【文档说明】安徽省庐江巢湖七校联盟2022-2023学年高一下学期3月期中数学试题 含解析.docx，共(20)页，948.345 KB，由小赞的店铺上传

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2022/2023学年度第二学期第一次阶段练习高一年级数学试卷一、单选题（本大题共8小题，共40.0分.在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.已知向量a，b，则“ab=rr”是“ab=”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析

】【分析】根据向量的模、充分、必要条件的知识确定正确选项.【详解】ab=rr时，,ab不一定是相等或相反向量，ab=时，ab=rr，所以“ab=rr”是“ab=”的必要不充分条件.故选：B2.已知||3,||1,aba==与b的夹角为120，则ab+在a上的投影向量为（）A.32b−B

.12b−C.16a−D.56a【答案】D【解析】【分析】先求出ab+在a上的投影，再乘以||aa即可得解.【详解】因为ab+在a上的投影为()||abaa+=21931()2||3aaba+−+=52=，所以ab+在a上的投影

向量为552||6aaa=.故选：D3.在等腰三角形ABC中，5,2ABACBC===，若P为边BC上的动点，则()APABAC+=（）A.2B.4C.8D.0【答案】C【解析】【分析】根据等腰三角形中三线合一及数量积的运算律求解即可.【详解】设AD是等腰三角形ABC的高，如图，则512AD=

−=，故22()()22228APABACADDPADADDPADAD+=+=+==．故选：C4.如图，在平行四边形ABCD中，M是AB的中点，DM与AC交于点N，设ABa=，ADb=，则BN=（）A.2133ab−+B.2133ab−C.1233ab−+D.1233

ab−【答案】A【解析】【分析】依题意可得ANMCND∽，即可得到13ANAC=，再根据平面向量线性运算法则计算可得；【详解】解：依题意在平行四边形ABCD中，//AMCD，又M是AB的中点，DM与AC交于点N，所以ANMC

ND∽，所以12AMANCDCN==，所以13ANAC=，所以()111212333333BNANABACABABADABADABba=−=−=+−=−=−故选：A5.已知在ABC中，sin:sin:sin=4:

3:2ABC，则cosB等于（）A.1116B.79C.2116D.2916【答案】A【解析】【分析】利用正弦定理得4ak=，3,bk=2ck=再利用余弦定理可以求解.【详解】sin:sin:sin=4:3:2ABC，由正弦定理得4ak=，3,bk=

2ck=(0)k，由余弦定理2222cosbacacB=+−知,222222164911cos224216acbkkkBackk+-+-===创.故选：A.【点睛】本题考查正弦、余弦定理.熟练运用正弦、余弦定理及变形是解题的关键.正弦定理常见变形：2sinaRA＝、2bRsinB＝、2cRsin

C＝::::abcsinAsinBsinC＝6.已知向量(),2a=，()2,24b=−，mab=+，则m取最小值时，实数的值为（）A.65B.1625C.3625D.285【答案】B【解析】【分析】先求得向量m的坐标，

再利用向量的模公式求解.【详解】解：由题可知()3,44mab=+=−，∴()222944253216m=+−=−+，21614414412252525255=−+=，当mur取最小值125时，1625=.故选：B7.已知O，N，P在ABC所在平面内，且,0

OAOBOCNANBNC==++=，且•••PAPBPBPCPCPA==，则点O，N，P依次是ABC的（注：三角形的三条高线交于一点，此点为三角型的垂心）A.重心外心垂心B.重心外心内心C.外心重心

垂心D.外心重心内心【答案】C【解析】【详解】试题分析：因为OAOBOC==，所以O到定点,,ABC的距离相等，所以O为ABC的外心，由0NANBNC++=，则NANBNC+=−，取AB的中点E，则2NANBNECN+=−=，所以2NECN=

，所以N是ABC的重心；由•••PAPBPBPCPCPA==，得()0PAPCPB−=，即0ACPB=，所以ACPB⊥，同理ABPC⊥，所以点P为ABC的垂心，故选C.考点：向量在几何中的应用.8.已知非零向量A

B与AC满足()0ABACBCABAC+=且12ABACABAC=则ABC为A.等边三角形B.直角三角形C.等腰非等边三角形D.等腰直角三角形【答案】A【解析】【分析】由()0ABACBCABAC+=可判断ABAC=，由12ABACABAC=可判断3

