【文档说明】重庆市铁路中学校2023-2024学年高二上学期开学考试数学试题 含解析.docx，共(21)页，1.168 MB，由小赞的店铺上传

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重庆铁中2023～2024学年度高二年级上期入学数学试题答案第I卷（共60分）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知1i22iz+=−，则zz−=（）A.1B.0C.iD.i−【答案】C

【解析】【分析】根据复数的运算法则，求得1i2z=，得到1i2z=−，即可求得zz−，即可求解.【详解】由复数21i1i(1i)1i22i2(1i)2(1i)(1i)2z+++====−−−+，可得1i2z=−，所以11i(i)i22zz

−=−−=.故选：C.2.已知平面向量()()1,3,4,2ab=−=−，若ab−与b垂直，则=（）A.1−B.1C.2−D.2【答案】D【解析】【分析】利用向量的运算法则和向量垂直与数量积的关系即可得出

．【详解】∵ab−=λ（1，﹣3）﹣（4，﹣2）＝（λ﹣4，﹣3λ+2），ab−与b垂直，∴()4λ4abb−=−（）﹣2（﹣3λ+2）＝0，解得λ＝2．故选：D．【点睛】本题考查向量坐标运算，熟练掌握向量的

运算法则和向量垂直与数量积的关系是解题关键．3.已知向量p在基底,,abc下的坐标是(1,2,3)，则向量p在基底,,ababc+−下的坐标为（）A.13,,322B.31,,322−

C.133,,22−D.13,,322−【答案】B【解析】【分析】由空间向量基本定理建立方程组求解即可.【详解】依题意可知23pabc=++，设向量p在基底,,ababc+−下的坐标为(),,xyz，即()()()()pxabyabzcxyaxybzc=++−+=+

+−+，则2()()abcxyaxybzc++=++−+，由空间向量基本定理得，123xyxyz+=−==，解得32123xyz==−=，故选：B．4.《掷铁饼者》是希腊雕刻

家米隆于公元前450年的作品，刻画的是一名强健的男子在掷出铁饼过程中具有表现力的瞬间（如图）．现把掷铁饼者张开的双臂及肩部近似看成一张拉满弦的“弓”，经测量此时两手掌心之间的弧长是58，“弓”所在圆的半径为1.25米，估算雕像两手掌心之间的距离约为（）（参考数据：21.414，31.732）

A.2.945米B.2.043米C.1.768米D.1.012米【答案】C【解析】【分析】先利用弧长公式结合已知条件求出弧所对的圆心角，则两手掌心之间的距离为其所对的弦长【详解】因为两手掌心之间的弧长是58，“弓”所在圆的半径为1.25米，所以其所对的圆心角58

1.252==，所以两手掌心之间的距离为22sin21.251.76842dR==（米），故选：C5.在5件产品中，有3件一级品和2件二级品，从中任取2件，下列事件中概率为710的是（）A

.2件都是一级品B.2件都是二级品C.一级品和二级品各1件D.至少有1件二级品【答案】D【解析】【分析】利用列举法求得任取两件的样本点的总数，根据选项，结合古典摡型的概率计算公式和互斥事件的概率加法公式，逐项判定，即可求解.【详解】设1A，2

A，3A分别表示3件一级品，1B，2B分别表示2件二级品,任取2件，则样本空间()()()()()()121323111221,,,,,,,,,,,,{AAAAAAABABAB=()()()()22313212

,,,,,,,}ABABABBB，共10个样本点，且每个样本点出现的可能性相等，记事件A表示“2件都是一级品”，包含3个样本点，则()310PA=.记事件B表示“2件都是二级品”，包含1个样本点，则()110PB=.记事件C表示“2件中1件

一级品、1件二级品”，包含6个样本点，则63()105PC==.事件A，B，C两两互斥，所以7()()()10PBPCPBC+==，又由BC表示“至少有1件二级品”.故选：D.6.已知三棱锥S﹣ABC的所有顶点都在球O的球面上，SA⊥平面ABC

，AB⊥BC且AB=BC=1，SA=2，则球O的表面积是（）A.4B.34C.3D.43【答案】A【解析】【详解】如图，三棱锥S-ABC的所有顶点都在球O的球面上，∵SA⊥平面ABC，SA=2,AB⊥BC且AB=BC=1，∴

AC=112+=∴SA⊥AC，SB⊥BC，SC=222+=∴球O的半径R=12SC=1∴球O的表面积S=4πR2=4π．故选A点睛：本题考查球的表面积的求法，合理地作出图形，确定球心，求出球半径是解题的关键．7.已知ABC为锐角三

