【文档说明】辽宁省沈阳市东北育才学校高中部2024届高三下学期第六次模拟考试 数学 含答案.docx，共(16)页，631.843 KB，由管理员店铺上传

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2023-2024学年度东北育才学校高中部高三年级第六次模拟考试暨假期质量测试数学科试卷答题时间：120分钟满分：150分命题人：高三备课组一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中项是符合题目要求的．1.

若集合2560Axxx=−−，()ln214Bxyx==−，则()RAB=ð（）A.()7,+B.()6,+C.(1,7−D.(1,6−2.已知Rx，则“|1||1|2xx++−”是“11x”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件3.在()1nx−的二项展开式中，仅有第4项的二项式系数最大，则n=（）A.5B.6C.7D.84.若()fx是R上周期为3的偶函数，且当302x时，()4logfxx=，则132f−=（）A.1

2−B.12C.2−D.25.若ππ,42，且2π1coscos222++=−．则tan=（）A.3B.2C.3D.236.函数()()12cos2023π1fxxx=++−在区间[3,5]−上所有零点的

和等于（）A.2B.4C.6D.87.12,FF是双曲线()2222:1,0xyEabab−=的左、右焦点，点M为双曲线E右支上一点，点N在x轴上，满足1260FMNFMN==，若()1235MFMFMN+=R，则双曲线E的离心率为（）

A.87B.65C.53D.728．设nS是一个无穷数列na的前n项和，若一个数列满足对任意的正整数n，不等式11++nnSSnn恒成立，则称数列na为和谐数列，有下列3个命题：①若对任意的正整数n均有1+nna

a，则na为和谐数列；②若等差数列na是和谐数列，则nS一定存在最小值；③若na的首项小于零，则一定存在公比为负数的一个等比数列是和谐数列．以上3个命题中真命题的个数有（）个A．3B．2C．1D．0二、选择题：本题共3

小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。9.下列命题中，真命题有（）A.若随机变量1~6,3XB，则()4=3DXB.数据6，2，3，4，5

，7，8，9，1，10的70%分位数是8.5C.若随机变量()2~2,XN，()10.68PX=，则()230.28Px=D.若事件A,B满足0(),()1PAPB且()()()1PABPAPB=−，则A与B独立10.如图，在正方体1111ABCDABCD

−中，2AB=，P是正方形ABCD内部(含边界)的一个动点，则（）A.存在唯一点P，使得11DPBC⊥B.存在唯一点P，使得直线1DP与平面ABCD所成角取到最小值C.若12DPDB=，则三棱锥1PBBC−外接球的表面积为8D.若异面直线1DP

与1AB所成的角为4，则动点P的轨迹是抛物线的一部分11.已知函数(),()fxgx的定义域均为R，且满足()(2)4fxgx−−=，()(4)6gxfx+−=，(3)(1)0gxgx−++=，则（）A.()(2)2fxfx−−=−B.()gx的图象关于点(3,0)对称C

.(2)0=gD.601()1620nfn==−三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．若复数512iz=+（其中i表示虚数单位），则Imz=____________．13.如图，在平面斜坐标系

xOy中，60xOy=，平面上任意一点P关于斜坐标系的斜坐标这样定义：若12OPxeye=+（其中1e，2e分别是x轴，y轴正方向的单位向量），则P点的斜坐标为(),xy，向量OP的斜坐标为(),xy，()3,1OM=，()

1,3ON=，则OMN△的面积为______.的14.已知ABC的三个内角A，B，C满足cos()3cos()ABAB−=+，当C最大时，动点P使得AP，AB，PB的长依次成等差数列，此时PCAB的最大值为______．四、解答题：本题共5小题，共77

分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15．（13分）已知{}na是等差数列，{}nb是等比数列，且23b=，39b=，11ab=，144ab=.（1）求{}na的通项公式；（2）设(1)nnnncab=+−(*)Nn，求数列{}nc的前2n项和．16.（15分）

如图，圆台上底面圆1O半径为1，下底面圆2O半径为2,AB为圆台下底面的一条直径，圆2O上点C满足1,ACBCPO=是圆台上底面的一条半径，点,PC在平面1ABO的同侧，且1//POBC.（1）证明：平面P

AC⊥平面ABC；（2）若圆台的高为2，求直线1AO与平面PBC所成角的正弦值.17．（15分）某制药公司研制了一款针对某种病毒的新疫苗．该病毒一般通过病鼠与白鼠之间的接触传染，现有n只白鼠，已知每只白鼠在未接种疫苗时接触病鼠后被感

染的概率为12，设随机变量X表示n只白鼠在未接种疫苗时接触病鼠后被感染的白鼠数，假设每只白鼠是否被感染之间相互独立.（1）若(5)(95)PXPX===，求数学期望()EX；（2）接种疫苗后的白鼠被病鼠感染的概率

