【文档说明】湖南省长沙市浏阳市2022-2023学年高一上学期期末数学试题 含解析.docx，共(19)页，1.093 MB，由小赞的店铺上传

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2022年下学期期末考试试卷高一数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1.设全集3,2,1,1,2,3U=−−−，集合1,1A=−，B={1，2，3}，则（UAð）

∩B=（）A.{1}B.{1，2}C.{2，3}D.{1，2，3}【答案】C【解析】【分析】先计算出UAð，再计算()UABð即可.【详解】()3,2,2,3,2,3UUAAB=−−=痧.故选：C.

2.半径为2，圆心角为1弧度的扇形的面积是（）A.1B.2C.3D.4【答案】B【解析】【分析】根据扇形面积公式即可代入求解.【详解】由扇形面积的计算公式可得211222S==,故选：B3.双碳，即碳达峰与碳中和的简称，2020年9月中国明确提出2

030年实现“碳达峰”，2060年实现“碳中和”．为了实现这一目标，中国加大了电动汽车的研究与推广，到2060年，纯电动汽车在整体汽车中的渗透率有望超过70%，新型动力电池随之也迎来了蓬勃发展的机遇．Peukert于1898年提出蓄电池的容量C（单位：A·

h），放电时间t（单位：h）与放电电流I（单位：A）之间关系的经验公式nCIt=，其中32log2n=为Peukert常数．在电池容量不变的条件下，当放电电流10AI=时，放电时间57ht=，则当放电电流15AI=，放电时间为（）A.28

hB.28.5hC.29hD.29.5h【答案】B【解析】【分析】根据题意求出蓄电池的容量C，再把15AI=代入，结合指数与对数的运算性质即可得解.【详解】解：根据题意可得5710nC=，则当15AI=时，571015nnt=，所以3223

1log2log222257575728.5h333nt====，即当放电电流15AI=，放电时间为28.5h.故选：B.4.根据表中数据，可以判定方程e20xx−−=的一个根所在的区

间为（）x1−0123ex0.3712.277.3920.09+2x12345A.(1,0)−B.(0,1)C.(1,2)D.(2,3)【答案】C【解析】【分析】求出方程对应得函数()e2xfxx=−−，然后利用表格分

别求出()0f，()1f，()2f，()3f，然后利用零点存在定理判断即可.【详解】令()e2xfxx=−−，则(1)0.3710f−=−，(0)120f=−，(1)2.2730f=−，(2)7.3940f=−，(3)20.0950f=−，得(1)(2)0ff，由零点存在定理

可知：函数()fx的存在零点位于区间(1,2)内，即方程e20xx−−=的一个根所在区间为(1,2)．故选：C5.某小型服装厂生产一种风衣，日销售量x（件）与单价P（元）之间的关系为1602Px=−，生产x件所需成本为C（元），其中50030Cx=+，若

要求每天获利不少于1300元，则日销量x的取值范围是（）A.2030x，xNB.2045x，xNC.1530x，xND.1545x，xN【答案】B【解析】【分析】由题意求得利润函数221300500yxx=−

+−，然后解不等式1300y即可得．【详解】由题意日销量x件时，利润是2(1602)(50030)2130500yxxxxx=−−+=−+−，221305001300xx−+−，(20)(45)0xx−−，2045x

．故选：B．6.若cos0,,tan222sin=−，则tan=（）A.1515B.55C.53D.153【答案】A【解析】【分析】由二倍角公式可得2sin22sincostan2cos212sin==−，再结合已知可求得1sin4=，利用同角三角函数的基

本关系即可求解.【详解】costan22sin=−2sin22sincoscostan2cos212sin2sin===−−，0,2，cos0，22sin112sin2sin=

−−，解得1sin4=，215cos1sin4=−=，sin15tancos15==.故选：A.【点睛】关键点睛：本题考查三角函数的化简问题，解题的关键是利用二倍角公式化简求出sin.7.某工厂将产生的废气经过过滤后排放，已知过滤过程中的污染物的残留数量P（单位：

毫克/升）与过滤时间t（单位：小时）之间的函数关系为()0e0ktPPt=，其中k为常数，0k，0P为原污染物数量.该工厂某次过滤废气时，若前4个小时废气中的污染物恰好被过滤掉90%，那么再继续过滤2小时，废气中

污染物的残留量约为原污染物的（）A.1%B.2%C.3%D.5%【答案】C【解析】【分析】由题意得，当4x=时，400e10%kPPP==，求得k，再将6x=代入即可得出答案.【详解】由题意得，当4x=时，400e10%kPPP==，所以1

