【文档说明】【精准解析】福建省福州市第一中学2019-2020学年高一在线自测自评质检数学试题.doc，共(17)页，1.475 MB，由小赞的店铺上传

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3.21数学在线自测自评质检一、单项选择题（共8题，每题3分）1.设12log3a，132b，0.113c，则有（）A.abcB.cbaC.cabD.acb【答案】D【解析】【分析】根据指数函数、对数函数的性质解答即可；【详解】解：212log3log30

a，103221b，0.10111033，即0,1c所以acb故选：D【点睛】本题考查指数函数、对数函数的单调性的应用，属于基础题.2.定义在R上的

偶函数fx在0,5上是增函数，且53f，则fx在5,0上是（）A.增函数，且最大值是3B.减函数，且最大值是3C.增函数，且最小值是3D.减函数，且最小值是3【答案】B【解析】【分析】根据偶函数()fx的图象关于y轴对称，结

合已知，分析()fx在5,0上单调性和最值，可得答案．【详解】解：偶函数()fx的图象关于y轴对称，故偶函数()fx在对称区间上单调性相反，若函数()fx在0,5上是增函数且53f，即最大值是3，则()fx在5,0上是减函数且53f，即

最大值是3，故选：B．【点睛】本题考查的知识点是函数奇偶性的性质，熟练掌握偶函数()fx的图象关于y轴对称，在对称区间上单调性相反，是解答的关键．3.已知向量a=(－2,1)，b=(－3，0)，则a在b方向上的投影为()A.－

2B.2C.－5D.【答案】B【解析】【详解】a在b方向上的投影为623||abbrrr4.若xA，则1Ax，就称A是伙伴关系集合，集合11,0,,2,52M的所有非空子集中具有伙伴关系的集合的个数是（）A.1B.3C.

7D.31【答案】B【解析】【分析】由定义求出集合A中的元素可为1，2与12必然同时出现，然后利用n集合的非空子集个数为21n．【详解】解：1A，1112A则12A12A则2A1A或12,2A或1

1,2,2A，故选：B．【点睛】本题考查集合与元素的关系，注意运用列举法，属于基础题．5.在直角坐标系中，函数322ayxa（a为大于0的常数）所表示的曲线叫箕舌线.则箕舌线可能是下列图形中的（）A.B.C.D.

【答案】A【解析】【分析】首先判断函数的奇偶性，再判断函数的单调性，最后根据特殊值即可判断；【详解】解：因为322ayfxxa定义域为R，332222aafxfxxaxa，故函数322ayfxxa为偶函数，图象关于

y轴对称，故排除D；又函数2yx=在0,上单调递增，函数0kykx在0,上单调递减，根据复合函数的单调性可得函数322afxxa在0,上单调递减，故排除B；当0x时，322000

afaa，故排除C；故选：A【点睛】本题考查函数图象的识别，函数的单调性与奇偶性的应用，属于中档题.6.已知函数sin()0,02yx„，且此函数的图象如图所示，由

点(,)P的坐标是（）A.2,2B.2,4C.4,2D.4,4【答案】B【解析】【分析】先由函数图象与x轴的相邻两个交点确定该函数的最小正周期，并利用周期公式求出的值，再将点3,08代入函数解析式，并结合函数在该点附

近的单调性求出的值，即可得出答案．【详解】解：由图象可得函数的周期73288T∴2，得2，将3,08代入sin(2)yx可得3sin04，∴324

k（注意此点位于函数减区间上）∴2,4kkZ由02„可得4，∴点(,)的坐标是(2,)4，故选B．【点睛】本题考查利用图象求三角函数sin0yAxbA的解析式，其步骤如下：①求A、b：maxmin2y

yA，maxmin2yyb；②求：利用一些关键点求出最小正周期T，再由公式2T求出；③求：代入关键点求出初相，如果代对称中心点要注意附近的单调性．7.甲船在岛B的正南方A处，10AB千米，甲船以每小时4千米的速度向正北航行，同时乙船自B出发以