为p，现有两个不同的研究团队理论研究发现概率p与参数(01)的取值有关．团队A提出函数模型为22ln(1)3p=+−．团队B提出函数模型为()11e2p−=−．现将接种疫苗后的白鼠分成10组，每组10只，进行实验，随机变量(1,2,,10)

iXi=表示第i组被感染的白鼠数，现将随机变量(1,2,,10)iXi=的实验结果(1,2,,10)ixi=绘制成频数分布图，如图所示．（ⅰ）试写出事件“11Xx=，22Xx=，…，1100Xx=”发生的概率表达式（用p表示，组合数不必计算）；

（ⅱ）在统计学中，若参数0=时使得概率()11221010,,,=PXxXxXx==最大，称0是的最大似然估计．根据这一原理和团队A，B提出的函数模型，判断哪个团队的函数模型可以求出的最大似然估计，并求出最大似然估计．参考数据：3ln0.4

0652．18.（17分）如图，已知抛物线2:xyE=，点)2,1(P，过点P任作两条直线，分别与抛物线E交于A,B与C，D.（1）若CDAB,的斜率分别为1,1−，求四边形ABCD的面积；（2）设),(),,(),(),,(244233222211xxDxxCxxBxxA，（ⅰ）找到21,x

x满足的等量关系；（ⅱ）BDAC,交于点G，证明：点G在定直线上.19.（17分）已知函数2()lnfxxax=−．（1）讨论函数()fx的单调性：（2）若12,xx是方程()0fx=的两不等实根，求证：（i）22122exx+；（ii）12e2xxa．2023-20

24学年度东北育才学校高中部高三年级第六次模拟考试暨假期质量测试数学科答案一．单选题1.A2.B3.B4.A5.C6.D7.D8.A二．多选题9.AD10.BCD11.AC三．填空题12.2−13.3214.2324+四．解答题15.（本题满分13分）解：（1）设等

差数列{}na的公差为d，等比数列{}nb的公比为q,则323bqb==,2111babq===,144327abbq===,…………………………3分又1411311327aadd=+=+=,可得2d=,…………………………4分所以1(1)12(1)21naandnn=+−=

+−=−.…………………………6分（2）由（1）可得13nnb−=，…………………………7分故1(1)(3)nnnb−−=−−，以它为通项的数列是以1−为首项、公比为3−的等比数列，……8分所以数列{}nc的前2n项和21122()(1

)[1(3)(3)]nnaaa−=++++−+−++−LL…………10分222(141)(1)[1(3)]91421(3)44nnnnn+−−−−=+=+−−−.………………………13分16.（15分）解（1）取AC中点M，由题意，12

1,22POBCAB===，又1//POBC，故1111//,22POBCPOBC=.又2211//,22OMBCOMBC=，故1212//,POOMPOOM=，所以四边形12POOM为平行四边形，则1

2//PMOO.由12OO⊥平面ABC，故PM⊥平面ABC，又PM面PAC，故平面PAC⊥平面ABC.…………………………7分（2）以2O为坐标原点，2221,,OBOCOO的方向为,,xyz轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系.则有：()()()()1222,0,0,2,0

,0,0,2,0,,,2,0,0,222ABCPO−−，故()12,0,2.AO=设平面PBC的法向量(),,nxyz=而()222,2,0,,,222BCCP=−=−−，故220222022nBCxynCPxyz=−+

==−−+=，令1z=，得()2,2,1.n=设所求角的大小为，则11122230sincos,1565AOnAOnAOn+====.所以直线1AO与平面PBC所成角的正弦值为23015.………………………15分17.（1）由题知，随机变

量X服从二项分布，1~(,)2XBn，由()()595PXPX===，即5555551111C()(1)C()(1)2222nnnnn−−−−=−，得100n=，所以()50EXnp==．………………………4分（2）（ⅰ）11221010,

,","AXxXxXx====，193228333724466641010101010()(C(1))(C(1))(C(1))(C(1))(C(1))PApppppppppp=−−−−−，1323324225751010101

0()(C)(C)(C)(C)(1)PApp=−．………………………8分（ⅱ）记1323324210101010()ln(C)(C)(C)(C)25ln75ln(1)gppp=++−，则257525100()1(1)pgppppp−=−=−−，当104p

时，()0gp，()gp单增；当114p时，()0gp，()gp单减；当14p=时，()gp取得最大值，即P取得最大值．在团体A提出的函数模型()()22ln1,013p=+−中，记函数()21()ln(1)120,3fxxxx=−+，2141)434()13

3(1fxxxxxx=−=+−−++，当102x时，1()0fx，1()fx单增；当112x时，1()0fx，1()fx单减．当12x=时，()fx取得最大值3113lnln0.40652642−，（），则不可以估计．………………

