【文档说明】四川省宜宾市叙州区叙州区第一中学校2023-2024学年高二上学期10月月考数学试题 含解析.docx，共(24)页，1.953 MB，由小赞的店铺上传

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叙州区一中2023年秋期高二第一学月考试数学试题本试卷共4页，22小题，满分150分.考试用时120分钟.第I卷选择题（60分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是

符合题目要求的.1.已知i是虚数单位，则复数202120212i2iz−=+对应的点所在的象限是（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】D【解析】【分析】利用复数的乘方、除法运算化简z，进而判断其所在的象限.【详解】由41i=

，则20215054122021505412i2i2i(2i)34i2i2i2i(2i)(2i)5z++−−−−−=====++++−，∴z对应的点34,55−所在的象限是第四象限.故选：D2.已知(3,2,5)a=−，(1,,1)bx=−，且ab⊥，则

x的值是（）A.4B.5C.6D.7【答案】A【解析】【分析】代入空间向量垂直的坐标表示，直接求x的值.【详解】∵ab⊥，∴()()31251280abxx=−++−=−=，解得：4x=.故选：A.3.随着2020年北京冬奥会临近，中国冰

雪产业快速发展，冰雪运动人数快速上升，冰雪运动市场需求得到释放，将引领户外用品行业市场增长．下面是2012年至2018年中国雪场滑雪人次（万人次）与同比增长率的统计图，则下面结论中不正确的是（）A.2013年至2018年，中国雪场滑雪人次逐年增加B.20

13年至2015年，中国雪场滑雪人次和同比增长率均逐年增加C.2018年与2013年相比，中国雪场滑雪人次的同比增长率近似相等，所以同比增长人数也近似相等D.2018年与2016年相比，中国雪场滑雪人次增长率约为30.5%【答案】C【解析】【分析】根据图

中条形统计图和折线图的实际意义分析逐个判定即可.【详解】由2012年至2018年中国雪场滑雪人次（万人次）与同比增长率的统计图可知：对于A，由条状图可知，2013年至2018年，中国雪场滑雪人次逐年增加，故A正确；对于B，2013年至2015年，中国雪场滑雪人次和同比增长

率均逐年增加，故B正确；对于C，2018年与2013年相比，中国雪场滑雪人次的同比增长率近似相等，但是同比增长人数也不相等，2018年比2013年增长人数多，故C错误；对于D，2018年与2016年相比，中国雪场滑雪人次增长

率约为1970-1510100%30.5%1510故D正确．故选：C．【点睛】本题考查统计图表的应用，考查学生的数据分析能力，属于基础题.4.把四边形ABCD按斜二测画法得到平行四边形''''ABCD(如图所示)，其中'''

'2BOOC==，''3OD=，则四边形ABCD一定是一个（）A.菱形B.矩形C.正方形D.梯形【答案】A【解析】【分析】根据斜二测画法把直观图还原回原图形，即可得到四边形ABCD一定是一个菱形.【详解】解：把平行四边

形''''ABCD还原回原图形，过程如下：在平面直角坐标系中，在x轴上截取4BC=，且使O为BC的中点，在y轴上截取23OD=，过D向左左x轴的平行线段DA，使4DA=，连接AB，CD，可得平行四边形ABCD.∵2OC=，23OD=，∴()222234CD=+=.∴

平行四边形ABCD为菱形.故选：A.【点睛】本题考查斜二测法，掌握斜二测法的规则是解题基础．5.直线52100xy−−=在x轴上的截距为a，在y轴上的截距为b，则（）A.2,5ab==B.2,5ab=

=−C.2,5ab=−=D.2,5ab=−=−【答案】B【解析】【分析】根据截距的定义进行求解.【详解】52100xy−−=中，令0x=，解得5y=−，令0y=，2x=，故2,5ab==−.故选：B6.设(2,1)A−，(4,1)B，则以线段AB为直径的圆的方程为（）A.22

(3)4xy−+=B.22(3)2xy−+=C.22(3)2xy++=D.22(3)8xy++=【答案】B【解析】【分析】由题知圆心为()3,0，半径为2，再求方程即可.【详解】解：由题知线段AB中点为()3,0，4422AB=+=，所以，以线段

