【文档说明】北京市北京工业大学附属中学2024-2025学年高二上学期10月阶段性检测数学试题 Word版含解析.docx，共(20)页，1.097 MB，由小赞的店铺上传

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高二数学阶段性检测试题（考试时间120分钟，总分150分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．1.直线10xy+−=倾斜角是（）A.π4B.π3C.3π4D.2π3【答案】C【解析】【分析

】由倾斜角与斜率关系，结合倾斜角的范围即可求解.【详解】由10xy+−=得1yx=−+，故倾斜角满足为tan1=−，)0,π，故3π4=.故选：C2.若方程x2＋ky2＝2表示焦点在y轴上的椭圆，那么实数k的取值范围是（）A.(0，＋∞)

B.(0，2)C.(1，＋∞)D.(0，1)【答案】D【解析】【分析】要利用条件椭圆焦点在y轴上，应将椭圆的方程化为标准方程，由椭圆的焦点在y轴上，可得22k，进而可解得实数k的取值范围．【详解】因

为方程222xky+=，即22122+=xyk表示焦点在y轴上的椭圆，所以22k，即01k，所以实数k的取值范围是(0,1)．故选：D．【点睛】本题考查椭圆的标准方程，要判断椭圆焦点的位置，应将椭圆的方程化为标准方程

．对于椭圆221xymn+=，①表示焦点在x轴上的椭圆0mn；②表示焦点在y轴上的椭圆0nm．；③表示椭圆0,0,mnmn．的3.过点()2,2，且与椭圆2212516yx+=有相同焦点的椭圆的标准方程为（）A.221189xy+=B.2

21189yx+=C.221123xy+=D.221123yx+=【答案】D【解析】【分析】设所求椭圆方程为22221yxab+=()0ab，依题意可得22229421abab−=+=，解得2a、2b，即可求出椭圆方

程.【详解】椭圆2212516yx+=的焦点为()0,3或()0,3−，设所求椭圆方程为22221yxab+=()0ab，则22229421abab−=+=，解得22123ab==，所以椭圆方程为22112

3yx+=.故选：D4.已知点()()1,3,2,1AB−−.若直线():21lykx=−+与线段AB相交,则k的取值范围是（）A.12kB.2k−C.12k或2k−D.122k−【答案】D【解析】【分析】求出直线

所过定点坐标,设定点是P,求出,PAPB斜率,由图形可得结论.【详解】由已知直线l恒过定点()2,1P,如图所示,若l与线段AB相交,则PAPBkkk,因为311112,12222PAPBkk−−−==

−==−−−,所以122k−.故选:D.5.已知圆的一条直径的端点分别是()1,0A−，()3,4B−，则该圆的方程为（）A.()()22128xy++−=B.()()22128xy−++=C.()()221232xy++−

=D.()()221232xy−++=【答案】B【解析】【分析】利用中点坐标公式求出圆心，由两点间距离公式求出半径，即可得到圆的方程．【详解】解：由题意可知，()1,0A−，()3,4B−的中点为()1,2−，又圆的半径为2211(13)(04)2222rAB==−−+

+=，故圆的方程为()()22128xy−++=．故选：B．6.若椭圆22194xy+=弦AB被点()1,1P平分，则AB所在直线的方程为（）A.49130xy+−=B.94130xy+−=C.230xy+−=D.340xy+−=【答案】A【

解析】【分析】利用点差法求解得49ABk=−，再根据点斜式求解即可得答案.的【详解】设()()1122,,,AxyBxy，则22112222194194xyxy+=+=所以22221212094xxyy−−+=，整理得()()1212121249xxyyxxyy+−=−−+，因为(

)1,1P为弦AB的中点，所以12122,2xxyy+=+=，所以()()121212124499ABxxyykxxyy+−==−=−−+，所以弦AB所在直线的方程为()4119yx−=−−，即49130xy+−=.故选：A.7.直线20xy++=分别与x轴，y轴交于,A

B两点，点P在圆()2222xy−+=上，则ABP面积取值范围是（）A.2,6B.4,8C.2,32D.22,32【答案】A【解析】【分析】先求出,AB两点坐标得到||AB，再计算圆心到直线距离，得到点P到直线AB距离的范围，由三角形的面积公式

计算即可.【详解】因为线20xy++=分别与x轴，y轴交于,AB两点，所以(2,0),(0,2)AB−−，所以22||(02)(20)22AB=++−−=，由()2222xy−+=，可得圆的圆心为(2,0)，半径为2，因为点P在圆()2222xy−+=上，所以

