【文档说明】北京一六一中学2024届高三上学期10月阶段性测试数学试题 Word版含解析.docx，共(21)页，1.153 MB，由小赞的店铺上传

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北京一六一中学2023～2024学年度第一学期10月阶段性测试高三数学试卷班级__________姓名__________学号__________考生须知：1．本试卷共3页，满分150分，考试时长120分钟．2．试题答案一律书写在答题纸上，在试卷上作答无效．3．在答题纸上，选择题用2B

铅笔作答，非选择题用黑色字迹签字笔作答．4．考试结束后，将答题纸、试卷和草稿纸一并交回．一、选择题：本大题共10道小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目的要求．把正确答案涂写在答题卡上相应的位置．1.已知复数i1iz=−，则z=（）．A.12B.22

C.1D.2【答案】B【解析】【分析】先化简i1iz=−得到1i22z=−+，再根据复数模的定义，即可求解.【详解】()()()i1iii11i1i1i1i222z+−====−+−−+，22112222z=−+=.故选：B2.已知全集{1,2,3,4}U=，集

合{1}A=，(){3}UCAB=，则集合B可能是（）A.{4}B.{1,4}C.{2,4}D.{1,2,3}【答案】C【解析】【分析】根据集合的定义和运算规律求解即可.【详解】∵{1,2,3,4}U=，(){3}UCAB=∴{1,2,4}AB=又∵{

1}A=∴{2,4}B=故选：C.3.下列函数()fx中，其图像上任意一点(),Pxy的坐标都满足条件yx的函数是（）．A.()3fxx=B.()fxx=C.()e1xfx=−D.()()ln1fxx=+【答案】D【解析】【分析】根据题意，分别画出函数图像，结合计算

，即可得到结果.【详解】当2x=时，38x=，2x=，3xx，故A错误；当14x=时，12x=，14x=，xx，故B错误；当1x=时，e1e1x−=−，1x=，e1xx−，故C错误；当10x−时，()0fx，0x，满足yx，当0x时，设()()ln1g

xxx=+−，则()11011xgxxx−=−=++，则()gx在()0,+上单调递减，则()()00gxg=，满足yx，故D正确；故选：D.4.已知π()0,，且3cos28cos5−=，则sin=（）A.53B.23C.13D.59【答案

】A【解析】【分析】用二倍角的余弦公式，将已知方程转化为关于cos的一元二次方程，求解得出cos，再用同角间的三角函数关系，即可得出结论.【详解】3cos28cos5−=，得26cos8cos80−−=，即23c

os4cos40−−=，解得2cos3=−或cos2=（舍去），又25(0,),sin1cos3=−=.故选：A.【点睛】本题考查三角恒等变换和同角间的三角函数关系求值，熟记公式是解题的关键，考查计算求解能力，属于

基础题.5.已知0.53a=，3log2b=，2tan3c=，则（）A.abcB.bacC.cabD.acb【答案】A【解析】【分析】根据指数、对数函数的单调性，将a，b，c与0或1比较，分析即可

得答案.【详解】由题意得0.50331a==，3330log1log2log31==，所以01b，又2tan33c==−，所以abc.故选：A6.某同学用“五点法”画函数()sin()fxAx=+（0，||2）在

某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：x+02322x356sin()Ax+055−0根据这些数据，要得到函数sinyAx=的图象，需要将函数()fx的图象（）A.向左平移12个单位B.向右平移1

2个单位C.向左平移6个单位D.向右平移6个单位【答案】A【解析】【分析】根据表格中的数据，列出关于，的方程组，解方程组得出函数()fx的解析式，根据函数()sin()fxAx=+图象的变换即可得出结果.【详解】由表中的数据可得5A=，325362

+=+=，解得26==−，，所以()5sin(2)6fxx=−，y=5sin2x，将()5sin(2)6fxx=−=5sin[2()]12x−图象向左平移12单位后得到y=5sin2x的图象.故选：A7.设函数1()1xfxx−=+，则

