【文档说明】湖北省荆州市沙市中学2024-2025学年高一上学期10月期中考试数学试题 Word版含解析.docx，共(16)页，775.620 KB，由小赞的店铺上传

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2024—2025学年度上学期2024级期中考试数学试卷考试时间：2024年10月25日一、单选题1.已知集合2|60Axxx=−−，2|4Bxx=…，则AB=（）A.()2,3B.(2,3]C.[2,3)D.[2,3]

【答案】C【解析】【分析】化简集合，再求交集即可.【详解】|23Axx=−，|2Bxx=−„或2x…，)2,3AB=.故选：C【点睛】本题考查不等式的解法和集合的运算，属于基础题.2.

下列选项中，表示的是同一函数的是（）A.()()()22fxxgxx==，B.()()()222fxxgxx==−，C.()()2111fxxxgxx=+−=−，D.()()00xxfxfttxx==−，，，【答

案】D【解析】【分析】利用同一函数的定义对每一选项的函数分析得解.【详解】A.函数()2fxx=定义域为R，函数()()2gxx=的定义域为[0,)+,两个函数的定义域不同，所以它们不是同一函数；B.两函数()()()222fxxgxx==−，的定义域相同，但是对应关系不同，所以它们不是

同一函数；C.函数()11fxxx=+−的定义域为[1,)+，函数()21gxx=−的定义域为[1,)(,1]+−−，两个函数的定义域不同，所以它们不是同一函数；D.两函数()()00xxfxfttxx==−，，，的定义域都

是R,函数()||fxx=，所以两函数的对应关系相同，所以两函数是同一函数.故选D【点睛】本题主要考查同一函数的定义及判断，考查函数定义域的求法，意在考查学生对该知识的理解掌握水平.3.已知函数2()4,[,5]fxxxxm=−+的值域是[5,4]−，则实数m的取值范围是（）A.(,1)

−−B.(1,2]−C.1,2−D.[2,5)【答案】C【解析】【分析】根据二次函数的图像和性质可求得答案【详解】解：由于22()4(2)4fxxxx=−+=−−+，所以当2x=时，()fx取得最大值

(2)4f=，由2()45fxxx=−+=−，解得5x=或1x=−，所以当15x−时，函数的值域为[5,4]−，且(1)(5)5,(2)4fff−==−=，因为二次函数2()4fxxx=−+的图像开口向下，所以要使函数在[,5]m上的值域为[5,4]−，只需12m−，故选：C4.我国著名

数学家华罗庚先生曾说：”数缺形时少直观，形缺数时难入微”．在数学的学习和研究过程中，常用函数图像来研究函数的性质，也经常用函数解析式来分析函数的图像特征，函数()2211yxx=−+在[﹣2，2]上的图像大致是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】先根据奇偶性定义判定函数

()fx是偶函数，从而排除选项CD；再根据()0f的值排除选项A即可作出判断选择B．【详解】()()2211fxxx=−+定义域为R，()()()()()22221111fxxxxxfx−=−−−+=−+=，则()fx偶函数，其图象关于y轴轴对称，排除选项CD；

又因为()()22001011f=−+=−，则排除选项A，选B.故选：B．5.函数2(1)2,2()2(1)1,2axxfxxaxx−−=+−−，若对任意1x、2Rx（12xx），都有1212(

)()0fxfxxx−−成立，则实数a的取值范围为（）A.4,1−−B.(,1−−C.3,12−−D.5,4−−【答案】C【解析】【分析】根据题意得出函数()fx在R上单调递减，再利用分段函数的单调性列

不等式组即可得出结果.【详解】由对任意1x、2Rx（12xx），都有1212()()0fxfxxx−−成立，可知()fx在R上单调递减，所以()()210122411122aaaa−−+−−−−，解得312a−−，即实数a的取值范围为3,12−

−.故选：C.6.若对任意满足8ab+=的正数a，b都有14111xabx+++−成立，则实数x的取值范围是（）A.)0,1B.()1,+C.((),01,−+D.(−∞,0)∪(1,+∞)【答案】C【解析】【分析】由题意知min1141

