【文档说明】2020年真题+高考模拟题 专项版解析 理科数学——06 三角函数及解三角形（教师版）【高考】.docx，共(32)页，1.343 MB，由小赞的店铺上传

转载请保留链接：https://www.doc5u.com/view-9d281dc4c39b1890ed56fe00bb1c7b94.html

以下为本文档部分文字说明：

专题06三角函数及解三角形1．【2020年高考全国Ⅰ卷理数】设函数π()cos()6fxx=+在[−π，π]的图像大致如下图，则f（x）的最小正周期为A．10π9B．7π6C．4π3D．3π2【答案】C【解析】由图可得：函数图象过点4,09−，将它代入函数()fx可得

：4cos096−+=，又4,09−是函数()fx图象与x轴负半轴的第一个交点，所以4962−+=−，解得32=.所以函数()fx的最小正周期为224332T===故选C．【点睛】本题主要考查

了三角函数的性质及转化能力，还考查了三角函数周期公式，属于中档题.2．【2020年高考全国Ⅰ卷理数】已知π()0,，且3cos28cos5−=，则sin=A．53B．23C．13D．59【答案】A【解析】3

cos28cos5−=，得26cos8cos80−−=，即23cos4cos40−−=，解得2cos3=−或cos2=（舍去），又25(0,),sin1cos3=−=.故选：A．【点睛】本题考查三角恒等变换和同角间的三角函数关系求值，熟记公式是解题的关键，考查计

算求解能力，属于基础题.3．【2020年高考全国Ⅱ卷理数】若α为第四象限角，则A．cos2α>0B．cos2α<0C．sin2α>0D．sin2α<0【答案】D【解析】方法一：由α为第四象限角，可得3222,2kkk++Z，所以34244,kkk

++Z此时2的终边落在第三、四象限及y轴的非正半轴上，所以sin20，故选：D．方法二：当6=−时，cos2cos03=−，选项B错误；当3=−时，2cos2

cos03=−，选项A错误；由在第四象限可得：sin0,cos0，则sin22sincos0=，选项C错误，选项D正确；故选：D．【点睛】本题主要考查三角函数的符号，二倍角公式，特殊角的三角函数值等知识，意在考查学生的转化

能力和计算求解能力.4.【2020年高考全国III卷理数】在△ABC中，cosC=23，AC=4，BC=3，则cosB=A．19B．13C．12D．23【答案】A【解析】在ABC中，2cos3C=，4AC=，3BC

=，根据余弦定理：2222cosABACBCACBCC=+−，2224322433AB=+−，可得29AB=，即3AB=，由22299161cos22339ABBCACBABBC+−+−===，故1cos9B=.故选：A．5．【2020年高考全国Ⅲ卷

理数】已知2tanθ–tan(θ+π4)=7，则tanθ=A．–2B．–1C．1D．2【答案】D【解析】2tantan74−+=，tan12tan71tan+−=−，令tan,1tt=，则1

271ttt+−=−，整理得2440tt−+=，解得2t=，即tan2=.故选：D．【点睛】本题主要考查了利用两角和的正切公式化简求值，属于中档题.6．【2020年高考北京】2020年3月14日是全球首个国际圆周率日（Day）．历史上，求圆周率的方法有多种，与中

国传统数学中的“割圆术”相似．数学家阿尔·卡西的方法是：当正整数n充分大时，计算单位圆的内接正6n边形的周长和外切正6n边形（各边均与圆相切的正6n边形）的周长，将它们的算术平均数作为2的近似值．按照阿尔·卡西的方法，的近似值的表达式是A．30303sintannnn+

B．30306sintannnn+C．60603sintannnn+D．60606sintannnn+【答案】A【解析】单位圆内接正6n边形的每条边所对应的圆周角为360606nn=，每条边长为302sinn，所以，单位圆的内接正

6n边形的周长为3012sinnn，单位圆的外切正6n边形的每条边长为302tann，其周长为3012tannn，303012sin12tan303026sintan2nnnnnnn+==+，则30303sintannnn=+

.故选：A．【点睛】本题考查圆周率的近似值的计算，根据题意计算出单位圆内接正6n边形和外切正6n边形的周长是解答的关键，考查计算能力，属于中等题.7．【2020年新高考全国Ⅰ卷】下图是函数y=sin(ωx+φ)的部分图像，则sin(ωx+φ)=A．πsin(3x+

