【文档说明】重庆市永川北山中学校2022-2023学年高二上学期12月月考数学试题 含解析.docx，共(20)页，1.354 MB，由小赞的店铺上传

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重庆市永川北山中学校高2024级高二上期12月月考数学试题卷命题人：姚元琼审题人：袁顺凡考试时间：120分钟【注意事项】1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2．作答时，务必将答案写在答题卡上．写在本试卷及草稿纸上无效．3．考试结束后

，将答题卡交回．一、单项选择题（本大题8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1.已知数列{an}的前4项为：1357,,,24816−−，则数列{an}的通项公式是（）A.212nnna−=B.()()1212nnnna−−=C.212nnna+=D.

()()1212nnnna−+=【答案】B【解析】【分析】根据题意，观察数列{an}的前4项，分析其变化的规律，综合即可得答案．【详解】根据题意，观察数列{an}的前4项，可知分母为2n，分子是奇数，为2n﹣1，同时各项符号是正负相间，所以(1)(21)2−−=nnn

na．故选：B．【点睛】本题考查数列的表示方法，涉及归纳推理的应用，属于基础题．2.已知点F是抛物线22(0)xpyp=的焦点，点0(,1)Mx在抛物线上，若32FM=，则该抛物线的方程为（）A.22xy=B.232xy=C.

2xy=D.212xy=【答案】A【解析】【分析】根据抛物线的定义直接求出p即可.【详解】由抛物线的定义知，31()22pFM=−−=，解得1p=，所以抛物线方程为22xy=，故选：A3.在数列na中，

12a=，且111nnaa+=−，*nN，则2022a=（）A.2B.-1C.12D.1【答案】C【解析】【分析】根据给定条件推导出数列na的周期，再借助周期性计算得解.【详解】解：在数列na中，Nn，111nna

a+=−，则2111111111nnnnaaaa++===−−−−，3211111(1)nnnnaaaa++===−−−，于是得数列na是周期数列，周期为3，又12a=，所以21111112aa===−−−，()321111112aa===−−−，所以20226733331

2aaa+===，所以202212a=故选：C.4.设直线1:370lxy+−=与直线2:10lxy−+=的交点为P，则P到直线:21lxy−=的距离为（）．A.5B.15C.255D.55【答案】D【解析】.【分析】先联立

直线方程求出点P坐标，再利用点到直线的距离公式计算即可.【详解】联立两直线方程3701102xyxxyy+−==−+==，即()1,2P，由点到直线的距离公式可得P到直线:21lxy−=的距离为()221221552

1d−−==+−.故选：D5.过点()1,2P可以向圆222420xyxyk++−+−=引两条切线，则k的范围是（）A.7k<B.07kC.37kD.5k【答案】C【解析】【分析】根据方程表示圆，以及点()1,2P在圆222420xyxyk++−+−=外

，列不等式即可求解.【详解】因为222420xyxyk++−+−=表示圆，所以()()2224420k+−−−，解得：7k<，若过点()1,2P可以向圆222420xyxyk++−+−=引两条切线，则点()1,2P在圆222420xyxyk++−+−=外，所

以2212214220k++−+−，解得3k，所以k的范围是37k，故选：C.6.已知空间向量,,abc满足0abc++=，2a=，3b=，4c=，则cos,ab=（）A.12B.13C.12−D.14【答案】D【解析】【分析】根据0abc++=得到ca

b=−−，两边平方，利用向量数量积公式求出1cos,4ab=.【详解】因为0abc++=，所以cab=−−，则()22222cabaabb=−−=++，即42cos,916abab++=，从而12cos,3ab=，解得：1cos,4ab=.故选：D7.如图，在

边长为2的正方体1111ABCDABCD−中，E为BC的中点，点P在底面ABCD上移动，且满足11BPDE⊥，则线段1BP的长度的最大值为（）A.455B.2C.22D.3【答案】D【解析】分析】以点D为坐标原点，DA、DC、1DD所在直线分别为x、y、

z轴建立空间直角坐标系，设点(),,0Pxy，根据110BPDE=得出x、y满足的关系式，并求出y的取值范围，利用二次函数的基本性质求得1BP的最大值.【详解】如下图所示，以点D为坐标原点，DA、DC、1DD所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系Dxyz−，则点()12,2,2B、(

)10,0,2D、()1,2,0E，设点()(),,002,02Pxyxy，【()11,2,2DE=−，()12,2,2BPxy=−−−，11DEBP⊥，()112224220BPDExyxy=−+−+=+−=，得22xy=−，由

