【文档说明】四川省绵竹中学2024-2025学年高三上学期开学考试数学试题 Word版含解析.docx，共(19)页，1.094 MB，由小赞的店铺上传

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高三开学考试数学试题一、单选题1.已知集合Z33Axx=−，1Bxyx==+，则AB=（）A.1,0,1,2−B.)1,3−C.0,1,2D.()1,−+【答案】A【解析】【分析】由集合的交集运算即可

求解.【详解】Z332,1,0,1,2Axx=−=−−,11Bxyxxx==+=−,所以AB=1,0,1,2−故选：A2.已知不共线的两个非零向量,ab，则“ab+与ab−所成角为锐角”是

“ab”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】C【解析】【分析】根据向量的运算结合充分、必要条件分析判断.【详解】因为,ab不共线，可知ab+与ab−不共线，则ab+与ab−所成角为锐角等价于()()0abab+−，

即22ab，即ab，所以“ab+与ab−所成角为锐角”是“ab”的充分必要条件.故选：C.3.函数()2sinln2xfxxx+=−的大致图象是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根据函数的奇偶性单调性与函数值符号确定函数的图象.【详解】由202xx+−，得()2,2

x−，所以()fx的定义域为()2,2−.又()()()()222sinlnsinlnsinln222xxxfxxxxfxxxx−++−=−=−−==+−−，所以函数()fx为偶函数，图象关于y轴对称，故B错误；因为24lnln122xxx+=−−−

，所以当()0,2x时，2ln0,sin02xxx+−，所以()0fx，且在定义()0,2x内为增函数，故A，D错误.对C：符合函数的定义域，奇偶性，单调性，故C正确.故选:C4.已知()()22,0,ln1,0,xxfxxx−=−则不等式()()233

fxfxx++的解集是（）A.()3,1−B.()0,1C.()(),31,−−+D.()1,+【答案】A【解析】【分析】判断()fx在R上的单调性，将不等式等价于233xxx++，由一元二次不等式的解法即可得解.【

详解】()()22,0,ln1,0,xxfxxx−=−，可得当0x时，()fx单调递减，当0x时，()fx单调递减，且0x=时函数连续，则()fx在R上单调递减，不等式()()233fxfxx++，可化为233xxx++，即2230

xx+−，解得：31x−，则原不等式的解集为：()3,1−，故选：A5.已知3log2a=，4log3b=，1.20.5c=，比较a，b，c的大小为（）A.abcB.acbC.bcaD.bac【答案】D【解析】【分析】利用换底公式和对数

的运算性质结合基本不等式比较,ab的大小，再利用对数函数、指数函数的性质比较,ac大小，即可求解.【详解】2ln2ln3ln2ln4(ln3)ln3ln4ln3ln4ab−−=−=，因为ln2,ln4

0，所以ln2ln42ln2ln4+，即()()()22211ln2ln4ln8ln9ln344=，所以()2ln2ln4ln3，且ln3ln40，所以ab，又因为1.21331log2log32,0.50.521ac====，所以ac，综上，ba

c，故选：D.6.在同一直角坐标系内，存在一条直线l，使得函数()yfx=与函数𝑦=𝑔(𝑥)的图象关于直线l对称，就称函数()ygx=是函数()yfx=的“轴对称函数”．已知函数()xfxe=（e是自然对数的底数），则下列函数不是函数()yfx=的“轴对称

函数”的是（）A.2exy=−B.2exy−=C.exy−=−D.lnyx=【答案】C【解析】【分析】根据轴对称分析AB；根据中心对称分析判断C；根据反函数的性质判断D.【详解】对于选项A：因为()e2e12xx+−=，可知exy

=与2exy=−关于1y=对称，不合题意；对于选项B：因为()212xx+−=，可知exy=与2exy−=关于1x=对称，不合题意；对于选项C：因为exy=与exy−=−关于原点对称，不是轴对称函数，符合题意；对于选项D：exy=

与lnyx=关于yx=对称，不合题意；故选：C．7.已知()fx，()gx是定义域为R的函数，且()fx是奇函数，()gx是偶函数，满足()()22fxgxaxx+=++，若对任意的1212xx，都有()()12123gxgxxx−−−