）B．πsin(2)3x−C．πcos(26x+）D．5πcos(2)6x−【答案】BC【解析】由函数图像可知：22362T=−=，则222T===，所以不选A,当2536212x+==时，

1y=−()5322122kkZ+=+，解得：()223kk=+Z，即函数的解析式为：2sin22sin2cos2sin236263yxkxxx=++=++=+=−

.而5cos2cos(2)66xx+=−−故选：BC．【点睛】已知f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的部分图象求其解析式时，A比较容易看图得出，困难的是求待定系数ω和φ，常用如下

两种方法：(1)由ω＝2T即可求出ω；确定φ时，若能求出离原点最近的右侧图象上升(或下降)的“零点”横坐标x0，则令ωx0＋φ＝0(或ωx0＋φ＝π)，即可求出φ.(2)代入点的坐标，利用一些已知点(最高点、最低点或“零点”)坐标代入解析式，再结合图形解出ω和φ，若

对A，ω的符号或对φ的范围有要求，则可用诱导公式变换使其符合要求.8.【2020年高考全国Ⅰ卷理数】如图，在三棱锥P–ABC的平面展开图中，AC=1，3ABAD==，AB⊥AC，AB⊥AD，∠CAE=30°，则cos∠FCB=______________.【答案】14−【解析

】ABAC⊥，3AB=，1AC=，由勾股定理得222BCABAC=+=，同理得6BD=，6BFBD==，在ACE△中，1AC=，3AEAD==，30CAE=，由余弦定理得22232cos301321312CEACAEACAE=

+−=+−=，1CFCE==，在BCF中，2BC=，6BF=，1CF=，由余弦定理得2221461cos22124CFBCBFFCBCFBC+−+−===−.故答案为：14−.【点睛】本题考查利用余弦定理解三角形，考查计算能力，属于中等题.9．【2020年高考全国III卷理数】

16.关于函数f（x）=1sinsinxx+有如下四个命题：①f（x）的图像关于y轴对称．②f（x）的图像关于原点对称．③f（x）的图像关于直线x=2对称．④f（x）的最小值为2．其中所有真命题的序号是_______

___．【答案】②③【解析】对于命题①，152622f=+=，152622f−=−−=−，则66ff−，所以，函数()fx的图象不关于y轴对称，命题①错误；对于命题②，函数()fx的定义域为,

xxkkZ，定义域关于原点对称，()()()()111sinsinsinsinsinsinfxxxxfxxxx−=−+=−−=−+=−−，所以，函数()fx的图象关于原点对称，命题②正确；对于命题③，11sincos22cossin2f

xxxxx−=−+=+−，11sincos22cossin2fxxxxx+=++=++，则22fxfx−=+，所以，函数()fx的图象关于直线2x=对称，命题③正确；对于命题④，

当0x−时，sin0x，则()1sin02sinfxxx=+，命题④错误.故答案为：②③.【点睛】本题考查正弦型函数的奇偶性、对称性以及最值的求解，考查推理能力与计算能力，属于中等题.10．【2020年高考江苏】已知2sin()4

+=23，则sin2的值是▲．【答案】13【解析】22221sin()(cossin)(1sin2)4222+=+=+Q121(1sin2)sin2233+==故答案为：13【点睛】本题考查两角和正弦公式、二倍角正弦公式，考查基本分析求解能力，属基础题.11．【

2020年高考北京】若函数()sin()cosfxxx=++的最大值为2，则常数的一个取值为________．【答案】2（2,2kkZ+均可）【解析】因为()()()()22cossinsin1coscossin1sinfxxxx=++=+++，所以

()22cossin12++=，解得sin1=，故可取2=.故答案为：2（2,2kkZ+均可）.【点睛】本题主要考查两角和的正弦公式，辅助角公式的应用，以及平方关系的应用，考查学生的数学运算能力，属于基础题.12．【2020年高考浙江】已知ta

n2=，则cos2=_______，πtan()4−=_______．【答案】35-；13【解析】2222222222cossin1tan123cos2cossincossin1tan125−−−=−====−+++，tan1211tan(

