【文档说明】四川省成都市第七中学2024届高三零诊模拟考试数学（理）试题 含解析.docx，共(23)页，2.301 MB，由小赞的店铺上传

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成都七中高2024届零诊模拟考试数学试题(理科)一、单选题：共12道小题，每题5分，共60分.1.设1i2i1iz−=++，则z的虚部为（）A.iB.3iC.1D.3【答案】C【解析】【分析】利用复数的除法及加减运算求解作答.【详解】依题意，(1i)(1i)2

i2i=2ii2ii(1i)(1i)2z−−−=++=−+=+−，所以复数z的虚部为1.故选：C2.若直线1:10lxay++=与直线2:10laxy++=平行，则=a（）A.0B.1−C.1D.1【答案】B【解析】【分析】根据两直线平行的条件可直接求出a的值.【详解】因

为12//ll，所以1101110aaa−=−，解得1a=−.故选：B.3.一组数据包括47、48、51、54、55，则这组数据的标准差为（）A.10B.52C.10D.50【答案】A【解析】【

分析】根据平均数、方差公式计算可得.【详解】依题意这组数据的平均数为4748515455515++++=，所以方差为()()()()()22222147514851515154515551105−+−+−+−+−=，则标准

差为10.故选：A4.已知函数()fx在其定义域R上的导函数为()fx，当xR时，“()0fx”是“()fx单调递增”的（）A.充要条件B.既不充分也不必要条件C.必要不充分条件D.充分不必要条件【答案】D【解析】【分析】根据充分

条件、必要条件的定义判断即可.【详解】因为函数()fx在其定义域R上的导函数为()fx，若当xR时，()0fx，则()fx单调递增，故充分性成立；若()fx在R上单调递增，则()0fx，如()3fxx=，显然函数()fx在R上单调递增，但是()230fxx=≥，故

必要性不成立；故“()0fx”是“()fx单调递增”的充分不必要条件.故选：D5.如图所示的算法框图思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”，执行该算法框图，若输入的a、b分别为36、96，则输出的=a（）A.0B.8C.12D

.24【答案】C【解析】【分析】根据题意，由程序框图，逐步运算，即可得出结果.【详解】第一步：初始值36a=，96b=；此时ab¹；进入循环；第二步：3696a=，计算963660b=−=，此时3660，进入循环；第三步：3660a=，计算603624b

=−=，此时3624，进入循环；第四步：3624a=，计算362412a=−=，此时1224，进入循环；第五步：1224a=，计算241212b=−=，此时1212=，结束循环，输出12a=.故选：C.【点睛】本题主要考查循环程序框图求输出值，属于基础题型.6.直线2x=与抛物

线()2:20Cypxp=交于D、E两点，若0ODOE=，其中O为坐标原点，则C的准线方程为（）A.14x=−B.12x=−C.=1x−D.2x=−【答案】B【解析】【分析】求出点D、E的坐标，根据0ODOE=求出p的值，即可得出抛物线C的准线方程.【详解】不妨设点D在第一象限，则

点E在第四象限，联立222xypx==可得22xyp=，则点()2,2Dp、()2,2Ep−，所以，440ODOEp=−=，解得1p=，因此，C的准线方程为122px=−=−.故选：B.7.函数lgyx=的图象经过变换10:2xxyy==+后

得到函数()yfx=的图象，则()fx=（）A.1lgx−+B.1lgx+C.3lgx−+D.3lgx+【答案】B【解析】【分析】由已知可得出102xxyy==−，代入lgyx=可得出

()fx的表达式，即可得出()fx的表达式.【详解】由已知可得102xxyy==−，代入lgyx=可得2lglg110xyx−==−，则lg1yx=+，即()lg1fxx=+，因此，()lg1fxx=+.故选：B.8.有甲、乙、丙、丁四位歌

