【文档说明】北京市首都师范大学附属中学(成达部)2024-2025学年高一上学期10月月考数学试题 Word版含解析.docx，共(16)页，777.673 KB，由小赞的店铺上传

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首师大附中2024级高一学业诊断（一）数学（成达部）2024年10月12月第I卷（共40分）一､选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题所列出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的）1.设集合11,Z,,Z3663kkMxxkNxxk

==+==+||，则（）A.MN=B.MNC.NMD.MN=【答案】B【解析】【分析】根据集合,MN的表达式，可求出集合M是16的奇数倍，N是16的整数倍，即可得出,MN的关系.【

详解】由()11,Z21,Z366kMxxkxxkk==+==+||可知，集合M表示的是16的奇数倍；由()11,Z2,Z636kNxxkxxkk==+==+||可知，集合N表示的是16的整数倍；即可知M是N的真子集，即MN.故选：B

2.函数232xyx−=−的定义域是（）A.3,2+B.()3,22,2+C.()3,22,2+D.()(),22,−+【答案】B【解析】【分析】由题意，分子根号下的式子大于或等于零，分母不为零，据此列出x的不等式组，求解即可．【详解】解：要使原式

有意义只需：23020xx−−，解得32x且2x，故函数的定义域为()3,22,2+．故选B．【点睛】求函数的定义域分两类，一是实际问题中函数的定义域，有变量的实际意义确定；二是一般函数的定义域，由使式子有意

的x的范围确定，一般是列出不等式组求解．注意结果要写成集合或区间的形式．3.下列函数既是奇函数又在区间()0,1上是增函数的是（）A.13yx−=B.lnyx=C.1yxx=−D.222,02,0xxxyxxx−=−−【答

案】C【解析】【分析】根据题意，结合函数的奇偶性的定义和判定方法，以及初等函数的单调性，逐项判定，即可求解.【详解】对于A中，由幂函数的性质，可得函数13yx−=在区间()0,1上是减函数，不符合题意；对于B中，由对数函数的性质，可得lnyx=在区间()0,1上是

减函数，不符合题意；对于C中，由函数()1fxxx=−的定义域为(,0)(0,)−+，关于原点对称，且()()11()fxxxfxxx−=−+=−−=−，所以函数()fx奇函数，又由函数1yxx=−在(0,)+为增函数，所以在区间()0,1上也是增

函数，符合题意；对于D中，由函数222,02,0xxxyxxx−=−−，当0x时，22yxx=−−，根据二次函数的图象与性质，可得22yxx=−−在区间()0,1上是减函数，不符合题意.故选：

C.4.为了得到函数2log(22)yx=−的图象，只需把函数2logyx=的图象上的所有点（）A.向左平移2个单位长度，再向上平移2个单位长度为B.向右平移2个单位长度，再向下平移2个单位长度C.向左平移1个单位长度，

再向上平移1个单位长度D.向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度【答案】D【解析】【分析】按照左加右减，上加下减，结合对数运算法则进行计算，得到答案.【详解】A选项，向左平移2个单位长度，再向上平移2个单位长度，

得到()()222log22log842og4lyxxx=++=++=，错误；B选项，向右平移2个单位长度，再向下平移2个单位长度得到()222log22log4xyx−=−−=，错误；C选项，向左平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度得到()()()()22222

log11log1lo2g2log1lo2g2yxxxx=++=+=+=++，错误；D选项，向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度得到()()()()22222log11log1lo2g2log1lo2g2yxxxx=−+=+=−=−−，正确.故选：D5.下列结论

正确的个数是（）①若ab，则22ab；②若ab，则11ab；③22(,ababab+不全为零)；④()2221abab+−−≥A.0个B.1个C.2个D.3个【答案】C【解析】【分析】利用特殊值，可以直接判

断①②，用作差法判断③④，进而确定选项.【详解】对于①②，1,1ab==−，则ab，但是22ab=，11ab，故①②错误；对于③，因为,ab不全为0，则𝑎2+𝑏2−𝑎𝑏=(𝑎−12𝑏)2+34𝑏2

>0，则22abab+，故③正确；对于④，()()()222221110ababab+−−−=−++，则()2221abab+−−，故④正确.故选：C.6.函数()(1)ln1fxxx=+−的大致图像是（）A.B

.C.D.【答案】B【解析】【分析】由1()02f−排除两个选项，再由2x时，()0fx排除一个选项后可得正确选项．【详解】∵()(1)ln1fxxx=+−，所以113()ln0222f−=，故排除C，D，当2x时，()(1)

ln(1)0fxxx=+−恒成立，排除A，故选：B．7.若“12x”是“21xm−”充分不必要条件，则实数m的取值范围为（）A.1,12B.1,12C.1,12D.1,12【答案】C【解析】【分析】首先解出绝对值不等式，再根据充分不必要条件得