4e0.1k=，则当6x=时，()366200000.1ee0.110kkPPPPP====，因为3.1103.2，所以000.10.0310PPP=，即再继续过滤2小时，废气中污染物的残留量约为原污染物的3%.故选：C.8.函数s

in()()eexxxfx−=+图象大致是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】分析函数的奇偶性排除两个选项，再利用(0,1)x时，()fx值为正即可判断作答.【详解】函数sin()()eexxxfx−=+定义域为R，sin()sin()()()eeeexxxxx

xfxfx−−−−−===−++，即()fx是奇函数，A，B不满足；当(0,1)x时，即0x，则sin()0x，而ee0xx−+，因此()0fx，D不满足，C满足.故选：C二、选择题：本题共4小

题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的对2分，有选错的得0分.的9.已知幂函数()fx图像经过点()9,3．则下列命题正确的有（）A.函数在R上为增函数B.函数为偶函数C.若4x，则()2fxD.若210xx

，则()()121222fxfxxxf++【答案】C【解析】【分析】设()fxx=，代入()9,3可求得()12fxx=；由()fx定义域知AB错误；根据幂函数单调性可知C正确；作差法可

证得()()22121222fxfxxxf++，由此知D错误.【详解】设()fxx=，则()993f==，解得：12=，()12fxx=；对于AB，()fx定义域为)0,+，定义域不关于原点对称，AB错误；对于C，()fx在)0,+上单调递

增，当4x时，()()12442fxf==，C正确；对于D，当210xx时，()()22121212122224fxfxxxxxxxf++++−=122xx+−

()21212122044xxxxxx−−−==−，()()22121222fxfxxxf++，又()0fx，()()121222fxfxxxf++，D错误.故选：C.10.下列说法正确的是（）A.命题p：x，y(0，

1)，x＋y＜2，则p：x0，y0(0，1)，x0＋y0≥2B.“a＞1，b＞1”是“ab＞1”成立的充分不必要条件C.“|x|＞|y|”是“x＞y”的必要条件D.“m＜0”是“关于x的方程x2－2

x＋m=0有一正一负根”的充要条件【答案】ABD【解析】【分析】由全称量词命题的否定为存在量词命题可以判断选项A，举反例可以判断BC，根据方程根的分布可以判断D.【详解】选项A：命题p：x，y(0，1)，x

＋y＜2，否定为：x0，y0(0，1)，x0＋y0≥2故A选项正确；选项B：由1,1ab时，1ab所以充分性成立，当13,2ab==时，1ab，但是1,1ab，故必要性不成立所以“a＞1，b＞1”是“ab＞1”成立的充分不必要条件故B选项正确；选项C：

32−，但是32−，所以|x|＞|y|不一定推出x＞y反之，34−，但是34−，所以x＞y不一定推出|x|＞|y所以“|x|＞|y|”是“x＞y”的既不充分也不必要条件故C错误；选项D：关于x的方程x2－2x＋m=0有一正一

负根设为12,xx，则()212Δ241000mmxxm=−−=所以“m＜0”是“关于x的方程x2－2x＋m=0有一正一负根”的充要条件故选项D正确；故选：ABD.11.设正实数m

，n满足2mn+=，则下列说法正确的是（）A.11mn+的最小值为2B.mn的最大值为1C.mn+的最大值为4D.22mn+的最小值为54【答案】AB【解析】【分析】根据基本不等式及“1”的技巧判断AB，根据重要不等式22222abab++判断CD即可

.【详解】∵0,0,2mnmn+=，∴()11111112222222nmnmmnmnmnmnmn+=++=+++=，当且仅当nmmn=，即1mn==时等号成立，故A正确；22mnmn+=，∴1mn，当且仅当1mn==时，等号成

立，故B正确；()()()22224mnmn++=，()22mnmn++=，当且仅当1mn==时等号成立，最大值为2，故C错误；()22222mnmn++=，当且仅当1mn==时等号成立，故D错误．故

选：AB12.已知()fx是定义在R上的奇函数，当0x时，()()121,0212,22xxfxfxx−−=−，若关于x的方程()()()()210fxafxaa−++=R恰有4个不相等的实数根，则这4个实数根之和为（