AB为直径的圆的圆心为()3,0，半径为2，其方程为22(3)2xy−+=故选：B7.下列物体中，能够被整体放入棱长为1（单位：m）的正方体容器（容器壁厚度忽略不计）内的有（）A.直径为1.01m的球体B.所有棱长

均为12m.4的四面体C.底面直径为1.01m，高为1.8m的圆柱体D.底面直径为1.2m，高为0.01m的圆柱体【答案】D【解析】【分析】根据题意结合正方体的性质逐项分析判断.【详解】对于A：因为1.01m1m，即球体的直径大于正方体的棱长，所以不能够被整体放入正方体内，故A

错误；对于B：因为正方体的面对角线长为2m，且21.42，所以不能够被整体放入正方体内，故B错误；对于C：因为正方体的体对角线长为3m，且31.8，所以不能够被整体放入正方体内，故C错误；对于D：因为1.2m1m，可

知底面正方形不能包含圆柱的底面圆，如图，过1AC的中点O作1OEAC⊥，设OEACE=I，可知1132,1,3,=2ACCCACOA===，则11tanCCOECACACAO==，即1232OE=，解得64OE=，

且2263990.6482425===，即60.64，故以1AC为轴可能对称放置底面直径为1.2m圆柱，若底面直径为1.2m的圆柱与正方体的上下底面均相切，设圆柱的底面圆心1O，与正方体的下底面的切点为M，可知：1

11,0.6ACOMOM⊥=，则1111tanCCOMCACACAO==，即110.62AO=，解得10.62AO=，根据对称性可知圆柱的高为320.621.7321.21.4140.03520.01−−=，所以能够被整体放入正方体内，故D正确；故选：D.8.如图，在梯形

ABCD中，,4,2ABCDABBCCDDA====∥，将ACD沿对角线AC折起，使得点D翻折到点P，若面PAC⊥面ABC，则三棱锥−PABC的外接球表面积为（）A.16πB.20πC.24πD.32π【答案】B【解析】【分析

】设M为AC的中点，2O为AB的中点，1O为APC△的外心，O为三棱锥−PABC的外接球球心，利用球的截面性质得到四边形12OOMO为矩形，然后设外接球半径为R，由22222ROBOO=+求解.【详解】解：如图，设M为AC的中点，2O为AB的中点，1O为APC△的外心，O为三

棱锥−PABC的外接球球心，则2OO⊥面1,ABCOO⊥面APC.由题意得290,ACBO=为ABC的外心，在APC△中，120,2,23APCAPPCAC====，所以11OM=，又四边形12OOMO为矩形，211OOOM==，设外接球半径为R，则222225,ROBOO=+=

外接球表面积2420R=，故选：B.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知甲罐中有三个相同的小球，标号为1，2，3；乙罐中有两个相同的小球，标

号为1，2，从甲罐、乙罐中分别随机抽取1个小球，记事件A=“抽取的两个小球标号之和小于4”，事件B=“抽取的两个小球标号之积为偶数”，事件C=“抽取的两个小球标号之积大于3”，则（）A.事件A发生的概率为12B.事件AB发生的概率为23C.事件A，C是

互斥事件D.事件B，C相互独立【答案】AC【解析】【分析】根据古典概型的概率计算可判断A，B；根据互斥事件的概念可判断C；根据独立事件的乘法公式可判断D.【详解】对于A，从甲罐、乙罐中分别随机抽取1个小球，共有326=种抽法，其中事件A包含的事件个数有(1,1),(1,2),(2

,1)共3个，故事件A发生的概率为31()62PA==，A正确；对于B，事件B包含的事件个数有(1,2),(2,1),(2,2),(3,2)共4个，故事件AB包含的事件个数有5个，则事件AB发生的概率为5()6PAB=，B错误；对于C，事件A包含的事件为(1,1),(1,2),

(2,1)，每个事件中两个小球标号之积都不大于3，故事件A，C不会同时发生，二者是互斥事件，C正确；对于D，42()63PB==，事件C包含的事件个数有(2,2),(3,2)共个，故3261()PC==,事件BC包含的事件为(2,2),(3,2)，则1(36)2PBC==,

则2()(),()()()9PBPCPBPCPBC=，即事件B，C不相互独立，D错误，故选：AC10.已知直线1:2310lxy+−=和2:4690lxy+−=，若直线l到直线1l的距离与到直线2l的距离之比为1:2，则直线的方程可能为（）A.

