【文档说明】江苏省南京市第十三中学2020-2021学年高二上学期期初调研数学试题 含答案.doc，共(10)页，536.500 KB，由小赞的店铺上传

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江苏省南京市第十三中学2020~2021学年度高二上期初调研数学试卷（时间：120分钟满分150分）一、单项选择题:本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．1．两平面α，β的法向量分别为u＝(3，－

1，z)，v＝(－2，－y，1)，若α⊥β，则y＋z的值是()A．－3B．6C．－6D．－122．椭圆x225＋y29＝1与x29－k＋y225－k＝1(0<k<9)的关系为()A．有相等的长轴B．有相等的短轴C．有相同的焦点D．有相等的焦距3．已知△ABC的内角A，

B，C所对的边分别为a，b，c，若2acosC＝b，则△ABC的形状一定是()A．等腰直角三角形B．直角三角形C．等腰三角形D．等边三角形4．已知椭圆过点P35，－4和点Q－45，3，

则此椭圆的标准方程是()A．x2＋y225＝1B．x225＋y2＝1或x2＋y225＝1C．x225＋y2＝1D．以上都不对5．已知球的半径与圆锥的底面半径都为2，若它们的表面积相同，则圆锥的高为()A．5B．42C．215D．86．已知sinθ＋sin

(θ＋π3)＝1，则sin(θ＋π6)＝()A．12B．33C．23D．227．若圆O：x2＋y2＝5与圆O1：(x－m)2＋y2＝20(m∈R)相交于A，B两点，且两圆在点A处的切线互相垂直，则线段AB的长是()A

．22B．92C．4D．328．设锐角ΔABC的三内角A、B、C所对边的边长分别为a、b、c，且a＝1，B＝2A，则b的取值范围是()A．(2，3)B．(1，3)C．(2，2)D．(0，2)二、多项选择题:本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出

的四个选项中，有不止一项符合题目要求．全部选对得5分，部分选对得3分，错选或不答得0分．9．下列四个说法正确的说法是()A．若{a、b、c}是空间的一组基底，则{a＋b、a－b、c}也是空间的一组基底B．若空间的三个向量a，b，c共面，则存

在惟一的实数λ、μ，使c＝λa＋μbC．若两条不同直线l，m的方向向量分别是a、b，则l//ma//b．D．若两个不同平面α，β的法向量分别是u、v，且u＝(1，2，－2)，v＝(－2，－4，4)，则α//β10．在△ABC中

，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，A＝π3，a＝6，若a－b＝ccosB－ccosA，则△ABC的面积可能为()A．23B．3C．6D．32311．如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，E，F分别为AD，AA1的中点，则以下说法正确的是()A．平面EFC截正方体所得截面周长为25

＋32B．BB1上存在点P，使得C1P⊥平面EFCC．三棱锥B－EFC和D－FB1C体积相等D．BB1上存在点P，使得AP∥平面EFC12．古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名．他发现：“平面内到两个定点A，B的距离之比为定值λ(λ＞0，且λ≠1)的点的轨迹是圆”．

后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为“阿波罗尼斯圆”，简称“阿氏圆”．在平面直角坐标系xOy中，A(－2，0)，B(4，0)，点P满足PAPB＝12．设点P的轨迹为C，下列结论正确的是()A．轨迹C的方程为

(x＋4)2＋y2＝9B．在x轴上存在异于A，B的两定点D，E，使得PDPE＝12C．当A，B，P三点不共线时，射线PO是∠APB的平分线D．在轨迹C上存在点M，使得MO＝2MA三、填空题:本大题共4小题，每小题5分，共20

分．第14题第一空2分，第二空3分，答题纸上答案用封号隔开．．．．．．．．．．．．13．在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，M为AC和BD的交点，设→AB＝a，→BC＝b，→BB1＝c，则B1M→＝_____________

___(用a，b，c表示)．14．如图，某数学学习兴趣小组的同学要测量学校地面上旗杆CD的高度(旗杆CD垂直于地面)，设计如下的测量方案：先在地面选定距离为30米的A，B两点，然后在A处测得∠BAC＝30°

，在B处测得∠ABC＝105°，∠DBC＝45°，由此可得旗杆CD的高度为________米，∠CAD的正切值为________．15．在一个平面角为120°的二面角的棱上有两点A，B，线段AC，BD分别在这个二面角的两个半平面内，且均与棱AB垂直，若AB＝2，AC＝1，