）A.4B.4−C.8−D.8【答案】BD【解析】【分析】根据函数的解析式作出函数在0x时图象，换元()fxt=解方程可得ta=或1t=，利用图象求出交点对应横坐标，注意利用函数为奇函数图象关于原点对称，分12ta==与12ta==−两种情况讨论，数形结合即可求解.【详解】作出函数在0x

时的图象，如图所示，设()fxt=，则关于x的方程2[()](1)()0()fxafxaa−++=R的方程等价于2(1)0,tata−++=解得：ta=或1t=，如图，当1t=时，即()1fx=对应一个交点

为12x=，方程恰有4个不同的根，可分为两种情况：（1）12ta==，即1()2fx=对应3个交点，且2342,4xxx+==，此时4个实数根之和为8；（2）12ta==−，即1()2fx=−对应3个交点，且2342,4xxx+=−=−，此时4个实数根之和为4−，综上，4个

实数根之和为8或4−.故选：BD.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13.用列举法表示6NN1aa=−∣______．【答案】1,2,3,6【解析】【分析】根据6N1a−且Na求出a值，即可求出61a−，从而列举即可.【详解】解：因为6N1a−且Na，所

以11a−=或12a−=或13a−=或16a−=，解得2a=或3a=或4a=或7a=，所以对应的61a−分别为6、3、2、1，即6NN1,2,3,61aa=−∣；故答案为：1,2,3,614.已知为锐角

，且3sin5=，则()cosπ−的值为__________.的【答案】45−##0.8−【解析】【分析】根据同角三角函数的基本关系和诱导公式求解.【详解】因为为锐角，且3sin5=，所以4cos5=，所以()4cosπcos5−=−=−，故答案为:45

−.15.已知指数函数xya=是减函数，若2ma=，2an=，log2ap=，则m，n，P的大小关系是__________.【答案】nmp【解析】【分析】根据指数函数性质可知01a，由此可推断出m，n，p的取值范围

继而得到大小关系.【详解】因为指数函数xya=是减函数，所以01a由此可知01m；12n；0p，故nmp故答案为：nmp16.已知函数221sin202222022xxfxx+++=+，则()()120210120222022ffff

++++=__________.【答案】2023【解析】【分析】确定()fx的图象关于1(,1)2对称，进而可得11()()222fxfx++−=，即可求解.【详解】因为2221si

n2022sin1220222022xxxfxxx+++==+++，所以21sin122022xfxx+−=+，设22sinsin(),()()20222022xxgxgxgxxx−=−==−++，所以()gx为奇函数，所以12fx+

关于(0,1)对称，所以()fx的图象关于1(,1)2对称，所以()()120211012,2,,()1202220222fffff+=+==，所以()()1202101101121202320222022ffff++++=+=

，故答案为：2023四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知不等式2320axx−+的解集为{|1xx或}xb．（1）求a，b的值；（2）m为何值时，230axmx++的解集为R．（3

）解不等式()20axacbxbc−++．【答案】（1）1a=；2b=；（2）2323m−；（3）详见解析.【解析】【分析】（1）由题可知1和b是方程2320axx−+=的两根，利用根与系数的关系可求得a

、b的值；（2）由题意可得出0，即可求得实数m的取值范围；（3）将所求不等式变形为()()20xxc−−，对c和2的大小关系进行分类讨论，利用二次不等式的解法可得出原不等式的解集.【小问1详解】由题意知，1和b是方程2320axx−+=的两根，则

320a−+=，得1a=，所以方程为2320xx−+=，由韦达定理可得12b=，解得2b=；【小问2详解】由题意可知，关于x的不等式230xmx++的解集为R，所以，2120m=−，解得2323m−；【小问3详解】不等式()20axacbxbc−++，所以()22

20xcxc−++，即()()20xxc−−，①当2c时，原不等式的解集为2xxc；②当2c时，原不等式的解集为2xcx；③当2c=时，原不等式无解；综上知，当2c时，原不等式的解集为2xxc；当2c时，原不

等式的解集为2xcx；当2c=时，原不等式的解集为．18.已知sin、cos是方程22(31)0xxm−−+=的两个实数根.（1）求实数m的值；（2）求sincos11tan1tan+−−的值；（3）若3(,2)2，

求cos2的值.【答案】（1）32m=−；（2）312−；（3）12.【解析】【分析】（1）根据韦达定理及同角关系式即得；（2）根据同角关系式化简即得；（3）由题可得13cossin2+−=，然后利用二倍角公式即得.【小问1详解

】因为sin、cos是方程22(31)0xxm−−+=的两个实数根，由韦达定理得31sincos2sincos2m−+==，由2231(sincos)()2−+=，则23112sincos1()2m−+