圆心到直线AB的距离为|202|222d++==，故P到直线AB的距离1d的范围为[2,32]，则111||2[2,6]2ABPSABdd==.故选：A.的8.直线33yx=与圆22(1)1xy−+=的位

置关系是()A.相交但直线不过圆心B.相切C.相离D.相交且直线过圆心【答案】A【解析】【分析】要判断圆与直线的位置关系，方法是利用点到直线的距离公式求出圆心到此直线的距离d，和圆的半径r比较即可得到此圆与直线的位置关系．【详解】由圆的方程得到圆心坐标为()10，，半径𝑟=1，直线为30

xy−=，∴()10，到直线30xy−=的距离11213dr==+，∴圆与直线的位置关系为相交，又圆心()10，不在直线33yx=上，故选：A．9.已知椭圆C的焦点为121,01,0FF−()，()，过F2的直线与C交于A，B两点.若222AFFB=││││

，1ABBF=││││，则C的方程为A.2212xy+=B.22132xy+=C.22143xy+=D.22154xy+=【答案】B【解析】【分析】由已知可设2FBn=，则212,3AFnBFABn===，得12AFn=，在1AFB△中求得11cos3FAB=，再在12AFF△中，由

余弦定理得32n=，从而可求解.【详解】法一：如图，由已知可设2FBn=，则212,3AFnBFABn===，由椭圆的定义有121224,22aBFBFnAFaAFn=+==−=．在1AFB△中，由余弦定理推论得22214991cos2233nn

nFABnn+−==．在12AFF△中，由余弦定理得2214422243nnnn+−=，解得32n=．2222423,3,312,anabac====−=−=所求椭圆方程为22132xy+=，故选B．法二：由已知可设2FBn=，则

212,3AFnBFABn===，由椭圆的定义有121224,22aBFBFnAFaAFn=+==−=．在12AFF△和12BFF△中，由余弦定理得2221222144222cos4,422cos9nnA

FFnnnBFFn+−=+−=，又2121,AFFBFF互补，2121coscos0AFFBFF+=，两式消去2121coscosAFFBFF,，得223611nn+=，解得32n=．2

222423,3,312,anabac====−=−=所求椭圆方程为22132xy+=，故选B．【点睛】本题考查椭圆标准方程及其简单性质，考查数形结合思想、转化与化归的能力，很好的落实了直观想象、逻辑推理等数学素养．10.吹奏乐器“埙”（如图1）在古代通常是用陶土烧制的，一

种“埙”的外轮廓的上部是半椭圆，下部是半圆，已知半椭圆22221yxab+=（0,0yab且为常数）和半圆()2220xyby+=组成的曲线C如图2所示，曲线C交x轴的负半轴于点A，交y轴的正半

轴于点G，点M是半圆上任意一点，当点M的坐标为21,22−时，AGM的面积最大，则半椭圆的方程是（）A.()2241032xyy+=B.()22161093xyy+=C.()22241033xyy+=D.()22421033xyy+=【答案】D【解析】【分析】由点

21,22M−在半圆上，可求b，再根据已知AGM的面积最大的条件可知，OMAG⊥，即1OMAGkk=−，代入可求a，进而可求椭圆方程【详解】由点21,22M−在半圆上，所以32bOM==，由椭圆可知图中(0,),(,0)GaAb

−，要使AGM的面积最大，可平行移动AG，当AG与半圆相切于21,22M−时，M到直线AG的距离最大，此时OMAG⊥，即1OMAGkk=−，又122,,222OMAGakkb−=−==261,222aa

bb−=−==，所以半椭圆的方程为()22421033xyy+=故选：D.11.油纸伞是中国传统工艺品，使用历史已有1000多年.以手工削制的竹条做伞架，以涂刷天然防水桐油的皮棉纸做伞面.油纸伞是世界上最

早的雨伞，纯手工制成，全部取材于天然，是中国古人智慧的结晶.在某市开展的油纸伞文化艺术节中，某油纸伞撑开后摆放在户外展览场地上，如图所示，该伞的伞沿是一个半径为1的圆，圆心到伞柄底端的距离为1，阳光照射油纸丛在地面上形成了一个椭圆形的影子，此时阳光照射方向与地面的夹角为75

°，若伞柄底端正好位于该椭圆的左焦点位置，则该椭圆的长轴长为（）A.3262−B.622−C.326−D.62−【答案】C【解析】【分析】以AB伞面直径，BC为其投影，画出平面示意图，易知1ADBDFD===且FDAB⊥，75ACF=，F为左焦点，BC为