0202xy，得022202yy−，得01y，()()2221224548BPxyyy=−+−+=−+，01y，当1y=时，1BP取得最大值3.故选：D.【点睛】本题考查立体几何中线段长度最值的计算，

涉及利用空间向量法处理向量垂直问题，考查计算能力，属于中等题.8.人造地球卫星绕地球运行遵循开普勒行星运动定律:如图，卫星在以地球的中心为焦点的椭圆轨道上绕地球运行时，其运行速度是变化的，速度的变化服从面积守恒规律，即卫星的向径(卫星与地心的连线)在

相同的时间内扫过的面积相等设该椭圆的长轴长、焦距分别为2a，2c.某同学根据所学知识，得到下列结论:①卫星向径的取值范围是,acac−+②卫星向径的最小值与最大值的比值越大，椭圆轨道越扁③卫星在左半椭圆弧的运

行时间大于其在右半椭圆弧的运行时间④卫星运行速度在近地点时最小，在远地点时最大其中正确的结论是（）A.①②B.①③C.②④D.①③④【答案】B【解析】【分析】①根据椭圆的简单几何性质可知卫星向径的最小值和最大值分别为什么；②

根据向径的最小值与最大值的比值，结合椭圆的性质即可得出结论；③根据在相同的时间内扫过的面积相等，即可判断④根据题意结合椭圆的图形知卫星运行速度在近地点时最大，在远地点时最小．【详解】解：如图所示，对于①，卫星向径的最小值为11||AFac=−，

最大值为21||AFac=+，①正确；对于②，卫星向径的最小值与最大值的比值为22111accaacacc−=−=−+++，ac越小，21ae+就越大，211ac−+就越小，椭圆轨道越扁，②错误；对于③，根据在相同的时间内扫过的面积相等，卫星在左半椭圆弧的运行时间大

于其在右半椭圆弧的运行时间，③正确；对于④，卫星运行速度在近地点时最大，在远地点时最小，④错误；综上，正确结论的序号是①③，共2个．故选B．【点睛】本题考查椭圆的相关性质，以及物理学中开普勒定律的理解，属于基础题．二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分

，共20分．在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对得5分，部分选对得2分，选错或不选得0分．）9.下面四个数列中，既是无穷数列又是递增数列的是（）．A.1，12，13，14，…，1n，…B.1−，12−，

14−，18−，…，112n−−，…C.sinπ7，2πsin7，3πsin7，…，πsin7n，…D.1，2，3，…，n，…【答案】BD【解析】【分析】按已知条件逐一分析各个选项即可得解.【详解】对于A，1，12，13，14，…，1n，…为递减数列，故A错误；对于

B，1−，12−，14−，18−，…，112n−−，…为递增数列，且是无穷数列，故B正确；对于C，sinπ7，2πsin7，3πsin7，…，πsin7n，…中6π8πsinsin77，故不是递增数列，故C错误；对于D，1，2，3，…，n，…既是无

穷数列又是递增数列的，故D正确.故选：BD.10.已知点P是△ABC所在的平面外一点，若AB＝(﹣2，1，4)，AP＝(1，﹣2，1)，AC＝(4，2，0)，则（）A.AP⊥ABB.AP⊥BPC.BC＝53D.AP/

/BC【答案】AC【解析】【分析】根据向量的定义，平行，垂直和模长的定义可以对每个选项逐个判断，进而得出答案。【详解】因为0APAB=，故A正确；(3,3,3)BP=−−，36360APBP=+−=，故B不正确；(6,1,4)BC=−，22261(4)53BC=++−=，故C正

确；(1,2,1)AP=−，(6,1,4)BC=−，各个对应分量比例不同，故D不正确。故选:AC。【点睛】本题考查了向量平行和垂直的性质等，属于基础题。11.（多选）已知抛物线22ypx=()0p的焦点F到准线的距离为

4，直线l过点F且与抛物线交于的()11,Axy，()22,Bxy两点，若(),2Mm是线段AB的中点，则（）A.4p=B.抛物线的方程为216yx=C.直线l的方程为24yx=−D.=10AB【答案】ACD

【解析】【分析】由焦点到准线的距离可求得4p=，则可判断A正确，B错误；利用斜率坐标计算公式几何中点坐标计算公式可求得直线l的斜率，从而求得l的方程，可判断C正确；()1212284yyxx+=+−=，所以126xx+

=从而12410ABAFBFxx=+=++=判断D正确.【详解】因为焦点F到准线的距离为4，根据抛物线的定义可知4p=，故A正确故抛物线方程为28yx=，焦点()2,0F，故B错误则2118yx=，2228yx=．又(),2Mm是AB的中点，则124yy+=，所以2212128