成立，则实数a的取值范围是（）A.)0,+B.3,04−C.3,4−+D.3,4−+【答案】D【解析】【分析】根据奇偶函数构造方程组求出()gx的解析式，再根据题意得到()232

hxaxx=++在()1,2x单调递增，分类讨论即可求解.【详解】由题意可得()()22fxgxaxx−+−=−+，因为()fx是奇函数，()gx是偶函数，所以()()22fxgxaxx−+=−+，联立()()()

()2222fxgxaxxfxgxaxx+=++−+=−+，解得()22gxax=+，又因为对于任意的1212xx，都有()()12123gxgxxx−−−成立，所以()()121233gxgxxx−−+，所以()()112233gxxgxx++成立，构造()(

)2332hxgxxaxx=+=++，所以由上述过程可得()232hxaxx=++在()1,2x单调递增，（1）若0a，则对称轴0322xa=−，解得3<<04a−；（2）若0a=，则()32h

xx=+在()1,2x单调递增，满足题意；（3）若0a，则对称轴0312xa=−恒成立；综上，3,4a−+.故选：D.8.已知函数3,0,(),0.xxfxxx=−…若函数2()()2()gxfxkxxk=−−

R恰有4个零点，则k的取值范围是（）A.1,(22,)2−−+B.1,(0,22)2−−C(,0)(0,22)−D.(,0)(22,)−+【答案】D【解析】【分析】由(0)0

g=，结合已知，将问题转化为|2|ykx=−与()()||fxhxx=有3个不同交点，分0,0,0kkk=三种情况，数形结合讨论即可得到答案.【详解】注意到(0)0g=，所以要使()gx恰有4个零点，只需方程(

)|2|||fxkxx−=恰有3个实根.即可，令()hx=()||fxx，即|2|ykx=−与()()||fxhxx=的图象有3个不同交点.因为2,0()()1,0xxfxhxxx==，当0k=时，此时2y=，如图1，2y=与()()||fxhxx=有1个不同交点，不满足题意

；当0k时，如图2，此时|2|ykx=−与()()||fxhxx=恒有3个不同交点，满足题意；当0k时，如图3，当2ykx=−与2yx=相切时，联立方程得220xkx−+=，令0=得280k−=，解得22k=（负值舍去），所以22k.综上，k的取值范

围为(,0)(22,)−+.故选：D.【点晴】本题主要考查函数与方程的应用，考查数形结合思想，转化与化归思想，是一道中档题.二、多选题9.下列式子中最小值为4的是（）A.224sinsinxx+B.222xx−+C.()228log2log8xx+D.2211sincosxx+【答案】BCD

【解析】【分析】对于ABD，利用基本不等式运算求解；对于C，运用对数运算及二次函数的最值可判断．【详解】对于选项A：2242sin2sin4sinsinxxxx+=，当且仅当2sinsinxx=，即当且仅当sin2x=时等

号成立，但sin2x=不成立，所以224sinsinxx+最小值不为4，故A错误；对于选项B：因为20,20xx−，则22222224−−+=xxxx，当且仅当222xx−=，即1x=时，等号成立，

所以222xx−+的最小值为4，故B正确；对于选项C：()()()222238log2log81loglog8xxxx+=+−+()22222log2log5log14xxx=−+=−+，当2x=时，取得最小值4，故C成立；对于选项D：由题意22sin0,cos0xx，则()

22222222221111cossinsincos2sincossincossicosnxxxxxxxxxx+=++=++，2222cossin224cossinxxxx+=，当且仅当2222cossinsincosxxxx=，即tan1x=时，等号成

立，故D正确．故选：BCD．10.下列说法正确的是（）.A.命题“3x，2100x−”的否定是“03x，02100x−”B.已知函数为()()22,0eln1,0xxaxaxfxxx−−−=++，在R上单调递增，则a的范围是(,0−

的C.函数()()223log1fxxx=+−，正数a，b满足()()310fafb+−=，则3baab+的最小值为12.D.设函数()21ee1xxfxx−=+−+，则使得()()21fxfx+成

立的x范围：()()1,1,3−−+【答案】ACD【解析】【分析】由命题的否定的定义判断A，根据分段函数单调性的定义判断B，由函数的奇偶性与基本不等式判断C，由函数的奇偶性与单调性判断D．【详解】选项A，全称命题否定是特称命题，因此命题“3x，2