椭圆长轴长，AFBFac==+，CFac=−，即可求长轴长.【详解】由题设，AB为伞面直径，BC为其投影，如下图示：由题意，1ADBDFD===且FDAB⊥，75ACF=，F为左焦点，BC为椭圆长轴长，为所以2AFBFac

==+=，tan75AFCFac=−=，而tan45tan30tan75231tan45tan30+==+−，所以222623ac−==−+，所以2326a=−.故选：C12.已知椭圆𝐶

:𝑥2𝑎2+𝑦2𝑏2=1(𝑎>𝑏>0)的左，右焦点分别为12,FF，过点1F垂直于x轴的直线交椭圆C于A，B两点，2π4,3ABAFB==，若点P是椭圆C上的动点，则下列说法错误的是（）A.12cosFPP的

最小值为13−B.12PFF的面积的最大值为32C.12PFPF的取值范围为3,6D.C上有且只有4个点P，使得12PFP是直角三角形【答案】A【解析】【分析】由题意得2ABF是等边三角形，从而可求得a，再根据通径可求得,bc，即可求得椭圆方程，由当点

P位于上下顶点时，12FPF最大，结合余弦定理即可判断A；设()000,,6Pxyy，再根据120122PFFScy=即可判断B；根据数量积坐标表示结合0y的范围，即可判断C；分别分析以12,,PFF三个点为直角顶点的直角三角形的个数，即可判断D.【详解】由题意得2ABF

△是等边三角形，所以2ABF△的周长为443a=，所以3a=，令xc=−，则2bya=，则224bABa==，所以22226,3bcab==−=，所以椭圆22:196xyC+=，的对于A，当点P位于上

下顶点时，12FPF最大，此时12cosFPF的最小为()222222121221229912122293aacPFPFFFPFPFa+−+−+−===，故A错误；对于B，设()000,,6P

xyy，则1200123322PFFScyy==，所以12PFF的面积的最大值为32，故B正确；对于C，设()000,,6Pxyy，则2200196xy+=，所以2200916yx=−，又()()123,0,3,0FF

−，则()()()2222120000001330362PFPFxxyxyy=−−−+−=+−=−，因为06y，所以200,6y，所以123,6PFPF，故C正确；对于D，由A选项可知

，12FPF最大时为锐角，所以以点P为直角顶点的12PFF不存在，以点12,FF为直角顶点的12PFF分别有2个，所以C上有且只有4个点P，使得12PFF是直角三角形，故D正确.故选：A.二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分．13.两条直线280xy+−=和210x

y−+=的交点为_______.【答案】()3,2【解析】【分析】联立两条直线方程即可得交点坐标．【详解】联立280210xyxy+−=−+=，解得32xy==,即直线2x+y﹣8＝0和x﹣2y+1＝0交于点（3，2），故答案为()3,2．【点睛】本题考查两条直线相交的问

题，属基础题.14.点()2,0P关于直线l：10xy++=的对称点Q的坐标为______.【答案】()1,3−−【解析】【分析】设Q的坐标，由题意可得直线l为线段PQ的中垂线，可得点Q的坐标．【详解】设(),Qab是点()2

,0P关于直线l：10xy++=的对称点，由题意可得2102212abba+++==−，解得1a=−，3b=−，可得()1,3Q−−.故答案为：()1,3−−.15.直线1:lyxa=+和2:lyxb=+将单位圆22:1Cxy+=分成长度相等的四段弧，则22ab+=__

________.【答案】2【解析】【详解】试题分析：依题意，设与单位圆相交于两点，则∠°.如图，当时满足题意，所以.考点：直线与圆相交，相等弧的概念，容易题.16.已知12,FF分别为椭圆()222:109xyCbb+=的左，右焦点，52,3P为C上一点，12PF

F内切圆的半径为____________．【答案】23【解析】【分析】将点代入得出方程，画出图形，直角三角形中用等面积法求出内切圆半径即可.【详解】将52,3P代入222:1(0)9xyCbb+=中，2254919

b+=，即25b=，2224cab=−=，则椭圆方程为22195xy+=，如图所示，易得1252(2,0),(32,0),,FFP−，则12||4FF=，25||3PF=，2212123|13|||||PFFFPF

=+=，因为1212211||||22PFFSFFPFrC==(C为三角形周长，r为内切圆半径).又51341033C=++=，代入得151410232r=，解得23r=.故答案为：23.17.把半椭圆：()222

210xyxab+=和圆弧：()()22210xyax−+=合成的曲线称为“曲圆”，其中点()10F,是半椭圆的右焦点，12,AA分别是“曲圆”与x轴的左、右交点，12,BB分别是“曲圆”与y轴的上、下交点，已知012120BFB=，过点F的直线与“曲圆”交于,PQ两点，则半椭圆方程为__