每小时6千米的速度向北偏东60的方向驶去，当甲，乙两船相距最近时，它们所航行的时间是（）A.1507分钟B.157分钟C.21.5分钟D.2.15分钟【答案】A【解析】分析：设经过x小时距离最小，然后分别表示出甲乙距离B岛的距离，再由余弦定理表示出两船的距离，最后根据二次函数求最

值的方法可得到答案．详解：假设经过x小时两船相距最近，甲乙分别行至C，D如图示可知BC=10﹣4x，BD=6X，∠CBD=120°CD2=BC2+BD2﹣2BC×BD×cosCBD=（10﹣4x）2+36x2+2×（

10﹣4x）×6x×12=28x2﹣20x+100当x=514小时即1507分钟时距离最小故选A．点睛：解决测量角度问题的注意事项(1)明确方位角的含义；(2)分析题意，分清已知与所求，再根据题意正确

画出示意图，这是最关键、最重要的一步；(3)将实际问题转化为可用数学方法解决的问题后，注意正、余弦定理的“联袂”使用．8.函数2sincos33fxxx的最小正周期为（）A.15B.12C.6D.3【答案】C【

解析】【分析】直接利用函数的周期性质的应用求出结果．【详解】解：函数2()sincos33xfxx的最小正周期相当于函数2sin3yx的最小正周期2323与函数cos3yx的最小正周期23的最小公倍数．故答案为6．

故选：C．【点睛】本题考查的知识要点：三角函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．二、多项选择题（共2题，每题3分，错选不得分，漏选得1分）9.将函数5sin2yx的图象向右平移6个单位后，其图象的对称轴方程有（）A.12xB.6xC.5

12xD.712x【答案】AC【解析】【分析】由条件根据sin()yAx的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，可得结论．【详解】解：()5sin2yfxx，若将它的图象向右平移6个单位，得到函数()5si

n25sin263gxxx的图象，令232xk，kZ，解得212kx，kZ，当0k时，512x；当1k时，12x；故选：AC．【点睛

】本题主要考查sin()yAx的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，属于基础题．10.定义：若存在常数k，使得对定义域D内的任意两个不同的实数1x，2x，均有1212fxfxkxx成立，则称函数fx在定义域D上满足利普希茨条件.已知函数1fxxx满

足利普希茨条件，则以下哪些是常数k的可能取值（）A.2B.1C.12D.13【答案】ABC【解析】【分析】根据函数满足利普希茨条件，分离参数，并化简，即可求得常数k的最小值．【详解】解：由题意，不妨设12xx，则1212121xxkxxxx…

．因为1x，所以122xx，所以121102xx所以12k，所以满足条件的有ABC．故选：ABC．【点睛】本题是一个新定义的题，考查对新定义的理解能力及根据新定义的规则解答问题的能力，属于中档题.三、填空题（共4题，每题4分，有2个小空的每小空2分）11.

如图，ABCD中，E，F分别是BC，DC的中点，G为交点，若ABa，ADb，则CG________a________b.【答案】(1).13(2).13【解析】【分析】根据向量的加法运算及图形很容易表示出,DEBF，对于CG用两种方式表示：一种是，CGC

DDG，DG和DE共线，所以存在x使12DGxDExab，这样便可表示(1)2xCGxab；另一种是CGCBBG，用同样的办法表示(1)2yCGayb，这样便可求得x，y，从而表示出CG．【详解】解：根据图形得：12DEDCCEab

；12BFBCCFba，CGCDDG，DG和DE共线，存在实数x使12DGxDExab；1(1)22xaxabxab；又CGCBBG，同样(

1)2yCGayb；1212xyyx，解得23x，23y．1133CGab．故答案为：13；13；【点睛】考查向量的加法运算，共线向量基本定理，共面向量基本定理，属于中档题．12.已知fx是奇函数，当0x时，2fxxx，则0x

时，fx________【答案】2fxxx【解析】【分析】当0x时，0x，由0x时，()(2)fxxx，及奇函数的定义()()fxfx，代入可得答案．【详解】解：当0x时，0x，奇函数的定义()()fxfx，又当0x时，()

(2)fxxx，()()(2)fxfxxx，综上所述0x时，()(2)fxxx．故答案为：2fxxx【点睛】本题是利用函数的奇偶性求函数在对称区间上的解析式，熟练掌握函数的奇偶性的定义是解答