100x−”的否定是“03x，02100x−”，A正确；选项B，易知eln(1),0xyxx=++是增函数，而抛物线22yxaxa=−−−的对称轴是xa=−，因此00eln(01)aa−−+

+，解得10a−，B错；选项C，221xxxx+=，因此函数()()223log1fxxx=+−的定义域是R，又2222()()3log(1)3log(1)0fxfxxxxx−+=++++−=，即()()fxfx−=−，所以()fx是奇函数，又设12xx，则22

12211222()()3log(1)3log(1)fxfxxxxx−=+−−+−，其中22222212112212121222121(1)11()()11xxxxxxxxxxxxxx−+−−+−=+−+−−=−−+++12122212()(1)11xxxxxx+=−−+++，又√�

�12+1+√𝑥22+1>|𝑥1|+|𝑥2|≥(𝑥1+𝑥2)，所以122212111xxxx++++，而120xx−，所以2211221(1)0xxxx+−−+−，从而22211222log(1)log(1)xxxx+−+−即1212(

)()0,()()fxfxfxfx−，()fx是减函数，由()()310fafb+−=得()(31)(13)fafbfb=−−=−，所以13=−ab，从而31ab+=，3123abab+=，112ab，当且仅当132ab==时等号成立，所以3112baaba

b+=，最小值是12，C正确；的选项D，()21ee1xxfxx−=+−+，222()ee(1)xxxfxx−=−++，0x时，222()ee0(1)xxxfxx−=−++，0x时，222()ee0(1)xxxfx

x−=−++，即()fx在(,0)−上单调递减，在(0,)+上单调递增，又()21ee1xxfxx−=+−+满足()()fxfx−=，即()fx是偶函数，由𝑓(2𝑥)>𝑓(𝑥+1)得𝑓(|2𝑥|)>𝑓(|𝑥+1|)⇔

|2𝑥|>|𝑥+1|，解得13x−或1x，D正确．故选：ACD．11.我们知道，函数()yfx=的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数()yfx=为奇函数．有同学发现可以将其推广为：函数()yfx=的图象关于点(,)Pab成中心对称图形的充要条

件是函数()yfxab=+−为奇函数．已知函数4()22xfx=+，则下列结论正确的有（）A.函数()fx的值域为(0,2]B.函数()fx的图象关于点(1,1)成中心对称图形C.函数()fx的导函数()fx的图象关于直线1x=对称

D.若函数()gx满足(1)1ygx=+−为奇函数，且其图象与函数()fx的图象有2024个交点，记为(,(1,2,,))2024iiiAxyi=，则20241(8)404iiixy=+=【答案】BCD【解析】【分析】借助指数函数的值域求解判断A；利用

给定定义计算判断B；利用复合函数求导法则结合对称性判断C；利用中心对称的性质计算判断D.【详解】对于A，显然()fx的定义域为R，20x，则40222x+，即函数()fx的值域为(0,2)，A错误；对于B，令1421

2()112(12)22111xxxxhxxf+−==−=+−−=+++，1221()()1221xxxxhxhx−−−−−===−++，即函数(1)1yfx=+−是奇函数，因此函数()fx的图象关于点(1,1)成中心对称图形，B正确；对于C，由选项B知，(1)1[(1)1]fxfx−+−

=−+−，即(1)(1)2fxfx−++=，两边求导得(1)(1)0fxfx−−++=，即(1)(1)fxfx−=+，因此函数()fx的导函数()fx的图象关于直线1x=对称，C正确；对于D，由函数()gx满足(1)

1ygx=+−为奇函数，得函数()gx的图象关于点(1,1)成中心对称，由选项B知，函数()gx的图象与函数()fx的图象有2024个交点关于点(1,1)对称，因此202420242024111(101221

01224048)iiiiiiixyxy===+=+=+=，D正确.故选：BCD【点睛】结论点睛：函数()yfx=的定义域为D，xD，①存在常数a，b使得()(2)2()()2fxfaxbfaxfaxb+−=++−=，则函数()yfx=图象关于点

