【文档说明】浙江省杭州第二中学2023-2024学年高二下学期3月月考数学试题 含解析.docx，共(18)页，1.028 MB，由管理员店铺上传

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浙江省杭州第二中学2023-2024学年高二下学期3月月考数学试题一、单选题:本题共8小题，每小题5分，共40分.1.直线33430xy−+=的倾斜角为（）A.30B.60C.120D.150【答案】A【解析】

【分析】求出直线33430xy−+=的斜率，进而可得出该直线的倾斜角.【详解】因为直线33430xy−+=的斜率为33k=，因此，该直线的倾斜角为30.故选：A.2.若直线l⊥平面，直线l的方向向量为a，

平面的法向量为b，则（）A.()1,0,1a=r，()1,0,1b=−B.()1,1,1a=，()1,1,2b=−C.()2,1,1a=，()4,2,2b=−−−D.()1,3,1a=，()2,0,1b=−【答案】C【解析】【分析】由题可得//abrr，根据空间向量

共线的判定依次判断即可.【详解】因为直线l⊥平面，直线l的方向向量为a，平面的法向量为b，所以//abrr，对A，1111−，,ab不平行；对B，111112=−，,ab不平行；对C，211422==−−−，//ab，故C正确；对D，1121−,ab不平行.故

选：C.3.有一组样本容量为10的样本数据为：1，2，2，3，3，3，4，4，4，4，则该样本中（）A.中位数与平均数的值不同B.第70百分位数与众数的值不同C.方差与极差的值相同D.方差与标准差的值相同【答案】D【

解析】【分析】根据给定的样本数据，分别求出平均数、中位数、众数、极差、方差、标准差、第70百分位数，再逐项判断作答..【详解】依题意，样本平均数1223041433x+++==，中位数为3，A不正确；因1070%7=，于得第70百分位数是4442+=，众数为4，B不正确；样本方差22

222(13)2(23)1103(33)4(43)s−+−+−+−==，极差为413−=，C不正确，样本标准差21s=，D正确.故选：D4.已知二项式13nxx−的展开式中，所有的二项式系数之和为32，则该展开式中x的系数为（）A.405−B.405C.81−D.81【答案】

A【解析】【分析】利用展开式二项式系数之和求出n，再利用展开式的通项公式求解即可.【详解】由二项式13nxx−的展开式中，所有的二项式系数之和为232n=，可得5n=，则51133nxxxx−=−，其展开式的通项公式为()()()535521550,

1,2,,511C33CrrrrrrrrTrxxx−−−+−==−=，令5312r−=，解得1r=，则其该展开式中x的系数是()1511513C405−−=−.故选：A.5.若直线2ykxk=+与曲线21yx=−有两个不同的交点，则k的取

值范围是（）A.33,33−B.30,3C.3,3−D.)0,3【答案】B【解析】分析】联立直线的方程和曲线的方程，根据判别式大于零列不等式，解不等式求得k的取值范围.是【【详解】由于210yx=−，所以21

0x−，11x−.()22ykxkkx=+=+，要使直线和曲线有交点，则0k.由221ykxkyx=+=−，()22221kxx+=−，即()222214410kxkxk+++−=，由于直线

和曲线有两个交点，故00k，即()()42216414100kkkk−+−，即2130kk，解得303k.故选：B【点睛】本小题主要考查根据直线和曲线的交点个数求

参数的取值范围，属于基础题.6.抛物线有如下光学性质：平行于抛物线对称轴的光线，经过抛物线上的一点反射后，反射光线经过抛物线的焦点．过点()22,5P且平行于y轴的一条光线射向抛物线2:4Cxy=上的A点，经过反射后的反射光线与C相交于点B，则AB=

（）A.72B.9C.36D.92【答案】D【解析】【分析】首先求出直线AB的方程为214yx=+，将其与抛物线方程联立，得到韦达定理式，则得到52AByy+=，最后利用焦点弦公式即可.【详解】令22x=，则()22224y==，则点A的坐标为(22,2),C的焦点为(0,1)F，则2124

22AFk−==，所以直线AB的方程为214yx=+，与抛物线方程24xy=联立，消去y得2240xx−−=，由韦达定理得2ABxx+=，所以()25242ABAByyxx+=++=，所以由抛物线的定义得9

||22ABAByy=++=.故选：D.7.如果一个多位数的各个数位上的数字从左到右按由小到大的顺序排列，则称此数为“上升”的，那么所有“上升”的正整数的个数为（）A.530B.502C.503D.505【答案】B【解析】【分析】根据题意，分别得到“上升”的正整数包含：

两位数有29C个，三位数有39C个，L，九位数有99C个，再由组合数的性质，即可求出结果.【详解】由题意，“上升”的正整数包含：两位数有29C个，三位数有39C个，L，九位数有99C个，则所有“上升”的正整数的个数为234

99019999992502CCCCCC++++=−−=，故选：B.8.已知函数()23lnafxxxxx=−+，若m，()0,n+，且mn时，都有()()220nfmmfnmnnm−−，则实数a的取值范围是（）A.(),16−−B.(,16−−C.(),2−−D.