手参加比赛，其中只有一位获奖，有人走访了四位歌手，甲说：“是乙或是丙获奖．”乙说：“甲、丙都未获奖．”丙说：“我获奖了．”丁说：“是乙获奖了．”四位歌手的话只有两句是对的，则获奖歌手是（）A.甲B.乙C.丙D.丁【答案】C【解析】【分析】逐一验证即可.【详解】若甲是获奖的歌手，则都说假话，不合题意

若乙是获奖的歌手，则甲、乙、丁都说真话，丙说假话，不符合题意若丁是获奖的歌手，则甲、丁、丙都说假话，乙说真话，不符合题意故获奖的歌手是丙故选：C9.设曲线C的参数方程为1cos1sinxy=+=+(为参数，且π,2π

2)，曲线C上动点P到直线:143xyl+=的最短距离为（）A.0B.15C.25D.1【答案】B【解析】【分析】设()1cos,1sinP++，由点到直线的距离公式结合三角函数的性质求解即可.【详解】设()1cos,1sinP++，直线:3412lxy+

=由动点P到直线:3412lxy+=的距离为：()()()31cos41sin125sin53cos4sin5555d+++−+−+−===，其中3tan4=，43cos,sin55jj==，因为π,2π2，所以π,2π2+++，π4

sincos25+==，所以()41sin5−+，所以当()4sin5+=时，min4551555d−==.故选：B.10.关于圆周率π，数学发展史上出现过许多很有创意的求法，如著名的浦丰实验和查理斯实验．受其启发，我们也可以通过设计下面的实

验来估计π的值：先请100名同学每人随机写下一个x，y都小于1的正实数对(),xy；再统计两数能与1构成钝角三角形三边的数对(),xy的个数m；最后再根据统计数m估计π的值，假如某次统计结果是28m=，那么本次实验可以估计π的值为（）．A.227B.4715C.7825D.

5317【答案】C【解析】【分析】根据约束条件22110xyxy++−画出可行域，得到面积，根据几何概型得到答案.【详解】∵0101xy而满足构成钝角三角形，则需22110xyxy++−画出图像：弓形面积：28π110042=−，

∴78π25=．故选C【点睛】本题考查了几何概型，画出图像是解题的关键，意在考查学生的综合应用能力.11.点,AB在以PC为直径的球O的表面上，且ABBC⊥，2ABBC==，已知球O的表面积是12π，设直线PB和AC所成角的大小为，直线PB和平面PAC所成角的大小为，四面

体PABC内切球半径为r，下列说法中正确的个数是（）①BC⊥平面PAB；②平面PAC⊥平面ABC；③sincos=；④12rA.1B.2C.3D.4【答案】C【解析】【分析】根据PBBC⊥，ABBC⊥，由线面垂直判定可知①正确；根据PAAC⊥，BCPA⊥，由线面垂直和面面

垂直的判定可知②正确；根据平行关系和异面直线所成角定义可知OEF=，由面面垂直性质和线面角定义可知BPD=，由长度关系可求得③正确；利用体积桥可求得31212PABCVrS−==−，知④错误.

【详解】对于①，PC为球O的直径，B为球O上一点，PBBC⊥，又ABBC⊥，PBABB=，,PBAB平面PAB，BC⊥平面PAB，①正确；对于②，PC为球O的直径，A为球O上一点，PAAC⊥，由①知：BC⊥平面PAB，又PA平面PAB，BCPA

⊥，ACBCC=，,ACBC平面ABC，PA⊥平面ABC，又PA平面PAC，平面PAC⊥平面ABC，②正确；对于③，取,,ACBCAB中点,,DEF，连接,,,,,,BDPDOEEFOFODDF，,,OEF

分别为,,PCBCAB中点，//OEPB，//EFAC，OEF=；,OD分别为,PCAC中点，//ODPA，又PA⊥平面ABC，OD⊥平面ABC，DF平面ABC，ODDF⊥；球O表面积为12π，214π12π2PC