BD＝2，则CD的长为________．16．已知F1，F2是椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的左，右焦点，A是C的左顶点，点P在过A且斜率为36的直线上，△PF1F2为等腰三角形，∠F1F2P＝120°，则C的离

心率为________________．四、解答题:本大题共6小题，总分70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知0＜α＜π2，cos(π4＋α)＝13．(1)求cosα的值；(2)求sin2α的值．18.如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝AC，E是BC的中点

．求证：(1)平面AB1E⊥平面B1BCC1；(2)A1C∥平面AB1E．19．已知椭圆x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的左右焦点分别为F1(－c，0)，F2(c，0)，点A(－a，0)，B(0，b)是两个顶点．(1)若BF1＋BF2＝4，椭圆离心率为32，求椭圆的

方程和焦距；(2)如果F1到直线AB的距离为b7，求椭圆的离心率．20．已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，A＝π3，________，且b＝2，请从①b2＋2ac＝a2＋c2，②acosB＝bsi

nA，③sinB＋cosB＝2这三个条件中任选一个补充在横线上(填写序号)，求出此时△ABC的面积．21．如图，在四棱锥P－ABCD中，侧面PAD⊥底面ABCD，侧棱PA＝PD＝2，PA⊥PD，底面ABCD为直角梯形，其中BC∥AD，AB⊥AD，AB＝BC＝1，O为

AD中点．(1)求直线PB与平面POC所成角的余弦值；(2)线段PD上是否存在一点Q，使得二面角Q－AC－D的余弦值为63?若存在，求出PQQD的值；若不存在，请说明理由．22．已知圆M：x2＋(y－2)2＝1，点P是直线l：x＋2

y＝0上的一动点，过点P作圆M的切线PA，PB，切点为A，B．(1)当切线PA的长度为3时，求点P的坐标；(2)若△PAM的外接圆为圆N，试问：当P运动时，圆N是否过定点?若存在，求出所有的定点的坐标；若不存在，请说明理由；

(3)求线段AB长度的最小值．江苏省南京市第十三中学2020~2021学年度高二上期初调研数学答案（时间：120分钟满分150分）一、单项选择题答案：B答案：D答案：C答案：A答案：B答案：B答案：C答案

：A二、多项选择题答案：ACD答案：BD答案：ACD答案：BC三、填空题:答案：－12a＋12b－c答案：(1)152；(2)622−答案：3答案：14四、解答题:17．解析：（1）因为02，所以3444+，所以sin04

+，由1cos43+=，所以222sin1cos443+=−+=，…………………3分所以coscoscoscossinsin444444

=+−=+++122224232326+=+=.…………………6分（没有写范围扣2分）（2）sin2cos22=−+cos24=−+22

712cos1499=−+=−=.…………………10分18.【解析】(1)在直三棱柱ABC－A1B1C1中，CC1⊥平面ABC.因为AE⊂平面ABC，所以CC1⊥AE.…………………1分因为AB

＝AC，E为BC的中点，所以AE⊥BC.因为BC平面B1BCC1，CC1平面B1BCC1，且BC∩CC1＝C，所以AE⊥平面B1BCC1.…………………5分因为AE⊂平面AB1E，所以平面AB1E⊥平面B1BCC1.…………………6分(2)连结A

1B，设A1B∩AB1＝F，连结EF.在直三棱柱ABC－A1B1C1中，四边形AA1B1B为平行四边形，所以F为A1B的中点．又因为E是BC的中点，所以EF∥A1C.…………………8分因为EF⊂平面AB1E，A1C平面AB1E

，所以A1C∥平面AB1E.…………………10分19．答案：(1)x24＋y2＝1，23；(2)e＝12解析：(1)由BF1＋BF2＝4得a＝2，…………………1分∵ca＝32，∴c＝3．…………………2分又a2＝b2＋c2，∴b＝