(,2−−【答案】D【解析】【分析】令()()fxgxx=，由定义得出其单调性，进而得出3223axx−在()0,+上恒成立，再由导数得出()323hxxx=−的最小值，即可得出实数a的取值范围.【详解】令

()()23lnfxagxxxxx==−+因为m，()0,n+，且mn时，都有()()220nfmmfnmnnm−−，即m，()0,n+，且mn时，都有()()0fmfnnmnm−−，所以()gx在()0,+上单调递增，即()33210agxxx=−−在()0,+上

恒成立，即3223axx−在()0,+上恒成立．令()323hxxx=−，()0,x+，所以()()23632hxxxxx=−=−，令()0hx，解得2x，令()0hx，解得02x，所以()hx在()0,2上单调递减，在()2,+上单调递增，所以()()

min24hxh==−，所以24a−，即2a−．故选：D．二、多选题:本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分.9.数列na是首项为1的正项数列，123nnaa+=+，

nS是数列na的前n项和，则下列结论正确的是（）A.313a=B.数列3na+是等比数列C.43nan=−D.122nnSn+=−−【答案】AB【解析】【分析】由已知构造出数列3na+是等比数列，可求出数列na的通项公式以及前n项和，结

合选项逐一判断即可．【详解】123nnaa+=+，∴()1323nnaa++=+，∴数列3na+是等比数列又∵11a=，∴()11332nnaa−+=+，∴123nna+=−，∴313a=，∴()2412323412nnnSnn

+−=−=−−−.故选：AB.10.已知函数()(1)exfxx=+的导函数为()fx,则（）A.函数()fx的极小值点为21e−B.(2)0f−=C.函数()fx的单调递减区间为(,2)−−D.若函数()()gxfxa=−有两个不同的零点，则21,ea

−+【答案】BC【解析】【分析】求出函数的导数，即可判断B，判断函数的单调性，确定函数极小值点，判断A，C；将函数()()gxfxa=−有两个不同的零点，转化为直线ya=与()yfx=的图象有2个交点，数形结合

，求得a的范围，判断D.【详解】由()(1)exfxx=+，得()(2)exfxx=+，则(2)0f−=，B正确；令()0fx，则<2x−，令()0fx，则2x−，故()fx在(,2)−−上单调递减，在(2,)−+上单调递增，故()fx的极小值点为2x=−

，且极小值为()212ef−=−，A错误，递减区间为(,2)−−，C正确；若函数()()gxfxa=−有两个不同的零点，即直线ya=与()yfx=的图象有2个交点，当1x−时，()0fx，当1x−时，()0fx，当x趋向于负无穷时，()fx趋

近于0，作出函数()fx的图象，结合图象可知当21,0ea−时，直线ya=与()yfx=的图象有2个交点，故函数()()gxfxa=−有两个不同的零点，则21,0ea−，D错误，故选：BC11.截角四面体是一种半正八面

体，可由四面体经过适当的截角，即截去四面体的四个顶点所产生的多面体.如图所示，将棱长为3a的正四面体沿棱的三等分点作平行于底面的截面，得到所有棱长均为a的截角四面体，则下列说法正确的是（）A.ABCG⊥B.二面角BFHK−−

的平面角余弦值为13C.该截角四面体的外接球表面积为2112πaD.该截角四面体的表面积为263a【答案】ABC【解析】【分析】根据题意还原正四面体，根据正四面体几何性质，结合平行关系即可判断A,由二面角的定义，结合几何法，由余弦

定理即可求解B，设外接球的球心为O，ABC的中心为O，NPQ△的中心为O，再根据题意得截角四面体上下底面距离为626633aaa−=，所以2222263ROCROHa−+−=，即22222633aRRaa−+−=，即

可求解半径，进而判断C，对于D：因为截角四面体由4个边长为a的正三角形，4个边长为a的正六边形构成，求面积即可判断．【详解】对于A,先证明正四面体的对棱互相垂直.如图在正四面体ABCD中，ABCD⊥,证明如下：取

