【文档说明】江苏省南京市第十三中学2020-2021学年高二上学期期初调研数学试卷 含答案.docx，共(9)页，518.856 KB，由小赞的店铺上传

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江苏省南京市第十三中学2020~2021学年度高二上期初调研数学试卷（时间：120分钟满分150分）一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．1．两平面，的法向量分别

为3,1()uz=−,，2,1(,)vy=−−，若⊥，则yz+的值是（）A．3−B．6C．6−D．12−2．椭圆221259xy+=与221925xykk+=−−(09)k的关系为（）A．有相等的长轴B．有相等的短轴C．有

相同的焦点D．有相等的焦距3．已知ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若2cosaCb=，则ABC的形状一定是（）A．等腰直角三角形B．直角三角形C．等腰三角形D．等边三角形4．已知椭圆过点3,45P−和点

4,35Q−，则此椭圆的标准方程是（）A．22125yx+=B．22125xy+=或22125yx+=C．22125xy+=D．以上都不对5．已知球的半径与圆锥的底面半径都为2，若它们的表面积相同，则圆锥

的高为（）A．5B．42C．215D．86．已知sinsin13++=，则sin6+=（）A．12B．33C．23D．227．若圆22:5Oxy+=与圆221:()20()Oxmym−+=R相交于A，B两点，且两圆在点A处的切线互相垂直，

则线段AB的长是（）A．22B．92C．4D．328．设锐角ABC的三内角A、B、C所对边的边长分别为a、b、c，且1a=，2BA=，则b的取值范围是（）A．(2,3)B．(1,3)C．(2,2)D．(0,2)二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20

分．在每小题给出的四个选项中，有不止一项符合题目要求．全部选对得5分，部分选对得3分，错选或不答得0分．9．下列四个说法正确的说法是（）A．若{}abc、、是空间的一组基底，则ababc+−、、也是空间的一组基底B．若空间的三个向量a，b，c共面，则存在惟一的实数、，使cab=+C．

若两条不同直线l，m的方向向量分别是a、b，则////lmab．D．若两个不同平面，的法向量分别是u、v，且(1,2,2)u=−，(2,4,4)v=−−，则//a10．在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，3A=，6a=，若coscosabcBcA−=−，则ABC的面

积可能为（）A．23B．3C．6D．33211．如图，正方体1111ABCDABCD−的棱长为2，E，F分别为AD，1AA的中点，则以下说法正确的是（）A．平面EFC截正方体所得截面周长为2532+B．1BB上存在点P，使得1CP⊥平面EFCC．三棱锥BEFC−和1DFB

C−体积相等D．1BB上存在点P，使得//AP平面EFC12．古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名．他发现：“平面内到两个定点A，B的距离之比为定值（0，且1）的点的轨迹是圆”．后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为“阿波罗尼斯圆”，简称“阿氏圆”．在平

面直角坐标系xOy中，(2,0)A−，(4,0)B，点P满足12PAPB=．设点P的轨迹为C，下列结论正确的是（）A．轨迹C的方程为22(4)9xy++=B．在x轴上存在异于A，B的两定点D，E，使得12PDPE=C．当A，B，P

三点不共线时，射线PO是APB的平分线D．在轨迹C上存在点M，使得2MOMA=三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．第14题第一空2分，第二空3分，答题纸上答案用封号隔开．．．．．．．．．．．．13．在平行六面体1111ABCDABCD−中，M为AC和BD的

交点，设ABa=，BCb=，1BBc=，则1BM=________________（用a，b，c表示）．14．如图，某数学学习兴趣小组的同学要测量学校地面上旗杆CD的高度（旗杆CD垂直于地面），设计如下的测量方案：先在

地面选定距离为30米的A，B两点，然后在A处测得30BAC=，在B处测得105ABC=，45DBC=，由此可得旗杆CD的高度为________米，CAD的正切值为________．15．在一个平面角为120的二面角的棱上有两点A，B，线段AC，BD分别在这个二面角

的两个半平面内，且均与棱AB垂直，若2AB=，1AC=，2BD=，则CD的长为________．16．已知1F，2F是椭圆2222:1(0)xyCabab+=的左，右焦点，A是C的左顶点，点P在过A且斜率为36的直线上，12PFF为等腰三角形，2120FFFP

=，则C的离心率为________________．四、解答题：本大题共6小题，总分70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知02，1cos43+=．（1）求c

os的值；（2）求sin2的值．18．如图，在直三棱柱111ABCABC−中，ABAC=，E是BC的中点．求证：（1）平面1ABE⊥平面11BBCC；（2）1//AC平面1ABE．19．已知椭圆22221(0)xyabab+=的左右焦点

分别为1(,0)Fc−，2(,0)Fc，点(,0)Aa−，(0,)Bb是两个顶点．（1）若124BFBF+=，椭圆离心率为32，求椭圆的方程和焦距；（2）如果1F到直线AB的距离为7b，求椭圆的离心率．20．已知ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，3A=，________，且2

b=，请从①2222bacac+=+，②cossinaBbA=，③sincos2BB+=这三个条件中任选一个补充在横线上（填写序号），求出此时ABC的面积．21．如图，在四棱锥PABCD−中，侧面PAD⊥底面ABCD，侧棱2PAPD==，PAPD

⊥，底面ABCD为直角梯形，其中//BCAD，ABAD⊥，1ABBC==，O为AD中点．（1）求直线PB与平面POC所成角的余弦值；（2）线段PD上是否存在一点Q，使得二面角QACD−−的余弦值为63？若存在，求出PQQD的值；若不存在，请说明理由．22．