角形，2AC=，π6A=，则BC的取值范围为（）A.()1,+B.()1,2C.231,3D.23,23【答案】C【解析】【分析】根据锐角三角形得出角B的范围，再利用正弦定理及三角函数的性质

即可求解.【详解】因为ABC为锐角三角形，所以π6π25ππ0620BBA=−,解得ππ32B,所以3sin12B.在ABC中，由正弦定理，得sinsinACBCBA=，即2sinsin1sinπsinin6sACABCBBB===,由3

sin12B，得1231sin3B，即2313BC.所以BC的取值范围为231,3.故选：C.8.已知函数()13xaxfxx+=−.若存在()0,1x−−，使得()00fx=，则实数a的

取值范围是（）A4,3−B.40,3C.(),0−D.4,3+【答案】B【解析】【分析】由()0fx=可得出13xax=−，令()13xgxx=−，其中(),1x−−，由题意可知，实数a的取值范围即为函数()gx在(),1−−上的值

域，求出函数()gx在(),1−−上的值域即可得解.【详解】由()130xaxfxx+=−=，可得13xax=−，令()13xgxx=−，其中(),1x−−，由于存在()0,1x−−，使得()00

fx=，则实数a的取值范围即为函数()gx在(),1−−上的值域.由于函数3xy=、1yx=−在区间(),1−−上为增函数，所以函数()gx在(),1−−上为增函数.当(),1x−−时，()1143313xgxx−=−+=，又()130xgxx=−，所以，函数()gx在(),1−

−上的值域为40,3.因此，实数a的取值范围是40,3.故选：B.【点睛】方法点睛：已知函数有零点（方程有根）求参数值（取值范围）常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程根，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（

3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部

选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.若()1,,2a=−−，()2,1,1b=−，a与b的夹角为120，则的值为（）A.17B.17−C.1−D.1【答案】AC.的【解析】【分析】根据空间向量夹角公式计算可得答案.【详解】因为()1,,2a=−−，

()2,1,1b=−，a与b的夹角为120，所以222241cos12021441156−−−−−====−+++++abab，解得17=或1=−.故选：AC.10.2022年2月28日，国家统计局发布了我国2021年

国民经济和社会发展统计公报，在以习近平同志为核心的党中央坚强领导下，各地区各部门沉着应对百年变局和世纪疫情，构建新发展格局，实现了“十四五”良好开局．2021年，全国居民人均可支配收入和消费支出均较上一

年有所增长，结合如下统计图表，下列说法中正确的是（）A.2017-2021年全国居民人均可支配收入逐年递增B.2021年全国居民人均消费支出24100元C.2020年全国居民人均可支配收入较前一年下降D.2021年全国居民人均消费支出构成中食品烟酒和居住占

比超过60%【答案】AB【解析】【分析】根据条形图、折线图、扇形图等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.【详解】A选项，根据条形图可知，2017-2021年全国居民人均可支配收入逐年递增，A选项正确.B选项，根据扇形图可知，2021年全国居民人均消费支出为：5641+1419+7178+569

+2115+2599+3156+142324100=元，B选项正确.C选项，根据条形图可知，2020年全国居民人均可支配收入较前一年上升，C选项错误.D选项，2021年全国居民人均消费支出构成中食品烟酒和居住占比：71785641100%53.2%60%24

100+，D选项错误.故选：AB.11.已知π0,2；且满足43sincos3+=；则（）A.π0,6B.π2sin63+=C.π5cos63+=−D.π4102sin21218−+=【答

案】ABD【解析】【分析】由43sincos3+=，利用辅助角公式可判断B；根据特殊角的三角函数值与正弦函数的单调性可进一步缩小的取值范围，从而判断A；由同角三角函数的平方关系可得πcos()6+的值，从而判断C；采用换元思想，设π6+=，结合二倍角公式，两角差的正弦公式可

判断D．【详解】由43sincos3+=，知π42sin()63+=，所以π2sin()63+=，即B正确；因为π(0,)2，所以ππ(66+,2π)3，又π22sin()632+=，所以ππ(66+,π)4，即π(0,)12，而(0,π)(0

12,π)6，即A正确；所以2ππ5cos()1sin()663+=−+=，即C错误；选项D，设π6+=，则π6=−，2sin3=，5cos3=，所以45sin22sincos9==，21cos212sin9=−=，所以ππππ224514