8yyxx−=−，即12121282yyxxyy−==−+，所以直线l的方程为24yx=−．故C正确由()1212284yyxx+=+−=126xx+=，得12410ABAFBFxx=+=++=．故D正确故选：ACD．12.泰戈尔说过一句话：世界上

最远的距离，不是树枝无法相依，而是相互了望的星星，却没有交汇的轨迹；世界上最远的距离，不是星星之间的轨迹，而是纵然轨迹交汇，却在转瞬间无处寻觅.已知点()1,0F，直线:4lx=，动点P到点F的距离是点P到直线l的距离的一半.若某直线上存在这样的点P，则称该直线为“最远距离直线”，则

下列结论中正确的是（）A.点P的轨迹方程是22143xy+=B.直线1l：240xy+−=是“最远距离直线”C.平面上有一点()1,1A−，则2PAPF+的最小值为5.的D.点P的轨迹与圆C：2220xyx+−=是没有交汇的轨迹（也

就是没有交点）【答案】ABC【解析】【分析】对A，设(),Pxy，根据定义建立关系可求出；对B，联立直线与椭圆方程，判断方程组是否有解即可；对C，根据定义转化为求PAPB+即可；对D，易判断()20,为交点.【详解

】设(),Pxy，因为点P到点F的距离是点P到直线l的距离的一半，所以()22214xyx−+=−，化简得22143xy+=，故A正确；联立方程22240143xyxy+−=+=可得()210x−=，解得1x=，故

存在31,2P，所以直线1l：240xy+−=是“最远距离直线”，故B正确；过P作PB垂直直线:4lx=，垂足为B，则由题可得2PBPF=，则2PAPFPAPB+=+，则由图可知，PAPB+的最小值即为点A到直线:4l

x=的距离5，故C正确；由2220xyx+−=可得()2211xy−+=，即圆心为()1,0，半径为1，易得点P的轨迹与圆C交于点()20,，故D错误.故选：ABC.三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.已知双曲线()222

210,0xyabab−=的离心率为62，则其渐近线方程为__________．【答案】22yx=【解析】【分析】利用渐近线方程和离心率定义构造齐次式计算即可.【详解】设双曲线焦距为2c，则由题意得其渐近线方程为byxa=，因为2222632222ca

bbeeaaa+=====，所以渐近线方程为：22yx=.故答案为：22yx=.14.已知数列{an}满足21na+＝2na＋4，且a1＝1，an>0，则an＝________.【答案】43n−【解析】【

分析】首先判断数列2na是等差数列，利用等差数列的通项公式，即可求得na.【详解】由已知21na+－2na＝4，∴{2na}是等差数列，且首项21a＝1，公差d＝4，∴2na＝1＋(n－1)×4＝4n－3.又an>0，∴an＝43n−.故答案为：43n−.

15.空间ABCD、、、四点共面，但任意三点不共线，若P为该平面外一点且5133=−−PAPBxPCPD，则实数x的值为____________【答案】13【解析】【分析】先设ABmACnAD=+，然后把向量A

B，AC，AD分别用向量PA，PB，PC，PD表示，再把向量PA用向量PB，PC，PD表示出，对照已知的系数相等即可求解．【详解】解：因为空间A，B，C，D四点共面，但任意三点不共线，则可设ABmACnAD=+，又点P在平面外，则()()PBPAmPCPAnPDPA−=−

+−，即(-1)mnPAPBmPCnPD++=−++，则1111mnPAPBPCPDmnmnmn−=+++−+−+−，又5133=−−PAPBxPCPD，所以15131113mnmxmnnmn−=+−=−+−=−+−，解得15mn==，13x

=.故答案为：13．16.已知点()()2,0,2,0AB−，若圆()223()4axy−+−=上存在点,P使得90APB=，则实数a的取值范围是____．【答案】7,7−【解析】【分析】先把圆()223()4axy−+−=上存在点,P使得90APB=，转化为圆2

24xy+=与圆()223()4axy−+−=相交，利用RrdRr−+，解不等式即可.【详解】因为直径所对的圆周角为90°，而90APB=，所以以AB为直径的圆224xy+=与圆()223()4axy−+−=存在公共点，故两圆相交或相切，所以22034

a+解得77a−.故答案为：7,7−【点睛】圆C1和圆C2的半径分别为R和r，圆心距为d，圆与圆的位置关系由5种：（1）相离dRr+；（2）相外切=dRr+；（3）相交||RrdRr−+；（4）相内切||dRr=−；（5）相内含||dRr