A=，从而可得结论.【详解】因为非零向量AB与AC满足()0ABACBCABAC+=所以A的平分线与BC垂直，ABC为等腰三角形，且ABAC=，22||||cosABACABACA=且12ABACABAC=，1cos,

23AA==，所以ABC为等边三角形，故选：A.【点睛】判断三角形状的常见方法是：（1）通过正弦定理和余弦定理，化边为角，利用三角变换得出三角形内角之间的关系进行判断；(2)利用正弦定理、余弦

定理，化角为边，通过代数恒等变换，求出边与边之间的关系进行判断；（3）根据余弦定理确定一个内角为钝角进而知其为钝角三角形.二、多选题（本大题共4小题，共20.0分.在每小题有多项符合题目要求）9.设两个非零向量1e与2e不共线，如果12kee+和12eke+urur共线，那么k的可能取值是（

）A.1B.-1C.3D.-3【答案】AB【解析】【分析】根据向量共线的表达式列式求解即可.【详解】∵两个非零向量1e与2e不共线，∴120eke+，∵12kee+和12eke+urur共线，∴()1212keeteke+=+，则()(

)1210ktetke−+−=，∵非零向量1e、2e不共线，∴0kt−=且10kt−=，解得1k=.故选：AB10.如图所示，为了测量A，B处岛屿的距离，小明在D处观测，A，B分别在D处的北偏西15°、北偏东45°方向，再往正东方向行驶30海里至C处，观测B在C处的正

北方向，A在C处的北偏西60°方向，则下列结论正确的是（）A.60CAD=B.A、D之间的距离为152海里C.A、B两处岛屿间的距离为156海里D.B、D之间的距离为303海里【答案】BC【解析】【分析】根据三角形的内角求得∠CAD,判定A；利用正弦定理求得AD,判定A；利用等腰直角

三角形性质求得BD,判定D；利用余弦定理求得AB,判定C.【详解】解：由题意可知30CD=，9015105ADC=+=，45BDC=，90BCD=，90906030ACDBCA=−=−=，所以180180105304560CADADCACD

=−−=−−=，故A错误；154560ADB=+=，在ACD中，由正弦定理得30sin30sin45AD=，得30sin30152sin45AD==(海里)，故B正确；在RtBCD中，因

为45BDC=，90BCD=，所以2302303BDCD==(海里)，故D错误；ABD△中，由余弦定理得，2212cos450180021523021562ABADBDADBDADB=+−=+−=(海里)，故C正确.故选

：BC.11.我国古代数学家早在几千年前就已经发现并应用勾股定理了，勾股定理最早的证明是东汉数学家赵爽在为作注时给出的，被后人称为赵爽弦图．赵爽弦图是数形结合思想的体现，是中国古代数学的图腾，还被用作第24届国际数学家大会的会徽．如图，大正

方形ABCD是由4个全等的直角三角形和中间的小正方形组成的，若直角三角形的直角边的长度比为1:2，则下列说法正确的是（）在A52AEDC=B.ACEG⊥C.245AEDCBC=D.3455AFABAD=+【答案】ACD【解析】【分析】根据各边长的关系直接可判断A；根据

正方形对角线互相垂直，然后观察可判断B；利用投影表示数量积可判断C；作FIBC⊥，求出FI、BI长，然后由向量加法可判断D.【详解】记,2BEmAEm==，则5ABm=所以2255AEmmDC==，即52A

EDC=，故A正确；由正方形性质可知，ACBD⊥uuuruuur，显然,BDEG不平行，所以,ACEG不垂直，B错误；因为22cos4AEDCAEABAEABBAEAEm====，22244(5)455BCmm==，所以245AEDCBC=，故C正确；

过F作FIBC⊥，垂足为I，BCFIBFFC=，即52mFImm=所以255FIm=，所以22445455BImmm=−=则24,55IFABBIAD=−=，所以42345555AFABBIIFABADABABAD

=++=+−=+，故D正确故选：ACD..12.在ABC中，角,,ABC所对的边分别为,,abc，下列命题中正确的是（）A.若222sinsinsinABC+，则ABC一定是钝角三角形B.若acosB＝bcosA＋c，则