下列函数中为奇函数的是（）A.()11fx−−B.()11fx−+C.()11fx+−D.()11fx++【答案】B【解析】【分析】分别求出选项的函数解析式，再利用奇函数的定义即可.【详解】由题意可得12()111xfxxx−==−+++，对于A，()

2112fxx−−=−不是奇函数；对于B，()211fxx−=+是奇函数；对于C，()21122fxx+−=−+，定义域不关于原点对称，不是奇函数；对于D，()2112fxx++=+，定义域不关于原点对称，不是奇函数.故选：B【点睛】本题主要考查奇

函数定义，考查学生对概念的理解，是一道容易题.8.已知()sinfxxx=−，命题P：0,2x，()0fx，则（）A.P是假命题，()0,02Pxfx￢：，B.P是假命题，()000,02Pxfx

￢：，C.P是真命题，()0,02Pxfx￢：，＞D.P是真命题，()000,02Pxfx￢：，【答案】D【解析】【分析】求导分析()sinfxxx=−的

单调性，进而求得最值，再根据全称命题的否定逐个判断即可【详解】∵()sinfxxx=−，∴()cos10fxx=−∴()fx是定义域上的减函数，∴()()00fxf=∴命题P：0,2x

，()0fx，是真命题；∴该命题的否定是()00002Pxfx￢：，，.故选：D.9.已知,R，则“存在Zk使得(1)kk=+−”是“sinsin=”的（）．A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条

件D.既不充分也不必要条件【答案】C【解析】【分析】根据充分条件，必要条件的定义，以及诱导公式分类讨论即可判断.【详解】(1)当存在Zk使得(1)kk=+−时，若k为偶数，则()sinsinsink=+=；若k为奇数，则()()()sinsinsin1sinsinkk

=−=−+−=−=；(2)当sinsin=时，2m=+或2m+=+，mZ，即()()12kkkm=+−=或()()121kkkm=+−=+，亦即存在Zk使得(1)kk=

+−．所以，“存在Zk使得(1)kk=+−”是“sinsin=”的充要条件.故选：C.【点睛】本题主要考查充分条件，必要条件的定义的应用，诱导公式的应用，涉及分类讨论思想的应用，属于基础题.10.汽车的

“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程，如图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况．下列叙述中正确的是（）．①消耗1升汽油，乙车最多可行驶5千米；②以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最

少；③甲车以80千米/小时的速度行驶1小时，消耗10升汽油；④某城市机动车最高限速80千米/小时，相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油．A.②④B.①③C.①②D.③④【答案】A【解析】【分析】利用折线图以及横、纵坐标代

表的意义逐一分析即可求解.【详解】从图中可以看出乙车的最高燃油效率大于5，故①错误；同样速度甲车消耗1升汽油行驶的路程比乙车、丙车的多，所以行驶相同路程，甲车油耗最少，故②正确.甲车以80千米/小时的速度行驶，1升汽油行驶1

0千米，所以行驶1小时，即行驶80千米，消耗8升汽油，故③错误；速度在80千米/小时以下时，相同条件下每消耗1升汽油，丙车行驶路程比乙车多，所以该市用丙车比用乙车更省油，故④正确.故选：A二、填空题：

共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在答题纸中相应的横线上．11.在51xx−的展开式中，1x的系数为______．【答案】10−【解析】【分析】根据题意，由二项式展开式通项公式，代入计算，即可得到结果.【详解】51xx−的展开式的通

项公式为()()()5152155C11CrrrrrrrrTxxx−−−+=−=−，的令521r−=−，可得3r=，故1x的系数为()3351C10−=−.故答案为：10−12.已知角，的终边关于原点O对称，则()cos−=______．【答案】1−【

解析】【分析】根据角，的终边关于原点O对称得()()21Zkk=+−，即可得到()cos−的值.【详解】角，的终边关于原点O对称，(21)(Z)kk=+−，()()()coscos121Zkk−=−=−.