−；四、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）17.已知双曲线()2222:10,0xyCabab−=的两个焦点分别为()13,0F−，()23,0F，且过点()3,2P.（1）求双曲线C的

虚轴长；（2）求与双曲线C有相同渐近线，且过点()3,6Q−的双曲线的标准方程.【答案】（1）22（2）221189yx−=【解析】【分析】（1）由双曲线的定义可知，12||||2PFPFa−=，又222+=abc，求得2b=即可．（2）设

与双曲线C有相同渐近线的双曲线的方程为22(0)2yx−=，将点()3,6Q−的坐标代入上述方程得即可．【小问1详解】由题意，易知22PF=，1223FF=，且212PFFF⊥.在21RtPFF△中，2212124PFPFFF=+=由双曲线的定义可知，122PFPFa−=，22a

=，即1a=.∵双曲线C的两个焦点分别为()13,0F−，()23,0F，∴3c=.又∵222+=abc，∴2b=故双曲线C的虚轴长为22【小问2详解】由（1）知双曲线C的方程为2212yx−=.设与双曲

线C有相同渐近线的双曲线的方程为()2202yx−=将点()3,6Q−的坐标代入上述方程，得9=−故所求双曲线的标准方程为221189yx−=18.在等差数列{an}中,已知a1+a3＝12,a2+a4＝18,n∈N*.（1）求数列{an}的通项公式；（2）求

a3+a6+a9+…+a3n.【答案】（1）an＝3n,n∈N*（2）()292nn+【解析】【分析】（1）依题意a1+a3＝12,a2+a4＝18,两式相减得d＝3,将d＝3代入一式可得a1,则通项公式可求.（2）因为数列{a

n}是等差数列,所以数列{a3n}也是等差数列,且首项a3＝9,公差d'＝9,则其前n项和可求.【详解】解：(1)因为{an}是等差数列,a1+a3＝12,a2+a4＝18,所以1122122418.adad+=+=，1122122418.adad+=+=，解得d＝

3,a1＝3.则an＝3+（n﹣1）×3＝3n,n∈N*.(2)a3,a6,a9,…,a3n构成首项为a3＝9,公差为9的等差数列.则()()236931991922naaaannnnn++++=+−=+.【点睛】本题考查了等差数列的通项公式,等差数列的前n

项和公式,等差数列的定义等,考查分析解决问题的能力和计算能力,属于基础题.19.四棱锥PABCD−中，底面ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，2PDDA==，E，F分别为PC，AD的中点.（1）求证：//DE平

面PFB；（2）求点E到平面PFB的距离.【答案】（1）证明见详解（2）63【解析】【分析】（1）取PB中点G，连接EG，FG，则由中位线性质可得四边形DEGF是平行四边形，即DE//FG，从而DE//平面PFB；（2）由DE//平面PFB，故点D、E到平面PF

B的距离相等，点D到平面PFB的距离可以看成三棱锥DPFBV−以PFB△为底面的高，利用等体积法DPFBPDFBVV−−=即得解【小问1详解】取PB中点G，连接,EGFG因为,EG分别是,PCPB的中点，所以EG//BC，12E

GBC=而DF//1,2BCDFBC=，所以EG//,DFEGDF=因此四边形DEGF是平行四边形,所以DE//FGDE平面PFB，FG平面PFB所以DE//平面PFB【小问2详解】由（1），DE//平面PFB，故点D、E到平面PFB的距离

相等，即求点D到平面PFB的距离，记为d点D到平面PFB的距离可以看成三棱锥DPFBV−以PFB△为底面的高，由DPFBPDFBVV−−=，故1133PFBDFBSdSPD=由于22225,5,PFPDDFBFAFAB=+==+=2

222223PBPDBDPDBAAD=+=++=故221()622PFBPBSPBPF=−=，112DFBSDFAB==故116612333dd==故点E到平面PFB的距离为6320.如图，在平面直角坐标系xOy中，已知以M为圆心的圆22

:1214600Mxyxy+−−+=及其上一点(2,4)A．（1）设圆N与x轴相切，与圆M外切，且圆心N在直线x＝6上，求圆N标准方程；（2）设平行于OA的直线l与圆M相交于B，C两点，且BC＝OA，求直线l的方程．【答案】（1）22(6)(1)1xy−+−=（2）250xy−+=或2150x

y−−=【解析】【分析】（1）设(6,)Nn，则圆N为：222(6)()xynn−+−=，0n，从而得到|7|||5nn−=+，由此能求出圆N的标准方程．（2）由题意得25OA=，2OAk=，设:2lyxb=+，则圆心M到直线l的距离：|5|5bd+=，由此能求出直线l的方程．【小问1详