到集合的包含关系，即可得到不等式组，解得即可.【详解】由21xm−，即121xm−−，解得2112mxm−+，因为“12x”是“21xm−”充分不必要条件，所以()1,2真包含于()21,12mm−+，所以122211mm+−（等号不能同时取得），解得112m

，所以实数m的取值范围为1,12.故选：C8.已知关于x的不等式()()1320axx−++的解集是()12,xx，则下列结论中错误的是（）A1220xx++=B.1231xx−C.124xx−D

.1230xx+【答案】ACD【解析】【分析】由不等式及其解集得出0a，然后结合二次函数(1)(3)yaxx=−+的大致图象及直线2y=−可得关于12,xx的性质．【详解】根据不等式的解集得0a，原不等式化为(1)(3)2axx−+−，作出函数(1)(3)yaxx=−+的大致图象，及

直线2y=−，如图，函数图象的对称轴是1x=−，由图象知：122xx+=−，即1220xx++=，A正确；1231xx−，B错；124xx−−，即|𝑥1−𝑥2|>4，C正确；123xx−，即1230xx+，D正确．故选：ACD．9.已知函数()22,,xaxxafxxaxa−+

=+，若对于任意正数k，关于x的方程()fxk=都恰有两个不相等的实数根，则满足条件的实数a的个数为（）A.0B.1C.2D.无数【答案】B【解析】.【分析】分0a=、0a、0a三种情况讨论，作出函数()fx的图象，根据已知条件可得出关于实数a

的等式与不等式，进而可求得实数a的取值.【详解】当0a=时，()22,0,0xxfxxx+=，作出函数()fx的图象如下图所示：由图可知，当02k时，关于x的方程()fxk=有且只有一个实根，不

合乎题意；当0a时，()22,,,xaxxafxxaaxaxaxa−+=+−−−−，如下图所示：函数()fx在(),a−−上单调递减，在(),aa−上单调递增，在(),a+上单调递增，由题意可得22222aaaa−+==，解得1a=；若0a，则()

22,,xaxxafxxaxa−+=−−，如下图所示：函数()fx在(),a−单调递减，在,2aa上单调递减，在,2a+上单调递增，由题意可得2222280aaaa−+=−

=−，此时a无解.综上所述，1a=.故选：B.【点睛】方法点睛：已知函数有零点（方程有根）求参数值（取值范围）常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的

值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.10.设A，B为两个非空有限集合，定义(),1ABJABAB=−，其中S表

示集合S的元素个数.某学校甲､乙､丙､丁四名同学从思想政治､历史､地理､物理､化学､生物这6门高中学业水平等级性考试科目中自主选择3门参加考试，设这四名同学的选考科目组成的集合分别为1S，2S，3S，4S.已知1S={物理，化学，生物}，2S={地理，物理，化学}，3S={思想政治

，历史，地理}，给出下列四个结论：①若()24,1JSS=，则4S={思想政治，历史，生物}；②若()()1214,,JSSJSS=，则4S={地理，物理，化学}；③若4S={思想政治，物理，生物}，则()()()142434,,,JSS

JSSJSS=；④若()()()142434,,,JSSJSSJSS=，则4S={思想政治，地理，化学}.其中正确结论的个数是（）A.1个B.2个C.3个D.4个【答案】B【解析】【分析】对于①③，直接根据定义计算，即可判定；对于②，通过定义计算得到14SS必为偶数，讨论146SS=和144S

S=，两种情况下的求解，即可判定；对于④，通过举例4S={物理，地理，历史}，即可判定.【详解】对于①中，由()242424,11SSJSSSS=−=，所以240SS=，所以24SS=，又由2S={地理，物理，化学}，所以4S={思想政治，历史，生物}，所以①正确；对于②，由()()

1214,,JSSJSS=，即121412142142SSSSSSSS===，所以14142SSSS=，所以14SS必为偶数，又1436SS，当146SS=时，140SS==，不符合14142SSSS=，所以144SS=且142SS=

，此时4S情况较多，比如：4S={物理，地理，生物}，所以②错误；对于③中，若4S={思想政治，物理，生物}，则()()()231444211414,1,,1,,1425555JSSJSSJSS=−==−==−=，所以()()()142

434,,,JSSJSSJSS=，所以③正确；对于④中，当4S={物理，地理，历史}时，()()()231444142121,1,,1,,1554242JSSJSSJSS=−==−==−=，满足()()()14