故答案为：1−.13.设函数1,0()2,0xxxfxx+=，则满足()(1)1fxfx++的x的取值范围是___________.【答案】()1,−+【解析】【分析】分1x−、10−

x和0x三种情况解不等式即可求解.【详解】当10x+即1x−时，()(1)1fxfx++即1(2)1xx+++，可得1x−，此时无解，当010xx+即10−x时，()(1)1fxfx++即1121xx+++，所以120xx++，令()12xgxx+=+，则(

)12xgxx+=+在(1,0−上单调递增，()()10gxg−=，所以120xx++恒成立，所以10−x符合题意，当010xx+即0x时，()(1)1fxfx++即1221xx++恒成立，所以0x符合题意，综上所述：满足不等式的x的取值范围是()1,−

+，故答案为：()1,−+.14.若方程e0xaxa−+=有根，则实数a的取值范围是______．【答案】2ea或a<0，【解析】【分析】构造函数()e1xfxx=−，利用导数求解函数的单调性，进而结合函数图象即可

得直线ya=与()fx有交点时，2ea或a<0.【详解】由e0xaxa−+=得()e1xax=−，当1x=，方程显然无根，故1x时，e1xax=−，令()e1xfxx=−，则()()()2e12xxfxx−=−，令()()()2e201xxfxx−=−，则2x，故()fx在()2,

+单调递增，在()1,2以及(),1−单调递减，故2x=时，()fx取极小值()22ef=，而当1x时，()e01xfxx=−，当x→+时，()fx→+，所以直线ya=与()fx有交点时，2ea或a<0，故答案为：2ea或a<0，

15.已知函数()fx由下表给出：x01234()fx0a1a2a3a4a其中(0,1,2,3,4)kak=等于在0a，1a，2a，3a，4a中k所出现的次数，则4a=__________；0123aaaa+++=____

______．【答案】①.0②.5【解析】【分析】假设k＝4出现次数大于等于1次，即4a的值大于等于1，推出矛盾，由此得4a＜1，4a＝0，同理可得30a=，由此可得02a，从而讨论可得02a=，于是可以得到1a

，2a∈{1，2}，分类讨论即可得出答案.【详解】(0,1,2,3,4)kak=等于在“0a，1a，2a，3a，4a”中k所出现的次数，则0,1,2,3,4ka，若k＝4在“0a，1a，2a，3a，4a”中出现次数超过0次，不妨设出现1次，则4a＝1.设0

a＝4，则k＝0在“1a，2a，3a”这3个数中出现4次，矛盾，同理k＝4在“0a，1a，2a，3a，4a”中出现过2、3、4次也不可能，即k＝4不能出现，∴4a＝0.同理，若k＝3出现次数超过0次，

不妨设k＝3出现1次，即31a=，设0a＝3，则k＝0在“1a，2a”这2个数中出现3次，矛盾，故k＝3不可能出现，∴30a=.∵30a=，4a＝0，∴k＝0在“0a，1a，2a，30a=，40a=”中至少出现了2次，∴02a.若

0a＝3或4，即k＝3或k＝4出现了1次，则3a或4a不为0，矛盾，∴02a=.∴02a=，30a=，40a=，∴1a，2a∈{1，2}，∴“0a，1a，2a，3a，4a”仅有下列四种可能：①02a=，1a＝1，2a＝1，30a=，40a=，②02a=，1a＝1，2a＝2，30a=，40a=，③0

2a=，1a＝2，2a＝1，30a=，40a=，④02a=，1a＝2，2a＝2，30a=，40a=，其中：①中，k＝1出现2次与1a＝1矛盾，不可能；②满足题意；③k＝2出现2次与2a＝1矛盾；④中，k＝2出现3次与2a＝2矛盾；故仅有“02a=，1a＝1，

2a＝2，30a=，40a=”满足题意，故0123aaaa+++=5.故答案为：0；5【点睛】本题关键是理清题意，在有限个数字中，从大到小讨论，将不满足题意的情形逐一排除，最后得到唯一满足题意的组合.三、

解答题：本大题共6小题，共85分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程，并写在答题纸相应位置．16.如图，在四棱锥PABCD−中，底面ABCD为矩形，PD⊥平面ABCD，2PDAD==，4AB=，点E在线段AB上，且34AEAB=.（1）求证：CE⊥平面PBD；（2）求

