【文档说明】四川省盐亭中学2022-2023学年高二上学期期中数学（理）试题 含解析.docx，共(16)页，904.991 KB，由小赞的店铺上传

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四川省盐亭中学高2021级2022年秋期中教学质量监测（理科）（数学）一、单选题（每题5分，共计60分）1.若直线经过()()1,0,4,3AB两点，则直线AB的倾斜角为（）A.30B.45C.60D.120【答案】

B【解析】【分析】利用两点间的斜率公式代入计算可得斜率，再由斜率与倾斜角之间的关系得出结果.【详解】由,AB两点的坐标代入两点间的斜率公式可得03114ABk−==−，设直线AB的倾斜角为),0,π

，可知tan1=，所以π454==.故选：B2.点()3,2,1M−关于平面yOz对称的点的坐标是（）A.()3,2,1−−B.()3,2,1−−C.()3,2,1−−−D.()3,2,1−【答案】A【解析】【分析】利用空间直角坐标系的性质即可得出结果.【详解】由空间直角

坐标系的性质可知，点()3,2,1M−关于平面yOz对称的点的坐标是()3,2,1−−.故选：A3.两平行直线1:3210lxy++=与2:6410lxy++=之间的距离为（）A.1326B.1313

C.0D.1010【答案】A【解析】【分析】先将直线1l的方程变形，然后利用两平行线间的距离公式求解即可【详解】由3210xy++=，得6420xy++=，所以两直线间的距离为2221113265264−==+，故选：A4.已知双曲线的上、下焦点分别为()10,3F，()20,3F−，P

是双曲线上一点且124PFPF−=，则双曲线的标准方程为（）A.22145xy−=B.22154xy−=C.22145yx−=D.22154yx−=【答案】C【解析】【分析】设双曲线的标准方程为()222210,0yxabab−=，由双曲线的定义知3c=，2a=，即可求出

双曲线的标准方程.【详解】设双曲线的标准方程为()222210,0yxabab−=，半焦距为c，则由题意可知3c=，24a=，即2a=，故222945bca=−=−=，所以双曲线的标准方程为22145yx−=.故选：C．

5.若直线1l：20mxy++=与直线2l：2(1)0xmym+−+=平行，则m的值为（）A.2或1−B.1−C.2−或1D.2【答案】B【解析】【分析】根据两直线平行时斜率相等，列出方程求解，再排除两直线重合的情况即可得到答案.【详解】因为直线1l：20mxy++=

与直线2l：2(1)0xmym+−+=平行则21mm−=−−，解得：2m=或1m=−，当2m=时，两直线重合，舍去；当1m=−时，验证满足.故选:B.6.设第一象限的点(),Pmn为抛物线28yx=上一点，F为焦点，若6PF=，则n=（）A.

42B.4C.22D.32【答案】A【解析】【分析】由抛物线的定义或焦半径公式求得m，代入抛物线方程可得n．【详解】28p=，则4p=，22p=．由题意26PFm=+=，4m=，所以284n=，又0n，所以42n=．故选：A．7

.椭圆()222210xyabab+=的中心O与一个焦点F及短轴的一个端点B组成等腰直角三角形FBO，则椭圆的离心率是（）A.12B.2C.32D.22【答案】D【解析】【分析】设椭圆半焦距为c，根据给定条件可得b=c，再确定a与c的关系

即可得解.【详解】设椭圆半焦距为c，因椭圆的中心O与一个焦点F及短轴的一个端点B组成等腰直角三角形FBO，则有b=c，而222abc=+，于是得2ac=，所以椭圆的离心率是22cea==.故选：D8.已知双曲线2222100xyabab−=（，）的左

焦点为1FO，为坐标原点，右焦点为()22,0F，点P为双曲线右支上的一点，且122122FFPFPFF=，的周长为10M，为线段2PF的中点，则OM=（）A.1B.2C.3D.4【答案】B【解析】【分析】根据

右焦点为()22,0F，得到124FF=，进而得到22PF=，再根据12PFF的周长为10，得到14PF=，然后利用三角形中位线求解.【详解】解：因右焦点为()22,0F，所以124FF=，又因为1222FF

PF=，则22PF=，又因121210FFPFPF++=，则14PF=，所以O为坐标原点，且M为线段2PF的中点，所以1122OMPF==，故选：B9.若双曲线C：()222210,0xyabab−=的一条渐近线被以焦点为圆心的