2434,,,JSSJSSJSS=，但不是4S={思想政治，地理，化学}，所以④错误.故选：B.第II卷（共60分）二､填空题（本大题共8小题，每小题4分，其32分）11.函数212,,22yxxx=−+的值域为__________.【答案】(0,1]【解析】【分析】

根据二次函数的性质求解．【详解】由已知2(1)1yx=−−+，它在1[,1)2上单调递增，在(1,2)上单调递减，1x=时，max1y=，又12x=时，34y=，2x=时，0y=，所以所求的值域为(0,1]

.故答案为：(0,1]．12.已知函数()fx，若对于任意的正实数,xy都满足()()()(),21fxyfxfyf=+=，则()8f=__________.【答案】3【解析】【分析】根据题意，令2xy==，求得()42f=，再令2,4xy==，即可求得()8f的值，得到答案.【详

解】因为函数()fx，对于任意的正实数,xy都满足()()()(),21fxyfxfyf=+=，令2xy==，可得()()()4222fff=+=，令2,4xy==，可得()()()8243fff=+=.故答案为：3.13.已知函数(

)fx是定义在(),−+上的偶函数，当(),0x−时，()2fxxx=−，则当𝑥∈(0,+∞)时，()fx=______.【答案】2xx−−【解析】【分析】当𝑥∈(0,+∞)时，可得(),0x−，根据题意，结合()()fxfx=−，

即可求解.【详解】当𝑥∈(0,+∞)时，可得(),0x−，因为函数()fx是定义在(),−+上的偶函数，且(),0x−时，()2fxxx=−，可得()()22()()fxfxxxxx=−=−−−=−−，即当𝑥∈(0,+∞)时，()

2fxxx=−−.故答案为：2xx−−.14.已知关于x的方程220xbxb+−=的两根为12,xx，满足1211xx−，则实数b的取值范围为__________.【答案】1(0,)3【解析】【分析】利用一元二次方程根的分布

知识求解．【详解】由一元二次方程根的分布得2Δ44011120120bbbbbbb=+−−−−+−，解得103b，故答案为：1(0,)3．15.若函数2()4fxxxm=−+有4个零点，实数m的取值范

围为________.【答案】40m−【解析】【分析】由()0fx=，得到24xxm−=−，作出函数24yxx=−的图像，利用数形结合解求出m的取值范围.【详解】解：2()4fxxxm=−+有4个零点，方程()0fx=有4个根，得到24xxm−=−，则函数24yxx=−

与直线ym=−有4个交点，作出函数24yxx=−的图像如下：由图像可知，当04m−，即40m−时，函数24yxx=−与直线ym=−有4个交点.故答案为：40m−.【点睛】本题考查了函数的零点问题，属于中档题.含参数的函数零点问题，要先分离参数，将函数零点问题转化成曲

线的交点问题，利用数形结合思想解决零点问题.16.设关于x的方程10axa−−=和21102xxa+−−=的实根分别为123,,xxx，若213xxx，则实数a的取值范围是__________.【答案】1(1,)(2,)2−−+【解析】【分析】根据题意，求得11axa+=，设函数

()2112fxxxa=+−−，结合二次函数的性质，得到()10fx，进而求得实数a的取值范围.【详解】由题意，关于x的方程10axa−−=和21102xxa+−−=的实根分别为123,,xxx，可得0a，则方程10axa−−=的解为11axa+=，设函数()2112fxxxa=+

−−又因为213xxx，可得()2111()102aafxaaa++=+−−，整理得(1)(2)(21)0aaa+−+，解得112a−−或2a，即实数a的取值范围是1(1,)(2,)2−−+.故答案为：1(1,)(2,)2−−+.17.李明自主创业，经

营一家网店，每售出一件A商品获利8元．现计划在“五一”期间对A商品进行广告促销，假设售出A商品的件数m（单位：万件）与广告费用x（单位：万元）符合函数模型231mx=−+．若要使这次促销活动获利最多，则广告费用x应投

入_______万元．【答案】3【解析】【分析】设李明获得的利润为()fx万元，求出()fx关于x的表达式，利用基本不等式可求得()fx的最小值及其对应的x的值.【详解】设李明获得的利润为()fx万元，则0x，则()()()216161688324251252

11111fxmxxxxxxxxx=−=−−=−−=−++−+++++25817=−=，当且仅当1611xx+=+，因为0x，即当3x=时，等号成立.故答案为：3.【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条

件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验

证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.18.已知函数()fx，对于任意实数[,]xab，当0axb时，记0|()()|fxfx−的最大值为[,]0

()abDx.①若2()(1)fxx=−，则[0,3](2)D=__________；②若22,0,()21,0,xxxfxxx−−=−−则[,2](1)aaD+−的取值范围是__________．