=，解得：23PC=，222222AC=+=，222PAPCAC=−=；的112DFBC==，112ODPA==，222OFDFOD=+=，又2211222EFACABBC==+=，2211222OEP

BPAAB==+=，OEF为等边三角形，π3=，则3sin2=；ABBC=，D为AC中点，BDAC⊥，又平面PAC⊥平面ABC，平面PAC平面ABCAC=，BD平面ABC，BD⊥平面PAC，BPD=，226PDPAAD=+=，122BDAC==，2222PBPDBD=+

=，63cos222PDPB===，sincos=，③正确；对于④，122ABCSABBC==，122PABSPAAB==，1222PACSPAAC==△，221222PBCSPBBCPAAB==+=，1433PABCABCVSPA−==，四面体PABC的表面积442

ABCPABPACPBCSSSSS=+++=+，四面体PABC内切球半径341121244212PABCVrS−====−++，④错误.故选：C.12.函数()e1sin(11)xfxx=−−在[0,)+上的零点个

数为（）A.1B.2C.3D.4【答案】B【解析】【分析】当0x=时，(0)0f=；当ln2x时，()0fx；当0ln2x，令()e1sin(11)0xfxx=−−=，即求e1xy=−与()sin(11)gxx=的图像在(

0,ln2的交点个数，从而结合图像即可得解.【详解】当0x=时，0(0)e1sin00f=−−=，当ln2x时，()()()()ln2e1sin11e1sin111sin110xfxxxx=−−−−=−，故当ln2x时，()fx无零点，当0ln2x，令()e1sin(11)0xfxx=

−−=，即e1sin(11)xx−=，即求e1xy=−与()sin(11)gxx=在(0,ln2的交点个数，因为35553555ee,222===，而35e2，所以35e2，两边同时取对数，则353lneln25=，而71010107101010ee,

222===，因为773393e2.77.292.77.282.720.912.7==，而33330.910.930.90.010.7290.02430.75334+=+=，所以338.10.91

2.72.7244=，所以710e2，所以710e2，两边同时取对数，则7100.7lneln2=，所以3ln20.75，又因为()sin(11)gxx=的最小正周期为2π55π,11422TT==，因为2π35πln20.71

1522，画出e1xy=−与()sin(11)gxx=在(0,ln2上的大致图象，由图可知()sin(11)gxx=与e1xy=−的图像在2π0,11上只有一个交点，而()sin(11)gxx=在2π,ln211上单调递增，且()gx

在ln2x=处取不到最大值，所以()ln2e11sin11ln2−=，故()sin(11)gxx=与e1xy=−的图像在2π,ln211上没有交点，综上：当0ln2x，e1xy=−与()sin(11)gxx=的图象只有一个交点.综上：函数()e1sin(

11)xfxx=−−在[0,)+上的零点个数为2.故选：B.【点睛】关键点睛：本题的关键点在于当0ln2x，令()0fx=，将本题转化为e1xy=−与()sin(11)gxx=的交点个数，再判断得5π2πln22211，从而画出图象即可得解.二、填空题:共4道小题，每题5分，共

20分.13.命题“0x，tanxx”的否定为________．【答案】00x，00tanxx【解析】【分析】根据全称量词命题的否定为特称量词命题，即可得解.【详解】命题“0x，tanxx”为全称量词命题，其

否定为：00x，00tanxx.故答案为：00x，00tanxx14.函数()cosxfxx=的图象在πx=处的切线方程为________．【答案】0xy+=【解析】【分析】求出函数的导函数，即可求出切线的斜率，再利用点斜式求出切线方程.【详解

】因为()cosxfxx=，则()πππcosπf==−，2coss()cosinxxxxfx+=，则()21cossiππππcnosπf+==−，所以切线方程为()()ππyx−−=−−，整理得0xy+=.

