【文档说明】北京市第五十五中学2024-2025学年高三上学期期中考试数学试卷 Word版含解析.docx，共(23)页，1.080 MB，由小赞的店铺上传

转载请保留链接：https://www.doc5u.com/view-9cef9f1ccad823bdcb37f5a9f034f273.html

以下为本文档部分文字说明：

北京市第五十五中学2024-2025学年度第一学期期中调研试卷高三数学本试卷共4页，共150分，调研时长120分钟第一部分（选择题共40分）一、选择题.共10小题，每小题4分，共40分，每题4个选项中只有一个选项是符合题目要求的.1.已知集合{|4

1}Mxx=−，{|13}Nxx=−，则MN=（）A.43xx−B.11xx−C.0,1,2D.14xx−【答案】A【解析】【分析】直接根据并集含义即可得到答案.【详解】因为集合{|41}Mxx=−，

{|13}Nxx=−，所以MN=43xx−，故选：A.2.复数11i+的共轭复数是（）A.1122i+B.1122i−C.1i−D.1i+【答案】A【解析】【分析】利用复数的除法运算法则：分子、分母同乘以分母

的共轭复数，化简复数11i+，进而可得结果.【详解】因为()()111121211iiiii−+−−==+，所以11i+的共轭复数是1122i+，故选：A.【点睛】复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及

复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数、复数的模这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.3.5212xx+的展开式中，4x的系数是A.160B.8

0C.50D.10【答案】B【解析】【分析】由二项式定理公式1CrnrrrnTab−+=即可得到结果.【详解】依题5212xx+的展开式的通项为:2551031551(2)()2rrrrrrrTCxCxx−−−+==，当1034r−=时，2r

=，此时523552280rrCC−==，所以5212xx+的展开式中，4x的系数是80.故选：B【点睛】本题考查二项式定理，属于基础题.4.设a，b为非零向量，则“abab+=+”是“a与b共线

”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】由abab+=+化简得出0=，从而得出a与b共线，当a与b共线时，||1abb+=+，()||||1

abb+=+，,abab++不一定相等，最后由充分条件和必要条件的定义作出判断.【详解】当abab+=+时，222222aabbaabb++=++，化简得abab=，即cos1abab==，0=，即a与b共线当a与b共线时，则存在唯一实数，使得ab=||1abb+=+，

()||||1abb+=+，1+与1+不一定相等，即,abab++不一定相等故“abab+=+”是“a与b共线”的充分不必要条件故选：A【点睛】关键点睛：解决本题的关键在于熟练掌握向量的数乘、数量积运算以及向量共线定理.5.函数()()π3sin06fxx=−，(

)13fx=−，()23fx=，且12xx−最小值为2π，则的值为（）A.12B.1C.2D.3【答案】A【解析】【分析】根据已知条件判断出()fx的最小正周期，从而求得.【详解】依题意，()13fx=−，()23fx=，且12xx−的最小值为2π，所以2π12π24π,2T=

===.故选：A6.我国古代数学名著《九章算术》对立体几何问题有着深入的研究，其中谈到的“堑堵”是指底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱.现有堑堵如图所示，其中ACBC⊥，若14AAACBC===，平面11ABC将堑堵分

成了两部分，这两部分体积比值为（）A.1:1B.1:2C.1:3D.1:4【答案】B的【解析】【分析】利用棱柱与棱锥的体积公式求解．【详解】由题意1111ABCABCABCVSAA−=△，111111111133BABCABCABCVSBBSAA−==!!，所以1111111111123B

ACCAABCABCBABCABCABCVVVV−−−−=−=，所以1111112BABCABCCAVV−=.故选：B．7.点P在圆C：()()22449xy−+−=上，()3,0A，()0,1B，则P

BA最小时，PB=（）A.8B.6C.4D.2【答案】C【解析】【分析】根据圆的几何性质，运用数形结合思想进行求解即可.【详解】如图所示，由题意圆C：()()22449xy−+−=的圆心()4,4C，半