【答案】①.3②.[1,4]【解析】【分析】①先计算()21f=，利用数形结合，画出|()1|fx−图像，根据新定义，可得结果；②先计算()11f−=，利用数形结合，画出|()1|fx−图像，根据新定义，结合分类讨论的方法，可得结果.详解】①当03x时，()21f=，则()20|()()|11

fxfxx−=−−()()2211,0211,23xxxx−−−−，作出|()1|fx−的图像，如下图：可知当3x=时，|()1|fx−取到最大值，最大值()2[0,3](2)3113D=−−=；②

由题意得：()1121f−=−+=，∴()(),2max11aaDfx+−=−，,2xaa+，又()()22211,0121111,0xxxxfxxxx−−−=+−=−−−=−−，可得()1fx−的图象

如图所示，∵1,2aa−+，∴区间长度为2，当1a=−时，【()()(),21,1max111aaDDfx+−−=−=−，所以()max1fx−()011f=−=；当21a+=−时，()()(),23,1max111a

aDDfx+−−−=−=−，所以()max1fx−()314f=−−=，∴(),21aaD+−的取值范围为：1,4.故答案为：3；1,4.【点睛】关键点睛：本题主要考查函数与方程的应用，求出函数的解析式，利用数形结合以及函数最值的性质是解决本题的关键.三､解

答题（本大题共2小题，共28分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤）19.解关于x的方程：()112axx−−【答案】答案见解析【解析】【分析】根据题意，化简不等式为(1)(2)02axax−−−−，结合分式不等式的解法，分

类讨论，即可求解.【详解】由不等式()112axx−−，可得()1(1)(2)1022axaxaxx−−−−−=−−，（1）若10a−=，即1a=时，102x−，解得2x，所以不等式的解集为(2,)+；（2）若10a−，即1a时，因为211111aaa−=−−−，解得21axa

−−或2x，不等式的解集为2(,](2,)1aa−−+−；（3）若10a−，即1a时，不等式即为2102axax−−−−，当01a时，可得221aa−−，解得221axa−−，不等式的解集为2(2,]1aa−−；当0a=时，可得221aa−=−，此时不等式的解集为；

当0a时，可得221aa−−，解得221axa−−，不等式的解集为2[,2)1aa−−，综上可得，当1a时，不等式的解集为2(,](2,)1aa−−+−；当1a=时，不等式的解集为(2,)+；当01a时，不等式的解集为2(2,]1aa−−；当0a=时，不等式的解集为；当0

a时，不等式的解集为2[,2)1aa−−.20.已知函数()31xfxxx=++.（1）证明：函数()fx是奇函数；（2）用定义证明：函数()fx在()0,+上是增函数；（3）若关于x的不等式()()2310faxaxfax+

+−对于任意实数x恒成立，求实数a的取值范围.【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析（3）0,1【解析】【分析】（1）根据函数奇偶性的定义和判定方法，即可可证；（2）根据函数单调性的定义和判定方法，即可得证；（3）根据题意，得到函数()fx为定义域R上的奇函数，且为单调递增函数，

不等式转化为231axaxax+−对于任意实数x恒成立，分0a=和0a，结合二次函数的性质，列出不等式组，即可求解.【小问1详解】证明：由函数()31xfxxx=++，可得其定义域为R，关于原点对称，又由()()3(3)11xxfxxxfxxx−=−

−=−+=−−++，所以函数()fx为定义域R上的奇函数.【小问2详解】证明：当(0,)x+时，()133111xfxxxxx=+=+−++，任取12,(0,)xx+，且12xx，可得()()1212121

221111131(31)3()()1111fxfxxxxxxxxx−=+−−+−=−+−++++()()()()121212212113()()[3]1111xxxxxxxxxx−=−+=−+++++因为12,(

0,)xx+，且12xx，可得120xx−，(𝑥2+1)(𝑥1+1)>0，所以()()120fxfx−，即()()12fxfx，所以函数()fx在(0,+∞)上是增函数.【小问3详解】因为函数()fx为定义域

R上的奇函数，且在(0,+∞)上是增函数，所以函数()fx在(),0−上也是增函数，又因为()00f=，所以函数()fx在R上是增函数，又由()()2310faxaxfax++−，可得()()231(1)faxxfaxfax+−−=−，因为不等式()()2310faxaxfax++−

对于任意实数x恒成立，即不等式()23(1)faxaxfax+−对于任意实数x恒成立，可得不等式231axaxax+−对于任意实数x恒成立，即不等式2210axax++≥对于任意实数x恒成立，当0a=时，不等式即10恒成立，符合题意；当0a时，则满足{

𝑎>0Δ=(2𝑎)2−4𝑎≤0，解得01a，综上可得，01a，即实数a的取值范围[0,1].为