102sin(2)sin[2()]sin(2)(sin2cos2)()126124229918−+=−+=−=−=−=，即D正确．故选：ABD．12.已知函数()sin3cos(0)fxaxxa=+，则下列选项正确的有（）

A.存在Ra使()fx为偶函数B.若2=且xR有()π()6fxf，则()fx的图象关于π(,0)12−对称C.当1=时，若()fx在(0,)3上存在最大值，则实数a的取值范围是(0,3)D.当3,0a=时，()fx在π5π[,]26上单调递减，则实数的取值范围是28[

,]35【答案】BD【解析】【分析】利用辅助角公式将函数化简，再根据各选项结合正弦函数的性质一一判断即可.【详解】()2sin3cos+3sin()fxaxxax=+=+（其中0π，23sin+3a=，2cos+3aa=，3tana=），对于选项A，若()fx为偶函数，则

sin1=，所以231+3a=，解得0a=，因为0a，故A不正确；对于选项B，当=2时()2+3sin(2),fxax=+因为xR有()π()6fxf，所以()maxπ()6fxf=，πsin()13+=，所以π32+=，所以π6=，所以()2π+3

sin26fxax=+，因为π()012f−=，所以()fx的图象关于π,012−对称，故B正确；对于选项C，1=时，()()2=3sinfxax++，当π0,3x时，π,3x++，因为()fx在π0

,3上有最大值，所以ππ23+，得ππ62，33tan3a=，解得0<<3a，故C不正确；对于选项D，当3,0a=时，()π23sin()6fxx=+，因为()fx在π5π,26上单调递减，所以2πππ56

2T−=，解得03，当6ππ5,2x时，,ππ526πππ666x+++，则π5,π2ππ666++)π(ππ32,2Z22πkkk++，得()πππ++2π2

62Z5ππ3π2π662kkk++，则()2+43Z81255kkk+，又因为03，所以当0k=时，2835符合题意，故D正确；故选：BD．三．填空题本题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知复数z满足2i8

z+=，则|3i|z−的取值范围是_____________.【答案】3,13【解析】【分析】2i8z+=表示到点(0,2)−的距离为8的点的集合，再根据复数模的几何意义，可求出3iz−的取值范围；【详解】设i(,R)zabab

=+，因为2i8z+=，所以22(2)64ab++=，因为22|3i|(3)zab−=+−，可看成(,)ab到点(0,3)的距离，又点(0,3)到点(0,2)−的距离为5，所以|3i|z−的最小值是853−=，最大值是5813+=

，所以3iz−的取值范围是3,13.故答案为：3,13.14.如图，在空间四边形ABCD中，AC和BD为对角线，G为ABC的重心E是BD上一点，3,BEED=以,,ABACAD为基底，则GE=__________．【答案】1131234

ABACAD−−+【解析】【详解】由题意，连接AE，则3243GEAEAGABBDAM=−=+−321432ABADABABAC=+−−+（）（）．1131234ABACAD=−−+.故答案为11312

34ABACAD−−+.15.投掷两枚质地均匀的骰子一次，设事件A为“两枚骰子的点数之差绝对值为2”；则()PA=______．【答案】29【解析】【分析】利用列表法结合古典概型运算求解.【详解】投掷两枚质地均匀的骰子一次，共有36个基本事件，事件A包含8个基本事件，所以()823

69PA==.故答案为：29.1234561╳╳√╳╳╳2╳╳╳√╳╳3√╳╳╳√╳4╳√╳╳╳√5╳╳√╳╳╳6╳╳╳√╳╳16.若偶函数()fx对任意xR都有()()13fxfx+=−，且当3,2

x−−时，()4fxx=，则()113.5f=______．【答案】110##0.1【解析】【分析】由()()13fxfx+=−得函数周期为6，结合周期性和奇偶性计算可得答案.【详解】因为()()13fxfx+=−，所以()()()163fxfxfx+=−=+，

所以()fx周期为6，且为偶函数，当3,2x−−时，()4fxx=，()()()()113.51865.55.50.5=+==−ffff，()()10.530.5ff−+=−−，所以()()10.52

.5ff−=−，根据函数为偶函数()()2.52.510ff=−=−，所以()()110.52.510ff−=−=，即()1113.510=f.故答案：110.四､解答题（本大题共6小题，共70分．解答应