径3r=，当直线PB与圆C相切时，即P为切点时，PBA最小，此时PB与x轴平行，()4,1P，4PB=.故选：C8.高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设xR，用

x表示不超过x的最大整数，则yx=称为高斯函数，例如：3.54−=−，2.12=，已知函数()112xxefxe=−+，则函数()yfx=的值域是（）A.1,0−B.0C.0,1D.1【答

案】A【解析】【分析】利用分离常数法可得()111111221xxxefxee+−=−=−++，求得()fx的值域，由x表示不超过x的最大整数，即可求得函数()yfx=的值域.【详解】()11111

1221xxxefxee+−=−=−++，由于11xe+11112212xe−−+()fx的值域为：11,22−根据x表示不超过x的最大整数函数()yfx=的值域是1,0−.故选：A【点睛】本题主要考查

新定义函数的理解和运用，考查分离常数法求函数的值域，考查化归与转化的数学思想方法，解题关键是在解答时要先充分理解[]x的含义，是中档题.9.已知某种垃圾的分解率为v，与时间t（月）满足函数关系式tvab=（其中a，b为

非零常数），若经过12个月，这种垃圾的分解率为10%，经过24个月，这种垃圾的分解率为20%，那么这种垃圾完全分解，至少需要经过（）（参考数据：lg20.3）A.48个月B.52个月C.64个月D.120个月【答案】B【解

析】【分析】根据已知条件，利用待定系数法求出函数关系式，然后再代入数值计算即可.【详解】由题意可得12240.10.2abab==，解得1121202ab==，所以121220tv=，这种垃圾完全分解，即当1v=时，有1211220t=，即12220t=，解得1

22221lg2log2012log202412log5241252lg2t−===+=+=.故选：B10.已知抛物线214yx=和21516yx=−+所围成的封闭曲线E如图所示，点,MN在曲线E上，给定点()0,Aa，则下列说法中不正确

的是（）A.任意()0,5a，都存在点,MN，使得AMAN=B.任意()0,5a，都存在点,MN，满足这对点关于点A对称C.存在()0,5a，当点,MN运动时，使得10AMAN+D.任意()0,5a，恰有三对不同的点,MN，满足每对点,MN关于点

A对称【答案】D【解析】【分析】由曲线E的对称性判断AB；取a值计算判断CD.【详解】抛物线214yx=和21516yx=−+的对称轴都为y，因此封闭曲线E关于y轴对称，对于A，任意()0,5a，在曲线E上取关于

y轴对称的两点,MN，而点()0,Aa在y轴上，有AMAN=，A正确；对于B，对每个a值，过点A垂直于y轴的直线与曲线E的交点,MN关于点A对称，B正确；对于C，联立214yx=与21516yx=−+解得44xy=−

=或44xy==，取1a=，即(0,1)A，抛物线214yx=，即24xy=的焦点为(0,1)，准线方程为1y=−，点(,)Mts在()21044yxy=上运动时，04s，||1[1,5]MAs=+，抛物线21516yx=−+可由抛物线2116yx=−向上平移5个

单位而得，抛物线2116yx=−，即216xy=−的焦点为(0,4)−，准线为4y=，则抛物线21516yx=−+的焦点为(0,1)，准线方程为9y=，点(,)Mts在()2154516yxy=−+上运动时，45s≤≤，||9[4,5]MAs

=−，因此当点,MN运动时，1||5,1||5MANA，恒有10AMAN+，C正确；对于D，取1a=，即(0,1)A，直线1y=与抛物线214yx=的两个交点关于点A对称，在此抛物线上关于点A对称的两点就只有一对，在抛物线21516yx=−+上不存在两点关于点A对称，另外关于点A对称

的两点则分别在214yx=和21516yx=−+上，不妨令21(,)4Muu，此点关于点A对称的点21(,2)4uu−−必在21516yx=−+上，而方程221125416uu−=−+，即23316u=−无解，则此时不存在关于点A对称的两点分别在两条抛物线上，D错误

.故选：D【点睛】方法点睛：圆锥曲线中最值或范围问题的常见解法：①几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用几何法来解决；②代数法，若题目的条件和结论能体现某种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值或范围．第二部分（非选择题共110分