_______（0x），1APQ的周长的取值范围是_______________.【答案】①.22143xy+=②.(6,8【解析】【分析】由椭圆的焦点坐标以及12120BFB=，可得椭圆的标准方程和圆的方程，从而得到半椭圆方程；易知1

A是椭圆的左焦点，过椭圆的右焦点F的直线与曲圆可得P，Q，在直线转动的过程中由P，Q的位置可得三角形的周长的取值范围．【详解】解：由222(1)(0)xyax−+=，令0y=，可得1xa=−以及1(1,0)Aa−−，再由椭圆的方程及题意可得2(

,0)Aa，2(0,)Bb，1(0,)Bb−，由12120BFB=，可得3bc=，由(1,0)F可得3b=，所以2a=，所以半椭圆及圆弧的方程分别为221(0)43xyx+=，22(1)4(0)xyx−

+=，所以1212(1,0),(2,0),(0,3),(0,3)AABB−−，可得1A相当于椭圆的左焦点，1APQ△的周长为11PFPAAQQF+++，当P从2A（不包括2)A向2B运动时，24PAPFa+==，当Q在y轴右

侧时，124AQQFa+==，所以这时三角形的周长为8，当P从2B向1A运动时，Q在第四象限，则124AQQFa+==，112224PFPArABa++=+=，这时三角形的周长小于8，当P运动到1A时，Q在2A处，不构成三角形，三角形的周长接近1226AA=，由曲圆的对称性可得

P运动到x轴下方时，与前面的一样，综上所述，1APQ△的周长的取值范围为(6，8]．故答案为：22143xy+=；(6,8．三、解答题：本题共5小题，共65分．解答应写出文字说明，证明18.已知ABCV顶点()1,2A、()3,1B−

−、()3,3C−．（1）求边BC的垂直平分线1l的方程；（2）若直线2l过点A，且2l的纵截距是横截距的2倍，求直线2l的方程．【答案】（1）320xy−−=（2）2yx=或240xy+−=【解析】【分析】（1）根据()3,1B

−−、()3,3C−，即可得BC中点及斜率，进而可得其中垂线方程；（2）当直线2l过坐标原点时可得直线方程；当直线2l不过坐标原点时，根据直线的截距式可得解.【小问1详解】由()3,1B−−、()3,3C−，可知BC中点为()0,2−，且()()311333BCk−−−==−−−，所以其垂直平分线

斜率满足11BCkk=−，即13k=，所以边BC的垂直平分线1l的方程为()()230yx−−=−，即320xy−−=；【小问2详解】当直线2l过坐标原点时，2221k==，此时直线2:2lyx=，符合题意；当直线2l不过坐标原点时，由题意设直线方程为12xyaa+=，由2l过点()1,2A，则

1212aa+=，解得2a=，所以直线2l方程为124xy+=，即240xy+−=，综上所述，直线2l的方程为2yx=或240xy+−=.19.已知圆C：()()22124xy−+−=.（1）求过点()3,1M的圆C的切线方程；（2）若直线40axy−+=与圆C相交于A，B两点

，且弦AB的长为23，求a的值.【答案】（1）3x=或3450xy−−=（2）34−【解析】【分析】(1)根据给定条件设出切线方程，再借助圆的切线的性质列式计算即得.(2)由所给的弦长结合圆的性质求出弦心距

，再借助点到直线距离公式即可得解.【小问1详解】圆C：()()22124xy−+−=的圆心(1,2)C，半径2r=，设过点()3,1M的圆C的切线方程为：22(3)(1)0(0)axbyab−+−=+，于是得22|2|2

abab−+=+，整理得：243abb−=，则有：0b=或34ab=−，当0b=时，切线方程为：3x=，当34ab=−时，切线方程为：3450xy−−=，所以，所求切线方程为：3x=或3450xy−−=.【小问2详解】因直线

40axy−+=被圆C所截弦AB的长为23，则圆心C到直线AB的距离为221()12drAB=−=，于是得22|24|1(1)aa−+=+−，解得34a=−，所以a的值为34−.20.已知椭圆()2222:10xyCabab+=