故答案为：0xy+=15.某区为了解全区12000名高二学生的体能素质情况，在全区高二学生中随机抽取了1000名学生进行体能测试，并将这1000名的体能测试成绩整理成如下频率分布直方图．根据此频率分布直方图，这1000名学生平均成绩的估计值为________．【答案】80.5【解

析】【分析】根据所有矩形面积之和为1求出a值，将每个矩形底边的中点值乘以对应矩形的面积，相加可得这1000名学生平均成绩.【详解】由于频率分布直方图中所有矩形面积之和为1，可得()0.0050.0220.04101a+++=，解得0.015a=，由频率分布直方图可知，这1000名学

生平均成绩的估计值为550.05650.15750.2850.4950.280.5++++=分.故答案为：80.5.16.双曲线2222:1(,0)xyHabab−=其左、右焦点分别为12,FF，倾斜角为π3的直

线2PF与双曲线H在第一象限交于点P，设12FPF△内切圆半径为r，若223PFr，则双曲线H的离心率的取值范围为______.【答案】5,24【解析】【分析】设12FPF△内切圆C与12FPF△分别相切于点,,

MNQ，由题意结合双曲线的定义可得()3rca=−，再由双曲线的焦半径公式即可求出22212caPFea−=−，代入223PFr，解方程即可得出答案.【详解】设12FPF△内切圆C与12FPF△分别相切于点,,M

NQ，则CMCNCQr===，且1122,,FMFQFMFNPQPN===，的所以22RtRtCMFCNF，因为直线2PF的倾斜角为π3，所以260CFM=，所以22tan603rrMFFN===，因为1123rFMcFQ=−=

，23rPQPNPF==−由双曲线的定义可知，122PFPFa−=，所以122QFNFa−=，即2233rrca−−=，所以()3rca=−，过点P作PHx⊥轴于点H，设(),PPPxy，则2213,22PPxcPFyPF=+=，由双曲线的焦半径公式可

得：2212PPFexaecPFa=−=+−，则22212caPFea−=−，因为223PFr，所以()22612cacaea−−−，则+1612ee−，即+16012ee−

−，化简可得：()45102102eee−−−，则双曲线H的离心率的取值范围为524e，故答案为：5,24.三、解答题：共5道大题，共70分.17.设函数321(1)()2(1)34ffxxxxf−=−+−，（1）求

(1)f¢-、(1)f的值；（2）求()fx在[0,2]上的最值．【答案】（1）(1)6f−=，5(1)12f=（2）max5()12=fx，min5()12=−fx【解析】【分析】（1）求出函数的导函数，令=1x−求出(1)f¢-，再令1x=求出()1f；（2）由

（1）可得32135()23212fxxxx=−+−，利用导数求出函数的单调性，即可求出函数的极值，再由区间端点的函数值，即可得解.【小问1详解】因为321(1)()2(1)34ffxxxxf−=−+−，所以2(1)()22ffxxx−=−+

，取=1x−，则有(1)(1)32ff−−=+，即(1)6f−=；所以3213()2(1)32fxxxxf=−+−，取1x=，则有5(1)(1)6ff=−，即5(1)12f=．故(1)6f−=，5(

1)12f=．【小问2详解】由（1）知32135()23212fxxxx=−+−，0,2x，则2()32(1)(2)fxxxxx=−+=−−，所以x、()fx与()fx，0,2x的关系如下表：x0(0,1)1(1,2)2()fx+0−()fx512−单调递增极大值512单调递减1

4故max5()(1)12fxf==，min5()(0)12fxf==−．18.信创产业即信息技术应用创新产业，是一条规模庞大、体系完整的产业链，是数字经济的重要抓手之一．在政府、企业等多方面的共同努力下，中国信创产业市场规模不断扩大，市场释放出

前所未有的活力．下表为2018—2022年中国信创产业规模（单位：千亿元），其中2018—2022年对应的代码依次为1~5．年份代码x12345中国信创产业规模y/千亿元8.19.611.513.816.7（1）从2018—2022年中国信创产业规模中任取2个数