)41tan123−−−===++，故答案为：31,53−【点睛】本题考查二倍角余弦公式以及弦化切、两角差正切公式，考查基本分析求解能力，属基础题.13．【2020年高考江苏】将函数πsin(32)4yx=﹢的图象向右平移π6个单位长

度，则平移后的图象中与y轴最近的对称轴的方程是▲．【答案】524x=−【解析】3sin[2()]3sin(2)6412yxx=−+=−72()()122242kxkkZxkZ−=+

=+当1k=−时524x=−.故答案为：524x=−【点睛】本题考查三角函数图象变换、正弦函数对称轴，考查基本分析求解能力，属基础题.14．【2020年新高考全国Ⅰ卷】某中学开展劳动实习，学生加工制作零件，零件的截面如图所示．O为圆孔及轮廓圆弧AB所在圆的圆心，A是

圆弧AB与直线AG的切点，B是圆弧AB与直线BC的切点，四边形DEFG为矩形，BC⊥DG，垂足为C，tan∠ODC=35，BHDG∥，EF=12cm，DE=2cm，A到直线DE和EF的距离均为7cm，圆孔半径为1

cm，则图中阴影部分的面积为________cm2．【答案】542+【解析】设==OBOAr，由题意7AMAN==，12EF=，所以5NF=，因为5AP=,所以45AGP=，因为//BHDG，所以45AHO=，因为AG与圆弧AB相切于A点，所

以OAAG⊥，即OAH△为等腰直角三角形；在直角OQD△中，252OQr=−，272DQr=−，因为3tan5OQODCDQ==，所以3252212522rr−=−，解得22r=；等腰直角OAH△的面积为11222242S==；扇形AOB的面

积()221322324S==，所以阴影部分的面积为1215422SS+−=+.故答案为：542+.【点睛】本题主要考查三角函数在实际中应用，把阴影部分合理分割是求解的关键，以劳动实习为背景，体现了五育并举的育人方针.15．【2020年高考全

国II卷理数】ABC△中，sin2A－sin2B－sin2C=sinBsinC．（1）求A；（2）若BC=3，求ABC△周长的最大值．【解析】（1）由正弦定理和已知条件得222BCACABACAB−−=，①由余弦定理得2222cosBC

ACABACABA=+−，②由①，②得1cos2A=−.因为0πA，所以2π3A=.（2）由正弦定理及（1）得23sinsinsinACABBCBCA===，从而23sinACB=，23sin(π)3cos3sinAB

ABBB=−−=−.故π33sin3cos323sin()3BCACABBBB++=++=++.又π03B，所以当π6B=时，ABC△周长取得最大值323+.16．【2020年高考江苏】在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知3,2,45acB===．（1）求s

inC的值；（2）在边BC上取一点D，使得4cos5ADC=−，求tanDAC∠的值．【解析】（1）在ABC△中，因为3,2,45acB===，由余弦定理2222cosbacacB=+−，得292232cos455b=+−

=，所以5b=.在ABC△中，由正弦定理sinsinbcBC=，得52=sin45sinC，所以5sin.5C=（2）在ADC△中，因为4cos5ADC=−,所以ADC为钝角，而180ADCCCAD++

=,所以C为锐角.故225cos1sin,5CC=−=则sin1tancos2CCC==.因为4cos5ADC=−，所以23sin1cos5ADCADC=−=，sin3tancos4ADCADCADC==−.从而31tan()242tantan(18

0)tan()===311tantan111()42ADCCADCADCCADCCADCC−++=−−=−+−−−−−.【点睛】本小题主要考查正弦定理、余弦定理解三角形，考查三角

恒等变换，属于中档题.17．【2020年高考天津】在ABC△中，角,,ABC所对的边分别为,,abc．已知22,5,13abc===．（Ⅰ）求角C的大小；（Ⅱ）求sinA的值；（Ⅲ）求πsin(2)4A+的

值．【解析】（Ⅰ）在ABC△中，由余弦定理及22,5,13abc===，有2222cos22abcCab+−==．又因为(0,π)C，所以π4C=．（Ⅱ）在ABC△中，由正弦定理及π,22,134Cac===，可得sin213sin13aCAc==．