长轴长为4，且椭圆C的离心率32，其左右焦点分别为12,FF．（1）求椭圆C的方程；（2）设斜率为33−且过2F的直线l与椭圆C交于,PQ两点，求1FPQ的面积．【答案】（1）2214xy+=（2）437【解析】【分析】（1）由椭圆的基本性质得到椭圆,,a

bc的值，写出椭圆方程.（2）写出直线方程，联立方程组，由韦达定理得到12435xx+=和120xx=，用交点弦长公式得到线段长，由点到直线距离得到三角形高，从而算出三角形面积.【小问1详解】由题意可知：24a=，则2a=，∵32cea==，∴3c=，∴221bac=−=，∴

椭圆22:14xCy+=【小问2详解】()13,0F−()23,0F，∴直线l：313yx=−+，联立方程组2214313xyyx+==−+得27430xx−=设()()1122,,,PxyQxy，则12

437xx+=，120xx=2221234381140377PQkxx=+−=+−−=点1F到直线PQ的距离()23310323233133d−−+−===+−∴11184332277FPQSPQd

===21.已知椭圆()2222:10xyCabab+=的左、右焦点分别为1F，2F，124FF=，且2ab=．（1）求C的方程．（2）若A，B为C上的两个动点，过2F且垂直x轴的直线平分2AFB，证明：直线AB过定点．【答案】（1）22184xy+=；（2）

证明见解析．【解析】【分析】(1)由条件124FF=，可得c的值，再由条件2ab=结合222abc=+，可得答案.（2）由条件先得出220FAFBkk+=，设()11,Axy，()22,Bxy，设直线AB的方程为ykxm=+，与椭圆方程联立得出韦达定理，代入结论220FAFBkk+=中可求解.【详

解】（1）解：因为1242FFc==，所以2c=，所以224ab−=，又20ab=，所以28a=，24b=，故C的方程为22184xy+=．（2）证明：由题意可知直线AB的斜率存在，()22,0F，设直线AB的方程为ykxm=+，设()11,Axy，()22,Bxy，由221

84xyykxm+==+，得()222124280kxkmxm+++−=，则()()2222221641228648320kmkmkm=−+−=−+，122412kmxxk+=−+，21222812mxxk−=+．设直线2FA，2FB的倾斜角分别为，，则

π=−，221212022FAFByykkxx+=+=−−，所以()()1221220yxyx−+−=，即()()()()1221220kxmxkxmx+−++−=，所以()()12122240kxxmkxxm+−+−=，所以()2222842240

1212mkmkkmmkk−+−−=++，化简可得4mk=−，所以直线AB的方程为()44ykxkkx=−=−，故直线AB过定点()4,0．【点睛】本题考查求椭圆的方程和直线过定点问题，解答本题的关键是根据条件得出220FAFBkk+=，设出直线AB的方程为yk

xm=+，与椭圆方程联立由韦达定理代入解决，属于中档题.22.已知椭圆2222:1(0)xyCabab+=的离心率为22，且椭圆C经过点6(1,)2．（Ⅰ）求椭圆C的方程;（Ⅱ）已知过点()4,0P的直线l与椭圆C交于不同的两点A，B，与直线1x=交于点Q，设APPB=，(,)AQQ

B=R，求证：+为定值．【答案】（Ⅰ）22142xy+=；（Ⅱ）证明见解析【解析】【分析】（Ⅰ）由离心率得22222caba−==，由椭圆过一点6(1,)2．得221614ab+=，两者结合可解得,ab

，得椭圆方程；（Ⅱ）设直线l方程为(4)ykx=−，设1122()AxyBxy,,(,)，直线方程代入椭圆方程后可得1212,xxxx+，由APPB=，AQQB=，把,用12,xx表示，然后计算+并代入1212,xxxx+即可得证．【详解】（Ⅰ）由题意2222221614aba

ab−=+=，解得22ab==，∴椭圆方程为22142xy+=；（Ⅱ）易知直线l斜率存在，设其方程为(4)ykx=−，设1122()AxyBxy,,(,)，由22142(4)xyykx+==−，消元y整

理得2222(12)163240kxkxk+−+−=，∴21221612kxxk+=+，212232412kxxk−=+，把1x=代入(4)ykx=−得3yk=−，即(1,3)Qk−，由APPB=，得124(4)xx−=−，1244xx−=−，由AQQB=，得121(1)

xx−=−，1211xx−=−，∴11121222224125()841(4)(1)xxxxxxxxxx−−−+++=+=−−−−22222264880812120(4)(1)kkkkxx−−+++==−−，∴+为定值．

【点睛】本题考查求椭圆标准方程，考查直线与椭圆相交问题．解题方法是设而不求的思想方法，即设直线方程为(4)ykx=−，设1122()AxyBxy,,(,)，直线方程代入椭圆方程应用韦达定理求得1212,xxxx+，把它代入题中需求的量化简可得结论．