据，求这2个数据都大于10的概率．（2）由上表数据可知，可用指数型函数模型xyab=拟合y与x的关系，请建立y关于x的回归方程（a，b的值精确到0.01），并预测2023年中国信创产业规模能否超过20千亿元．参考数据：v51i

iixv=1.919e0.177e61.192.4538.526.811.19284其中lniivy=，5115iivv==．参考公式：对于一组数据()11,uw，()22,uw，…，(),nnuw，其回归直线wu=+的斜率和截距的最小.二乘估计公式分别为1221niiiniiuwnu

wunu==−=−，wu=+．【答案】（1）310（2）6.811.19xy=，不会超过20千亿元．【解析】【分析】（1）根据古典概型概率计算公式，利用列举法可得2个数据都大于10的概率为310；（2）将指数型函数模型xyab=两边取对数可得lnlnlnyaxb=+，即lnl

nvaxb=+，再利用参考数据可得回归方程为6.811.19xy=，将2023年的年份代码6代入可得19.3420y$，即可得出结论.【小问1详解】从2018—2022年中国信创产业规模中任取2个数据

有()8.1,9.6，()8.1,11.5，()8.1,13.8，()8.1,16.7，()9.6,11.5，()9.6,13.8，()9.6,16.7，()11.5,13.8，()11.5,16.7，()13.

8,16.7，共10种情况．其中这2个数据都大于10的有()11.5,13.8，()11.5,16.7，()13.8,16.7，共3种情况，所以2个数据都大于10的概率310P=．【小问2详解】xyab=两边同时取自然对数，得()lnlnlnlnxyabaxb=

=+，则lnlnvaxb=+．因为3x=，2.45v=，52155iix==，所以5152221538.52532.45ln0.17755535iiiiixvxvbxx==−−===−−，lnln2.4

50.17731.919avxb=−=−=，所以1.9190.177vx=+，即ln1.9190.177yx=+，所以1.9190.177e6.811.19xxy+==$，即y关于x的回归方程为6.811.19xy=．2023年的年份代码为6，把6x=代入6.811.19xy

=，得66.811.196.812.8419.3420y==，所以预测2023年中国信创产业规模不会超过20千亿元．19.如图，三棱柱111ABCABC-中，侧面11ACCA为矩形，ABAC⊥且2,ABACD==为11BC的中点

，1122AABC==．（1）证明：1AC//平面1ABD；（2）求平面1ABC与平面1AAD的夹角的余弦值．【答案】（1）证明见解析（2）33【解析】【分析】（1）连接1AB与1AB交于点O，连接OD，则1//ACOD，利用线面平行的判定定理即可证明；（2）由已知条件得CA⊥

面11ABBA，则1CAAB⊥，由22211ABABBB+=得1ABAB⊥.以A为坐标原点，1,,ABABAC分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，由AB⊥面1ABC得平面1ABC的一个法向量为()11,0,0n=ur，设平面1AAD的法向量为()2,,nxyz=uur，由121200AAnA

Dn==求得()21,1,1n=−，然后利用向量夹角公式求解即可.【小问1详解】连接1AB与1AB交于点O，连接OD111ABCABC−为三棱柱，11ABBA为平行四边形，点O为1AB的中点又D为11BC的中点，则1//ACOD，又OD平面11,A

BDAC平面1ABD，1AC//平面1ABD．【小问2详解】解法1：11,,CAABCAAAABAAA⊥⊥=，CA⊥面11ABBA1AB面11ABBA，1CAAB⊥222211(22)22ABC

BAC=−=−=112,2,22ABABBB===，22211ABABBB+=，即1ABAB⊥以A为坐标原点，1,,ABABAC分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，()()()()()()1110,0,0,2,2,0,2,0,0,0,2,0,2,2,2,1,2,1AABBCD−−−(