二面角PCEA−−余弦值.【答案】（1）证明见解析（2）42121【解析】【分析】(1)根据线面垂直的性质可得PDCE⊥，利用相似三角形的判定与性质可得BDCE⊥，结合线面垂直的判定定理即可得出结果；(2)根据题意和线面垂直的性质可得,,ADCDPD两两垂直，建立如图

空间直角坐标系的Dxyz−，求出各点、各线段的坐标，进而求出平面PCE和平面ACE的法向量，利用空间向量的数量积表示即可求出结果.【小问1详解】因为PD⊥平面ABCD，CE平面ABCD，所以PDCE⊥.因为4AB=，34AEAB=，所以3AE=，1BE=.所以2A

BBCADBE==.所以RtRtCBEBAD△∽△，所以BDCE⊥.又因为PDCE⊥，PDBDD=，所以CE⊥平面PBD.【小问2详解】因为PD⊥平面ABCD，AD平面ABCD，CD平面ABCD，所

以PDAD⊥，PDCD⊥.又因为ABCD是矩形，ADCD⊥，所以,,ADCDPD两两垂直，如图建立空间直角坐标系Dxyz−，则()0,4,0C，()002P,,，()2,3,0E，所以()0,4,2PC

=−，()2,1,0CE=−.设平面PCE的一个法向量为(),,nxyz=，则0,0,nCEnPC==即20,420.xyyz−=−=令1x=，则2y=，4z=.于是()1,2,4n=.因为PD⊥平面ABCD，取平面ACE的法向量

为()0,0,1m=.则4421cos,2111416mnmnmn===++.由图可知二面角PCEA−−为锐角，所以二面角PCEA−−的余弦值是42121.17.已知函数()sin(2)cos2fxxx=++，其中π||2．再从条件①、条件②、条件③中选择一个作为

已知，使()fx存在，并完成下列两个问题．（1）求的值；（2）当ππ,63x−时，若曲线()yfx=与直线ym=恰有一个公共点，求m的取值范围．条件①：π16f=−；条件②：π12−是()fx的一个零点；条件③：π(0)3ff=．注：如果

选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．【答案】（1）答案见解析（2）11,122−【解析】【分析】（1）根据选择的条件代入计算，结合角的范围即可利用特殊角的三角函数值求解π6=−，（2）由和差角公式以及辅助角公式化简()πsin(2)6fxx=+，

由整体法即可代入求解.【小问1详解】选条件①：ππππ3sincos1si63332fn=++=−+=−无意义，所以选条件①时()fx不存在，故不能选①，选条件②．由题设πππ()

sin()cos()01266f−=−++−=，所以π3sin()62−=−．因为ππ22−，所以2πππ363−−，所以ππ63−=−．所以π6=−．选条件③，由题设2π2πsincos0sin(

)cos33+=++．整理得π3sin()62−=−．以下同选条件②．【小问2详解】由（1）π()sin(2)cos26fxxx=−+31πsin2cos2sin2226xxx=+=+因为ππ63x−，所以ππ5π2666≤≤x−+．于是，当且仅当ππ2

62x+=，即π6x=时，()fx取得最大值1；当且仅当ππ266x+=−，即π6x=−时，()fx取得最小值12−．又π5π266x+=，即π3x=时，π5π1()sin362f==．且当πππ2666x−+时，()

fx单调递增，所以曲线()yfx=与直线ym=恰有一个公共点，则1122m-或1m=m的取值范围是11,122−．18.为了解某地区高一学生阅读时间的分配情况，从该地区随机抽取了500名高一学生进行在线调查，得到了这500名学生的日平均阅

读时间(单位：小时)，并将样本数据分成0,2，(2,4，(4,6，(6,8，(8,10，(10,12，(12,14，(14,16，(16,18九组，绘制成如图所示的频率分布直方图.（1）求a值；（2）为进一步了解这500名学生数字媒体阅读时间和纸质图书阅读时间的分配