2380xy+−=B.4650xy++=C.2350xy+−=D.1218130xy+−=【答案】BD【解析】【分析】设l的方程为460xyc++=（2c−且9c−），求出直线到1l，2l的距离12,dd，根据距离之比，列方程求解c即可.【详解】直

线1l的方程可化为4620xy+−=．设l到1l的距离为1d，l到2l的距离为2d，l的方程为460xyc++=（2c−且9c−），则()122246cd−−=+，()222946cd−−=+．依题意

得1212dd=，即212dd=，|9|2|2|cc+=+化简得924cc+=+或924cc+=−−，解得5c=或133c=−．因此，直线l的方程为4650xy++=或1218130xy+−=．故选：BD11.在正方

体1111ABCDABCD−中，点P为线段1AD上的动点，点Q为线段1CC中点，则下列四个选项中为真命题的是（）A.当P为线段1AD中点时，P､Q､C､A四点共面B.直线1CB⊥平面1PBCC.三棱锥1DBPC−的体积为定值D.二面角1PBCD−−的大小为定值.【答案】BCD【解析】【分析】根

据正方体的性质，由直线1AD和1CC的位置关系判断A，1BC与平面1ABCD的位置关系判断B，1AD与平面1BDC的位置关系及体积公式判断C，平面11ABCD与平面1BDC的位置关系判断D．【详解】对于A，1AD和1CC是异面直线，当P为线段1AD中点时，AP和CQ

异面，所以P､Q､C､A四点不共面.故A错误.对于B，平面1PBC与平面11ABCD重合，而1CB⊥平面11ABCD，所以1CB⊥平面1PBC.故B正确.对于C，∵1//AD平面1DBC，1PAD，∴点P到

平面1DBC的距离即为点A到平面1DBC的距离.则111DBPCPDBCADBCVVV−−−==，而1DBCS△为定值，A到平面1DBC距离为定值，所以三棱锥1DBPC−的体积为定值.故C正确；对于D，因为二面角1PBCD−−的大小，即为平面11ABCD与平面1BDC所成

的二面角的大小，而这两个平面位置固定不变，故二面角1PBCD−−的大小为定值.故D正确.的故选：BCD.【点睛】本题考查异面直线的判断，直线与平面垂直、平行的判断与应用，平面与平面的关系的判断．解题关键是掌握正方体的性质，在正方体中有许多直线、平面间的平行与垂直，掌握住这些位置关系有助于空间想象能

力运用．12.数学美的表现形式不同于自然美或艺术美那样直观，它蕴藏于特有的抽象概念、公式符号、推理论证、思维方法等之中，揭示了规律性，是一种科学的真实美.在平面直角坐标系中，曲线22C:22xyxy+=+就是一条形状优美的曲线，对于此曲线，下列

说法正确的有（）A.曲线C围成的图形有4条对称轴B.曲线C围成的图形的周长是42πC.曲线C上的任意两点间的距离不超过5D.若(),Tab是曲线C上任意一点，4318ab+−的最小值是1152−【答案】ABD【解析】【分析】去掉绝对值可得曲线的四段关系式，从而可作出曲线的图像，由图像即可判断AB

CD.【详解】2222xyxy+=+，当0,0xy时，2222xyxy+=+，即22(1)(1)2xy−+−=，表示圆心为(1,1)，半径2r=的半圆；当0,0xy时，2222xyxy+=−，即22(1)(1)2

xy−++=，表示圆心为(1,1)−，半径2r=的半圆；当0,0xy时，2222xyxy+=−+，即22(1)(1)2xy++−=，表示圆心为(1,1)−，半径2r=的半圆；当0,0xy时，2222xyxy+=−−，即22(1)(

1)2xy+++=，表示圆心为(1,1)−−，半径2r=的半圆.曲线22C:22xyxy+=+的图像如下图所示：对于A，易知曲线图像有4条对称轴，A正确；对于B，曲线图形由4个半圆组成，故其周长为2242r=，B正确；对于C，由图可

知，曲线C上的任意两点间的最大距离为442r=，C错误；对于D，圆心(1,1)到直线43180xy+−=的距离为122115434318d++−==，(),Tab到直线43180xy+−=的距离222431843314

85dabab+++−==−，若使2d最小，则有211125ddr=−=−，所以54318ab+−1125=−，得24131158ab=−+−，D正确.故选：ABD.第II卷非选择题（90分）三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.