)()112,2,0,1,0,1AAAD=−=11,,ABABABACABACA⊥⊥=AB⊥面1ABC，则平面1ABC的一个法向量为()11,0,0n=ur设平面1AAD的法向量为()2,,nxyz=uur，则

121200AAnADn==，即2200xyxz−+=+=令()21,1,1,1,1,1xyzn===−=−设平面1ABC与平面1AAD的夹角为，()1221211010113cos33111(1)nnnn++−====

++−平面1ABC与平面1AAD的夹角的余弦值是33．解法2：设点E为BC的中点，点F为AC的中点，连接DE交1BC于点Q，连接,,AEAQEF，设点P为AQ的中点，连接,EPFP点E为BC的中点，点

D为11BC的中点1//EQBB且1122EQBB==，点Q为1BC的中点11ACCA为矩形，1ACAA⊥又1,,ACABABAAAAC⊥=⊥平面11ABBA，1ACAB⊥1ACB中，11,2,22

ACABACBC⊥==，可得12AB=1ABC为等腰直角三角形，其中112,22ACABBC===而点Q为1BC的中点，1AQBC⊥且2AQ=点P为AQ的中点，点F为AC的中点1//FPBC且1112242FPCQBC===，FP

AQ⊥在又在RtABC中，2ABAC==，点E为BC的中点，2AE=在AEQ△中，2AEEQAQ===，且点P为AQ的中点EPAQ⊥且62EP=EPF即为平面1ABC与平面1AAD的夹角在EFP△中，1261,,222EFABFPEP====2223cos23EPF

PEFEPFEPFP+−==．平面1ABC与平面1AAD的夹角的余弦值是33．20.椭圆2222:1(0)xyCabab+=上顶点为B，左焦点为F，中心为O.已知T为x轴上动点，直线BT与椭圆C交于另一点D；而P为定点，坐标为(2,3)−，直线PT与y轴交于点Q.当T与F重合时

，有||||PBPT=，且2BTBPBQ=+.（1）求椭圆C的标准方程；（2）设T的横坐标为t，当(0,2)t时，求DTQ△面积的最大值.【答案】（1）22143xy+=（2）632−【解析】【分析】（1）由2BTBPBQ=+代入可求出1c=，再由||||PBPT=，用

两点间的距离公式可求出3b=，再由22abc=+，即可得出答案.（2）设直线BT的方程为(3)3txy=−−，与22143xy+=联立，由韦达定理可求出22434Dtyt−=+，设直线PT的方程为22(3)3txy++=−−，令0x=，可求出32Qtyt=+，表示出D

TQPTBSS，即可求出22234DTQttSt−=+△，结合基本不等式即可得出答案.【小问1详解】设(),0Fc−，因为当T与F重合时，有||||PBPT=，且2BTBPBQ=+，所以()()()0,,,0,(2,3),,0,QBbTcPQy−−，()()(),

,2,3,0,QBTcbBPbBQyb=−−=−−=−，由2BTBPBQ=+，知()()()2,2,30,Qcbbyb−−=−−+−所以()220c−=−+，即1c=，()()()2,3,2,31,3PBbPT

c=−=−+−=，由||||PBPT=知22||PBPT=，所以22222(3)1(3)b+−=+，即3b=，则222abc=+=，故椭圆C的标准方程为22143xy+=.【小问2详解】设直线BT的方程为(3)3txy=−−，与22143xy+=联立，可得()22224233120tytyt

+−+−=且0，有2231234Dtyt−=+，即22434Dtyt−=+，设直线PT的方程为22(3)3txy++=−−，令0x=，可得32Qtyt=+，由()sin,sin333DTQQDQ

DDTQPTBPTBSyyyyQTDTDTQQTDTSSSPTBTBTPPTBT−====−，由题意知：=3PTBS，则22234DTQttSt−=+△，(0,2)t，而22222(2)21=1

121844424(2)42ttttttt−+−=−−++−++−+，当222t+=，即222t=−时取等，且()0,2t，故DTQ△面积的最大值为632−.21.设函数()exfxax=−，其