情况，从日平均阅读时间在(12,14，(14,16，(16,18三组内的学生中，采用分层抽样的方法抽取了10人，现从这10人中随机抽取3人，记日平均阅读时间在(14,16内的学生人数为X，求X的分布列；（3）以调查结果的频率估计概率，从该地区所有高一学生中随机抽取20名学生，用“()20

Pk”表示这20名学生中恰有k名学生日平均阅读时间在(10,12(单位：小时)内的概率，其中0,1,2,,20k=.当()20Pk最大时，写出k的值.（只需写出结论）【答案】（1）0.10a=（2）分布列见解析（3）4k=【解析】【分析】（1）由频率分布直方图

列出方程，能求出a的值．（2）由频率分布直方图求出这500名学生中日平均阅读时间在(12，14]，(14，16]，(16，18]三组内的学生人数分别为50人，40人，10人，采用分层抽样的方法抽取了10人，则从日平均阅读时间在(14，16]内的学生中抽取4人，现从这10人中随机

抽取3人，则X的可能取值为0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列．（3）根据对立重复试验的概率公式得到方程组，解得k的取值范围，即可得解．【小问1详解】解：由频率分布直方图得：2(0.020.030.050.050.150.0

50.040.01)1a++++++++=，的解得0.10a=．【小问2详解】解：由频率分布直方图得：这500名学生中日平均阅读时间在(12，14]，(14，16]，(16，18]三组内的学生人数分别为：5000.1050=人，5000.0840=人，5000.0210=人，若采用分层抽样的

方法抽取了10人，则从日平均阅读时间在(14，16]内的学生中抽取：40104504010=++人，现从这10人中随机抽取3人，则X的可能取值为0，1，2，3，36310201(0)1206CPXC====，1246310601(1)1202CCPXC====，21463103

63(2)12010CCPXC====，3431041(3)12030CPXC====，X的分布列为：X0123P1612310130【小问3详解】解：由（1）可知(10,12的概率0.120.2P=

=，所以()()20202020200.210.20.20.8kkkkkkPkCC−−=−=依题意()()()()2020202011PkPkPkPk−+，即201121202020111920200.20.80.20

.80.20.80.20.8kkkkkkkkkkkkCCCC−−−−−++−，即()2010.20.820110.80.21kkkk−+−+++，解得162155k，因为k为非负整数，所以4k=即当20()Pk最大时，4k=．19.设函数()eaxfxxb

x−=+，曲线()yfx=在点()()1,1f处的切线方程为1yx=+．（1）求a，b的值；（2）求()fx的单调区间．【答案】（1）1,1ab==；（2）函数()fx在R上单调递增.【解析】【分析】（1

）根据题意，求导得()fx，列出方程，即可得到结果；（2）根据题意，由（1）可得()()11e1xfxx−=−+，令1xt−=，得到函数()fx的最小值，即可得到()min110efx=−+.【小问1详解】因为()eaxfxxbx−=+，则()()1eaxfxxb−

=−+，由题意可得，()()1211ff==，即1e21abb−+==，解得11ab==.【小问2详解】由（1）可知，()1exfxxx−=+，()()11e1xfxx−=−+，令1xt−=，令()e1tptt=+，所以()()1etpt

t=+，当(),1t−−时，()0pt，则函数()px单调递减；当()1,t−+时，()0pt，则函数()px单调递增；当1t=−时，函数()e1tptt=+有极小值，即最小值，最小值为11e−+，则

()min110efx=−+，则函数()fx在R上单调递增.20.已知函数()3211132afxxxax+=−++．（1）若0a=，求函数()fx的极值；（2）若函数()fx在区间0,1的最大值为1，求实数a的取值范

围；（3）若对任意1x，()20,x+，当12xx时，不等式()()()()121222fxfxaxax−−−−恒成立，求实数a的取值范围．【答案】（1）极大值(0)1f=，极小值5(1)6f=；（2）(,0−（3）221a−【解析】【分析】（1）求导，令导数等于0，结合单

调性可求；（2）求导，得到()()()1fxxxa=−−，讨论a与1的关系，利用导数，得出()fx的最大值，进而求出a的范围.（3）构造函数()()()2gxfxax=+−，由()()12gxgx可得到()gx的单调性，进而可求得a的范围.【小

问1详解】当0a=，()3211132fxxx=−+，()2fxxx=−，令()0fx=，则0x=或1x=，则当(,0],[1,)x−+时，()0fx，函数()fx单调递增，则当(0,1)

x时，()0fx，函数()fx单调递减，所以在0x=时，取得极大值(0)1f=；在1x=时，取得极小值5(1)6f=；【小问2详解】()()()1fxxxa=−−，令()0fx=，得1x=或xa=.