写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.如图，在ABC中，13ANAC=，点P是线段BN上一点.为（1）若点P是线段BN的中点，试用AB和AC表示向量AP；（2）若311APABmAC=+，求实数m的值.【答案】（1）1126APABAC=+（2）833.【解析】【分析

】（1）根据向量的线性运算法则求解；（2）根据向量线性运算利用,ABAC表示AP，结合平面向量基本定理列方程求m的值.【小问1详解】因为点P是线段BN的中点，且13ANAC=，所以()1122APABBPABBNABANAB=+=+=+−.所以1111222

6APABANABAC=+=+；【小问2详解】设BPBN=，则()()1APABBPABBNABANABABAN=+=+=+−=−+，又13ANAC=，所以()13APABAC=−+，因为311APABmAC=+，所以31,113m

−==，所以88,1133m==.18.为了解学校食堂的满意度；某调查小组在高一和高二两个年级各随机抽取10名学生进行问卷计分调查（满分100分）；得分如下所示：高一：64，72，79；78；78；75，86，85，92，91高二：62，67，78；79，70，85，8

4，85；93，95（1）求高一年级问卷计分调查平均数和估计高一年级学生问卷计分调查的第75百分位数；（2）若规定打分在86分及以上的为满意；少于86分的为不满意；从上述满意的学生中任取2人；求这2人来自同一级的概率；

【答案】（1）平均数为80，第75百分位数为86（2）25【解析】【分析】（1）根据平均数和百分位数的定义，即可求得，（2）根据古典概率模型计算公式.【小问1详解】）高一年级问卷计分调查平均数：647279787875868592918010+++++

++++=，将高一调查的数据从小到大排列：64，72，75，78，78，79，85，86，91，92，1075%7.5i==，所以第8位数为第75百分位数，即86．小问2详解】高一年级满意的有3个，记为,,abc，高二年级满意的有2个，

记为1,2,则从上述满意的学生中任取2人，基本事件有(),(),(1),(2),(1),(2),(),(1),(2),(12)abacaabbbccc共有10个，设事件“上述满意的学生中任取2人，求这2人来自同一级”为A，则包含

(),(),(),(12)abacbc，共有4个，故42()105PA==．19.如图，三棱柱111ABCABC-中，ACBC⊥，1ABBB⊥，1ACBCBB==，D为AB的中点，且1CDDA⊥.【（1）求证：1B

C∥平面1DCA；（2）求1BC与平面11ABBA所成角的大小.【答案】（1）证明见解析（2）30【解析】【分析】（1）连结1AC与1AC交于点K，连结DK，由中位线定理可得1DKBC∥，再根据线面平行的判定定理即可证明结果；（2）方法一：根据线面垂直

的判定定理，可证明CD⊥平面11ABBA；取11AB的中点E，易证1CE⊥平面11ABBA，所以1EBC即所求角，再根据直棱柱的有关性质求即可得到结果；方法二:根据线面垂直的判定定理，可证明CD⊥平面11ABBA；取1DA的中点F，易证KF⊥平面11ABBA；所以KDF即1BC与平面11A

BBA所成的角，再根据直棱柱的有关性质求即可得到结果.【小问1详解】证明：如图一，连结1AC与1AC交于点K，连结DK.在1ABC中，D、K为中点，∴1DKBC∥.又DK平面1DCA，1BC平面1DCA，∴1BC∥平面1DCA.图一【小问2详解】证明：（方法一）如

图二，图二∵ACBC=，D为AB的中点，∴CDAB⊥.又1CDDA⊥，1ABDAD=，∴CD⊥平面11ABBA.取11AB的中点E，又D为AB的中点，∴DE、1BB、1CC平行且相等，∴四边形1DCCE是平行四边形，∴1CE与CD平行且相等.又CD⊥平面11ABBA，∴

1CE⊥平面11ABBA，∴1EBC即所求角.由前面证明知CD⊥平面11ABBA，∴1CDBB⊥，又1ABBB⊥，ABCDD=，∴1BB⊥平面ABC，∴此三棱柱为直棱柱.设12ACBCBB===∴122BC=，12EC=，1111si

n,2ECEBCBC==，130EBC=.（方法二）如图三，图三∵ACBC=，D为AB中点，∴CDAB⊥.又1CDDA⊥，1ABDAD=，∴CD⊥平面11ABBA.取1DA的中点F，则KFCD∥，∴KF⊥平面11ABBA.∴KDF即1BC与平面