解】解：NQ在直线6x=上，设(6,)Nn，圆N与x轴相切，圆N为：222(6)()xynn−+−=，0n，又圆N与圆M外切，圆22:1214600Mxyxy+−−+=，即圆22:(6)(7)25Mxy−

+−=，圆心()6,7M，半径=5r；|7|||5nn−=+，解得1n=，圆N的标准方程为22(6)(1)1xy−+−=．的【小问2详解】解：由题意得25OA=，2OAk=，设:2lyxb=+，则圆心M到直线l的距离：|5|5bd+=，则2(5)||2255bBC

+=−，25BC=，即2(5)225255b+−=，解得5b=或15b=−，直线l的方程为：25yx=+或215yx=−．21.已知ABC为等腰直角三角形，090,2BACBC==，将ABD沿底边上的高线AD折

起到ABD位置，使090BDC=，如图所示，分别取,BCAC的中点,EF.（1）求二面角EDFB−−的余弦值；（2）判断在线段AB上是否存在一点M，使EM⊥平面BDF？若存在，求出点M的位置，若不存在，说明理由．

【答案】（1）63（2）点M是线段AB的中点时，EM⊥平面BDF．【解析】【详解】试题分析：（1）以,,DADCDB所在直线为,,xyz轴建立空间直角坐标系，分别求出平面EFD与平面BFD的一个法向量，根据空间向量夹角余弦公式，可得结果；（2）假设在线段AB上存在一点M，使EM⊥平面B

DF，设AMAB=，根据//nME可求得12=.试题解析：由题知,,ADBDADCDBDCD⊥⊥⊥，且1ADBDCD===，分别以,,DADCDB所在直线为,,xyz轴建立空间直角坐标系，则点()()()1111,,0,0,,,0,0,1,1

,0,0,0,0,02222FEBAD．（1）()11110,,,,,0,0,0,12222DEDFDB===，设平面EFD的法向量为(),,mxyz=，则·0{·0mDEmDF==，得11022{110

22yzxy+=+=，得xyz=−=，当1x=时，得()1,1,1m=−，同理可得平面BFD的一个法向量为()1,1,0n=−，那么·26cos,332mnmnmn===，所以二面角EDFB−−的余弦值为63；（2）假设在线段AB上存在一点M，使EM⊥平面

BDF，设AMAB=，则由()1,0,1AB=−，得(),0,AM=−，得()()()1,0,0,0,1,0,DMDAAM=+=+−=−，那么111,,22MEDEDM=−=−−，当EM⊥平面BDF时，//nME，即存在实数k，

使111,,22nkMEk==−−，解得12=，那么12AMAB=，即点M是线段AB的中点时，EM⊥平面BDF．【方法点晴】本题主要考查利用空间向量求二面角的大小以及存在性问题，属于中档题.空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立

恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离.22.已

知C：221xyab+=的上顶点到右顶点的距离为7，离心率为12，过椭圆左焦点1F作不与x轴重合的直线与椭圆C相交于M、N两点，直线m的方程为：2xa=−，过点M作ME垂直于直线m交直线m于点E.（1）求椭圆C的标准方程；（2）求证

线段NE必过定点P，并求定点P的坐标.【答案】（1）22143xy+=（2）证明见解析，5,02P−【解析】【分析】（1）根据题意可列方程22222712abcaabc+===+，求解,ab即可得椭圆C的标准方程；（2）由题意知，

结合对称性可知点P在x轴上，设直线MN方程：1xny=−，设()11,Mxy，()22,Nxy，()14,Ey−，代入椭圆方程可得122634nyyn+=+，122934yyn−=+，求解直线直线EN方程，求解其与x轴的交点，即可确定P

点坐标.【小问1详解】解：由题可知：22222712abcaabc+===+，所以2a=，3b=，故椭圆的标准方程为22143xy+=；【小问2详解】解：由题意知，结合对称性可知点P在x轴上，又()11,0F−，设直线MN方程：1xn

y=−，设()11,Mxy，()22,Nxy，()14,Ey−，联立方程得221143xnyxy=−+=得()2234690nyny+−−=所以122634nyyn+=+，122934yyn−=+又2124ENyykx−=+所以直线EN方程为：()21124

4yyyyxx−−=++令0y=，则()()1121212121212121219333433424444nyyyyyxnyyynxyyyyyyyy−+−+++++=−−=−−=−−=−−−−−−()122133524422yy

yy−=−−=−+=−−.获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxue100.com