1．…………………3分∴椭圆方程为x24＋y2＝1，…………………4分焦距为2c＝23．…………………5分(2)由A(－a，0)，B(0，b)，得直线AB的斜率为kAB＝ba，故AB所在的直线方程为y－b＝bax，即bx－ay

＋ab＝0．…………………6分又F1(－c，0)，由点到直线的距离公式可得d＝|－bc＋ab|a2＋b2＝b7，…………………8分∴7·(a－c)＝a2＋b2．又b2＝a2－c2，整理，得8c2－14ac＋5a2＝0，即8×ca2－14×ca＋5＝0．∴8e2－14e＋5

＝0，∴e＝12或e＝54(舍去)．综上可知，椭圆的离心率e＝12．…………………10分20．解析：情形一：若选择①2222bacac+=+，由余弦定理22222cos222acbacBacac+−===，因为(0,)B，所以4B=；…………………5分情形二

：若选择②cossinaBbA=，因为sinsinabAB=，则sincossinsinABBA=，因为sin0A，所以sincosBB=，因为(0,)B，所以4B=；…………………5分情形三：若选择③sincos2BB+=，则22sincos

2sincos222BBBB+=+=,2sin24B+=，所以sin()14B+=，因为()0,B，所以5,444B+，所以42B+=，所以4B=；…………5分由正弦定理sinsinabAB

=，得2sinsin33sin22bAaB===，…………………7分因为3A=，4B=，所以53412C=−−=，…………………8分所以562sinsinsinsincoscossin124646464C

+==+=+=，……10分所以116233sin322244ABCSabC++===△.…………………12分21．解析（1）在△PAD中，PAPD=，O为AD中点，所以POAD⊥，又侧面PAD⊥底面ABCD，平面PAD平面ABCDAD=，PO平面PAD，

所以PO⊥平面ABCD．又在直角梯形ABCD中，易得OCAD⊥，…………………2分所以以O为坐标原点，OC为x轴，OD为y轴，OP为z轴建立空间直角坐标系．则(0,0,1)P，(0,1,0)A−，(1,1,0)B

−，(1,0,0)C，(0,1,0)D；∴()1,1,1PB=−−，…………………3分易证：OA⊥平面POC，所以(0,1,0)OA=−是平面POC的一个法向量，…………………4分3cos,3||||PBOAPBOAPBOA==，…………………5分所以PB与平面

POC所成角的余弦值为63．…………………7分（2）假设存在，且设(01)PQPD=．因为(0,1,1)PD=−，∴(0,,)ODOPPQ−==−，∴(0,,1)OQ=−，所以(0,,1)Q−．…………………8分设平面CAQ的法向量中(,,)xyz=m，则0(1)(1)0A

CxyAQyz=+==++−=mm，取1z=+，得(1,1,1)=−−+m．…………………9分平面CAD的一个法向量为(0,0,1)=n，…………………10分要使二面角QACD−−的余弦值为63，需

使6|cos,|3==mnmnmn．…………………12分整理化简得：231030−+=，得13=或3=（舍去），所以存在，且12PQQD=．…………………14分22．解析：（1）由题可知，圆

M的半径1r=，设()2,Pbb−，因为PA是圆M的一条切线，所以90MAP=，所以()()22220222MPbbAMAP=++−=+=，解得0b=或45b=，所以点P的坐标为()0,0P或84,55P−．…………………4分（2）设()2,Pbb

−，因为90MAP=，所以经过A、P、M三点的圆N以MP为直径，其方程为()()222242224bbbxby+−+++−=，…………………6分即()()222220xybxyy−+++−=，由2222020xyxyy−+=

+−=，解得02xy==，或4525xy=−=，所以圆过定点()0,2，42,55−．…………………8分（3）因为圆N方程为()()222242224bbbxby+−+++−=

，即()222220xybxbyb++−++=①又圆22:430Mxyy+−+=②①－②得圆M方程与圆N相交弦AB所在直线方程为()22230bxbyb−−+−=．…………………10分点()0,2M到直线AB的距离21

544dbb=−+，…………………11分所以相交弦长2212121544ABdbb=−=−−+…………………12分2121216555b=−−+，所以当25b=时，AB有最小值112．…………………14分