【文档说明】浙江省绍兴市2021-2022学年高一下学期期末数学试题 含解析 .docx，共(21)页，1.661 MB，由小赞的店铺上传

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2021学年第二学期高中期末调测高一数学注意事项：1.请将学校、班级，姓名分别填写在答卷纸相应位置上．本卷答案必须做在答卷相应位置上．2.全卷满分100分，考试时间120分钟．一、单项选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，在每小题给出的四个选

项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知i是虚数单位，复数1izi=+，则z的虚部为（）A.12iB.12i−C.12D.12−【答案】C【解析】【分析】利用复数的除法化简复数z，由此可得出复数z的虚部.【详

解】()()()1111111222iiiiziiii−+====+++−，因此，复数z的虚部为12.故选：C.2.（2015新课标全国Ⅰ文科）已知点(0,1),(3,2)AB，向量(4,3)AC=−−，则向量BC=A.(7,4)−−B.(7,4)C.(1,4)−D.(1,

4)【答案】A【解析】【详解】试题分析：(31)(43)(74)BCBAAC=+=−−+−−=−−，，，,选A.考点：向量运算3.从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取两个球，那么互斥而不对立的事件是（）A.至

少有一个黑球与都是黑球B.至少有一个黑球与至少有一个红球C.恰有一个黑球与恰有两个黑球D.至少有一个黑球与都红球【答案】C【解析】【分析】根据互斥事件和对立事件的定义，依次验证即可.【详解】对于A：事件：

“至少有一个黑球”与事件：“都是黑球”可以同时发生，如：两个都是黑球，∴这两个事件不是互斥事件，∴A不正确；对于B：事件：“至少有一个黑球”与事件：“至少有一个红球”可以同时发生，如：一个红球一个黑球，∴B不正确；对于C：事件：“恰好有一个黑球”与事件：“恰有两个黑球”不

能同时发生，但从口袋中任取两个球时还有可能是两个都是红球，∴两个事件是互斥事件但不是对立事件，∴C正确；对于D：事件：“至少有一个黑球”与“都是红球”不能同时发生，但一定会有一个发生，∴这两个事件是对立事件

，∴D不正确.故选：C．4.3名男生和2名女生中任选2人参加学校活动，则选中的2人都是男生的概率为（）A.0.6B.0.5C.0.4D.0.3【答案】D【解析】【分析】利用列举法表示出基本事件，直接求概率.【详解】把3名男生用a、b、c表示，2名女生用1、2表示.从5人选出2人有：,

,1,2,,1,2,1,2,12abacaabcbbcc共10种，选中的2人都是男生有,,abacbc共3种.故选中的2人都是男生的概率为30.310=.故选：D5.已知平面a，，直线l，直线m不在平面上，下列说法正确的是（）

A.若//,//m，则//lmB.若//,m⊥，则lm⊥C.若//,//lm，则//mD.若,//lmm⊥，则⊥【答案】B【解析】【分析】根据线、面之间的位置关系，逐一判断即可求解.【详解

】对于A，若//,//m，则l与m平行或者相交，故A不正确；是对于B，若//,m⊥，利用面面平行的性质定理可得lm⊥，故B正确；对于C，若//,//lm，则//m或m，故C不正确；对于D

，若,//lmm⊥，则与相交或平行，故D不正确；故选：B【点睛】本题考查了直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系，属于基础题.6.为了选拔数学尖子生，某校数学组在高一年级中挑选出10位学生进行解题能力测试，这10位学生在一小时内正确解出的题

的个数分别是14，17，14，10，16，17，17，16，14，12，设该数据的平均数为a，第50百分位数为b，则有（）A.13.7,15.5ab==B.14.7,15ab==C.14.7,14ab==D.14.7,16ab==【答案】B【解析】【分析

】根据平均数和百分位数的定义求解即可【详解】由题意得1(14171410161717161412)14.710a=+++++++++=，这10个数从小到大排列为10，12，14，14，14，16，16，17，17，17，因为1050%5=，所以1416152b+==，故选：B7.已知1m

n==，()pmxnxR=+，函数()fxp=，当34x=时，f（x）有最小值，则m在n上的投影向量为（）A.34nB.32nC.－34nD.－32n【答案】C【解析】【分析】根据题意写出()fxp=的表达式，结合二次函数知识求得34mn=−，根据

投影向量的定义即可求得答案.【详解】由题意得，1mn==,()2222()21()1()fxpmxnxxmnxmnmn==+=++=++−，当xmn=−时，()fxp=有最小值，即33,44mnmn−==−，则m在n上的投影向量为34||mnnnn=−，故选：C

8.在三角形ABC中，已知()0ABACBC+=，1sin3A=，D是BC的中点，三角形ABC的面积为62，则AD的长为（）A.2192B.512C.219D.51【答案】A【解析】【分析】由()0ABACBC+=可得220ACBC−

=，从而得ab=，AB=，所以2CA=−，再利用余弦的二倍角公式可求出cosC，由同角三角函数的关系求出sinC，再由三角形ABC的面积为62，可求出a，然后在ACD△中利用余弦定理可求得答案【详解】如图，设ABC内角,,ABC的对边分