(,)ab对称.②存在常数a使得()(2)()()fxfaxfaxfax=−+=−，则函数()yfx=图象关于直线xa=对称.三、填空题12.函数()24ln1xyx−=+的定义域为___________【答案】()(1,00,2−【解析】【分

析】根据被开方数非负，分母不能为0和真数大于0列出不等式组求解即可.【详解】由240ln(1)010xxx−++解得2201xxx−−，所以定义域为：()(1,00,2−故答案为：()(1,00,2−13.已知0a，若函数()()23logfxaxx=−在

3,4上单调递增，则a的取值范围是______.【答案】1,3+【解析】【分析】由题意结合函数3logyx=是定义在(0,+∞)上的增函数得()2gxaxx=−在3,4上单调递增且𝑔(𝑥

)>0在3,4上恒成立，从而根据一元二次函数性质即可求解.【详解】因为()()23logfxaxx=−在3,4上单调递增，而函数3logyx=是定义在(0,+∞)上的增函数，所以()2gxaxx=−在3,4上单调递增

，且𝑔(𝑥)>0在3,4上恒成立，所以{𝑎>012𝑎≤3𝑔(3)=9𝑎−3>0⇒𝑎>13，所以a的取值范围是1,3+.故答案为：1,3+.14.已知函数()ln(1),()ln(0)1mxfxx

gxxmxm=+−=++，且()()120fxgx==，则()2111emxx−+的最大值为___________.【答案】1【解析】【分析】根据函数的零点定义，可以得到关于m的两个等式，结合对数与指数的恒等变形公式

，构造新函数，结合导数的性质，利用新函数的单调性得到12,xx之间的关系，最后对()2111emxx−+进行转化为关于m的式子，最后构造新函数，利用导数的性质求出最值即可.【详解】由()()120fxgx==，可得()22121

121ln(1)0,ln01ln(1)e1xxmxxmxxxxm+−=+==++=+，因为0m，所以111x+，20x，显然2e1x，由()2221121ln(1)eelnexxxxxx++==，构造函数()()()()ln11ln0gxx

xxgxxgx==+在()1,+上单调递增，由()()()222211211ln(1)eelne1exxxxxxxgxg++==+=，而()gx在()1,+上单调递增，所以有211exx+=，因此()22121111eeeexmmmxxxm−−−+==，设()

()()1110eemmmmhmmhm−−−==，当1m时，()()0,hmhm单调递减，当01m时，()()0,hmhm单调递增，所以当1m=时，函数()hm有最大值，即()()max11hmh==，故答案为：1【点睛】关键点点睛：本题的关键是利用函数零点的定义

得到等式()21121ln(1)exmxxx=++=，然后利用同构思想，结合导数的性质进行求解.四、解答题15.ABCV内角,,ABC的对边分别为,,abc，已知coscosaBbAbc−=+.（1）求角A的值；（2）若23,aABC

=的面积为3，求,bc.【答案】（1）2π3（2）2，2【解析】【分析】（1）由正弦定理及三角恒等变换化简即可得解；（2）由三角形面积公式及余弦定理求解即可.【小问1详解】coscosaBbAbc−=+，由正弦定理可得：

sincossincossinsinABBABC−=+，sinsin()sincoscossinCABABAB=+=+，sincossincossinsincoscossinABBABABAB−=++，即2sinco

ssinBAB−=，sin0B，1cos2A=−，的(0,π)A，2π3A=.【小问2详解】由题意，13sin324ABCSbcAbc===△，所以4bc=，由222222cosabcbcAbcbc=+−=++，得()2216bcabc+=

+=，所以4bc+=，解得：2bc==.16.已知函数3()exfxaxa=−−．（1）当1a=时，求曲线()yfx=在点()1,(1)f处的切线方程；（2）若()fx有极小值，且极小值小于0，求a的取值范

围．【答案】（1）()e110xy−−−=（2）()1,+【解析】【分析】（1）求导，结合导数的几何意义求切线方程；（2）解法一：求导，分析0a和0a两种情况，利用导数判断单调性和极值，分析可得2ln10aa+−，构建函数解不等式即可；解法二：求

导，可知()e=−xfxa有零点，可得0a，进而利用导数求()fx的单调性和极值，分析可得2ln10aa+−，构建函数解不等式即可.【小问1详解】当1a=时，则()e1xfxx=−−，()e1xfx=−