………13分在团体B提出的函数模型1(1e)2p−=−中，记函数21()(1e)2xfx−=−，2()fx单调递增，令21()4fx=，解得ln2x=，则ln2=是的最大似然估计．………………………15分18

.解：（1）由已知3-:,1+=+=xyCDxyAB：联立直线2xyAB=与抛物线得01--2=xx设),(),,(2211yxByxA，则1-,12121==+xxxx所以104-)(2|-|11||21221212=+=+=xxxxxxAB联立直线2CDxy=与抛物线得

03-2=+xx设),(),,(3333yxDyxC，则3-,1-2143==+xxxx所以264-)(2|-|11||43243432=+=+=xxxxxxCD因为DABC⊥，所以65||||21==CDABSABCD…………………………4分（2）因为21212221--x

xxxxxkAB+==，所以AB的直线方程为)-)((-12121xxxxxy+=整理得0--)(2121=+xxyxxx，因为AB过点)2,1(P，所以0-2-2121=+xxxx①……………………7分

同理可得0-2-4343=+xxxx②同理可得AC：0--)(3131=+xxyxxx，BD：0--)(4242=+xxyxxx联立AC与BD方程，解出点G坐标，42314231---xxxxxxxx

xG+=，4231432421431321----xxxxxxxxxxxxxxxxyG++=…………………………11分由①②得2-2121xxxx+=，2-4343xxxx+=带入点G纵坐标2-22---2-2--)--2(-2-2--)-()-(--)-()2-

()-)(2-(--)-()-(42314331423142314331423121434321423121434321423121434321GGxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxy=+=++=++=++++=+

+=所以点G坐标在直线2-2xy=上………………………17分19.（1）由题意得，函数()fx的定义域为(0,)+.由2()lnfxxax=−得：2112()2axfxaxxx−=−=，当0a时，()0,()fxfx在(0,)+上单调递增；当0a时，由()0fx得2

02axa，由()0fx得22axa，所以()fx在20,2aa上单调递增，在2,2aa+上单调递减．……………………4分（2）因为12,xx是方程2ln0xax−=的两不等实根，即12,xx是方程22

ln20xax−=的两不等实根，令2(0)txt=，则221122,txtx==，即12,tt是方程ln2tat=的两不等实根.令ln()tgtt=，则21ln()tgtt−=，所以()gt在(0,e)上递增，在(e,)+上递减，1(e)eg=，当0

t→时，()gt→−；当t→+时，()0gt且()0gt→.所以102ae，即102ea.令121ett．（i）要证22122exx+，只需证122ett+，……………………6分解法1：令()()(2e),(1,e)

htgtgtt=−−，则lnln(2e)(2e)lnln(2e)()()(2e)2e(2e)tttttthtgtgttttt−−−−=−−=−=−−，令()(2e)lnln(2e)ttttt=−−−，则()22e2e()1lnln(2e

)ln2e2e2etttttttttttt−=−−−−+=+−−+−−2e202etttt−+−−，所以()t在(1,e)上递增，()(e)0t=，所以()()(2e)0htgtgt=−−，所以()(2e)gtgt−，所以()()()2112egtgtgt=−，所以

212ett−，即122ett+，所以22122exx+．……………………11分解法2：先证121212lnln2xxxxxx−+−，令120xx，只需证212121ln2lnxxxxxx−+−，只需证2112ln011xxxx

xx−−=+，令1()2ln(1)1xxxxx−=−+，22241(1)()0(1)(1)xxxxxx−−=−=++，所以()x(1,)+上单调递减，所以()(1)0x=．因为1

212lnlntttt=，所以1212121212lnlnlnln2tttttttttt+−+=+−，所以12lnln2tt+，即212ett，所以121222etttt+．解法3：由()1212121

elnlntttttt=，在设112111lnlnln(0),tttttt+==，所以11lnlnlntt+=，即1212lnln(1)lnln,ln,lnln111tttt+==+=−−−，构造函数2(1)()ln(1

)1xgxxxx−=−+，22214(1)()0(1)(1)xgxxxxx−=−=++，所以()gx在(1,)+上单调递增，所以()(1)0gxg=．（ii）要证：12e2xxa，只需证：12e2tta，只需证：12lnln1ln2tta+−，只需证：12221ln

2atata+−，只需证：121ln22atta−+，212121lnln2mmmmmm−+−令1221,2mmta==得22211222ln22ttaaata−++即222ln212(ln21)02aatataa+−++①令1121,2mtma==得1111122ln222tta

aaat−+−−即211ln212(ln21)02aatataa−−−−+②①+②得：()()2221212(ln21)0attatt−+−−，即121ln22atta−+．……………………17分