（Ⅲ）由ac及213sin13A=，可得2313cos1sin13AA=−=，进而2125sin22sincos,cos22cos11313AAAAA===−=．所以，πππ12252172sin(2)sin

2coscos2sin44413213226AAA+=+=+=．【点晴】本题主要考查正、余弦定理解三角形，以及三角恒等变换在解三角形中的应用，考查学生的数学运算能力，是一道容易题.18．【2020年高考北京】在ABC中，11ab+=，再从条件①、条件②这两个条件中选

择一个作为己知，求：（Ⅰ）a的值：（Ⅱ）sinC和ABC的面积．条件①：17,cos7cA==−；条件②：19cos,cos816AB==．注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．【解析】选择条件①（Ⅰ）17,co

s7cA==−，11ab+=22222212cos(11)72(11)7()7abcbcAaaa=+−=−+−−−8a=（Ⅱ）2143cos(0,)sin1cos77AAAA=−=−=，由正弦定理得：873sinsin

sinsin2437acCACC===113sin(118)863222SbaC==−=选择条件②（Ⅰ）19cos,cos,(0,)816ABAB==，223757sin1cos,sin1cos816AABB=−==−=由正弦定理得：116sinsin37578

16abaaaAB−===（Ⅱ）3795717sinsin()sincossincos8161684CABABBA=+=+=+=117157sin(116)62244SbaC==−=【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理，三角形面积公式，考查基本分析求解能

力，属中档题.19．【2020年高考浙江】在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，C．已知2sin30bAa−=．（Ⅰ）求角B的大小；（Ⅱ）求cosA+cosB+cosC的取值范围．【解析】

（Ⅰ）由正弦定理得2sinsin3sinBAA=，故3sin2B=，由题意得π3B=.（Ⅱ）由πABC++=得2π3CA=−，由ABC△是锐角三角形得ππ(,)62A.由2π13coscos()cossin322CAAA=−=−+得311π1313coscoscossin

cossin()(,]2226222ABCAAA+++=++=++.故coscoscosABC++的取值范围是313(,]22+.【点睛】解三角形的基本策略：一是利用正弦定理实现“边化角”，二是利用余弦定理实现“角化边”；求最值也是一种常见类型，主要方法有两类，一是找到边之间的关系，

利用基本不等式求最值，二是转化为关于某个角的函数，利用函数思想求最值.20．【2020年新高考全国Ⅰ卷】在①3ac=，②sin3cA=，③3cb=这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求c的

值；若问题中的三角形不存在，说明理由．问题：是否存在ABC△，它的内角,,ABC的对边分别为,,abc，且sin3sinAB=，6C=，________?注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．【解析】方案一

：选条件①．由6C=和余弦定理得222322abcab+−=．由sin3sinAB=及正弦定理得3ab=．于是222233223bbcb+−=，由此可得bc=．由①3ac=，解得3,1abc===．因此，选条件①时问题中的三角形

存在，此时1c=．方案二：选条件②．由6C=和余弦定理得222322abcab+−=．由sin3sinAB=及正弦定理得3ab=．于是222233223bbcb+−=，由此可得bc=，6BC==，23A=．由②sin3cA

=，所以23,6cba===．因此，选条件②时问题中的三角形存在，此时23c=．方案三：选条件③．由6C=和余弦定理得222322abcab+−=．由sin3sinAB=及正弦定理得3ab=．于是222233223bbcb+−=，由此可得bc=．由③3cb=

，与bc=矛盾．因此，选条件③时问题中的三角形不存在．【点睛】在处理三角形中的边角关系时，一般全部化为角的关系，或全部化为边的关系．题中若出现边的一次式一般采用到正弦定理，出现边的二次式一般采用到余弦定理．应用正、余弦定理时，注意公式变式的应用．解决三角形问题时

，注意角的限制范围．1．【2020·上海高三一模】若不等式()sin06xabx−−+对1,1x−上恒成立，则ab+=A．23B．56C．1D．2【答案】B【解析】法一：由题意可知：当1

5,66x−，sin06x+，当151,,166x−−，sin06x+，故当15,66x−，0xab−−，当151,,166x

−−，0xab−−，即有510653161026abaabbab−−==+==−−−=，故选B；法二：由sin6x+右图像可得：显然有510653161

026abaabbab−−==+==−−−=，故选B．【点睛】本题考查双变量不等式中参数的求解问题，通过分段讨论确定交汇点是解题关键，方法二采用数形结合的方式进一步对方法一作了补充说明，建议将两种方法对比研究.2．【2020·广东省高三其他（理）】已知四边形ABCD