11ABBA所成的角.由前面证明知CD⊥平面11ABBA，∴1CDBB⊥，又1ABBB⊥，ABCDD=，∴1BB⊥平面ABC，∴此三棱柱为直棱柱.设12ACBCBB===，∴22KF=，2DK=，1sin2KFKDFDK==∴30KDF=

.20.在ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且222bacac−=+.（1）若1a=，2c=，求ABC的面积；（2）若3b=，求ABC周长的取值范围.【答案】（1）32；（2）(6,233+

.【解析】【分析】（1）根据余弦定理得2π3B=，再根据三角形面积公式计算即可；（2）由（1）2π3B=，结合正弦定理得23sin,23sinaAcC==，再利用三角恒等变换化简，利用三角函数性质求范围即可.的

【详解】解：（1）由222bacac−=+，得222acbac+−=−，由余弦定理可知2221cos222acbacBacac+−−===−，因为()0,B，以2π3B=.又因为1a=，2c=，所

以ABC的面积为13sin22ABCSacB==.（2）由（1）得2π3B=，3b=，3AC+=由正弦定理23sinsinsinbacBAC===可得23sin,23sinaAcC==所以()23sinsin3abcAC++=++π23sin

sin33AA=+−+π23sin33A=++.∵π0,3A，∴2,333A+∴π3sin,132A+，(π23sin3

6,2333A+++.ABC周长的取值范围是(6,233+.【点睛】本题考查正余弦定理以及三角恒等变换解三角形，考查数学运算能力，是中档题.21.已知函数()()cos0,0,2fxAxA

=+的部分图像如图所示．（1）求2f的值；（2）若现将函数()fx图象上所有点的横坐标伸长到原来的4倍（纵坐标不变），得到函数()mx的图象；再把()mx图象上所有点向左平行移动23个单位长度，得到函数()gx的图象，求当2,3

x−时，函数()gx的值域．【答案】（1）3−（2）0,2【解析】【分析】（1）由图可求出函数的周期T=，从而可求出2=，由图可得2A=，然后将点13,212代入

函数中可求出的值，进而可求得函数解析式，则可求出2f的值，（2）根据三角函数图象变换规律求出()gx，再由2,3x−求出3262x−+，再由余弦函数的性质可求得()gx的值域【小问1详解】由题意得：

313341234T=−=，∴T=，22T==，当1312x=时，132212xk+=+=，()kZ，∴()1326kkZ=−2，，令1k=可得：6=−，又易知

2A=，故：()2cos26xfx=−，则2cos22cos32266f=−=−=−，【小问2详解】由（1）知：()2cos26xfx=−，由

题意得：()1212cos22cos43626gxxx=+−=+，∵23x−，∴3262x−+，∴10cos126x+，故函数()gx的值域为

0,222.如图，在三棱锥S—ABC中，SC⊥平面ABC，点P、M分别是SC和SB的中点，设PM=AC=1，∠ACB=90°，直线AM与直线SC所成的角为60°.（1）求证：平面MAP⊥平面SAC.（2）求二面角M—AC—B的平面角的正切值；【答案】（1）证明见解析（2）63【解析】【分析】（1

）由已知可证BC⊥平面SAC，又PM∥BC，则PM⊥面SAC，从而可证平面MAP⊥平面SAC；（2）由AC⊥平面SBC，可得∠MCB为二面角M—AC－B的平面角，过点M作MN⊥CB于N点，连接AN，则∠AMN=60°，由勾股定理可得2AN=，在RtAMN中，可得63MN=，从而在RtCNM

△中，即可求解二面角M—AC—B的平面角的正切值.【小问1详解】证明：∵SC⊥平面ABC，∴SC⊥BC，又∵∠ACB=90°，∴AC⊥BC，又ACSC=C，∴BC⊥平面SAC，又∵P，M是SC、SB的中点，∴PM∥BC，∴PM⊥面SAC，又PM平面MAP，∴平面MAP⊥平面

SAC；【小问2详解】解：∵SC⊥平面ABC，∴SC⊥AC，又AC⊥BC，BCSC=C，∴AC⊥平面SBC，∴AC⊥CM，AC⊥CB，从而∠MCB为二面角M—AC－B的平面角，∵直线AM与直线PC所成的角为60°，∴过点M作MN⊥

CB于N点，连接AN，则∠AMN=60°，在△CAN中，由勾股定理可得2AN=，在RtAMN中，362tan33ANMNAMN===，在RtCNM△中，663tan13MNMCNCN===.获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xia

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