ABC一定是直角三角形C.若2cos22Bacc+=，则ABC一定是锐角三角形D.若tanA＋tanB＋tanC＞0，则ABC一定是锐角三角形【答案】ABD【解析】【分析】对于A，利用正弦定理化为边的关系，再利用余弦定理判断即可，对于B，利用余弦定理统一成边的形式，化简即可判断，对于C，利用正弦定

理和三角函数恒等变换公式化简变形，对于D，利用两角和的正切公式化简判断【详解】对于A，因为222sinsinsinABC+，所以由正弦定理得222abc+，所以2220abc+−，所以由余弦定理得2

22cos02abcCab+−=，因为()0,C，所以C为钝角，所以ABC一定是钝角三角形，所以A正确，对于B，因为acosB＝bcosA＋c，所以由余弦定理得22222222acbbcaabcacbc

+−+−=+，所以22222222acbbcac+−=+−+，所以222abc=+，所以ABC一定是直角三角形，所以B正确，对于C，因为2cos22Bacc+=，所以1cos12222Bacacc++==+，所以sincos

sinaABcC==，所以sinsincossin()sincoscossinACBBCBCBC==+=+，所以sincos0BC=，因为sin0B，所以cos0C=，因为()0,C，所以2C=，所以ABC一定是直角三角形，所以C错误，对于D，因为tant

antantan[()tan()1tantanBCABCBCBC+=−+=−+=−−,所以tantantantantantanABCABC++=因为tanA＋tanB＋tanC＞0，所以tantantantantantan0ABCABC++=，因为ABC中不可能有两个钝角，

所以tan0,tan0,tan0ABC，所以,,ABC都为锐角，所以ABC一定是锐角三角形，所以D正确，故选：ABD三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，cossin,4bCcBab+==，则ABC的外接圆的半径为__

__________.【答案】22【解析】【分析】利用正弦定理的边角互化以及三角形的内角和性质求出tan1B=，得出4B=，再由正弦定理即可求解.【详解】由cossinbCcBa+=可得sincossinsinsinBCCBA+=，即()sincossins

insinBCCBBC+=+，所以sincossinsinsincoscossinBCCBBCBC+=+，所以sinsincossinCBBC=，因为0C，所以sin0C，所以sincosBB=，即tan1B=，因为0B，所以4B=，所以2sinbR

B=，即22R=.故答案为：2214.1e，2e是夹角为60的两个单位向量，122aee=+，1232bee=−+，则a与b的夹角为_________.【答案】120°【解析】【分析】结合数量积的运算律，利用向量的夹角公式求解.【详解】解：因为1e，2e是夹角为60的两个单位向量，

所以12121·cos602eeee==，又221212444127aeeee=++=++=，21212294129467beeee=+−=+−=，所以()()221212121217232626222abeeeeeeee=+−+=−++=−++=−urururururu

rururrr，所以a与b的夹角余弦为:712cos277abab−===−，因为0180o，所以120=.故答案为：120°.15.如图,在直角梯形ABCD中,AB∥CD,∠ADC=90°,AB=3,AD

=2,E为BC中点,若3ABAC=,则AEBC=___.【答案】3−【解析】【分析】建立平面直角坐标系，结合题意分别确定点C,E的坐标，然后结合点的坐标和平面向量的坐标运算法则即可求得向量的数量积.【详解】以A点为原点，AB所在的直线为x轴，AD为y轴，建立如图

所示的坐标系，∵AB=3,AD=2，E为BC中点，∴A(0,0),B(3,0),D(0,2)，设C(x,2)，(3,0),(,2)ABACx==，3ABAC=，∴3x=3，解得x=1，∴C(1,2)，∵E为BC中点，∴3102,22E++,即为22,

2，22,,(2,2)2AEBC==−，22(2)24132AEBC=−+=−+=−.故答案为：−3.【点睛】本题主要考查平面向量的数量积，平面向量的坐标运算等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.16.在平面向量中有

如下定理：设点O、P、Q、R为同一平面内的点，则P、Q、R三点共线的充要条件是：存在实数t，使(1)OPtOQtOR=−+．试利用该定理解答下列问题：如图，在ABC中，点E为AB边中点，点F在AC边上，且2CFFA=，BF交CE于点M，设AMxAEyAF=+，