CD中点为O，连接,OBAO,由于四面体为正四面体，所以,BCDACD均为等边三角形，故,,,,CDBOCDAOAOOBOBOAO⊥⊥=平面AOB,所以CD⊥平面AOB,AB平面AOB,故ABCD⊥，的还原正四面体如下图：因此在截角四面体中，//ABNQ,在正四面体

SNPQ中，SPNQ⊥，所以ABCG⊥,故A正确，由于截角四面体的特征可知：六边形ABDEKJ，六边形EFHILK和六边形BCGHFD均为边长为a的正六边形，所以,KFFHBFFH⊥⊥,故BFK即为二面角BFHK−−的平面角，由正六边形的性质可得3,2KFaBFBKa===，

所以2222223341cos23233BFKFBKaaaBFKBFKFaa+−+−===，故B正确，对于C,设外接球的球心为O，ABC的中心为O，NPQ的中心为O，因为截角四面体上下底面距离为626633aaa−=，所以2222263ROCROHa−+−

=，所以22222633aRRaa−+−=，所以22222633aRaRa−=−−，所以2222222846333aRaRaaRa−=+−−−，所以22118Ra=，所以22114ππ2SRa==，故C正确；对于D,由正四面体SNPQ−中，题中截角四面体由

4个边长为a的正三角形，4个边长为a的正六边形构成，故222334467344Saaa=+=，故D错误；故选：ABC【点睛】解决与球相关的切、接问题，其通法是作出截面，将空间几何问题转化为平面几

何问题求解，其解题思维流程如下：（1）定球心：如果是内切球，球心到切点的距离相等且为球的半径；如果是外接球，球心到接点的距离相等且为半径；（2）作截面：选准最佳角度做出截面（要使这个截面尽可能多的包含球、几何体的各种元

素以及体现这些元素的关系），达到空间问题平面化的目的；（3）求半径下结论：根据作出截面中的几何元素，建立关于球的半径的方程，并求解.三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知(),zabiabR=+，其中

i为虚数单位．若()21iiz+=+，则=a________；z=________．【答案】①.32②.102【解析】【分析】由复数相等()21iiz+=+，即可求z，进而得到实部及复数的模；【详解】()21iiz+=+，知：231122iziabii

+==−=++，故32a=；223110||()()222z=+−=；故答案为：32；102；【点睛】本题考查了复数的概念，根据复数相等，结合复数除法求复数，属于简单题；13.为备战第47届世界技能大赛

，经过层层选拔，来自A，B，C，D四所学校的6名选手进入集训队，其中有3人来自A学校，其余三所学校各1人，由于集训需要，将这6名选手平均分为三组，则恰有一组选手来自同一所学校的分组方案有______种．（用数字作答）【答案】9【解析】【分析】利用

间接法，结合平均分组法即可得解.【详解】将这6名选手平均分为三组，有22264233CCC156115A6==种分组方案，其中来自A学校的3名选手都不在同一组，有33A6=种分组方案，所以恰有一组选手来自

同一所学校的分组方案有1569−=种.故答案为：9.14.如果两个函数存在零点，分别为、，若满足n−，则称两个函数互为“n度零点函数”．若()()ln2fxx=−与()2lngxaxx=−互为“2度零点函数”，则实数a的

取值范围为______．【答案】10,2e【解析】【分析】求出函数()fx的零点为3，根据题中定义可得出函数()gx的零点的取值范围是()1,5，进而可得出方程2lnxax=在()1,5x有根，构造函数()2l

nxhxx=，其中()1,5x，求出函数()hx在区间()1,5上的值域，即为实数a的取值范围.【详解】令()()ln20fxx=−=，可得3x=，设函数()gx的零点为0x，则032x−，解得015x.由()0gx=，可得

2ln0axx−=，得2lnxax=，即方程2lnxax=在()1,5x有根，令()2lnxhxx=，其中()1,5x，则()312lnxhxx−=，令()0hx=，可得xe=.当1xe时，()0hx，此时，函数()hx单调递增；当5ex时，()0hx

，此时，函数()hx单调递减.所以，()()max12hxhee==，又()10h=，()ln5525h=.所以，函数()hx在区间()1,5上的值域为10,2e.因此，实数a的取值范围是1

0,2e.故答案为：10,2e.【点睛】方法点睛：已知函数有零点（方程有根）求参数值（取值范围）常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程根，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以

解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.四、解答题:本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.已知函数32()3fxxxax=+−在x＝1处取得

极值．（1）求a的值；（2）求f（x）在区间[－4，4]上的最大值和最小值．【答案】（1）9；（2）最大值为76，最小值为－5.【解析】【分析】（1）求出导函数，利用()fx在1x=处取得极值，()10f=，求解a即可