中，//ADBC，30A=，23AB=，5AD=，E在CB的延长线上，且AEBE=，则AEDB=A．1B．2C．12D．3【答案】A【解析】在ABD△中，由余弦定理有22232cos3012+25223572BDABADAB

AD=+−=−=，∴7BD=，易知30ABEA==，又AEBE=，23AB=，故32cos30BE==，()()AEDBBEBAABAD=−−BEABBEADBAABBAAD=−−+()2223cos1502523523cos1501=+

++=.故选：A【点睛】本题考查平面向量数量积的综合运用，涉及了余弦定理的运用，考查运算求解能力，属于中档题.3．【2020·安徽省高三三模（理）】函数()3sineexxxxfx−+=+的图象大致是A．B．C．D．

【答案】A【解析】定义域为R，定义域关于原点对称，()()()33sinsinxxxxxxxxfxeeee−−−+−+−==−++，()fx是奇函数，排除C，D；当x=时，()33sin0eeeefx−−+==++，排除B；故选：

A．【点睛】本题考查了函数图像的识别，函数奇偶性的判断，属于基础题.4．【2020·广东省高三其他（理）】在平面直角坐标系中，角的顶点在坐标原点，其始边与x轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于点34,55P−

，则sin2＝A．1225−B．2425−C．85D．65−【答案】B【解析】由定义知sinα=45，3cos5=−，所以24sin22sincos25==−，故选：B．【点睛】该题考查

的是有关三角恒等变换的问题，涉及到的知识点有三角函数的定义，正弦二倍角公式，熟练记忆公式即可解决，属于基础题目.5．【2020·南昌市八一中学高三三模（理）】已知函数sin(0)yaxba=+的图象如图所示，则函数log()ayxb=−的图象可能A．B．C．

D．【答案】C【解析】由函数sin(0)yaxba=+的图象可得201,23ba，213a，故函数log()ayxb=−是定义域内的减函数，且过定点(1,0)b+.结合所给的图像可知只有C选项符合题意.故选：C．【点睛】本题主要考查由

函数sin()yAx=+的部分图象求函数的解析式，对数函数的单调性以及图象特征，属于基础题．6．【2020·四川省阆中中学高三二模（理）】已知满足22cos3=，则cos()cos()44

+−=A．718B．2518C．718−D．2518−【答案】A【解析】根据两角和差的余弦公式得到coscos44+−=()()2211cossincossin(cossin)22−+=−，因为22cos3

=,得到sin=13或13−代入得到结果为718.故答案为:A．【点睛】三角函数求值与化简必会的三种方法(1)弦切互化法:主要利用公式tanα=sinαcosα;形如sincossincosaxbxcxdx++

,asin2x+bsinxcosx+ccos2x等类型可进行弦化切；(2)“1”的灵活代换法:1=sin2θ+cos2θ=(sinθ+cosθ)2-2sinθcosθ=tan4等；(3)和积转换法:利用(sinθ±cosθ)2=1±2sinθcosθ,(

sinθ+cosθ)2+(sinθ-cosθ)2=2的关系进行变形、转化.7．【2020·广东省高三一模（理）】已知函数()()sinfxAx=+()0,0A的图象与直线()0yaaA=的

三个相邻交点的横坐标分别是2,4,8，则()fx的单调递减区间是A．6,63kk+，kZB．63,6kk−，kZC．6,63kk+，kZD．63,6kk−，kZ【答案】D【解析】由

题设可知该函数的最小正周期826T=−=，结合函数的图象可知单调递减区间是2448[6,6]()22kkkZ++++，即[36,66]()kkkZ++，等价于63,6kk−，应选答案D．【点睛】解答本题的关键是充分利用题设中的有效信息

“函数()()sinfxAx=+(0,0)A的图象与直线(0)yaaA=的三个相邻交点的横坐标分别是2,4,8”．结合图像很容易观察出最小正周期是826T=−=，进而数形结合写出函数的单调递减区间，从