1xxab++−+利用基本不等式求出min1411ab+=+，解不等式111xx+−即可求解.是【详解】若对任意满足8ab+=的正数a，b都有14111xabx+++−成立，则min1141

1xxab++−+，()()()41411411411155211919191aabbababababab+++=+++=+++=++++当且仅当()41

18ababab+=++=即26ab==时等号成立，所以min1411ab+=+，所以111xx+−，即()1101xxx+−−−，即()21010xxx−−，解得1x或0x，所以实数x的取值范围是(()

,01,−+，故选：C【点睛】关键点点睛：本题的关键点是由不等式恒成立转化为min11411xxab++−+，再由()141141191ababab+=+++++再利用基本不等式可以求出最值，变形很关键，最后解分式不等式需要先移项，注意分母不为0

，避免出错.7.若函数()fx在定义域,ab上的值域为()(),fafb，则称()fx为“Ω函数”．已知函数()25,024,24xxfxxxmx=−+是“Ω函数”，则实数m的取值

范围是（）A.4,10B.4,14C.10,14D.)10,+【答案】C【解析】【分析】根据“Ω函数”的定义确定()25,024,24xxfxxxmx=−+的值域为[0,]m，结合每段上的函数的取值范围列出相应不

等式，即可求得答案.【详解】由题意可知()25,024,24xxfxxxmx=−+的定义域为[0,4]，又因为函数()25,024,24xxfxxxmx=−+是“Ω函数”，故其值域为()()[0,4]ff；而()()0

0,4ffm==，则值域为[0,]m；当02x时，()5[0,10]fxx=，当24x时，()24fxxxm=−+，此时函数在(2,4]上单调递增，则()(4,]fxmm−，故由函数()25,024,24xxfxxxmx=−+是“Ω函数”可得04101

0mm−，解得1014m，即实数m的取值范围是10,14，故选：C8.已知函数()fx满足()()()2fxyfxfy+=+−，()14f=且当0x时，()2fx，若存在1,2x，使得()()2421faxxfx−+=，则a的

取值范围是（）A.10,2B.15,28C.52,83D.12,23【答案】D【解析】【分析】根据给定条件，探讨函数()fx的单调性，再结合赋值法求出3()12f−=−，并由单调性脱去法则，转化为二次方程在[1,2]上有解即得.【详解】任取12

,xx，且12xx，则210xx−，而当0x时，()2fx，于是21()2fxx−，又()()()2fxyfxfy+=+−，因此21211211()[()]()()2()fxfxxxfxfxxfx=+−=+−−，则函数

()fx是增函数，而222(4)(2)[(4)2]2(2)21faxxfxfaxxxfaxx−+=−++=−+=，于是2(2)1faxx−=−，令0xy==，得(0)2f=，令1,1xy==−，得(1)0f−=，令1,1xy=−=−，得(2)2f−=−，令2,1xy=−=−，得(3)4f−=−，令

3xy2==−，得3()12f−=−，即有23(2)()2faxxf−=−，因此2322axx−=−，原问题即2432xax−=在1,2有解，令11[,1]2tx=，则22242343()33attt=−+=−−+在1[,1]2t时

有解，从而42[1,]3a，12[,]23a，所以a的取值范围是12[,]23.故选：D【点睛】关键点睛：涉及由抽象的函数关系求函数值，根据给定的函数关系，在对应的区间上赋值，再不断变换求解即可.二、多选题9.已知0abc，则下列不等式一定成立的是（）A.22ac

bcB.11abC.aacbbc++D.11abab−−【答案】ABD【解析】【分析】由不等式的性质可判断A，B，D，作差可判断C.【详解】对于A，因为20c，ab，所以22acbc，故A正确；对于B，因为0ab，所以11ab，故B正确；对于C，因为()()()()()abc

baccabaacbbcbbcbbc+−+−+−==+++，又0abc，所以()()0cabbbc−+，即aacbbc++，故C不正确；对于D，因为11ab，所以11ab−−，又ab，所以11abab−

−，故D正确.故选：ABD.10.若定义在R上函数()fx满足()2023,0,xfxx=为有理数为无理数，则下列说法成立的是（）A.无理数0m，Rx，()()0fxmfx+=B.对任意有理数m，

