘法公式能求出结果．【详解】在甲、乙、丙处投

中分别记为事件A，B，C，恰好投中两次为事件ABC，ABC，ABC发生，故恰好投中两次的概率P1111113232pp（113）17218p，解得p23．故答案为：23．【点睛

】本题考查概率的求法，考查相互独立事件概率乘法公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．11．【答案】B【分析】利用方差公式可求得结果.【详解】设原数据为1a、2a、3a、4a、5a、6a，则616424iia，6211486i

ia加入2和6两个新数据后，所得8个数据的平均数为612648iia，所得8个数据的方差为622221424644844788iias.故选：B.12．【答案】16【详解】以A为坐标原点，AB所在直线为x轴建系，则(3,3),(0,4),

(2,2),(3,1)FDEGFDEAAG((3,1)(2,2))(3,1)(5,1)(3,1)1613.8714．C15.【答案】（1）3；（2）23．【解析】【分析】（

1）在ABC中，由正弦定理化简得sinsincos3sinsin0AACAC，又由sin0A，化简得1sin()62C，即可求得C的值；（2）在ABC中，由余弦定理，列出关于a方程，求得

2,4ab，再利用三角形的面积公式，即可求解．【详解】（1）由题意，知cos3sin0abcAaC，由正弦定理可得sinsinsincos3sinsin0ABCAAC，整理得sinsin()sincos

3sinsin0AACCAAC，即sinsincos3sinsin0AACAC，又因为(0,)A，则sin0A，所以3sincos2sin()16CCC，即1sin()62C，又因为5666C，所以66C，解得3C．（2）在ABC中

，由余弦定理可得222222coscababCabab，因为23c，2ba，所以222212423aaaa，解得2a，所以24ba，则三角形的面积113sin2423222SabC．【

点睛】本题主要考查了正弦定理、余弦定理和三角形的面积公式的应用，其中在解有关三角形的题目时，要抓住题设条件和利用某个定理的信息，合理应用正弦定理和余弦定理李额方程求解是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基

础题．16.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）取PD的中点N，连结MN，CN，推导出四边形BMNC是平行四边形，得到//BMCN，由线面平行的判定定理，即可证明//BM平面PCD．（2）由面面垂直的性质定理可证AB平面PAD，ABDM，

DMPA，得到DM平面PAB，由面面垂直的判定定理，可证明平面BDM平面PAB．【详解】证明：（1）取PD的中点N，连接MN，CN.因为M是PA的中点，所以MN为PAD△的中位线，所以1//2MNAD.又因为1//2BCAD，所以//MNBC，所以四边形BMNC为平行四边形，所以/

/BMCN.又BM平面PCD，CN平面PCD，所以//BM平面PCD.（2）因为平面PAD平面ABCD，且平面PAD平面ABCDAD，ABAD，ABÌ平面ABCD，所以AB平面PAD.∵DM平面PAD，∴ABDM.又因为DPDA，M为PA的中点，所以D

MPA，∵PA平面PAB，ABÌ平面PAB，且PAABA，所以DM平面PAB.又DM平面BDM，所以平面BDM平面PAB.【点睛】本题考查线面平行、面面垂直的证明，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．17.(1)由频率分布直方图可

知，第四个矩形的高为：0.1-(0.010+0.020+0.030+0.012)=0.028，成绩不低于120分的频率为：(0.030+0.028+0.012)×10=0.7；所以高三年级不低于120分的人数为：0.

7×1000=700人.(2)由频率分布直方图知，成绩在[140,150]的人数是6，记女生为A，B，男生为c,d,e,f，从这6人中抽取2人的情况有AB，Ac，Ad，Ae，Af，Bc，Bd，Be，Bf，cd，ce

，cf，de，df，ef，共15种.其中至少有一名女生的情况有9种，故至少有一名女生的概率为.18．（1）证明:取AB的中点F，连接DF，交1AB于点M，可知M为DF的中点，连接EM，易知四边形1CDME为平行四

边形，所以1//CDEM，又1CD平面1ABE，EM平面1ABE，所以1//CD平面1ABE.（2）分别以1,,CACBCC所在的直线为x轴、y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，可得11(0,2,0),(

0,0,2),(0,0,1),(2,0,2)BCEA，则11(0,2,2),(2,0,1),(0,2,1)BCEAEB，设平面1ABE的法向量为(,,)nxyz，则100nEAnEB，即2020

xzyz，令1x，可得1,2yz，即(1,1,2)n，所以1113cos,6BCnBCnBCn，所以直线1BC与平面1ABE所成角的正弦值为36.（3）假设在棱1CC是

存在一点P，设,(02)CPaa，可得(0,0,)Pa，由(2,0,0),(0,2,0)AB，可得(2,0,),(0,2,)PAaPBa，设平面PAB的法向量为111(,,)mxyz，则00mPAmPB，即1220

20xazyaz，令2z，可得11,xaya，即(,,2)maa，又由平面1ABE的一个法向量为(1,1,2)n，所以224cos,46mnmnmnaa，因为平面PAB与平面1ABE所成二面角为60，

可得2241cos60246aa，解得2103a，此时303a，符合题意，所以在棱1CC上存在一点300,0,3P，使得平面PAB与平面1ABE所成二面角为60.