而使得问题获解．8．【2020·湖北省高三其他（理）】已知函数2()cos()1(0,0,0)2fxAωxφAωφ=++的最大值为3，()fx的图象与y轴的交点坐标为(0,2)，其相邻两条对称轴间的距离为2，则(1)(2)ff+=_____．

【答案】3【解析】21cos(22)()cos()11cos(22)1222ωxφAAfxAωxφAωxφ++=++=+=+++，因为函数()fx的最大值为3，所以1322AA++=，所以2A=，由函数()fx相邻两条对称轴间的距离为2，可得周期4T=，所以22

2T==，所以4=,所以()cos(2)22fxxφ=++，又()fx的图象与y轴的交点坐标为(0,2)，所以cos222+=，所以cos20=，又02，所以=4，所以()cos()2sin2222fxxx

=++=−+，所以(1)(2)sin2sin2120232ff+=−+−+=−+−+=.故答案为：3.【点睛】本题主要考查求三角函数的图象与性质，二倍角的余弦公式，诱导公式，属于中档题.9．【2020·福建省福州第一中学高三其他（理

）】如图，将地球近似看作球体.设地球表面某地正午太阳高度角为，为此时太阳直射纬度（当地夏半年取正值，冬半年取负值），为该地的纬度值.已知太阳每年直射范围在南北回归线之间，即2326,2326−.如果在北京地区（纬度数约为北纬40）的一

幢高为0h的楼房北面盖一新楼，要使新楼一层正午的太阳全年不被前面的楼房遮挡，两楼的距离不应小于_________.（只需列出式子）【答案】0tan2634h【解析】设两楼的距离为d，因为90(40)502634,7326

ooooo轾ⅱ=--=+?犏臌则要使新楼一层正午的太阳全年不被前面的楼房遮挡，需满足0tanhd³对2634,7326oo轾ⅱÎ犏臌恒成立,因此0min(tan)hd³0tan2634hdo¢\?0tan2634hdo\

?¢，从而两楼的距离不应小于0tan2634h故答案为：0tan2634h【点睛】本题考查不等式恒成立问题、正切函数单调性，考查基本分析建模能力与转化求解能力，属中档题.10．【2020·四川省阆中中学高三二模（理）】在ABC中

，若()22235acb+=，则cosB的最小值为_______【答案】25【解析】由()22235acb+=，结合2222acbaccosB+=+，可得：22212235555baccacacosBacacacac+===+=，当且仅当ac=时，cosB取得最小值

为25.故答案为：25.【点睛】本题考查余弦定理、利用均值不等式求和的最小值，属综合基础题.11．【2020·定远县育才学校高三其他（理）】已知函数()()()sin0,0,fxAxA=+是奇函数，将()yfx=的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2

倍（纵坐标不变），所得图象对应的函数为()gx．若()gx的最小正周期为2，且24g=，则38f=______．【答案】2【解析】函数()()()sin0,0,fxAxA=+是奇函数，所以()00f=，代入

可得0=，()yfx=的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图象对应的函数为()gx．则()1sin2gxAx=，()gx的最小正周期为2，则2212=，解得2=，所以()singxAx=，因为24g=，代入可得2sin4A=，解得2A

=，所以()2sin2fxx=，则2sin328823f==，故答案为：2.【点睛】本题考查了正弦函数图像与性质的简单应用，函数图像平移变换及由性质求三角函数解析式，属于基础题.12．【20

20·六盘山高级中学高三其他（理）】设函数2()2cos()sin(2)84fxxx=+++，(0,3π)x则下列判断正确的是A．函数的一条对称轴为6x=B．函数在区间5,24内单调递增C．0(0,3π)x，使0()1fx=−D．Ra，使得函数()yfxa=+

在其定义域内为偶函数【答案】D【解析】函数()1cos2sin212cos244fxxxx=++++=+，当(0,3π)x时，当6x=时，23x=不能使函数取得最值，所以不是函数的对称轴，A错；当5,24x时，5

2,2x，函数先增后减，B不正确；若()1fx=−，那么cos22x=−不成立，所以C错；当32a=时，()12cos2fxax+=−函数是偶函数，D正确，故选：D．13．【2020·六盘山高级中学高三其他（理）】已知