=+=，所以32m=−；【小问2详解】sincos11tan1tan+−−22sincossincoscossin=+−−22sincossincos−=−31sincos2−=+=；【小问3详解】因为32m=−，所以31sincos23si

ncos4−+==−，所以2(sincos)12sincos−=−23423131()242++=+==，因为3(,2)2，所以cos0，sin0，13cossin2+−=，所以221cos2cossin(cos+sin)(cossin)2

=−=−=.19.已知函数()21axbxfxx++=为奇函数，且()13f=（1）求f（x）；（2）求证：f（x）在区间[1，+∞）上单调递增；（3）若对任意的1,)x+都有()22mmfx−，求实数m的取值范围.【答案】

（1）()12fxxx=+；（2）证明见解析；（3）1,3−.【解析】【分析】(1)根据奇函数的概念求出参数,ab，再检验，即可求解；(2)由(1)，利用定义法直接证明即可；(3)根据(2)可得()min1,)3xfx+

=，，即223mm−，解之即可.【小问1详解】由f（x）为奇函数，定义域为(,0)(0,)−+可得(1)(1)ff−=−，即()()11abab−−+=−++，解得0b=，.又()113fa=+=，有2a=，所以()12fxxx=+，对任意1(,0)(0,),()2()

xfxxfxx−+−=−−=−，满足f（x）为奇函数.综上：()12fxxx=+.【小问2详解】对任意x1，2[1x，+）且12xx，有()()()()()()21121212121212121

22111222xxxxxxfxfxxxxxxxxxxx−−−−=+−−=−+=，由121xx，可得2212210xxxx−，，则()()120fxfx−，即()12(fxfx），所以f（x）在[1，+∞）上单调递增；【小

问3详解】由f（x）在[1，+∞）上单调递增.可得对任意()()min1,)13xfxf+==，，因为对任意的1,)x+都有()22mmfx−.所以()()m22in213230mmfxfmm−==−−，，解得13m−≤≤，

即实数m的取值范围是[1,3]−.20.1.2015年11月30日，习近平主席在巴黎气候大会的讲话中宣布：“中国将于明年启动在发展中国家开展10个低碳示范区，100个减缓和适应气候变化项目及1000个应

对气候变化培训名额的合作项目.”某企业在国家科研部门的支持下，计划在A国启动减缓气候变化项目，重点进行技术攻关，将采用新工艺，把细颗粒物(2.5)PM转化为一种可利用的化工产品.已知该企业处理成本()Px（亿元）与处理量x（万吨

）之间的函数关系可近似地表示为2,010164()433,1020xxxPxxxx+=+−„,另外技术人员培训费为2500万元，试验区基建费为1亿元.（附：投入总成本=处理成本+技术人员培训费+试验区基建费，平均成本=投入总成本处理量）（1）当010x„时，若计划在A国投入的总

成本不超过5亿元，则该工艺处理量x的取值范围是多少？（2）该企业处理量为多少万吨时，才能使每万吨的平均成本最低，最低是多少亿元？【答案】（1）(0,6]（2）处理量为25x=万吨时，每万吨的平均成本最低，最低是514+亿元.【解析】【分析】

（1）在010x„时，求出此时的总成本函数，列出不等式，解出该工艺处理量x的取值范围；（2）分010x„和10x两种情况，表示出两种情况下每万吨的平均成本函数，结合函数特点分别求出最小值，比较得出答案.【小问1详解

】2500万元为14亿元设该企业计划在A国投入的总成本为()Qx（亿元），则当010x„时，22()11644164415xxxxQx=+++=++，依题意：25()51644xxQx=++„，即24600xx+−„，解得

106x−剟，结合条件010x„，(0,6]x.【小问2详解】依题意，该企业计划在A国投入的总成本:①当010x时，25()1644xxQx=++，则()5151512164416444Qxxxxxx+=+++=…，当且仅当

5164xx=，即25x=时，()Qxx的最小值为514+，②当10x时，22()42119914()520100Qxxxxx=−+=−+，当1120x=，即20x=时，()Qxx的最小值为99100，∵99511004+当25x=时，()Qxx的最小值为514+.21.对于函数()

yfx=，若在定义域内存在实数x，满足()()fxkfx−=−，其中k为整数，则称函数()yfx=为定义域上的“k阶局部奇函数”.（1）已知函数()3sincosfxxx=+，试判断()yfx=是否为,22−上的“2阶局部奇函数”？并说明理由；（2）若()()3logfxxm