锐角ABC中，角A，B，C所对边分别为a，b，c，有222bcabc+−=，且2c=，则ab+的取值范围为________________．【答案】(31,234)++【解析】【分析】根据余弦定理得π3A=，根据正弦定理得322πsinsi

nsin3abCCC+=+−，结合角C的范围以及三角函数的性质即可求解.【详解】因为222bcabc+−=，所以由余弦定理得2221cos222bcabcAbcbc+−===．因为ABC为锐角三

角形，所以π3A=．所以2π3BC+=，即2π3BC=−．因为ABC为锐角三角形，所以π0,22ππ0,32CC−解得ππ62C．由正弦定理sinsinsinabcABC==，得322πsin,sins

insinsinsinsin3ccaAbBCCCCC====−．所以322πsinsinsin3abCCC+=+−=33cos1131sinsintan2CCCC++=+．因为ππ62C，所以ππ1224C，所以tantantan2πCπ124

．因为tantan46tantan2361tantan46πππππππ124−=−==−+，所以23tan12C−，所以1123tan2C+，所以13131234tan2C+++，即31234ab+++．

在ABC中，由两边之和大于第三边，得2abc+=．综上所述：31234ab+++．故答案为：31234ab+++14.设,,abc分别是△ABC中,,ABC的对边边长，则直线(sin)0−

−=Axayc与直线(sin)sin0+−=bxByC的位置关系是_______________．【答案】垂直【解析】【分析】求出两条直线的斜率，根据正弦定理，然后判断两条直线的位置关系．【详解】,,abc分别是△ABC内角A､B､C所对边的边，故：0a，sin0B

sin0Axayc−−=的斜率为：sinAasinsin0bxByC+−=的斜率为：sinbB−根据正弦定理：2sinsinabRAB==由sinsin2sin1sin2insinAbARBaBRAB−−==−两条直线垂直故

答案为：垂直．【点睛】本题主要考查了判断两条直线的位置关系问题，解题关键是掌握正弦定理和两条直线垂直的判定方法，考查了分析能力和计算能力，属于中档题．15.给如图所示的1~9号方格进行涂色，规则是：任选一个格子开始涂色，之后每次随

机选一个未涂色且与上次所涂方格不相邻（即没有公共边）的格子进行涂色，当5号格子被涂色后停止涂色，记此时已被涂色的格子数为X，则()3PX==___________.【答案】225##0.08【解析】【分析】明确3X=对应的事件的含义即“第3次涂5号格子”

，再考虑第一次选取的是角上的格子还是边中间的格子，分别求出两种情况下的概率，即可求得答案.【详解】由题意知“3X=”等价于“第3次涂5号格子”，若第一次涂的是四个角上的格子，以1号格子为例，第二次可以涂9,,,567,8,3，要想第三次涂5号，第二次必须选涂3,7,9号中的一个，第三次需

从5个格子里选取5号格子，这种情况的概率为431296545=；若第一次涂的是四边中间的格子，以2号格子为例，第二次可以涂467,,,8,9，要想第三次涂5号，第二次必须涂7,9号中的一个，第三次需从5个格子里选

取5号格子，这种情况的概率为4218955225=；故()28234522525PX==+=，故答案为：225【点睛】方法点睛：需分类考虑，即考虑第一次选取的是角上的格子还是边中间的格子，分别求出两种情况下的概率，即可求解.16.