ABC△中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，2A，且满足()sin220cos0bcABC++=.（1）求ABC△的面积S；（2）若24aS=，求cbbc+的最大值.【答案】（1）5；（2）22.【解析】（1）在ABC中，ABC++=，∴BC

A+=−，∵()sin220cos0bcABC++=，∴2sincos20cos0bcAAA−=，∵2A，∴cos0A，∴1sin52SbcA==，（2）∵24aS=，∴222cos2sinbcbcAbcA+−=，∴222sin2cosbcbcAbcA

+=+，∴222sin2cos22sin4cbbcAAAbcbc++==+=+∴当4A=时，cbbc+取最大值22.【点睛】本题考查二倍角公式，诱导公式，两角和与差的正弦公式，余弦定理．本题关键是2222cos2sinbcbcAabcA+−==，

这样可把22cbbcbcbc++=表示为角A的函数，从而求得最值．14．【2020·湖北省高三其他（理）】已知ABC的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，其面积S2224bca+−=．（1）若a6=，b2=，求cosB．（2）求sin（A+

B）+sinBcosB+cos（B﹣A）的最大值．【答案】（1）306；（2）52.【解析】（1）因为三角形面积为S2221sin24+−==bcabcA，所以222sincos2bcaAAbc+−==

，解得4A=，因为a6=，b2=，由正弦定理得：sinsinabAB=，所以22sin62sin66===bABa，因为ab，所以AB，所以B为锐角，所以30cos6=B（2）由（1）知4A=，所以sin（A+B）+sinBcosB+cos（B﹣A），ππ=sin

++sincos+cos44BBBB−，2222sincossincossincos2222BBBBBB=++++，()2sin+cos+sincosBBBB=，令sincos2sin4tB

BB=+=+，因为30,,,444BB+，所以sin(0,1]4B+，所以(0,2]t，原式()2221113=2+=+2=+222222ttttt−−−，当2,4tB==时，原式取得最大值52.【点睛】本题主要考查三角形面积

公式余弦定理、同角三角函数基本关系式，正弦定理，两角和与差的三角函数以及二次函数的性质，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于中档题.15．【2020·广东省高三其他（理）】在ABC△中，已知内角,,ABC所对的边分别为,,abc，向量(3,2sin)mB=−，向量(cos,cos2)

nBB=，且//mn，角B为锐角.（1）求角B的大小；（2）若2b=，求ABC△面积的最大值.【答案】（1）3B=；（2）3.【解析】（1）解法一：由//mn得3cos22sincosB=BB−，即sin23cos2BB=−，所以ta

n23B=−，B为锐角，2(0,)B，223B=，即3B=解法二：由//mn得3cos22sincosB=BB−，即sin23cos2BB=−所以sin23cos20B+B=即2sin203B+=，23B+=k

，即62kB=+−B为锐角，所以3B=.（2）解法一：,23Bb==，由余弦定理222cos2acbBac+−=，得2240acac+−−=又222acac+代入上式得4ac，当且仅当2ac==时取等号成

立.1133sin32224ABCSacBacac===△，故ABC的面积最大值为3.解法二：,23Bb==，由正弦定理2sinbRB=，得423R=，所以42sinsin3aRAA==，4422sinsinsin333cRCCA=

==−，由1432sinsinsin233SacBAA==−△233sin2363=A−+.因为72666A−−，则当262A=−即=3A时，max233333S=+=△，故ABC的面积最大值为3.【点睛

】本题主要考查三角恒等变换，考查余弦定理解三角形、利用不等式求最值；正弦定理解三角形和三角函数的图像和性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.16．【2020·宜宾市叙州区第二中学校高三一模（理）】在ABC△中，角A、B、C的对边分别是a、b、c，如果A、B、C成等差

数列且3b=．（1）当4A=时，求ABC△的面积S；（2）若ABC的面积为S，求S的最大值．【答案】（1）334+；（2）334.【解析】（1）因为A、B、C成等差数列，则：2A+C=B，又ABC++=，所以60B=，因为：2sinsinbaaBA==，2222212

62cos322221022bacacBccccc+=+−=+−−−==，（负值舍）；ABC∴△的面积1126333sin222224SacB++===；（2）2222cosbacacB=