圆2240xyx+−=所截得的弦长为23，则b=（）A.1B.2C.3D.2【答案】A【解析】【分析】结合圆的几何性质列方程，化简求得b的值.【详解】圆2240xyx+−=即()22222xy−+=，圆心为()2,0，半径为2，故焦点()2

,0F，224ab+=双曲线的一条渐近线方程为0bxay−=，焦点()2,0F到渐近线的距离为22222bbbab==+，为为所以2222322b+=，解得1b=.故选：A.10.从直线x－y＋3＝0上的点向圆x2＋y2－4x－4y＋

7＝0引切线，则切线长的最小值为()A.322B.142C.324D.3212−【答案】B【解析】【详解】设直线30xy−+=上的点为(,3)Ptt+，已知圆的圆心和半径分别为(2,2),1Cr=，则切线长为22222(2)(1)1224LPCrtttt=−=−++−=−+，故当

12t=时，min1114224422L=−+=，应选答案B．点睛：本题求解时先设直线上动点，运用勾股定理建立圆的切线长的函数关系，再运用二次函数的图像与性质求出其最小值，从而使得问题获解．本题的求解过程综

合运用了函数思想与等价转化与化归的数学思想．11.已知抛物线的方程为24yx=，过其焦点F的直线交抛物线于,AB两点，若3AFFB=，AB=（）A.2B.3C.163D.2【答案】C【解析】【分析】设出直线方程与抛物线联立，利用韦达定理和焦点弦公式代入计算可求得16

3AB=.【详解】如下图所示：易知()1,0F，不妨设()()1122,,,AxyBxy；设直线AB的方程为1xmy=+，与24yx=联立消去x得，2440ymy−−=,由韦达定理可知12124,4yymyy+==−；由3AFFB=可得123y

y=−；联立解得22242,3ymy=−=，即213m=；根据焦点弦公式可得()12121221124ABxxmymymyy=++=++++=++；代入计算可得216443ABm=+=.故选：C12.已知A，B是椭圆C：2213yx+=短轴的两个端点，点

O为坐标原点，点P是椭圆C上不同于A，B的动点，若直线PA，PB分别与直线4x=−交于点M，N，则OMN面积的最小值为A.243B.123C.65D.125【答案】D【解析】【分析】设出P点坐标，由直线,PAPB的方程以及4x=−，求得,

MN两点的坐标，由此求得MN的表达式，求得MN的最小值，进而求得OMN面积的最小值.【详解】设()0000,,11,0Pxyxy−，则220013yx+=，即()220031yx=−.依题意()()1,0,1,0AB−.则直线,PAPB的方程分别为()()00001,111yyyxyxxx

=+=−+−，令4x=−，得000035,11MNyyyyxx−−==+−.则0000000053531111NMyyyyMNyyxxxx−−−=−=−=+−+−+()()()()000000513111yxyxxx−++−=+−00020281xyyx+=−00002

0028463xyyxyy++==.而()0000440xxyy−−+=−，表示点()00,Pxy和点()4,0D−之间连线的斜率的倒数.设过()4,0D−的直线()4ykx=+与椭圆2213yx+=相切，由()22413ykxyx=++=消去y并化简得

()2222381630kxkxk+++−=，判别式()()4226443163kkk=−+−2180360k=−+=，215,55kk==.所以()0000050,445yyxx−=+−−，所以)0045,xy

++，所以)004665,xMNy+=+.也即MN的最小值为65，所以三角形OMN面积的最小值为min11465412522MN==.故选：D【点睛】本小题主要考查椭圆的几何性质，考查直线方程，考查三角形面积最值的计算，

考查直线与椭圆的位置关系，考查化归与转化的数学思想方法，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题.二、填空题（每题5分，共计20分）13.过点()1,1P−且垂直于:210lxy−+=的直线方程为_______【答案】210x

y+−=【解析】【分析】根据题意，设直线方程为:20xym++=，再将点()1,1P−代入求解.【详解】解：设过点()1,1P−且垂直于l:21xy−+0=的直线方程为:20xym++=，把点()1,1P−代入可得:210m−+=，解得1m=

−.要求的直线方程为:210xy+−=，故答案为：210xy+−=14.若圆222440xyxy+−+−=与圆()()22242(0)xymm−+−=相外切，则m的值为________【答案】2【解析】【分析】利用圆与圆位置关系求解.

