【文档说明】2024年新高考数学一轮复习题型归纳与达标检测 第43讲 利用空间向量求空间角和距离（讲）（原卷版）.docx，共(14)页，470.018 KB，由管理员店铺上传

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第43讲利用空间向量求空间角和距离思维导图知识梳理1．异面直线所成角设异面直线a，b所成的角为θ，则cosθ＝|a·b||a||b|，其中a，b分别是直线a，b的方向向量．2．直线与平面所成角如图所示，设l为平面α的斜线，l∩α＝A，a为l的方向向量，n为平面α

的法向量，φ为l与α所成的角，则sinφ＝|cos〈a，n〉|＝|a·n||a||n|3．二面角(1)若AB，CD分别是二面角α­l­β的两个平面内与棱l垂直的异面直线，则二面角(或其补角)的大小就是

向量AB―→与CD―→的夹角，如图(1)．(2)平面α与β相交于直线l，平面α的法向量为n1，平面β的法向量为n2，〈n1，n2〉＝θ，则二面角α­l­β为θ或π－θ.设二面角大小为φ，则|cosφ|＝|cosθ|＝|n1·n2||n1||n2|，如图(2)(3)．4

．利用空间向量求距离(1)两点间的距离设点A(x1，y1，z1)，点B(x2，y2，z2)，则|AB|＝|AB―→|＝(x1－x2)2＋(y1－y2)2＋(z1－z2)2.(2)点到平面的距离如图所示，已知AB为平面α的一条斜线段，n为平面α的法

向量，则B到平面α的距离为|BO―→|＝|AB―→·n||n|.题型归纳题型1异面直线所成的角【例1-1】（2020•济南模拟）已知直角梯形ABCD中，//ADBC，ABBC⊥，12ABADBC==，将直角梯形ABCD（及其内部）以AB所在直线为轴顺时针旋转90，形成如图所示的几何体

，其中M为CE的中点．（1）求证：BMDF⊥；（2）求异面直线BM与EF所成角的大小．【例1-2】（2020•北京模拟）在四棱锥PABCD−中，PA⊥平面ABCD，底面四边形ABCD为直角梯形，//ADBC，A

DAB⊥，2PAAD==，1ABBC==，Q为PD中点．（Ⅰ）求证：PDBQ⊥；（Ⅱ）求异面直线PC与BQ所成角的余弦值．【跟踪训练1-1】（2020•运城三模）如图，四边形ABCD为平行四边形，且2ABADBD===，点E，F为平面ABCD外两点，//EFAC且223EFAE

==，EADEAB=．（1）证明：BDCF⊥；（2）若60EAC=，求异面直线AE与DF所成角的余弦值．【名师指导】用向量法求异面直线所成角的一般步骤(1)选择三条两两垂直的直线建立空间直角坐标系；(2)确定异面直线上两个点的坐标，从

而确定异面直线的方向向量；(3)利用向量的夹角公式求出向量夹角的余弦值；(4)两异面直线所成角的余弦等于两向量夹角余弦值的绝对值．题型2直线与平面所成的角【例2-1】（2020•海南）如图，四棱锥PABCD−的底面为正方形，PD⊥底面ABCD．设平面PAD与平面PBC的交线为l．（

1）证明：l⊥平面PDC；（2）已知1PDAD==，Q为l上的点，2QB=，求PB与平面QCD所成角的正弦值．【例2-2】（2020•北京）如图，在正方体1111ABCDABCD−中，E为1BB的中点．（Ⅰ）求证：1//BC平面1ADE；（Ⅱ）

求直线1AA与平面1ADE所成角的正弦值．【跟踪训练2-1】（2020•山东）如图，四棱锥PABCD−的底面为正方形，PD⊥底面ABCD．设平面PAD与平面PBC的交线为l．（1）证明：l⊥平面PDC；（

2）已知1PDAD==，Q为l上的点，求PB与平面QCD所成角的正弦值的最大值．【名师指导】利用向量求线面角的2种方法(1)分别求出斜线和它所在平面内的射影直线的方向向量，转化为求两个方向向量的夹角(或其补角)．(2)通

过平面的法向量来求，即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角，取其余角就是斜线与平面所成的角．题型3二面角【例3-1】（2020•江苏）在三棱锥ABCD−中，已知5CBCD==，2BD=，O为BD的中点，AO⊥平面BCD，2AO=，E为AC中点．（1）求直线AB与DE所成角的余弦

值；（2）若点F在BC上，满足14BFBC=，设二面角FDEC−−的大小为，求sin的值．【例3-2】（2020•新课标Ⅰ）如图，D为圆锥的顶点，O是圆锥底面的圆心，AE为底面直径，AEAD=．ABC是底面的内接正三角形，P为DO上一点，6

6PODO=．（1）证明：PA⊥平面PBC；（2）求二面角BPCE−−的余弦值．【跟踪训练3-1】（2020•新课标Ⅲ）如图，在长方体1111ABCDABCD−中，点E，F分别在棱1DD，1BB上，且12DEED=，12BFFB=．（1）证明：点1C在平面A

EF内；（2）若2AB=，1AD=，13AA=，求二面角1AEFA−−的正弦值．【跟踪训练3-2】（2019•天津）如图，AE⊥平面ABCD，//CFAE，//ADBC，ADAB⊥，1ABAD==，2AEBC==．（Ⅰ）求证：//BF平面ADE；（Ⅱ）求直线CE与平面

BDE所成角的正弦值；（Ⅲ）若二面角EBDF−−的余弦值为13，求线段CF的长．【跟踪训练3-3】（2019•新课标Ⅰ）如图，直四棱柱1111ABCDABCD−的底面是菱形，14AA=，2AB=，60BAD=，E，M，N分别是BC，1BB，1AD的中点．（1）证明：//M

N平面1CDE；（2）求二面角1AMAN−−的正弦值．【名师指导】利用空间向量计算二面角大小的常用方法(1)找法向量：分别求出二面角的两个半平面所在平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角的大小．(2)找与

棱垂直的方向向量：分别在二面角的两个半平面内找到与棱垂直且以垂足为起点的两个向量，则这两个向量的夹角的大小就是二面角的大小．题型4求空间距离【例4-1】（2019•新课标Ⅰ）如图，直四棱柱1111ABCDABCD−的底面是菱形，14AA=，2AB=，60BAD=，E，M，N分别是BC，1BB，

1AD的中点．（1）证明：//MN平面1CDE；（2）求点C到平面1CDE的距离．【跟踪训练4-1】（2020•梅州二模）如图，PAD中，90PDA=，2DPDA==，B，C分别是PA，PD的中点，将PBC沿BC折起，连结PA，PD，得到多面体PABCD．（1）证明：在

多面体PABCD中，BCPD⊥；（2）在多面体PABCD中，当6PA=时，求点B到平面PAD的距离．【名师指导】求点面距一般有以下三种方法(1)作点到面的垂线，点到垂足的距离即为点到平面的距离．(2)等体积法．