则xy+=__．【答案】75【解析】【分析】由图形知道E，M，C三点共线，从而存在实数，使(1)AMAEAC=+−，根据2CFFA=，可得的3ACAF=，所以3ACAF=，所以3(1)AMAEA

F=+−，这样即可得到：3(1)xy=−=，所以消去可得关于x，y的方程，同样根据B，M，F三点共线又可得到一个关于x，y的方程，这两个方程联立即可求出x，y，从而求出xy+．【详解】解：如图，E，M，C三点共线，存在实数，使(1)AMAEAC=+−，2CFFA=，3A

CAF=，3(1)AMAEAF=+−，又AMxAEyAF=+；3(1)xy=−=，3(1)xy−=①；同样，B，M，F三点共线，所以存在，使(1)AMABuAF=+−，E为AB边的中点，2ABAE

=，2(1)AMAEAF=+−；21xy==−，112yx=−，联立①可得：45x=，35y=，75xy+=．故答案为：75【点睛】考查对给出的定理的运用，共面向量基本定理，共线向量基本

定理，属于中档题．四、解答题（本大题共6小题，共70.0分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.已知(1,2)a=，(3,1).b=−（1）求||2ab−；（2）设a与b的夹角为，求cos的值；（3）若向量+akb与akb

−互相垂直，求k的值.【答案】（1）7；（2）210−；（3）22.【解析】【分析】(1)由题意可得2(70)ab−=，，进而求出它的模即可；(2)根据cos||||abab=公式计算即可；(3)由()()0akbakb+−=可得2220akb−=，结合2a、2b计算

即可.【详解】解：(1)2(12)2(31)(1622)(70)ab−=−−=+−=，，，，；故22|2|707.ab−=+=221(3)212(2)cos10||||1(3)21abab−+===−+−+；(3)因

为向量akb+与−akb互相垂直，所以()()0akbakb+−=，即2220akb−=，因为25a=，210b=，所以225100.2kk−==18.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b

，C，且sin2sinBC=，22acbc=+.（1）求角A的大小；（2）若2a=，求△ABC的周长l.【答案】（1）π3A=（2）223+【解析】【分析】（1）根据正弦定理角化边，再根据余弦定理求解即可；（2

）由（1）可得3ac=，2bc=，进而可得周长.【小问1详解】因为sin2sinBC=，22acbc=+，由正弦定理，得2bc=，2223acbcc=+=，由余弦定理，得2222cosabcbcA=+−，所以2222344cosccccA=+−，所以2223

54coscccA=−∴1cos2A=，又()0,πA，∴π3A=【小问2详解】由（1）可得3ac=，2bc=，故2333ac==，433b=，∴2343222333l=++=+.19.已知||1,||1ab==，且向量a与b不共线.（1）若a与b的夹角为

45，求(2)?()abab−+；（2）若向量kab+与kab−的夹角的钝角，求实数k的取值范围.【答案】(1)212+(2)-11k且0k【解析】【分析】（1）因为a与b的夹角为45，所以可求得2•=2ab.展开(2)()aba

b−+代入2•=2ab即可求得结果.（2）由向量kab+与-kabrr的夹角的钝角，可得()()0-kabkab+rrrr且不反向共线，展开解k即可.【详解】解：（1）a与b的夹角为45，22•cos451122abab===.2222(2)()221122ababaabb

−+=+−=+−=+.（2）向量kab+与kab−的夹角为钝角，()?()0-kabkab+rrrr，且不能反向共线，222210kabk−=−rr，解得11,0kk−实数k的取值范围是-11k且0k

.【点睛】本题考查平面向量数量积的运算，考查已知向量夹角求参，考查向量夹角为钝角的求解运算，考查了学生转化的能力，属于基础题.20.某货轮在A处看灯塔B在货轮的北偏东75的方向上，距离为126海里，在A处看灯塔C在货轮的北偏西30的方向上，距离为83海里，货轮由A处向正北航行到D

处时，再看灯塔B在南偏东60方向上，求：（1）AD的距离；（2）CD的距离．【答案】（1）24海里；（2）8√3海里．【解析】【详解】试题分析：（Ⅰ）利用已知条件，利用正弦定理求得AD的长．（Ⅱ）在△ADC中由余弦定理可求得CD，答案可得．解：（Ⅰ）在△ABD中，由已