当0a时，则0,1x时，()0fx，所以()fx在0,1上单调递减，()max()01;fxf==成立当01a时，当()0,xa时，()0fx¢>；当(),1xa时，()0fx.故()fx在()0,a上

单调递增，在(),1a上单调递减；()()max()01fxfaf==，不合题意；当1a时，则0,1x时，()0fx，所以()fx在0,1上单调递增，()()max()101fxff==，不合题意.综上，实数a的取值范围是(,0−.【小问3详解】

设()()()2gxfxax=+−，根据题意有，120xx，12()()gxgx，故()gx单调递增，则()32112132agxxxx+=−++，()gx在()0,+上单调递增，则有0x时，()0gx

恒成立而()()212gxxax=−++，即()2120xax−++恒成立，参变分离可得，则有21axx++，而222xx+（当且仅当2x=时等号成立），所以min222xx+=，即有221a−.21.

已知数列na，记集合()()*1,,,1,NiijTSijSijaaaijj+==+++．（1）对于数列na：1，2，3，4，写出集合T；（2）若2nan=，是否存在,ijN，使得(),1024Sij=？若存在，求出一组符合条件的i，j；若不存在，说明理由；（3）若2

2nan=−，把集合T中的元素从小到大排列，得到的新数列为B：1b，2b，…，mb，…．若2024mb，求m的最大值．【答案】（1）{3T=，5，6，7，9，10}；（2）不存在，理由见解析（3）1003【解析】【分析】1）根

据题意给出的集合T新定义，即可得出答案；（2）使用假设法，假设存在i，*Nj，使得(,)1024Sij=，进行计算检验，从而得出结论；.（3）由22nan=−，根据题意给出的集合T新定义可对(2222)

(1)(2)(1)2jijijiji−+−−+=+−−+进行计算分析，讨论元素的奇偶情况，即可得出答案．【小问1详解】由题意得123aa+=，1231236aaa++=++=，1234123410aaaa+++=+++=，23235

aa+=+=，2342349aaa++=++=，34347aa+=+=，{3T=，5，6，7，9，10}；小问2详解】假设存在i，*Nj，使得(,)1024Sij=，则有1102422(1)2(1)()iij

aaaiijjiij+=+++=++++=−++，由于ij+与ji−奇偶性相同，ij+与1ji−+奇偶性不同，又3ij+，12ji−+，1024有大于等于3的奇数因子，这与1024无1以外的奇数因子矛盾，故不存在i，*Nj，使得(,)1024Sij=；【小问3详解】由题意得(22

22)(1)(2)(1)2jijijiji−+−−+=+−−+，当2j=，1i=时，12b=，除2j=，1i=外22ji+−，12ji−+，其中2ji+−与1ji−+一奇一偶，则nb能拆成奇数与偶数之乘积，在正偶数中，只有2n无法拆成

一个大于2的奇数与一个不小于2的偶数之乘积，又T中的元素均为偶数，故*{2|NTnn=，2kn，*N}k，故2至2024偶数中除去4，8，16，32，64，128，256，512，1024，2024910032m=−=，故m

的最大值为1003．【点睛】求解新定义运算有关的题目，关键是理解和运用新定义的概念以及元算，利用化归和转化的数学【思想方法，将不熟悉的数学问题，转化成熟悉的问题进行求解.对于新型集合，首先要了解集合的特性，抽象特性和计算特性，抽象

特性是将集合可近似的当作数列或者函数分析.计算特性，将复杂的关系通过找规律即可利用已学相关知识求解.