如图所示，在86的长方形区域（含边界）中有,AB两点，对于该区域中的点P，若其到A的距离不超过到B距离的一半，则称P处于A的控制下，例如原点O满足11352OAOB==，即有O点处于A的控制下.同理可定义P处于B的控制下.给出下列四个结论：①点()4,2处于A的控制下

；②若点P不处于A的控制下，则其必处于B的控制下；③若P处于A控制下，则13PA；④图中所有处于A的控制下的点构成的区域面积为85π+.其中所有正确结论的序号是_________.【答案】①③④【解析】【分析】根

据新定义，直接验证判断①，取特殊点判断②，根据定义求出点P所在区域，判断③，结合图象求出面积判断④.【详解】由图可知(2,3),(8,6)AB,设(4,2)C，则||5CA=，||42CB=,满足1||||2CACB，故①正确；点P不处于A的控制下则12PA

PB，即||2||PBPA，得不到1||||2PBPA，的例如取点(5,3)P，||3,||32PAPB==，1||||2PAPB，1||||2PBPA，即点P不处于A的控制下，也不处于B的控制下，故②错误；若P处于A的控制下，则12PAPB，设(,)(08,

06)Pxyxy，则22221(2)(3)(8)(6)2xyxy−+−−+−，化简整理得22(2)20xy+−，作出图象如图，由图可知，当点P在矩形且在圆及圆内部分满足P处于A的控制下,由图可知，当P处于,,OCD时，||PA有最大

值13，故③正确；由③知P处于A的控制下点构成的区域面积，可以看作是14圆与矩形的面积之和，如图，故面积为120π+42=8+5π4，故④正确.故答案为：①③④【点睛】关键点睛：本题作为一道创新型试题，关键在于理解所给新定义，对于①②可以利用具体点去直接判断结论正确与否，

在这一特殊化的过程中进一步理解新定义，对于③需要根据新定义求出点满足的轨迹方程（边界），需要对求平面轨迹方程的方法熟练，关键在于求出点P所在区域，利用数形结合思想判断③，对于④关键在于把区域分割为四分之一圆面与矩形，其中需要割补思想的应用.四、解答题：本题共6小题，共7

0分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.已知ABC的三个顶点()1,1A−，()3,3B，()5,1C，求：（1）AB边上的垂直平分线方程；（2）AB边上的高所在直线的方程．【答案】（1）240xy+−=；（2）270xy+−=.【解析】【分析】（1）求出直线AB的斜率，可得出A

B边上的垂直平分线的斜率，并求出线段AB的中点坐标，由此可求得AB边上的垂直平分线方程；（2）求得AB边上的高所在直线的斜率，利用点斜式可求得所求直线的方程.【详解】（1）ABC的三个顶点()1,1A−，

()3,3B，()5,1C，线段AB的中点坐标为()2,1，直线AB斜率为31231+=−，AB的垂直平分线的斜率为12−，因此，AB边上的垂直平分线方程为()1122yx−=−−，即240xy+−=；（2）AB边上的高所在直线的斜率为12−，AB边上的高所在直线的方程为()1

152yx−=−−，即270xy+−=．【点睛】本题考查三角形边上的高所在直线与中垂线方程的求解，考查计算能力，属于基础题.18.已知复数()21233i,2(31)i,2=+−=+++Rzazaaa．（1）若复数12zz−在复平面内的对应点落在第一象限，求实数a的取值范围；（2）若虚

数1z是方程260xxm−+=的一个根，求实数m的值．【答案】（1）(2,1)−−（2）13【解析】【分析】（1）根据复数的减法，确定实部与虚部，根据其几何意义，可得实部与虚部的取值范围，可得答案；（2）根据复数与一元二次方程的关系

，再由韦达定理，可得答案.【小问1详解】()2123234i2zzaaa−=−+−−+．因为12zz−在复平面内的对应点落在第一象限，所以2320,2340,aaa−+−−即210,241,aaaa−+−或

解得21a−−．因此，实数a的取值范围是(2,1)−−．【小问2详解】因为虚数1z是方程260xxm−+=一个根，所以1z也是方程260xxm−+=的一个根，于是11662zza+==+，解得1a=−．把1a=−代入，得132iz=−，132iz=+，所以22113

(2)13mzz==+−=．19.在某市高三教学质量检测中，全市共有5000名学生参加了本次考试，其中示范性高中参加考试学生人数为2000人，非示范性高中参加考试学生人数为3000人.现从所有参加考试的学生中随机抽取100人，作检测成绩数