）二、填空题：共5小题，每小题5分，共25分11.若直线2yx=是双曲线()22210yxbb−=的一条渐近线，则b=______.【答案】2【解析】【分析】先根据双曲线方程判断焦点位置，写出其渐近线方程，比较即得.【详解】因双曲线𝑥2−𝑦2�

�2=1(𝑏>0)的焦点在x轴上，且1a=，故其渐近线方程为ybx=，依题意，易得2b=.故答案为：2.12.在平面直角坐标系xOy中，角与角均以Ox为始边，角终边经过点()1,2A，角是由角终边绕原点O逆时针旋转90得到的，则c

os等于______.【答案】255−【解析】【分析】根据给定条件，利用三角函数定义，结合诱导公式计算即得.【详解】由角终边经过点()1,2A，得22||125OA=+=，225sin55==，而90=+，所以25coscos(

90)sin5==−−+=.故答案：255−13.已知抛物线顶点在原点，以坐标轴为对称轴，从以下两个条件中任选一个条件，使得抛物线开口向右，并根据所选条件写出一个抛物线的标准方程.①焦点()2,0F−；②经过点(

)2,4A−.你所选的条件是_______，得到的一个抛物线标准方程是_______.【答案】①.②②.28yx=【解析】【分析】根据给定条件，判断选择的条件，再设出标准方程，利用待定系数法求出方程即可.【详解

】顶点在原点，坐标轴为对称轴，开口向右的抛物线焦点在x轴的正半轴上，因此条件①不可选，选择条件②，设抛物线方程为2,0ymxm=，由抛物线经过点()2,4A−，得162m=，解得8m=，所以所求抛物

线标准方程是28yx=.故答案为：②；28yx=14.已知等比数列na满足：0na，465aa+=，351aa=，则公比q=______，12naaa的最小值为______.【答案】①.2②.164【解析】【分析】由

351aa=，可得41a=，再代入465aa+=，即可得第一空答案；求得42nna−=，从而得21)2(72nnnaaa−=，求出以(7)22nn−的最小值，即可得第二空答案.【详解】由351aa=，

可得241a=，又因为0na，所以41a=，又因为465aa+=，即215q+=，解得2q=；为因为41a=，2q=，所以42nna−=，所以(7)3242122222nnnnaaa−−−−==，因为当3n=或4n=

时，(7)2nn−取小值6−，所以(7)22nn−取最小值61264−=，即12naaa的最小值为164.故答案为：2；16415.在平面直角坐标系中，若()11,Axy，()22,Bxy，定义两点之间的曼哈顿距离()2121,dABxxyy=−+−.（1）记

(),dBl为点B与直线l上一点的曼哈顿距离的最小值.如果点()1,1B，直线l：420xy−+=，则(),dBl=_________.（2）在空间直角坐标系内，也有类似的结论，若111222(,,),(,,)AxyzBxyz，可定义两点之间的曼哈顿距离()2

12121,||dABxxyyzz=−+−+−.已知点()1,1,1A，动点P满足(),1dAP=，则动点P围成的几何体的表面积是_______.【答案】①.54##114；②.43.【解析】【分析】（1）设直线420xy−+=上任意

一点坐标为00(,)Pxy，然后表示出(,)dBP，分类讨论求(,)dBP的最小值即得(),dBl；（2）不妨将A平移到(0,0,0)A处，利用曼哈顿距离定义求得P围成的图形为八面体，即可求其表面积.【详解】（1）设直线l上一点为00(,)P

xy，则0042yx=+，则0000(,)|1||1||1||41|dBPxyxx=−+−=−++，①当014x−时，0005(,)14154dBPxxx=−−−=−，此时()5,4dBl=；②当0114x−时，0005(,)14132(,5]4dBP

xxx=−++=+；③当01x时，000(,)14155dBPxxx=−++=.综上，()min5,(,)4dBldBP==.（2）动点P围成的几何体为八面体，每个面均为边长为2的正三角形，其表面积为238(2)434S==.理由如下：不妨将点A平移到(0,0,0)A

处，设(,,)Pxyz,由(),1dAP=，可得||||||1xyz++=，当,,0xyz时，即1xyz++=，则0,,1xyz，设123(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1),MMM,则1213(1,1,0),(1,0