+−；即：2232acacacacac=+−−=，当且仅当ac=时等号成立；1333sin244ABCSacBac==；即S的最大值为：334．【点睛】本题考查正余弦定理的应用，考查三角形面积公式的应用，考查不等

式的应用，考查逻辑思维能力和运算能力，属于常考题.17．【2020·山东省高三三模】如图，半圆O的直径AB=2，点C在AB的延长线上，BC=1，点P为半圆上异于A，B两点的一个动点，以点P为直角顶点作等腰直角PCD△，且点D与圆心O分布在PC的两侧，设PAC=．（

1）把线段PC的长表示为的函数；（2）求四边形ACDP面积的最大值．【答案】（1）298cosPC=−，02；（2）5【解析】（1）依题设易知APB△是以APB为直角的直角三角形，又2,ABPAB==，所以2cosPA=.在3,△中，PACACPAC=

=，由余弦定理得，2222cosPCPAACPAAC=+−2224cos912cos98cos=+−=−.所以298cosPC=−，定义域为02.（2）四边形ACDP面积为S，则211=sin22△△APC

PCDSSSAPACPC+=+()2112cos3sin98cos22=+−()31sin254cos222=+−35sin22cos222=−+()954sin242=+−+()55sin2,22

=−+其中34cos,sin,55==为锐角.因为43sin52，=所以03.又因为02，所以23−−，所以当2=2−时，S取得最大值为55=522+.所以四边形ACDP面积的最大值为5.【点睛】本题通

过引进角,利用余弦定理求边长，再将所求面积表示为角的函数,从而构建函数,再求函数的最值，还考查了学生的分析能力，运算能力，属于中档题.18．【2020·天津高三二模】已知函数()()21cos3sincos2fxxxxx=+−R（1）求()fx的最小正周期；（2）讨论()fx

在区间,44−上的单调性；【答案】（1）；（2）()fx在区间,46−上单调递增；在区间,64上单调递减.【解析】（1）依题意，()211cos231cos3sincossin2sin222226xfxxxxxx+=+−=

+−=+所以2T==.（2）依题意，令222262kxk−+++，kZ，解得36kxk−++，所以()fx的单调递增区间为,36kk−++，kZ.设,4

4A=−，,36Bkk=−++，易知,46AB=−，所以当,44x−时，()fx在区间,46−上单调递增；在区间,64

上单调递减.【点睛】本题考查利用三角恒等变换化简三角函数解析式，以及用公式法求正弦型三角函数的最小正周期，用整体法求正弦型三角函数的单调区间，属综合中档题.19．【2020·广东省高三二模（理）】ABC△中，D为BC上的点，AD平分BAC，5AD=，8AC=，ACD△的面积为103.（1

）求CD的长；（2）求sinB.【答案】（1）7（2）3314【解析】（1）因为5AD=，8AC=，ACD的面积为103，∴158sin1032DAC=，∴3sin2DAC=，∵0180BAC，AD平分BAC，∴090DAC，∴60=∠

DAC，在ACD△中，由余弦定理，得222222cos58258cos6049CDADACACADDAC=+−=+−=，∴7CD=.（2）在ACD△中，由余弦定理，得2225781cos257

7ADC+−==，∴2143sin1cos1497ADCADC=−=−=，因为AD平分BAC，所以60BADCAD==，∴()sinsin60sincos60cossin60BADCADCADC=−=−4311333727214=−=，【点睛】本题考查了余弦定理、三角

形内角和定理、三角形的面积公式、两角差的正弦公式，属于基础题.20．【2020·四川省泸县第四中学高三二模（理）】△ABC的内角,,ABC的对边分别为,,abc,且()sinsinsinCBAB=+−．（1）求角A的大小；（2）若7a=,△AB

C的面积332S=,求△ABC的周长．【答案】（1）3A=；（2）57+．【解析】（1）∵ABC++=，∴()CAB=−+．∴sinsin()sinsin()CABBAB=+=+−，∴sincoscossinsinsincosco

ssinABABBABAB+=+−，∴2cossinsinABB=，∴1cos2A=，∴3A=．（2）依题意得：222133·sin222cosABCSbcAabcbcA===+−△

∴22613bcbc=+=，∴222()225bcbcbc+=++=，∴5bc+=，∴57abc++=+，∴ABC的周长为57+．