．（2）求出2()369fxxx=+−．判断导函数的符号，判断函数的单调性，然后求解极值，求解端点值，推出最值即可．【详解】解：（1）因为32()3fxxxax=+−，所以2()36fxxxa=+−．因为()fx在x＝1处取得极值，所以()01f=，即360a+−=，解得9a=经检验

，符合题意．（2）由（1）得32()39fxxxx=+−．所以2()369fxxx=+−．令()0fx，得43x−−„或14x„；令()0fx，得31x−．的所以()fx的单调递增区间为[4,

3)−−，(1,4，单调递减区间为(3,1)−．所以()fx的极大值为(3)27f−=，极小值为()15f=−又()420f−=，()476f=，所以()()()()1434ffff−−所以()fx的最大值为76，最小值为5−16.已知各

项均为正数的等差数列na的公差为4，其前n项和为nS，且22a为23,SS的等比中项.（1）求na的通项公式；（2）设14nnnbaa+=，求数列nb的前n项和nT.【答案】（1）42nan=−（2）21nnTn=+【解析】分析】

（1）根据题意列出方程求出1a，即可求得答案；（2）由（1）可得14nnnbaa+=的表达式，利用裂项相消法求和，即可求得答案.【小问1详解】由题意知na为各项均为正数的等差数列，公差为4，故()()2121311324,22,34342aaSaS

aa=+=+=+=+，22a为23,SS的等比中项，即22234aSS=，即()()()211144624aaa+=++，即()()111420,2aaa+−==或14a=−（舍去），故()24142nann=+−=−；【小问2详解】由（1）得()()14

4111424222121nnnbaannnn+===−−+−+，【故12111111123352121nnTbbbnn=+++=−+−++−−+11122121nnn=−=++.

17.如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是边长为2的正方形，//EFAD，22AEEF==，120EAD=，平面ADFE⊥平面ABCD．（1）求证：BDCF⊥；（2）求平面ABE与平面BDF所成锐角的余弦值．【答案】（1）证明见解析（2）10

4【解析】【分析】（1）连接AC、AF，推导出AFAD⊥，利用面面垂直的性质可得出AB⊥平面ADFE，可得出AFAB⊥，推导出AF⊥平面ABCD，可得出BDAF⊥，利用正方形的性质可得出BDAC⊥，可得出BD⊥平面ACF，再利用线面垂直的性质可证得结论成立；

（2）以点A为坐标原点，AB、AD、AF所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得平面ABE与平面BDF所成锐角的余弦值.【小问1详解】证明：连接AC、AF，因为四边形ABCD为正方形，则BDAC⊥，ABAD⊥，因为1EF=，2AE=，120EAD=，//EFAD，则6

0AEF=o，由余弦定理可得22212cos601421232AFEFAEAEEF=+−=+−=，所以，222AFEFAE+=，则AFEF⊥，则AFAD⊥，因为平面ADFE⊥平面ABCD，平面ADFE平面ABCDAD=，ABAD⊥，AB平面

ABCD，则AB⊥平面ADFE，因为AF平面ADFE，则AFAB⊥，因为ABADA=，AB、AD平面ABCD，则AF⊥平面ABCD，因为BD平面ABCD，则BDAF⊥，因为AFACA=，AF、AC平面ACF，则BD⊥平面A

CF，因为CF平面ACF，则BDCF⊥.【小问2详解】解：因为AF⊥平面ABCD，ABAD⊥，以点A为坐标原点，AB、AD、AF所在直线分别为x、y、z轴建立如下图所示的空间直角坐标系，则()0,0,0A、()2,0,0B、()0,2,0D、()0,0,3F、()0,1,3E−，

设平面ABE的法向量为()111,,mxyz=r，()2,0,0AB=，()0,1,3AE=−，则1112030mABxmAEyz===−+=，取11z=，可得()0,3,1m=，设平面BDF的法向量为()222,,nxyz=r，()2,2,0DB=−，(

)0,2,3DF=−，则2222220230nDBxynDFyz=−==−+=，取23y=，可得()3,3,2n=，所以510cos,4210mnmnmn===，因此平面ABE与平面BDF所成锐角的余弦值为104.18.已知函数(1)()lnaafxxxx−=+−（a<0）.