,1)MMMM=−=−，由11213(1,,)(,,),MPxyzyzyzyMMzMM=−=−−=+可得123,,,PMMM四点共面，因122331||||||2MMMMMM===,故当,,0xyz时，点P在边长为2的正三角形123MMM的内部（含边界）.易知正三角

形123MMM内部任一点(,,)Qxyz均满足1xyz++=.故满足方程1xyz++=，0,,1xyz的点P构成的图形是边长为2的正三角形的内部（含边界）.由对称性可知，点P围成的图形为

八面体，每个面均为边长为2的等边三角形.故该几何体表面积为238(2)434S==.故答案为：543.4；【点睛】思路点睛：本题考查了新概念问题，解决新概念问题首先要读懂新概念的定义或公式，将其当做一种规则和要求按照新概念的定义要求探究，再结合所学知识处理即可.三、解答题：共

6小题，共85分.16.在ABCV中，6a=，3cossinbAaB=.（1）求A的大小；（2）再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得ABCV存在且唯一确定，求ABCV的面积.条件①：AC边上的高3BH=；条件②：22cos3B=−；条件③：8b=.【答案】（1）π3

A=；（2）答案见解析.【解析】【分析】（1）利用正弦定理边化角即可求解.（2）选①，由直角三角形边角关系求出c，再由余弦定理求出b并求出三角形面积；选②，利用正弦定理求出b，再利用大角大边确定三角形无解；选③

，由余弦定理建立方程无解.【小问1详解】在ABCV中，由3cossinbAaB=及正弦定理，得3sincossinsinBAAB=，而sin0B，则tan3A=，又0πA，所以π3A=.【小问2详解

】若选①，AC边上的高3BH=，在RtABH△中，323πsinsin3BHABA===，即23c=，在ABCV中，由余弦定理2222cosabcbcA=+−，得22216(23)432bb=+−，整理得223240bb−−=，而0

b，解得43b=，ABCV的三边已知，由三角形全等的判定知，ABCV存在且唯一，所以ABCV的面积为113sin432363222ABCSbcA===；若选②，22cos3B=−，则BA，在ABCV中，21sin1cos3BB=−=，由正弦定理sins

inabAB=，得16sin433sin332aBbaA===，根据三角形中大角对大边可知，ABCV不存在；若选③，8b=，由余弦定理2222cosabcbcA=+−，得222168162cc=+−，则20828cc−=+，显

然284280=−，即方程无解，因此ABCV不存，③不可选.17.如图，在四棱锥PABCD−中，直线//AB平面PCD.90ABC=，60DABPCB==，1CD=，3AB=，PCPB=，平面PCB⊥平面ABCD，F为线段BC的中点，E为线

段PF上一点.（1）证明：//ABCD；（2）证明：PFAD⊥；（3）是否存在点E，使得点E到平面PAD的距离是12，若存在求出FEEP的值，若不存在请说明理由.【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析（3）存在，2FEEP=.【解析】【分析】（1）由直线//AB平面PCD，结合线面平

行的性质可证得结论；（2）由题意可得PFBC⊥，再由平面PCB⊥平面ABCD，结合面面垂直的性质定理可证得PF⊥平面ABCD，再利用线面垂直的性质可证得结论；（3）由题意可证得,,FGBCPF两两垂直，则以,,FGBCPF所在的直

线分别为,,xyz轴建立空间直角坐标系，利用空间向量求解即可.【小问1详解】证明：因为//AB平面PCD，AB平面ABCD，平面ABCD平面PCDCD=，所以//ABCD；【小问2详解】因为PCPB=，F

为线段BC的中点，所以PFBC⊥，在因平面PCB⊥平面ABCD，平面PCB平面ABCDBC=，PF平面PCB，所以PF⊥平面ABCD，因为AD平面ABCD，所以PFAD⊥；【小问3详解】取AD的中点G，连接FG，过D作DH‖BC，交AB于H

，因为F为线段BC的中点，//ABCD，所以FG‖AB，因为90ABC=，所以ABBC⊥，所以FGBC⊥，由（2）可知PF⊥平面ABCD，FG平面ABCD，所以PFFG⊥，所以,,FGBCPF两两垂直，所以以,,FGBCPF所在