=+是22−,上的“1阶局部奇函数”，求实数m的取值范围；（3）若()22fxxxt=−+，对任意的实数(,2t−，函数()yfx=恒为R上的“k阶局部奇函数”，求整数k取值的集合.【答案】（1）是，理由见解析；（2）(2,5x；（3）5,4,3,2,1−−−−−【解

析】【分析】（1）根据题意，()fx为,22−上的“2阶局部奇函数”等价于关于x的方程()()2fxfx−=−在,22−上有解，列出方程，解方程即可；（2）由“1阶局部奇函数”的定义，列出

方程，讨论方程成立并有解时参数的取值范围；（3）根据“k阶局部奇函数”定义，转化对任意的实数(,2t−，函数()yfx=恒为R上的“k阶局部奇函数”，为()()21210kxkxtkt++−++=对任意的实数(,2t−恒成立问题，讨论二

次项系数是否为零，不为零时讨论0恒成立，再令()()()2211gtktk=+−−，求解max()0gt，即可.【详解】（1）()fx为,22−上的“2阶局部奇函数”等价于关于x的方程()()2fxfx−=−在

,22−上有解，即：()()()3sincos23sincosxxxx−+−=−+，化简得：sincosxx=−，解得：,422x=−−所以()fx是,22−上的“2阶局部奇函数”.（2）由()fx是22−,

上的“1阶局部奇函数”，且()()3logfxxm=+要满足xm−，所以m>2.因为()()3logfxxm=+是22−,上的“1阶局部奇函数”，等价于关于x的方程()()fxfx−=−在22−,有解，即()()33loglogxmxm

−+=−+，化简得：221mx−=，2,2x−所以2211,5mx=+，又m>2，所以(2,5m.（3）因为()fx恒为R上的“k阶局部奇函数”等价于关于x的方程()()fxkfx−=−恒有解.即()2222xxtkxxt++=−−+，化简得：()()212

10kxkxtkt++−++=，当1k=−时，解得0x=，所以1k=−满足题意；当1k−时，0，即：()()2241410ktk−−+对任意的实数(,2t−恒成立，即()()22110ktk+−−对任意实数(,2t−恒成立，令()()()221

1gtktk=+−−，()gt是关于t的一次函数且为(,2−上的增函数则()20g，即：2610kk++，解得：322322k−−−+且1k−综上，整数k取值的集合5,4,3,2,1−−−−−.【点睛】（1）考查对新定义概念的理解与辨析，考查转化与化归思

想，中等难度；（2）考查方程有解问题的的求参数的范围，有一定难度；（3）考查函数与方程思想，函数恒成立问题，综合性较强，属于难题22.已知()1log1axfxx−=+（0a，且1a）.（1）求函数()fx的

定义域；（2）当(,xtt−（其中()1,1t−，且t为常数）时，()fx否存在最小值，如果存在，求出最小值；如果不存在，请说明理由；（3）当1a时，求满足不等式()()2430fxfx−+−的实数x的取值范围.【答案】（1）()1,1−（2）当1a时存

在最小值，当01a时，不存在最小值，理由见解析（3）51,3【解析】【分析】(1)根据真数大于零解不等式即可求定义域；(2)讨论函数的单调性即可求最小值；(3)利用函数的奇偶性单调性解不等式.【小问1详解】由101xx−+可得101

0xx−+或1010xx−+，解得11x−，即函数()fx的定义域为()1,1−.【小问2详解】设1211xx−，则()()()211212122111111xxxxxxxx−−−−=++++，∵1211xx−，∴210xx−，()()12

110xx++，∴12121111xxxx−−++，①当1a时()()12fxfx，则()fx在()1,1−上是减函数，又()1,1t−，∴(,xtt−时，()fx有最小值，且最小值为()1log1atftt

−=+；②当01a时，()()12fxfx，则()fx在()1,1−上是增函数，又()1,1t−，∴(,xtt−时，()fx无最小值.是【小问3详解】由于()fx的定义域为()1,1−，定义域关于原点对称，且()()111loglog11aaxxfxfxxx−+−−===−−+

，所以函数()fx为奇函数.由（2）可知，当1a时，函数()fx为减函数，由此，不等式()()2430fxfx−+−等价于()()()24334fxfxfx−−−=−，即有2341211431xxxx−−−−−

−，解得513x，所以x的取值范围是51,3.