，可得(1)e2f=−，(1)e1f=−，即切点坐标为()1,e2−，切线斜率e1k=−，所以切线方程为()()()e2e11yx−−=−−，即()e110xy−−−=.【小问2详解】解法一：因为()fx的定义域为𝑅，且()e=−xfxa，若0a，则()0fx对

任意𝑥∈𝑅恒成立，可知()fx在𝑅上单调递增，无极值，不合题意；若0a，令()0fx，解得lnxa；令()0fx，解得lnxa；可知()fx在(),lna−内单调递减，在()ln,a+内单调递增，则()fx有极小值()3lnlnfaaaaa=−−，无极大值，由题意可得：()

3lnln0faaaaa=−−，即2ln10aa+−，构建()2ln1,0gaaaa=+−，则()120gaaa+=，可知()ga在(0,+∞)内单调递增，且()10g=，不等式2ln10aa+−等价于()()1gag，解得1a，所以a的取值范围为(1,+∞)；解法二

：因为()fx的定义域为𝑅，且()e=−xfxa，若()fx有极小值，则()e=−xfxa有零点，令()e0xfxa=−=，可得exa=，可知exy=与ya=有交点，则0a，若0a，令()0fx，解得lnxa；令(

)0fx，解得lnxa；可知()fx在(),lna−内单调递减，在()ln,a+内单调递增，则()fx有极小值()3lnlnfaaaaa=−−，无极大值，符合题意，由题意可得：()3lnln

0faaaaa=−−，即2ln10aa+−，构建()2ln1,0gaaaa=+−，因为则2,ln1yaya==−在(0,+∞)内单调递增，可知()ga在(0,+∞)内单调递增，且()10g=，不等

式2ln10aa+−等价于()()1gag，解得1a，所以a的取值范围为(1,+∞).17.已知二次函数()223fxmxx=−−，关于实数x的不等式()0fx的解集为1,n−．（1）当01a时，解关于x的不等式：()2112axnmxax++++；（2）是否存在

实数()0,1a，使得关于x的函数()()131,2xxyfaax+=−的最小值为5−？若存在，求实数a的值；若不存在，说明理由．【答案】（1）答案不唯一，具体见解析（2）存在；512a−=【解析】【分析】（1）首先由韦达定理确定,mn的值，再通过讨

论a的范围确定对应方程两根大小，最终确定解集（2）由()fx的解析式，可令xat=，并进而确定与t有关的二次函数的最值，最终确定a【小问1详解】由不等式2230mxx−−的解集为1,n−知关于x的方程2230mxx−−=的两根为1−和n，且0m由根

与系数关系，得2131nmnm−+=−=−，∴13mn==，所以原不等式化为()()220xax−−，当01a时，原不等式化为()220xxa−−，且a22，解得2xa或2x；∴当0<𝑎<1时，原不等式的解集为22x

xxa或；【小问2详解】假设存在满足条件的实数a，由（1）得：1m=，∴()223fxxx=−−，∴()()()21213233323xxxxxxxyfaaaaaaaa++=−=−−−=−+−，令xat=，()2ata，

则()2323ytat=−+−∴对称轴为：322at+=，又01a，∴21aa，325122a+，∴函数()2323ytat=−+−在2,aa递减，∴ta=时，y最小为：22235yaa=−−−=−，解得：5

12a−=18.某市为提升中学生的环境保护意识，举办了一次“环境保护知识竞赛”，分预赛和复赛两个环节，预赛成绩排名前三百名的学生参加复赛．已知共有12000名学生参加了预赛，现从参加预赛的全体学生中随机地抽取100人的预赛成绩作为样本，得到频率分布直方图如图：（1）规定预赛成绩不低于

80分为优良，若从上述样本中预赛成绩不低于60分的学生中随机地抽取2人，求至少有1人预赛成绩优良的概率，并求预赛成绩优良的人数X的分布列及数学期望；（2）由频率分布直方图可认为该市全体参加预赛学生的预赛成绩Z服从正态分布(

)2,N，其中可近似为样本中的100名学生预赛成绩的平均值（同一组数据用该组区间的中点值代替），且2362=，已知小明的预赛成绩为91分，利用该正态分布，估计小明是否有资格参加复赛？附：若()2~,ZN，则()0.68