的直线分别为,,xyz轴建立空间直角坐标系，如图所示，因为DH‖BC，//ABCD，90ABC=，所以四边形BCDH为矩形，所以1,,90CDBHDHBCDHB====，因为3AB=，所以2AH=,因为60DAB=，所以2224,4223ADAH

DH===−=，所以23BC=，因为60PCB=，PCPB=，所以PBC△为等边三角形，所以23PBPCBC===，()()222333PF=−=，设(03)EFaa=，则)(0,0,Ea，因为(3,3,0),(1,3,0),(0,0,3)ADP−，所以(2,

23,0),(3,3,3)ADPA=−−=−，(0,0,3)PEa=−，设平面PAD的法向量为(,,)mxyz=，则22303330mADxymPAxyz=−−==+−=，令3x=，则23(3,1,)3m=−，为若点E到平面PAD的距离是12，则23(3)31212319a

mPEm−==++，所以23143(3)323a−=，解得2a=，所以2,321EFPE==−=，所以2FEEP=.18.某企业为了解职工A款APP和B款APP的用户量情况，对本单位职工进行简单随机抽样，获得数据如下表：男职工女职工使用不使用使用不使用A款APP72人48人40人

80人B款APP60人60人84人36人假设所有职工对两款APP是否使用相互独立.（1）分别估计该企业男职工使用A款APP的概率､该企业女职工使用A款APP的概率；（2）从该企业男，女职工中各随机抽取1人，记这2人中使用A款APP的人数为X

，求X的分布列及数学期望；（3）据电商行业发布的市场分析报告显示，A款APP的用户中男性占52.04%､女性占47.96%；B款APP的用户中男性占38.92%､女性占61.08%.试分析该企业职工使用A款APP的男､女用户占比情况和使用B款APP的男､女用户占比情况哪一个与市场分

析报告中的男､女用户占比情况更相符.【答案】（1）13；（2）分布列答案见解析，数学期望：1415；（3）该企业职工使用BAPP的情况与官方发布的男､女用户情况更相符【解析】【分析】（1）根据题中数据，用频率估计概率，即可求

出；（2）先确定X的取值，再计算出对应的概率，即求出X的分布列及数学期望；（3）分别计算出A款，B款APP的男､女用户总人数，再计算对应的男用户，女用户的概率，再根据题意判断即可.【详解】解：（1）由所给

数据可知，男职工使用A款APP的人数为72，用频率估计概率，可得男职工使用京东APP的概率约为7231205=，同理，女职工使用A款APP的概率约为4011203=；（2）X的可能取值为0，1，2，()3140115315PX=

=−−=；()31318111535315PX==−+−=；()3112535PX===.X的分布列为：X012P41581515X的数学期望()481140121515515EX=+

+=；（3）样本中，A款APP的男､女用户为7240112+=(人)，其中男用户占7264.3112%；女用户占4035.7112%，样本中，B款APP的男､女用户为6084144+=(人)，其中男用户占6041.7144%；女用户占8458.3144%，该企业职工

使用BAPP的情况与官方发布的男､女用户情况更相符.【点睛】思路点睛：求离散型随机变量的分布列及期望的一般步骤：（1）根据题中条件确定随机变量的可能取值；（2）求出随机变量所有可能取值对应的概率，即可得出分布列；（3）

根据期望的概念，结合分布列，即可得出期望（在计算时，要注意随机变量是否服从特殊的分布，如超几何分布或二项分布等，可结合其对应的概率计算公式及期望计算公式，简化计算）.19.已知椭圆2222:1(0)xyEabab+=的左、右顶点分别为12,AA，124AA=，椭圆E

的离心率为32．（1）求椭圆E的标准方程；（2）过(1,0)D作直线l与椭圆E交于不同的两点M，N，其中l与x轴不重合，直线1AM与直线52x=交于点P，判断直线2AN与DP的位置关系，并说明理由．【答案】（1）椭圆E的标准方程为2214xy+=；（2）平行，理由见解析.【解析】【分析】（