据分析.（1）设计合理的抽样方案（说明抽样方法和样本构成即可）；（2）依据100人的数学成绩绘制了如图所示的频率分布直方图，据此估计本次检测全市学生数学成绩的平均分；【答案】（1）见解析；（2）92.4

【解析】【分析】（1）根据总体的差异性选择分层抽样，再结合抽样比计算出非示范性高中和示范性高中所抽取的人数；（2）将每个矩形底边的中点值乘以相应矩形的面积所得结果，再全部相加可得出本次测验全市学生数学

成绩的平均分．【详解】（1）由于总体有明显差异的两部分构成，故采用分层抽样，的由题意，从示范性高中抽取2000100405000=人，从非师范性高中抽取3000100605000=人；（2）由频率分布直方图估算样本平均分为(600.005800.0181000.021200.

0051400.002)2092.4++++=推测估计本次检测全市学生数学平均分为92.4【点睛】本题考查分层抽样以及计算频率分布直方图中的平均数，着重考查学生对几种抽样方法的理解，以及频率分布直方图中几个样本数字的计算方法

，属于基础题．20.如图，AB是圆O的直径，PA⊥圆O所在的平面，C为圆周上一点，D为线段PC的中点，30CBA=，2ABPA=.（1）证明：平面ABD⊥平面PBC.（2）若4AB=，求三棱锥B-ACD的体积.【答案】（1）证明见解析；（2）2

33.【解析】【分析】（1）首先证明BC⊥平面PAC，即可得到BCAD⊥，然后即可证明AD⊥平面PBC，根据面面垂直的判定定理即可证明平面ABD⊥平面PBC.（2）根据三棱锥BACD−的体积等于三棱锥DABC−的体积

，从而可求出答案.【小问1详解】因为PA⊥圆O所在的面，即PA⊥平面ABC，而BC平面ABC，所以PABC⊥.因为AB是圆O的直径，C为圆周上一点，所以ACBC⊥.又PAACA=，所以BC⊥平面PAC，而AD平面PAC，所以BCAD⊥.因为ACBC⊥，30CBA

=，所以2ABAC=.又2ABPA=，所以PAAC=，又D为线段PC的中点，所以ADPC⊥.又PCBCC=，所以AD⊥平面PBC，而AD平面ABD，所以平面ABD⊥平面PBC.【小问2详解】在ABC中，因为90BCA=，4AB=，所以2AC=，23BC=，所以1232232ABCS=

=△因为PA⊥平面ABC，D为PC的中点，所以点D到平面ABC的距离112dPA==.所以12333BACDDABCABCVVSd−−===△.21.如图，在四棱锥PABCD−中，平面ABCD⊥平面PAD，//ADBC，1ABBCPA===，2AD=，30ADP=，90BAD=，E是

PD的中点．（1）求证：PDPB⊥；（2）若点M在线段PC上，异面直线BM和CE所成角的余弦值为105，求面MAB与面PCD夹角的余弦值．【答案】（1）证明见解析；（2）210535.【解析】.【分析】（1）证明PD⊥平面PAB即可;（2）由异面直线B

M和CE所成角的余弦值为105可得M坐标，后可得答案.【小问1详解】证明：在PAD中，∵1PA=，2AD=，30ADP=，由余弦定理可得：2222cosPAADPDADPDADP=+−，即2144303oc

osPDPDPD=+−=，∴222ADPAPD=+，从而PDPA⊥∵90BAD=，∴ABAD⊥∵平面ABCD⊥平面PAD，平面ABCD∩平面PADAD=，AB平面ABCD.∴AB⊥平面PAD，∴PD平面PAD，∴PDAB⊥.∵ABPAA=，AB平面PAB，PA平面PA

B，∴PD⊥平面PAB.∵PB平面PAB，∴PDPB⊥．【小问2详解】以A为原点，以AD为y轴，建系如图所示，则()0,0,1B，31,,022P，()()0,1,1,0,2,0CD，35044,,E，则31144,,CE=−，31122,