中aR.（1）讨论函数()fx在[1,)+上的极值；（2）若函数f(x)有两零点()1212,xxxx，且满足1211xx++，求正实数的取值范围.【答案】（1）答案见解析（2）[1,)+【解析】【分析】（1）求出()exfxa=−，分ea、ea讨论，可得答案；（2

）由零点存在定理可知120lnxax，而题设1212ee0xxaxax−=−=，消去a可得221121eeexxxxxx−==，令211xtx=，且21lntxx=−，求出2x，1x，将其代入1211xx++得(1)(1)()ln01tF

ttt+−=−+，再利用导数分1、01讨论可得答案..【小问1详解】由()exfxax=−知()exfxa=−，1）当ea时，且有[1,)x+，()0fx，()fx单调递增，

故无极值；2）当ea时，有(1,ln)xa，()0fx，()fx单调递减，而(ln,)xa+，()0fx，()fx单增，故()(ln)lnfxfaaaa==−极小值，()fx无极大值.综上，当e

a时，()fx无极值；当ea时，()fx极小值为lnaa−，()fx无极大值；【小问2详解】由（1）可知当ea时，(ln)(1ln)0faaa=−，1(00f=），且xfx→+→+，（），由零点存在定理可知120lnxax，而题设可

知1212ee0xxaxax−=−=，消去a可得221121eeexxxxxx−==，令211xtx=，且21lntxx=−，即2ln1ttxt=−，1ln1txt=−，将其代入1211xx++，整理可令

得(1)(1)()ln01tFttt+−=−+，而()()22221(1)1(1)(1)(1)ttFttttt−−+=−=++，1)当1时，且(1,)t+，有()22(1)0(1)tFtt

t−+，()Ft单调递增，()(1)0FtF=，满足题设；2)当01时，且211,t，有()0Ft，()Ft单调递减，()(1)0FtF=，不满足题设；综上，的取值范围为[1,)+.【点睛】关键点点睛：第二问解题关键点是1212ee0xxax

ax−=−=消去a可得221121eeexxxxxx−==，令211xtx=得2x、1x，将其代入1211xx++构造函数(1)(1)()ln01tFttt+−=−+，本题还考查了学生思维能力、运算能力.22.在平面直角坐标系xOy中，以O为极点，x

轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C和直线l的极坐标方程分别为2sin2cosa=+和：πsin24−=．且二者交于M，N两个不同点．（1）写出曲线C和直线l的直角坐标方程；（2）若点P的

极坐标为(2,π)，||||52PMPN+=，求a的值．【答案】（1）()()2221+1−+−=xaya，2yx=+（2）2或4−【解析】【分析】（1）利用极坐标与平面直角坐标方程互化公式进行求解；（2）先判断出P的直角坐标为(2,0)−，在直线l上，写出直线l的标准参数方程，代入

曲线的普通方程中，得到1a，分1a−且1a，1a−两种情况，列出方程，求出答案.小问1详解】由2sin2cosa=+，得22sin2cosa=+，故曲线C的直角坐标方程为2222xyyax+=+，即222

()(1)1xaya−+−=+；由πsin24−=，得sincos2−=，故直线l的直角坐标方程为2yx=+．【小问2详解】因为π2,2sinπ02cos=−=，所以点P的直角坐标为(2,0)−，在直线l上，而直线l的标准参数方程为22222xtyt

=−+=（t为参数），将其代入2222xyyax+=+，整理可得2(322)440tata−+++=．由题设知222(3)4(44)2(1)0aaa=+−+=−，解得1a．又12322tta+=+，1244tta=+．当1a−，且1a时，有1t，20t，则12

12||||2(3)52PMPNtttta+=+=+=+=，解得2a=，满足要求；当1a−时，有120tt，则()()212122121||||21524PMPNtttttttat+=+==−−+−==，解得4a=−，满足要求．故a的值为2或4−．

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