【详解】圆222440xyxy+−+−=的标准方程为：()()22129xy−++=，则其圆心为()1,2-，半径为13r=，因为圆222440xyxy+−+−=与圆()()22242(0)xymm−+−=

相外切，所以()()2241223m−++=+，解得2m=，所以m的值为2，故答案为：215.已知方程()2221mxmy−+=表示双曲线，则m的取值范围是_______________________．

【答案】()0,2【解析】【分析】利用方程表示双曲线的充要条件，列出不等式求解即可.【详解】解：因为方程()2221mxmy−+=表示双曲线，所以()20mm−，即02m，所以m的取值范围是()0,2，故答案为：()

0,2.16.已知()1,1P为椭圆22+=142xy内一定点，经过P引一条弦，使此弦被P点平分，则此弦所在的直线方程为________________．【答案】230xy+−=【解析】【分析】的设弦所在的直线与椭圆相

交于()11,Axy、()22,Bxy两点，利用点差法可求得直线AB的斜率，进而可求得直线的点斜式方程，化为一般式即可.【详解】设弦所在的直线与椭圆相交于()11,Axy、()22,Bxy两点，由于点P为弦的中点，则12121212xxyy

+=+=，得121222xxyy+=+=，由题意得22112222142142xyxy+=+=，两式相减得()()()()12121212042xxxxyyyy−+−++=，所以，直线AB的斜率为()()121212122

2214422xxyyxxyy+−=−=−=−−+，所以，弦所在的直线方程为()1112yx−=−−，即230xy+−=.故答案为：230xy+−=.【点睛】本题考查利用弦的中点求弦所在直线的方程，一般利用点差法，也可以利用韦达定理设而不求法来解答，考查计算能力，属

于中等题.三、解答题（70分）17.求与椭圆22194xy+=有公共焦点，且离心率为52的双曲线方程．【答案】2214xy−=【解析】【分析】根据题意设双曲线方程，可得关于a，b，c的方程组，进而求出a，b的数值即可求出双曲

线的方程.【详解】由椭圆方程22194xy+=可得长半轴13a=，短半轴12b=，则半焦距221115cab=−=，即焦点坐标为()()5,0,5,0−∵焦点在x轴上，设双曲线的方程为()222222210,0,0,xyabccabab−==+，由题意可得2225

52cabcca=+==，解得215abc===，故双曲线的方程为2214xy−=.18.已知直线l经过点()7,1且在两坐标轴上的截距之和为零，求直线l的方程.【答案】70xy−=或60

xy−−=.【解析】【分析】分直线经过原点和直线不过原点两种情况讨论求解.【详解】解：当直线经过原点时，直线在两坐标轴上截距都为零，满足条件，故直线的斜率为17，故所求直线方程为:70xy−=；当直线不过原点时，根据题意，设其方程为:1xyab+=

，将代入有:711aa−=，解得:6a=，即60xy−−=.故所求直线的方程为:70xy−=或60xy−−=.19.已知坐标平面上点(,)Mxy与两个定点(0,4),(0,1)AB的距离之比等于2.（1）求点M的轨迹方程，并说明轨

迹是什么图形;（2）记（1）中的轨迹为C，过点11,2M−的直线l被C所截得的线段的长为23，求直线l的方程.【答案】（1）点M点轨迹方程为224xy+=，其轨迹为以原点为圆心，2为半径的圆（2）=1x−或3450xy−+=【解析】【分析

】（1）根据题意直接列方程化简求解即可，（2）分直线l斜率不存在和直线l的斜率存在两种情况，结弦长，圆心距和半径的关系可求得结果.【小问1详解】由题可知2222(4)2(1)xyxy+−=+−，整理得:224xy+=，故点M点轨迹方程为224xy+=，其轨迹为以原点为圆心，2为

半径的圆.【小问2详解】由题可知:①当直线l斜率不存在时，此时直线l的方程为:=1x−，满足弦长为23.②当直线l的斜率存在时，不妨设为k，则直线方程为:1(1)2ykx−=+，即:102kxyk−++=，则圆心(0,0)到直线l的距离为22