有()()fxmfx+=C.Rx，()()2023ffx=的D.,Rxy，()()()22fxyfxfy+=+【答案】BCD【解析】【分析】根据函数的解析式逐项判断可得答案.【详解】对于A，若x为有理数

，则0xm+为无理数，所以()00fxm+=，()2023fx=，A错误；对于B，对任意有理数m，则xm+，x同为有理数或无理数，所以()()fxmfx+=成立，B正确；对于C，若x为有理数，则()()()20232023f

fxf==，若x为无理数，则()()()02023ffxf==，C正确；对于D，比如2x=，3y=，则()()()22fxyfxfy+=+，D正确．故选：BCD.11.高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和

阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设Rx，用x表示不超过x的最大整数，则yx=称为高斯函数，如[3.24]3,1.52=−=−.设函数()fxxx=−，则下列

说法错误的是（）A.()fx的图象关于y轴对称B.()fx的最大值为1，没有最小值C.()()6131ff+D.()fx在R上是增函数【答案】ABD【解析】【分析】根据[]x的定义，结合()fx的解析式，作出函数图象，即可结合选项逐一进行判断即可

．【详解】因为1,10,01()[]1,122,23xxxxfxxxxxxx+−=−=−−，画出()fxxx=−的图象如下：A选项，可以看出此函数不是偶函数，不关于y轴对称，A错误；B选项，()fx无最大值，有最小值0，B错误；C选项，因

为()()62,3,133,4，故()()662,13133ff=−=−，()()613621336135ff+=−+−=+−，因为()261336278173122890+−=−=−，所以6136+，故()()61361

351ff+=+−，C正确；D选项，由图象可知()fx在𝑅上不是增函数，D错误.故选：ABD三、填空题12.函数221()1xfxx−=−的定义域为_______.【答案】()1,11,2+

【解析】【分析】函数221()1xfxx−=−的定义域满足221010xx−−，解得答案.【详解】函数221()1xfxx−=−的定义域满足221010xx−−，解得12x且1x.故答案为：()1,11,2+.13.若“2[4,6],10xxax−

−”为假命题，则实数a的取值范围为___________.【答案】356a【解析】【分析】由原命题为假，其否定为真得到1axx−在[4,6]x上恒成立，结合对应函数的单调性求右侧的最大值，即可得参数范围.【详解】由题设命题为假，则2[4,6],10xxax−−为真，所以210

xax−−，即1axx−在[4,6]x上恒成立，又1yxx=−在[4,6]x上递增，故max135666y=−=，所以356a.故答案为：356a14.已知函数()()221Rfxxaxa=−+，若非空集合(){|0}Axfx=

，()(){|1}Bxffx=，满足AB=，则实数a的取值范围是__________【答案】12,1−−−【解析】【分析】通过直接代入()221fxxax=−+，然后解一元二次不等式，通过分别判断两一元二次不等式的方程的，，从而进行求解即可.【详解】由()()1ffx

，可得()222(21)22111xaxaxax−+−−++，即()()22212120xaxxaxa−+−+−，由AB=，可得22120xaxa−+−在R上恒成立，即()244120aa=−−，解得1212a−−−+，①又集合A是非空集合，所以2210xax−+

在R上有解，则2440a=−，解得1a−或1a，②综合①②可得：12,1a−−−．故答案为：12,1−−−四、解答题15.已知全集RU=，集合2230{|}Axxx=−−，集合102xBxx−=+，集合{|121}Cxmxm=−+．

（1）求AB，UABð（2）若ACC=，求实数m的取值范围．【答案】（1）{|2ABxx=−或}1x?，{|11}UABxx=−ð（2）{|2mm−或01}m【解析】【分析】（1）先解不等式得出集合A、B，再由集合的

运算可得结果；（2）因为ACC=，所以CA，分C=和C两种情况求解即可.【小问1详解】根据题意：集合13{|}Axx=−，集合{|2Bxx=−或1}x{|2ABxx=−或}1x?，{|11}UABxx=−ð【小问2详解】因为ACC=，所以CA，若C