知得∠ADB=60°，B=45°由正弦定理得AD=2126sin2sin32ABBADE=24（Ⅱ）在△ADC中，由余弦定理得CD2=AD2+AC2-2AD•ACcos30°，解得CD=83．所以A处与D处之间的距离为24nmile，

灯塔C与D处之间的距离为83nmile．考点：解三角形点评：本题主要考查了解三角形的实际应用．解题的关键是根据题意建立适当的三角函数模型，利用正弦定理，余弦定理等常用公式来求解．21.在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，△ABC的面

积为S．现有以下三个条件：①（2c+b）cosA+acosB＝0；②sin2B+sin2C﹣sin2A+sinBsinC＝0；③222433−−=abcS请从以上三个条件中选择一个填到下面问题中的横线上，并求解．已知向

量m＝（4sinx，43），n＝（cosx，sin2x），函数()23fxmn=−在△ABC中，3af=，且____，求2b+c的取值范围．【答案】()23,43【解析】【分析】根据平面向量数量积的运算，结合恒等变换，即可求得a；选

择①由正弦定理将边化角，即可求得A；选择②，利用正弦定理以及余弦定理即可求得A；选择③利用面积公式以及余弦定理即可求得A；无论选择哪个条件，角A都一样大小.利用正弦定理，构造2bc+关于角B的函数，利用三角函数的值域，即可求得结果.【详解】根据题意，()2443sin23fxsinxcosx

x=+−222324sin23sinxcosxx=−=−.又233af==.选择①：（2c+b）cosA+acosB＝0，由正弦定理可得：20sinCcosAsinAcosBsinBcosA++

=，故可得2sinCcosAsinC=−，又0sinC，故可得12cosA=−，又()0,A，故23A=.选择②：sin2B+sin2C﹣sin2A+sinBsinC＝0，由正弦定理得：222bc

abc+−=−，由余弦定理得12cosA=−，有()0,A，故23A=.选择③：222433−−=abcS，由面积公式以及余弦定理可得：431232bccosAsinAbc−=，解得3tanA=−，又()0,A，故可得2

3A=.故不论选择哪个条件，都有23A=.又23a=.则24aRsinA==.故28484sin3bcsinBsinCsinBB+=+=+−623sinBcosB=+43sin6B=+，又0,3B，故,662B+

，故1sin,162B+，故()223,43bc+.故答案为：()23,43.【点睛】本题考查向量数量积的运算、三角恒等变换以及正余弦定理解三角形，涉及三角形中范围问题的求解，属综合中档题.22.已知向量a和b，||||1ab==，且||3||akbakb

+=−．（1）若a与b的夹角为60，求k的值；（2）记211()334fkabkkk=+−−+，是否存在实数x，使得()1fktx−对任意的[1,1]t−恒成立？若存在，求出实数x的取值范围；若不存在，试说明理由．

【答案】（1）1k=，（2）不存在【解析】【分析】（1）运用向量数量积的定义和性质，向量的平方即为模的平方，解方程即可得到k的值；（2）求出()fk，再由重要不等式求得()fk的最小值，假设存在实数x，使得()1fktx−对任

意的[1,1]t−恒成立，构造一次函数，运用单调性，解不等式即可判断【详解】解：（1）因为||||1ab==，a与b的夹角为60，所以11cos601122abab===，由||3||akbakb+=−，得()()223akbakb+=−，即22222223(2)akab

kbakabkb++=−+，的得2213(1)kkkk++=−+，解得1k=，（2）由||3||akbakb+=−，得()()223akbakb+=−，即22222223(2)akabkbakabkb++=−+，得22123(12)kabkkabk++

=−+，解得11()4abkk=+，所以21111()()3344fkkkkkk=++−−+2211(23)[(1)2]44kkk=−+=−+所以min1()2fk=，因为()1fktx−对任

意的[1,1]t−恒成立，所以min()1fktx−，即112tx−，即12tx对于任意[1,1]t−恒成立，令1()2gttx=−，则(1)0(1)0gg−，即1212xx−，解得x由此可知不存在实数x

使之成立【点睛】关键点点睛：此题考查向量的数量积的定义和性质，考查不等式恒成立问题，将其转化为求函数的最值问题，构造一次函数运用单调性是解题的关键，属于中档题获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxue100.com