1）由条件列关于,,abc的方程，解方程求,,abc。可得椭圆方程；（2）根据题意设直线MN及M、N点坐标，结合题意求点P的坐标，结合韦达定理证明2ANDPkk=即可.【小问1详解】设椭圆22221x

yab+=的半焦距为c，由已知点12,AA的坐标分别为()(),0,,0aa−，因为124AA=，所以24a=，所以2a=，又椭圆E的离心率为32，所以32ca=，所以3c=，所以221bac=−=，所以椭圆E的标准方程为2214xy+=；

【小问2详解】因为直线MN与x轴不重合，且过点(1,0)D，所以可设直线MN的方程为1xmy=+，联立方程22=+1+=14xmyxy，消去x可得()224230mymy++−=，方程()224230mymy++−=的判别式()2241240mm=++，设

()()1122,,,MxyNxy∴12122223,44myyyymm+=−=−++，∵()()122,0,2,0AA−，则121212,22AMANyykkxx==+−则直线1AM的方程为()1122yyxx=++，代入52x=

可得()11922yyx=+，即()1195,222yPx+∴()111192235212DPyxykx+==+−，则()()()2121221212121123233221331ANDPyymyyyyyykkxxmymymymy+−−=−=−=−+−++−∵()12122

263+2=3=0244myymymymm−++−+，即20ANDPkk−=∴2ANDPkk=，所以直线2AN与DP平行.【点睛】关键点点睛：(1)解答直线与椭圆的题目时，时常把两个曲线的

方程联立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系．(2)涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形．20.已知函数()exxfx=，直线l为曲线()yfx=在点()()

,tft处的切线.（1）当0t=时，求出直线l的方程；（2）若()()gxfx=，讨论()gx的单调性，并求出()gx的最值；（3）若直线l与曲线()yfx=相交于点()(),sfs，且st，求实数t的

取值范围.【答案】（1）0xy−=（2）()gx最小值为21e−，无最大值；（3）(2,)+【解析】【分析】（1）根据导数的几何意义确定切线斜率，再求出切点坐标，从而可求出切线方程；（2）对()gx求导，然后根据其正负求出函数的单调区间，则可求出函数的最小值点，从而可求出函数的最小值；（3）

求出直线l，将“直线l与曲线𝑦=𝑓(𝑥)相交”转化为关于x的方程21eeexttxttx−=−在(,)t−有解，的然后通过构造函数，对t进行分类讨论，结合导数可求得结果.【小问1详解】由()ex

xfx=，得()()2ee1,Reexxxxxxfxx−=−=，则()01001ef−==，因为()00f=，所以曲线𝑦=𝑓(𝑥)在点()0,0处的切线l的方程为yx=，即0xy−=；【小问2详解】()1(),Rexxgxfxx−==，则()2e(1)e2(),Reexxxxx

xgxx−−−−==，由()0gx，得2x，由()0gx，得2x，所以()gx在(,2)−上单调递减，在(2,)+上单调递增，所以当2x=时，()gx取得最小值2(2)1eg−=，无最大值；【小问3详解】由()exxfx=，得()()2ee1,Reexxxxxxfxx−=

−=，则()1ettft=−，所以曲线𝑦=𝑓(𝑥)在点()(),tft处的切线l的方程为1()eettttyxt−−=−，即21eettttyx−=+，因为直线l与曲线𝑦=𝑓(𝑥)相交于点()(),sfs，且st，所以关于x的方程21eeexttxtt

x−=+在(,)t−有解，令21()()eeexttxttFxxxt−=−−，则11(0)0,(),()0eextxtFFxFt−−==−=，令11()()eextxthxFx−−==−，则2()exhxx−=，①当2t时，由()0hx，得2xt，由()0hx，得2

x，所以()hx在(,2)−上递减，在(2,)t上单调递增，所以(2)()0hht=，因为1(1)0tthe−=−，所以存在唯一实数0(1,2)x，使0()0hx=，当0(,)xx−时，()0hx，则()0Fx，所以()Fx在0(,)x−上单调递增，当0(