已知圆22:(2)1Mxy+−=，点P是直线:20lxy+=上的一动点，过点P作圆M的切线PA，PB，切点为A，B．（1）当切线PA的长度为3时，求点P的坐标；（2）若PAM的外接圆为圆N，试问：当P运动时，圆N是否过

定点？若存在，求出所有的定点的坐标；若不存在，请说明理由；（3）求线段AB长度的最小值．江苏省南京市第十三中学2020~2021学年度高二上期初调研数学答案（时间：120分钟满分150分）一、单项选择题1—5BDCAB6—8BCA二、多项选择题

9．ACD10．BD11．ACD12．BC三、填空题：13．1122abc−+−14．（1）152；（2）622−15．316．14四、解答题：17．解析：（1）因为02，所以3444+，所以sin04+，由1co

s43+=，所以sin4+=2221cos43−+=，3分所以coscos44=+−coscossinsin4444

=+++122224232326+=+=．6分（没有写范围扣2分）（2）sin2cos22=−+=2cos212cos44−+=−+

27199=−=．10分18．【解析】（1）在直三棱柱111ABCABC−中，1CC⊥平面ABC．因为AE平面ABC，所以1CCAE⊥．1分因为ABAC=，E为BC的中点，所以AEBC⊥．因为BC平面11BBCC，1C

C平面11BBCC，且1BCCCC=，所以AE⊥平面11BBCC．5分因为AE平面1ABE，所以平面1ABE⊥平面11BBCC．6分（2）连结1AB，设11ABABF=，连结EF．在直三棱柱111ABCABC−中，四边形11AABB为平行四

边形，所以F为1AB的中点．又因为E是BC的中点，所以1//EFAC．8分因为EF平面1ABE，1AC平面1ABE，所以1//AC平面1ABE．10分19．答案：（1）2214xy+=，23；（2）12e=

解析：（1）由124BFBF+=得2a=，1分∵32ca=，∴3c=．2分又222abc=+，∴1b=．3分∴椭圆方程为2214xy+=，4分焦距为223c=．5分（2）由(,0)Aa−，(0,)Bb，得直线AB的斜率为ABbka=，故AB所

在的直线方程为bybxa−=，即0bxayab−+=．6分又1(,0)Fc−，由点到直线的距离公式可得22||7bcabbdab−+==+，8分∴·227()acab−=+．又222bac=−，整理，得2281450caca−+=，即281450ccaa

−+=．∴281450ee−+=，∴12e=或54e=（舍去）．综上可知，椭圆的离心率12e=．10分20．解析：情形一：若选择①2222bacac+=+，由余弦定理22222cos222acbacBacac+−===，因为(0,)B，所以4B=；5

分情形二：若选择②cossinaBbA=，因为sinsinabAB=，则sincossinsinABBA=，因为sin0A，所以sincosBB=，因为(0,)B，所以4B=；5分情形三：若选择③sincos2BB+=，则sincosBB+=222sincos222

BB+=，2sin24B+=，所以sin14B+=，因为(0,)B，所以5,444B+，所以42B+=，所以4B=；5分由正弦定理sinsinabAB=，得2sinsin33sin22b

AaB===，7分因为3A=，4B=，所以53412C=−−=，8分所以5sinsin12C==sinsincoscossin464646+=+624+=，10分所以1sin2ABCSabC==1623332244++=．12分21．

解析（1）在PAD中，PAPD=，O为AD中点，所以POAD⊥，又侧面PAD⊥底面ABCD，平面PAD平面ABCDAD=，PO平面PAD，所以PO⊥平面ABCD．又在直角梯形ABCD中，易得OCAD⊥，2分所以以O为坐标原点，OC为x轴，

OD为y轴，OP为z轴建立空间直角坐标系．则(0,0,1)P，(0,1,0)A−，(1,1,0)B−，(1,1,0)B−，(0,1,0)D；∴(1,1,1)PB=−−，3分易证：OA⊥平面POC，所以(0,1,0)OA=−是平面POC的一个法向量，4分3cos,3|

|||PBOAPBOAPBOA==，5分所以PB与平面POC所成角的余弦值为63．7分（2）假设存在，且设(01)PQPD=．因为(0,1,1)PD=−，∴(0,,)ODOPPQ−==−，∴(0,,1)OQ=−，所

以(0,,1)Q−．8分设平面CAQ的法向量中(,,)mxyz=，则0(1)(1)0mACxymAQyz=+==++−=，取1z=+，得(1,1,1)m=−−+．9分平面CAD的一个法向量为(0,0,1)n=，10分要使二面角QACD−

−的余弦值为63，需使||6cos,|3||||mnmnmn==．12分整理化简得：231030−+=，得13=或3=（舍去），所以存在，且12PQQD=．14分22．解析：（1）由题可知，

圆M的半径1r=，设(2,)Pbb−，因为PA是圆M的一条切线，所以90MAP=，所以22||(02)(2)MPbb=++−22||||2AMAP=+=，解得0b=或45b=，所以点P的坐标为(0

,0)P或84,55P−．4分（2）设(2,)Pbb−，因为90MAP=，所以经过A、P、M三点的圆N以MP为直径，其方程为222224(2)()24bbbxby++−++−=，6分

即()22(22)20xybxyy−+++−=，由2222020xyxyy−+=+−=，解得02xy==，或4525xy=−=，所以圆过定点(0,2)，42,55−．8分（3）因为圆N方程为222()2bxby+++−224

(2)4bb+−=，即222(2)20xybxbyb++−++=①又圆22:430Mxyy+−+=②①－②得圆M方程与圆N相交弦AB所在直线方程为2(2)230bxbyb−−+−=．10分点(0,2)M到直线AB

的距离21544dbb=−+，11分所以相交弦长2212121544ABdbb=−=−−+12分2121216555b=−−+，所以当时25b=，AB有最小值112．14分