27PZ−+，(22)0.9545PZ−+，(33)0.9973PZ−+；36219．【答案】（1）813，分布列见解析，3()4EX=（2）有资格参加复赛

【解析】【分析】（1）根据超几何分布的概率计算即可求解分布列，（2）根据正态分布的对称性即可求解.【小问1详解】预赛成绩在[60,80)范围内的样本量为：0.01252010025=，预赛成绩在80,100范围内的样本量为：0.00752010015

=，设抽取的2人中预赛成绩优良的人数为X，可能取值为0,1,2，则112015251525240CCC8(1)C13CPX+==，又211225251515222404040CCCC5257(0),(1),(2)C13C52C52PXPXP

X=========，则X的分布列为：X012P5132552752故52573()0121352524EX=++=．【小问2详解】(100.005300.01500.015700.0125900.0075)2053x==++++=，23

62=，则19，又~(53,362)ZN，故1(91)(2)[1(22)]0.022752PZPZPZ=+=−−+，故全市参加预赛学生中，成绩不低于91分的有120000.02275273=人，因273300，故小明有资格参加复

赛，19.将(2)nn个不同的数按照某种顺序排成一列得到数列na，对任意1ijn，如果ijaa，那么称数对(),ijaa构成数列na的一个逆序对，一个有穷数列的全部逆序对的总数称为该数列的

逆序数．（1）若将1，2，3，4四个数构成的数列恰有2个逆序对，请写出符合条件的数列组合；（2）计算以下数列的逆序数．（ⅰ）219(1100)nann=−+；为（ⅱ）1,3(1),1nnnanknnn

=−+为奇数为偶数；（3）已知数列1a，2a，…，na的逆序数为a，求na，1na−，…，1a的逆序数．【答案】（1）{1,4,2,3}，{1,3,4,2}，{2,1,4,3}，{2,

3,1,4}，3,1,2,4（2）（ⅰ）4950；（ⅱ）答案见解析（3）(1)2nna−−【解析】【分析】（1）根据逆序的定义求解即可；（2）（ⅰ）由数列{𝑎𝑛}为单调递减数列，即可得到逆序数；（ⅱ）当n为奇数时，13210naaa−，当n为偶数时，2420na

aa，由此分析，即可得逆序数；（3）在数列1a，2a，…，na中，若1a与后面1n−个数构成1p个逆序对，则有1(1)np−−不构成逆序对，即可得到答案.【小问1详解】由1，2，3，4构成的逆序对有(4,3)，(4,2)，(4,1

)，(3,2)，(3,1)，(2,1)．若第一个数为4，则至少有3个逆序对；若第二个数为4，则恰好有2个逆序对的数列组合为{1,4,2,3}；若第三个数为4，则恰好有2个逆序对的数列组合为{1,3,4,2}或{2,1,4,3}；若第四个数为4，则恰好有2个逆序对的数列组合为{2,3,1,4

}或3,1,2,4．综上，符合条件的数列组合有：{1,4,2,3}，{1,3,4,2}，{2,1,4,3}，{2,3,1,4}，3,1,2,4．【小问2详解】（ⅰ）因为{𝑎𝑛}为单调递减数列，所以逆序数为(991)9999981

49502++++==．（ⅱ）当n为奇数时，13210naaa−当n为偶数时，222220(4)111(1)(1)nnnnaannnnnn−−−−−=−+==+−−+−，所以2420naaa，当k为奇

数时，逆序数为235341(1)(3)21228kkkkkk−−−+−+−++++++=，当k为偶数时，逆序数为22432(1)(3)11228kkkkkk−−−−+−++++++=．【小问3

详解】在数列1a，2a，…，na中，若1a与后面1n−个数构成1p个逆序对，则有1(1)np−−不构成逆序对，所以在数列na，1na−，…，1a中，逆序数为12(1)(1)(2)()2nnnnpnpnnpa−−−+−−++−−=−．【点睛】方法点睛：本题考查数列的新定

义问题，解决此类问题，关键是读懂题意，理解新定义的本质，把新情境下的概念、法则、运算化归到常规的数学背景中，运用相关的数学公式、定理、性质进行解答.