,)xxt时，()0hx，则()0Fx，所以()Fx在0(,)xt上单调递减，所以0()()0FxFt=，因为2(0)0ettF=−，所以存在唯一实数0(0,)sx，使()0Fs=，所以2t符合题意，②当2t时，由()0hx，得xt，则()hx在(,)t−上单调递减，

所以()()0hxht=，所以()Fx在(,)t−上单调递增，所以()()0FxFt=，所以()Fx在(,)t−上无零点，所以2t不符合题意，综上2t，即实数t的取值范围为(2,)+.【点睛】方法点睛：当一阶导数无法求得函数的单调区间时，可考虑利用二阶导数进行求解，通过二阶导数的

符号来确定一阶导数的单调性，符号，从而可确定原函数的单调性.21.给定正整数3N，已知项数为m且无重复项的数对序列A：()()()1122,,,,,,mmxyxyxy满足如下三个性质：①,1,2,,iixyN，且()1,2,,iixyim=

；②()11,2,,1iixyim+==−；③(),pq与(),qp不同时在数对序列A中.（1）当3N=，3m=时，写出所有满足11x=的数对序列A；（2）当6N=时，证明：13m；（3）当N为奇数时，记m的最大值为()TN，求()

TN.【答案】（1）()()():1,2,2,3,3,1A或()()():1,3,3,2,2,1A（2）证明详见解析（3）()()112=−TNNN【解析】【分析】（1）利用列举法求得正确答案.（2）利用组合数公式求得m的一个大致范围，然后根

据序列A满足的性质证得13m.（3）先证明()()221TNTNN+=++，然后利用累加法求得()TN.【小问1详解】依题意，当3N=，3m=时有：()()():1,2,2,3,3,1A或()()():1,3,3,2,2,1A.【小问2详解】当6N=时，因为(),pq与(),qp不同时在数对序列

A中，所以26C15m=，所以1,2,3,4,5,6每个数至多出现5次，又因为()11,2,,1iixyim+==−，所以只有1,mxy对应的数可以出现5次，所以()14425132m+=.【小问3详解】当N为奇数时，先证明()()221TNTNN+=++.因为(),pq与(),

qp不同时在数对序列A中，所以()()21C12NTNNN=−，当3N=时，构造()()():1,2,2,3,3,1A恰有23C项，且首项的第1个分量与末项的第2个分量都为1.对奇数N，如果和可以构造一个恰有2CN

项的序列A，且首项的第1个分量与末项的第2个分量都为1，那么多奇数2N+而言，可按如下方式构造满足条件的序列A：首先，对于如下21N+个数对集合：()()()()1,1,1,1,1,2,2,1NNNN++++，()()()()2,1,1,2,2,2,2

,2NNNN++++，……()()()(),1,1,,,2,2,NNNNNNNN++++，()()1,2,2,1NNNN++++，每个集合中都至多有一个数对出现在序列A中，所以()()221TNTNN+++，其次，对每个不大于N的偶数2,4,6,,1

iN−，将如下4个数对并为一组：()()()()1,,,2,2,1,1,1NiiNNiiN++++++，共得到12N−组，将这12N−组对数以及()()()1,1,1,2,2,1NNNN++++，按如下方式补充到A的后面，即()()()(

)(),1,1,1,2,2,2,2,3,3,1,,ANNNNn+++++(11)(12)(2),,,,,,,(1),(12)(21),,,NNNNNNNNNNN+−−++++++.此时恰有()21TNN++项，所以()()221T

NTNN+=++.综上，当N为奇数时，()()()()()()()()()()()224533TNTNTNTNTNTTT=−−+−−−++−+()()()()()2212412313NN=−++−+++++()()()()()()22124123121

1NN=−++−++++++()()232773NN=−+−+++()2332111222NNNN−+−+==−.【点睛】方法点睛：解新定义题型的步骤：(1)理解“新定义”——明确“新定义”的条

件、原理、方法、步骤和结论.(2)重视“举例”,利用“举例”检验是否理解和正确运用“新定义”;归纳“举例”提供的解题方法.归纳“举例”提供的分类情况.(3)类比新定义中的概念、原理、方法，解决题中需要解决的问题.