,BP=−，31122,,PC=−()001,,AB=，()011,,CD=−.设PMPC=()01，则BMBPPMBPλPC=+=+()()3131311111

1222222,,,,,,λλλλ=−+−=−+−设异面直线BM和CE所成角为，则26510525232coscos,λBMCEαBMCEBMCEλλ−====

−+得23=.此时，351663,,.BM=−设面MAB的一个法向量为()1111,,nxyz=，有1111110035100663znABxyznBM==+−==

令13y=，则15x=−，10z=，取()1530,,n=−.设面PCD的一个法向量为()2222,,nxyz=，有222222200310022yznCDxyznPC−==−++==令23x=，则21y=，21z=，取()23,1,1n=设面MA

B与面PCD的夹角为，则121243210535140cosnnθnn−===即面MAB与面PCD夹角的余弦值为210535..22.在平面直角坐标系xOy中，已知圆M过坐标原点O且圆心在曲线3yx=上.（1）设直线l：343yx=−+与

圆M交于C，D两点，且OCOD=，求圆M的方程；（2）设直线3y=与（1）中所求圆M交于E，F两点，点P为直线5x=上的动点，直线PE，PF与圆M的另一个交点分别为G，H，且G，H在直线EF两侧，求证：直线GH过定点，并求出定点坐标.【答案】（1）()()22134xx−+

−=（2）()2,3【解析】【分析】（1）由题意设圆的方程为()222233xtxttt−+−=+，再根据直线l：343yx=−+与圆M交于C，D两点，且OCOD=，由OMl⊥求解；（2）由题意设()()()01111

5,,,,,PyGxyHxy，又()()1,3,3,3EF−，得到0033,62PEPFyykk−−==，设,3PEPFkmkm==，分别得到直线PE和直线PF的方程，与圆的方程联立，结合韦达定理，消去

m得到()121227200xxxx−++=，再设直线GH的方程为：ykxb=+，代入圆的方程，将韦达定理代入上式求解.【小问1详解】解：因为圆心在曲线3yx=上，所以设圆心为3,Mtt，又圆M过坐标原点O，则半径为：223rtt=+，设圆的

方程为()222233xtxttt−+−=+，又直线l：343yx=−+与圆M交于C，D两点，且OCOD=,所以OMl⊥，则233OMkt==，解得1t=，当1t=时，

圆的方程为()()22134xx−+−=，此时，圆心到直线343yx=−+的距离()2312dr=−=，符合题意；当1t=−时，圆的方程为：()()22134xx+++=，此时，圆心到直线343yx=−+的距

离()2312dr=+=，不符合题意；【小问2详解】如图所示：由题意设()()()011115,,,,,PyGxyHxy，又()()1,3,3,3EF−，则0033,62PEPFyykk−−==，则3PEPFkk=，设,3PEPFkmkm==，则直线PE的方程为()31y

mx−=−，代入圆的方程消去y得：()()222212230mxmxm++−+−=，()()()222222413160mmm=−−+−=，由韦达定理得212311mxm−−=+，即21231mxm−

=−+，设直线PF的方程为：()333ymx−=−，代入圆的方程消去y得：()()2222195428130mxmxm++++−=，()()()2222542419813160mmm=+−+−=，由韦达定理得222813319mxm−=+，即22237119mxm−=+，所以22122

233712119mmxxmm−−+=−+=++，222122242337111231199101mmmxxmmmm−−=−=−+++++，消去m得()121227200xxxx−++=，设直线GH的方程为：ykxb=+，代入圆的方程消去y得：()()22212232230kxkbk

xbb++−−+−=，()()()()2222222324123128834483kbkkbbkbkbb=−−−+−=−−+−+，由韦达定理得12222321kbkxxk−−+=−+，2122231bbxxk−=−+，则()227231

07330bkbkk+−+−+=，即()()23530bkbk+−+−=，解得23bk=−+或53bk=−+，当23bk=−+时，212120k=+，直线GH的方程为()23ykx=−+，过定点()2,3；当53b

k=−+时，248160k=−+，解得3333k−，直线GH的方程为()53ykx=−+，过定点()5,3，此时G，H在直线EF同侧，不符合题意，故直线GH过定点()2,3.获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxue100.com