的关键．13.在ABC中，60A，45B，12ab，则a________；b________【答案】(1).36126(2).12624【解析】【分析】由正弦定理可得62ab，设6ax，2bx，因为1

2ab，即可得到方程，解得即可；【详解】解：由正弦定理得：sinsinabAB，即sin60sin45ab所以62ab设6ax，2bx，因为12ab，所以6212xx，解得6612x所以36126a，12624b

故答案为：36126；12624【点睛】本题考查正弦定理解三角形，属于基础题；14.已知A，B是函数633xfx图像上纵坐标相等的两点，线段AB的中点C在函数3xgx的图像上，则点C的横坐标的值为________【答案】12【解析】【分析

】633xfx，设A，B的坐标分别为1(x，163)3x，2(x，263)3x．可得12663333xx，线段AB的中点12(2xxC，1233)2xx，根据线段AB的中点C在函数()3xgx的图象上，可得12122

3332xxxx，即可解出．【详解】解：633xfx，设A，B的坐标分别为1(x，163)3x，2(x，263)3x．则12663333xx，线段AB的中点12(2xxC，1233)2xx，线段AB的中点C在函数()3xgx的图

象上，121223332xxxx，1226333xx，代入121223332xxxx，化为：2222262633333xxx，化为：236333x，136333x，12133xx，

解得121xx．则点C的横坐标的值为12．故答案为：12．【点睛】本题考查了函数的图象与性质、方程的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．四、解答题（共5题，15、16、17每题10分，18、19每题12分）15.已知向量1,1m，向量n与向量m的

夹角为34，且mn1；（1）求向量n；（2）设向量1,0a，向量cos,sinbxx，其中xR，若0na，试求nb的取值范围．【答案】（1）(-1,0)n或(0,-1)n;（2）0,2nb【解析】【详解】试题分析：（1）先设出，

由已知的运用向量的坐标运算得，再运用向量的数量积公式列出关于的方程；（2）在（1）的基础上表示出，进而表示出，其为关于的表达式，利用的范围求出的取值范围.（1）设由题意可知221{22()12xyxy，联立解得10{{01xxyy或所以或

（6分）由，，由（1）得（7分）所以(cos,sin1)xx（9分）所以2cossin122sin21sinxxxx又sin1,1x，所以0,2nb.故答案为：0,2nb考点1、向

量的数量积；2、向量在三角函数中的应用.16.ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知coscos()cosbAcBcaB.（1）求B的大小；（2）若D在BC边上，22BDDC，ABC的面积为33，求sinCAD.【答案】（1）3B（

2）1313【解析】【分析】（1）利用正弦定理化简已知条件，然后利用两角和的正弦公式、诱导公式进行恒等变换，由此求得cosB的值，进而求得B的大小.（2）利用三角形ABC的面积求得c，由余弦定理求得AD，利用勾股

定理证得ADBD，由此求得AC进而求得sinCAD的值.【详解】（1）因为coscos()cosbAcBcaB，所以sincossincos(sinsin)cosBACBCAB，所以sincossincos2sincosBAA

BCB，即sin()2sincosABCB，因为在ABC中，ABC，(0,)C，所以sin2sincosCCB，且sin0C，所以1cos2B，因为(0,)B，所以3B.（2）因为22BDDC，所以1BD，1C

D，3BC，因为ABC的面积为33，所以13sin3323c，解得4c，由余弦定理得222212cos422422332ADABBDABBD，所以2222222316ADBDAB

，即ADBD，所以2213ACADBD，所以13sin13CDCADAC.【点睛】本题主要考查正弦定理、余弦定理解三角形，考查三角形的面积公式，考查运算求解能力，考查数形结合、函数与方程、化归与

转化等数学思想.17.已知幂函数yfx的图像经过点2,2，（1）求函数fx的解析式；（2）定义：若函数自变量的取值区间为,ab，其值域区间为2,2ab，则称区间A为该函数的倍值区间.①试求函数fx的形如0,ccR的倍值区间；②设函数3gxfxx