12(1)kdk+=+−，因为直线l被C所截得的线段的长为23，所以()22232d+=，得22121(1)kdk+==+−，解得34k=，所以直线方程为3450xy−+=.综上，满足条件直线l的方程为=1x−或3450xy−+=.20.已知长轴长为22的椭圆()2222:10xyCabab+=

的一个焦点为()1,0−．（1）求椭圆C的方程；（2）若斜率为l的直线l交椭圆C于A，B两点，且423AB=，求直线l的方程．【答案】（1）2212xy+=（2）1yx=+或1yx=−【解析】【分析】（1）根据题意结合椭圆性质，运算可求出结果；（2）设出直线的方程，与椭圆的方程联立，结合弦

长公式即可求出结果.的【小问1详解】由题意，1c=，2a=，∴221bac=−=，∴椭圆C的方程为2212xy+=．【小问2详解】设直线l的方程为yxm=+，点()11,Axy，()22,Bxy联立方程组2212xyyxm+==+化简，得2234220xmxm++−=，()2221

612228240mmm=−−=−+，即33m−，且1243mxx+=−，212223mxx−=，∴221||1ABkxx=+−()2211224xxxx=+−282429m−+=423=解得1m=，符合题意，∴直线l的方程为1yx=+或1yx=

−.21.已知拋物线的顶点在原点，对称轴为x轴，且经过点(1,2)P.（1）求抛物线方程;（2）若直线l与抛物线交于,AB两点，且满足4OAOB=−，求证:直线l恒过定点，并求出定点坐标.【答案】（1）24yx=（2）定点()2,0，证明见解析【解析】【分析】（1）根据

抛物线过点，代入即可求出结果;（2）由题意直线方程可设为xmyn=+，将其与抛物线方程联立，根据韦达定理，化简求解，即可求出定点.【小问1详解】由题可知，拋物线的开口向右，设拋物线方程为22ypx=，因经过点(1,2)P，所以42p=，解

得2p=所以，抛物线的标准方程为:24yx=.【小问2详解】如图，设直线l的方程为:xmyn=+，联立方程24xmynyx=+=消y有：2440ymyn−−=由于交于,AB两点，设()()1122,,,AxyBxy

，则Δ0，即216160mn+，121244yymyyn+==−，，由()()1122OAxyOBxy==，，，.则2222121212444yyOAOBxxyyyynn=+=+=−=−.解得:2n=，验证满足条件.为所以直线l的方程为2xmy=+，

即证直线l恒过定点(2,0).22.已知圆222:(23)64Fxy−+=，N为圆上一动点，1(23,0)F−，若线段1NF的垂直平分线交2NF于点M.（1）求动点M的轨迹方程E;（2）如图，点(2,3),(2,3)PQ−在曲线E上，,AB是曲线E上位于直线PQ两侧的动点，当,AB运动时

，满足APQBPQ=，试问直线AB的斜率是否为定值，请说明理由.【答案】（1）221164xy+=；（2）为定值，理由见解析.【解析】【分析】（1）根据给定条件，可得12||||8MFMF+=，再结合椭圆的定义求出方程E作答.（2）设出直线AP的方程，与方程E联立

求出点A的横坐标，同理可得点B的横坐标，再利用斜率坐标公式计算作答.【小问1详解】依题意，1||||MFMN=，因此122212||||||||||843||MFMFMNMFNFFF+=+===，于是点M的轨迹为以12,FF为焦点，长轴长为8的椭圆，则长半轴长4a=，半焦距2

3c=，短半轴长222bac=−=，所以曲线E的轨亦方程为221164xy+=.【小问2详解】直线AB的斜率为定值．设()()1122,,,AxyBxy，由APQBPQ=，得直线,PAPB的斜率互为相反数，设直线PA的斜率为k，则直线PB的斜率为k−，直线PA的方

程为3(2)ykx−=−，由223(2)416ykxxy−=−+=消去y得222(148(32)4(32)160)kxkkxk++−+−−=，128(23)214kkxk−+=+，同理得2228(23)8(23)21414kkkkxkk−−−++==++，212

1222164163,1414kkxxxxkk−−+=−=++，依题意，0k，所以直线AB的斜率22121212122164(4(431466))1314ABkkyykxxkkkxxxxkk−−−+−+====−−−+，即直线AB的斜率为定值36.获得更多资

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