=，则1212mmm−+−若C，则121mm−+，得2m−时，可得1101213mmm−−+，实数m的取值范围为{|2mm−或01}m.16.随着我国经济发展、医疗消费需求增长、人们健康观念转变

以及人口老龄化进程加快等影响，医疗器械市场近年来一直保持了持续增长的趋势．某医疗器械公司为了进一步增加市场力，计划改进技术生产某产品．已知生产该产品的年固定成本为300万元，最大产能为100台，每生产x台，需

另投入成本()Gx万元，且()2280,04036002012100,40100xxxGxxxx+=+−，由市场调研知，该产品每台的售价为200万元，且全年内生产的该产品当年能全部销

售完．（1）写出年利润()Wx万元关于年产量x台的函数解析式（利润=销售收入-成本）；（2）当该产品的年产量为多少时，公司所获利润最大？最大利润是多少？【答案】（1）()22120300,04036001800,40100xxxWx

xxx−+−=−++（2）年产量为60台时，公司所获利润最大，最大利润是1680万元.【解析】【分析】（1）每台售价200万，销售收入是200x，减去对应的成本，以及固定成本

300万，即为利润；（2）观察利润的函数解析式，发现040x对应的函数解析式为开口向下的二次函数，可利用二次函数的特点求最大利润值，40100x对应的函数解析式中含有基本不等式的部分，可考虑利用基本不等式求最值，最后要对两个最值比较

，得出最大利润.【小问1详解】当040x时，()22()2002803002120300Wxxxxxx=−+−=−+−；当40100x时，36003600()20020121003001800Wxxx

xxx=−+−−=−++，()22120300,04036001800,40100xxxWxxxx−+−=−++【小问2详解】若040x，2()2(30)1500Wxx=−

−+，当30x=时，max()1500Wx=万元；若40100x，36003600()18002180012018001680Wxxxxx=−++−+=−+=，当且仅当3600xx=时，即60x=时，max()1

680Wx=万元．则该产品的年产量为60台时，公司所获利润最大，最大利润是1680万元.17.《见微知著》谈到：从一个简单的经典问题出发，从特殊到一般，由简单到复杂，从部分到整体，由低维到高维，知识与方法上的类比是探索发展的重要

途径，是发现新问题、新结论的重要方法．例如，已知1ab=，求证：11111ab+=++．证明：原式111111abbababbb=+=+=++++．波利亚在《怎样解题》中也指出：“当你找到第一个蘑菇或作出第一个发现后，再四处看看，他们总是成群.生长．”类

似上述问题，我们有更多式子满足以上特征．请根据上述材料解答下列问题：（1）已知1ab=，求221111ab+++的值；（2）若1abc=，解方程5551111axbxcxababcbcac++=++++++；（3）若正数,ab

满足1ab=，求11112Mab=+++的最小值．【答案】（1）1（2）15x=（3）222−【解析】【分析】（1）由题意把1ab=代入式中可求值；（2）将1abc=代入方程可求解；（3）由已知条件可得11123Mbb=−++，利用基本不等式求出M的最小值即可．【小问1详解】222211111ab

abbaababaabbabab+=+=+=++++++．【小问2详解】1abc=原方程可化为：55511(1)axbxbcxabaabcbcbbcac++=++++++即：5551111xbxbcx

bbcbcbbcb++=++++++5(1)11bbcxbbc++=++，即51x=，解得：15x=．【小问3详解】2221122111111211223123123abbbbbMababbbbbb

bbb++=+=+==−=−++++++++++1122222bbbb+=，当且仅当12bb=，即2122,bab===时，等号成立，的12bb+有最小值22，此时1123bb++有最大值322−，从而11123bb−++有最小值222−，即11112Mab=+++有最

小值222−．18.定义：若函数()fx对于其定义域内的某一数0x，有()00fxx=，则称0x是()fx的一个不动点.已知函数()()()2110fxaxbxba=+++−.（1）当1a=，2b=−时，求函数

()fx的不动点；（2）若对任意的实数b，函数()fx恒有两个不动点，求实数a的取值范围；（3）在（2）的条件下，若()yfx=图象上两个点A、B的横坐标是函数()fx的不动点，且线段AB的中点C在函数()2541agxxaa=−+−+的图象上，求实数b的最小值.【