，试求函数gx的所有倍值区间.【答案】（1）2fxx（2）①0,2②()0,1，()0,5【解析】【分析】（1）设fxx，代入计算可得；（2）①由（1）得22cc，解得0c=或2，即可得解；②显然，因为函数值非负，所以区间左端点非负，若所求区间为0,c

cR型区间，则232ccc，解得1c或5，再检验即可，若所求区间不是0,c型区间，则得方程组223232aabbba，解得即可；【详解】解：（1）设fxx，则222f，解得2，所以2fxx；（2）①由（1）得22cc，解得0c=或2，(舍

去零），所以所求区间为0,2②因为233gxfxxxx显然，因为函数值非负，所以区间左端点非负.若所求区间为0,ccR型区间，则232ccc，解得1c或5经检验，0,1，0,5均符合条件.若2c为抛物线顶点纵坐标，则98c，但9382，不合题

意若所求区间不是0,c型区间，显然区间右端点不能超过3，且左端点应大于32在该单调减区间内，则223232aabbba该方程组无解.故所求区间为0,1，0,5【点睛】本题考查待定系数法求函数解析式，函数新定义，属于中档题.18.求证三角恒等式：532s

intantan22cos4cosxxxxx【答案】证明见解析【解析】【分析】证明的思路是两边同时化简，方法是利用两角和差的余弦公式和同角三角函数的基本关系化简，得到两式子相等即可．【详解】证明：右边sin5353coscos2222xx

xxx2sinsin53532coscoscoscos2222xxxxxx左边535353sinsinsincoscossinsin222222535353coscoscoscosco

scos222222xxxxxxxxxxxxx右边【点睛】考查学生理解三角函数恒等式的证明思路，运用和差角的三角函数及同角三角函数的基本关系的能力，属于中档题．19.定义在D上的函数()fx，如果满足：对任意xD，存在常数0M，都有()fxM成立，则称()fx是D上的有界函数

，其中M称为函数()fx的一个上界．已知函数11()1()()24xxfxa，121()log1axgxx．（1）若函数()gx为奇函数，求实数a的值；（2）在（1）的条件下，求函数()gx在区间9[,3]7上的所有上界构成的集合；（3）若函数()fx在[0,)上是以5为上界的有

界函数，求实数a的取值范围．【答案】（1）1a；（2）[3,)；（3）[7,3]．【解析】【详解】试题分析：（1）利用奇函数的定义，建立方程，即可求解实数a的值．（2）求出函数121()log1axgxx在区间9[,3]7上的值域为[3,1]，

结合新定义，即可求得结论；（3）由题意得函数()fx在[0,)上是以5为上界的有界函数，即()5fx在区间[0,)上恒成立，可得1116()()4()424xxxa上恒成立，求出左边的最大值右边的最小值，即可求实数a的

范围．试题解析：（1）因为函数()gx为奇函数，所以()()gxgx，即112211loglog11axaxxx，即1111axxxax，得1a，而当1a时不合题意，故1a．（2）由（1）得：121()log1xgxx，而112212()log

log(1)11xgxxx，易知()gx在区间(1,)上单调递增，所以函数121()log1xgxx在区间9[,3]7上单调递增，所以函数121()log1xgxx在区间9[,3]7上的值域为[3,1]，所以()3gx，故函数

()gx在区间9[,3]7上的所有上界构成集合为[3,)．（3）由题意知，()5fx在[0,)上恒成立，5()5fx，1116()()4()424xxxa．∴1162()42()22xxxxa

在[0,)上恒成立．∴maxmin11[62()][42()]22xxxxa设2xt，1()6httt，1()4Pttt，由[0,)x，得1t．易知()Pt在[1,)上递增，设121tt，21121212()(

61)()()0tttththttt，所以()ht在[1,)上递减，()ht在[1,)上的最大值为(1)7h，()pt在[1,)上的最小值为(1)3p，所以实数a的取值范围为[7,3]．考点：函数

的最值及其几何意义；函数的奇偶性的性质；函数的恒成立问题的求解．【方法点晴】本题主要考查了与函数的性质相关的新定义问题，同时考查了函数的奇偶性及其应用、函数的最值及意义、函数的恒成立问题的的求解的综合应用，着重考查了换元法和转化的思

想方法，涉及知识面广，难度较大．