（1）当1a=−时，求曲线()yfx=在点()()1,1f处的切线方程；（2）求函数()yfx=的单调区间；（3）若对e,[)x+（e为自然对数的底数），()afxxx−恒成立，求实数a的取值范围.【答案】（1）250xy+−=；（2）答案见解析；（

3）(e,0)−【解析】【分析】（1）先求导，再求得切线斜率与切点，进而可求切线方程；（2）先求导，得()()()21xaxafxx−+−=，注意01aa−，进而利用导数与函数的单调性的关系，求得()f

x单调区间；（3）将题中不等式转化为2lnaxx恒成立，即()2minlnaxx，再构造函数()()lnegxxxx=，求得()gx的最小值，进而可求得a的取值范围.【小问1详解】当1a=−时，()2lnfx

xxx=+−，则()2211fxxx=−−，故()22111211kf==−−=−，又()211ln131f=+−=，所以曲线()yfx=在点()()1,1f处的切线方程为：()321yx−=−−，即250xy+−=.【小问2详解】

因为()(1)()ln0aafxxxxx−=+−，所以()()()()()222211111xaxaaaxxaafxxxxx−+−−−−−=−−==，因为a<0，所以01aa−，令()

0fx¢>，得1xa−；令()0fx，解得01xa−；所以()yfx=的单调递增区间为()1,a−+，单调递减区间()0,1a−.【小问3详解】由()afxxx−得(1)lnaaaxxxxx−+−−，即2lnaxx，所以对

)e,x+，恒有()afxxx−成立，等价于对)e,x+，恒有2lnaxx成立，即()2minlnaxx，令()lngxxx=，)e,x+，则()ln1lne120gxx=++=，故()gx在)e,+单调递增，所以()()mineel

neegxg===，所以2ea，即eea−，又a<0，故e0a−，即()e,0a−.【点睛】本题综合考查利用导数求函数的切线方程，求函数的单调区间，利用导用求不等式恒成立时参数范围．第（3）问中不等式恒成立的等价转化是解本题关键也是难点，最后用分离参数法求参数范围．

19.已知双曲线C的中心为坐标原点，右焦点为()7,0，且过点()4,3−．（1）求双曲线C的标准方程；（2）已知点()4,1A，过点()1,0的直线与双曲线C的左、右两支分别交于点,MN，直线AN与双曲线C交于另一点P，设直线,AMAN的斜率分别为12,kk．（i）求

证：12kk+为定值；（ii）求证：直线MP过定点，并求出该定点的坐标．【答案】（1）22143xy−=（2）（i）证明见解析；（ii）证明见解析，()4,9【解析】【分析】（1）设出双曲线方程，结合7c=，将点()

4,3−代入，求解即可；（2）（i）由题意易得直线l的斜率存在,设()()1122,,MxyNxy，直线l的方程为()1ykx=−，联立直线与双曲线方程，化简12kk+的式子，结合韦达定理即可求出结果.（ii）求出直线MP的方程，利用根与系数的关系以及12kk+定值探究直线过哪个定点．【

小问1详解】设双曲线C的方程为22221(0,0)xyabab−=，因为双曲线C的右焦点为()7,0，且过点()4,3−，所以22227,1691,abab+=−=其中07a，解得224,3,ab==

双曲线C的方程为22143xy−=．【小问2详解】（i）设直线MN的方程为()()()11221,,,,ykxMxyNxy=−，由()221,1,43ykxxy=−−=得()22223484120kxkxk−+−−=，221212228412,,3434kkxxxxkk−−−+==−−

因为直线MN与双曲线C的左、右支分别交于点,MN，所以222340,4120,34kkk−−−−得3322k−，()()12121212121111114444kxkxyykkxxxx

−−−−−−+=+=+−−−−()()()()1212121225181416kxxkxxkxxxx−++++=−++222424236363kk−+==−+即1223kk+=．（ii）设直线MP的方程为()33,,ytxmPxy=+，由22,1,43ytxmxy=+−=

得()2223484120txtmxm−−−−=，21313228412,3434tmmxxxxtt−−+==−−，由2APkk=，结合（i）可知123APkk+=，()()()()()()133131113131414114444APtxmxtxmxyykkx

xxx+−−++−−−−+=+=−−−−()()()()1313131321481416txxmtxxmxxxx+−−+−−=−++()()222222412821481343441284163434mtmtmtmttmtmtt−−+−−−−−−=−−−+−−()2223282424643243

6ttmtmttmm+++−=++−由123APkk+=，得()2259490mtmtt+−+−=，即mt=−，或49mt=−+，当mt=−时，直线MP过点()1,0，不符合题意，舍去，当49mt=−+时，直线MP的方程为

()49ytx=−+，过定点()4,9．【点睛】关键点睛：解答本题第二问定值问题的关键在于：利用联立思想得到12kk+的坐标的韦达定理形式去化简.