答案】（1）1−和3（2）01a（3）1−【解析】【分析】（1）按照不动点的定义计算即可；（2）方程有两个不等实根，()2410bab=−−，得到关于b的二次函数，再利用判别式求解即可；（3）求出点C坐标，代入()gx，结合12bxxa+=−，得到22541a

baa=−−+，借助二次函数求出最小值即可.【小问1详解】当1a=，2b=−时()23fxxx=−−，由23xxx−−=，解得3x=或1x=−，故所求的不动点为1−和3.【小问2详解】令()fxx=，则210axbxb++−=①由题意，方程①恒

有两个不等实根，所以()2410bab=−−，即2440baba−+对任意的bR恒成立，则216160aa=−，∴01a.【小问3详解】依题意设()11,Axx，()()2212,Bxxxx，则AB中点C坐标为1212,22

xxxx++，又AB的中点在直线()2541agxxaa=−+−+上，∴1212222541xxxxaaa++=−+−+，∴122541axxaa+=−+，又1x，2x是方程①的两个根，∴12bxxa+=−，即2541baaaa−=−+，∴

2222115411114521abaaaaa=−=−=−−+−+−+，∵01a，∴11a.所以12a=时，b的最小值为1−.19.已知()24xafxxb−=+是定义在R上的奇函数，其中,abR，且()21f=.（1）求,ab的值；（2）判断()fx

在)2,+上的单调性，并用单调性的定义证明；（3）设()222gxmxxm=−+−，若对任意的12,4x，总存在20,1x，使得()()12fxgx=成立，求非负实数m的取值范围.【答案】（1）

0a=，4b=（2）()fx在)2,+上单调递减，证明见解析（3）0,1【解析】【分析】（1）利用奇函数的性质(0)0f=，结合()21f=，求得到,ab的值，检验即可；（2）利用函数单调性的定义判断并证明即可；（3）记()fx在

区间2,4内的值域为A，()gx在区间0,1内的值域为B，将问题转化为AB时求非负实数m的取值范围，利用单调性求出()fx的值域，分0m=，01m，12m和2m四种情的况讨论，结合单调性求出()gx的值域，即可得到答案．【小问1详解】因为(

)fx是定义在R上的奇函数，所以()00fa=−=，解得0a=，又因为()21f=，所以()8214afb−==+，解得4b=，所以()244xfxx=+，()()244xfxfxx−−==−+，则()fx为奇函数，所以0a

=，4b=.【小问2详解】()fx在)2,+上单调递减.证明如下：设122xx，则()()()()()()1212121222221212164444444xxxxxxfxfxxxxx−−−=−=++++，因为122xx，则12120,1604xxxx−−，

所以()()12fxfx，所以()fx在)2,+上单调递减.【小问3详解】由（2）可知()fx在2,4上单调递减，所以()()maxmin4()21,()45fxffxf====，记()fx在区间2,4内的值域为4,15A

=.当0m=时，()22gxx=−+在0,1上单调递减，则()()maxmin()02,()10gxggxg====，得()gx在区间0,1内的值域为0,1B=.因为AB，所以对任意的12,4x，总

存在20,1x，使得()()12fxgx=成立.当01m时，()11,gxm在0,1上单调递减，则()()maxmin()02,()10gxgmgxg==−==，得()gx在区间0,1内的值域为0,2Bm=−，因为AB，所以对任意的12,4x，总存在

20,1x，使得()()12fxgx=成立.当12m时，()111,2gxm在10,m上单调递减，在1,1m上单调递增，则()maxmin11()02,()2gxgmgxgm

mm==−==−+−，得()gx在区间0,1内的值域为12,2Bmmm=−+−−，所以142,521,?mmm−+−−无解，当2m时，()110,2gxm在10,m

上单调递减，在1,1m上单调递增，则()maxmin11()10,()2gxggxgmmm====−+−，得()gx在区间0,1内的值域为12,0Bmm=−+−，不符合题意.综上，非负实数m的取值范围为

0,1.