别为,,abc，因为()0ABACBC+=，所以()()0ACACBCCB++=，即()()0ACACBCBC−+=，所以220ACBC−=,所以22ACBC=，即22ba=，因为0,0ab，所以ab=，所以AB=因为ABC++=，所以2CA

BA=−−=−，因为1sin3A=，所以coscos(2)cos2CAA=−=−22172sin12139A=−=−=−,的因为0C，所以2742sin1cos2199CC=−=−−=,因为三角形ABC的面积为62，所以21142sin6222

9abCa==，得227a=，因为0a，所以33ab==，因为D是BC的中点，所以13322CDa==,在ACD△中，由余弦定理得2222cosADACCDACCDC=+−2233337(33)233229=+−−2194

=，因为0AD，所以2192AD=，故选：A二、多项选择题（本大题共4小题，每小题3分，共12分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得3分，部分选对的得1分，有选错的得0分）9.已知i是虚数单位，12iz=+，复数1z，2z共轭，则以下正确的是（）A.124zz+=B.212

2zzz=C.12zzD.1234i55zz=+【答案】AD【解析】【分析】根据复数的性质与运算逐个判断即可【详解】对A，12iz=+，22iz=−，故124zz+=正确；对B，()()122i2i5zz+−==，()2222i34iz=−=−，故B错误；对C，

虚数不能比较大小，故C错误；对D，()()()1222i34i2iii52522izz++−−=++==，故D正确；故选：AD10.某保险公司为客户定制了5个险种：甲，一年期短险；乙，两全保险；丙，理财类保险；丁，定期

寿险：戊，重大疾病保险，各种保险按相关约定进行参保与理赔．该保险公司对5个险种参保客户进行抽样调查，得出如下的统计图例：用该样本估计总体，以下四个选项正确的是（）A.54周岁以上参保人数最少B.18～29周岁

人群参保总费用最少C.丁险种更受参保人青睐D.30周岁以上的人群约占参保人群20％【答案】AC【解析】【分析】根据选项逐一对相应的统计图进行分析判断即可.【详解】解：对A：由扇形图可知，54周岁以上参保人数最少，故选项A正确；对B：由

折线图可知，18～29周岁人群人均参保费用最少，但是由扇形图知参保人数并不是最少的，所以参保总费用不是最少，故选项B错误；对C：由柱状图可知，丁险种参保比例最高，故选项C正确；对D：由扇形图可知，30周岁以上的人群约占参保人群80％，故选项D错

误.故选：AC.11.如图，在四棱锥P－ABCD中，侧面ABCD是等腰梯形，若BAPB⊥，E，F，G分别是AB，CD，AP的中点，22BCDC==，则下列结论成立的是（）A.PDPC=B.GFAB⊥C.∠FEG

即二面角DABP−−的平面角D.异面直线DA与BP所成角是∠GEC【答案】BC【解析】【分析】连接,,EFPEPF，若PDPC=，利用等腰三角形性质、线面垂直的判定可证AB⊥面PEF，进而有ABPE⊥，得到矛盾结论排除A；连接,,,ECG

EGCGF，利用线面垂直的判定和性质判断GFAB⊥是否成立，判断B；根据二面角定义判断DABP−−的平面角，判断C；由题图仅当DCAE=时直线DA与BP所成角是∠GEC或其补角，即可判断D.详解】连接,,EF

PEPF，侧面ABCD是等腰梯形，有//CDAB，又E、F分别是AB、CD的中点，则EFAB⊥，若PDPC=，则PFCD⊥，即PFAB⊥，【由EFPFF=，,EFPF面PEF，则AB⊥面PEF，而PE面PEF，则ABPE⊥，又BAPB⊥，

与过直线AB外一点P有且仅有一条直线与AB垂直矛盾，A错误；连接,,,ECGEGCGF，由E，G分别是AB，AP的中点，则//GEPB，又BAPB⊥，即GEBA⊥，且GEEFE=，,GEEF面GEF，所

以BA⊥面GEF，GF面GEF，则GFAB⊥，B正确；由面ABCD面PABAB=，EF面ABCD，GEÌ面PAB，所以∠FEG是二面角DABP−−的平面角，C正确；由于,DCAE不一定相等，即AECD不一定

是平行四边形，故,ECAD不一定平行，所以异面直线DA与BP所成角不一定是∠GEC，D错误.故选：BC12.已知△ABC为锐角三角形，P为此三角形的外心，30BAC=，PBC，PAC△，PAB△面积分别为12，x，y，则以下结论正确的是（）A.120BPC=

B.33BPBC=C.△ABC的外接圆半径为233R=D.xy+的最大值为33【答案】BD【解析】【分析】对A，根据外心的定义，结合圆的性质求解即可；对B，先根据12PBCS=△，结合30BAC=求得外接圆半径的平方，再根据数量积的公式

求解即可；对C，根据12PBCS=△，结合30BAC=求得外接球半径即可；对D，根据12ABCSxy=++V，并分析ABCS的最大值求解即可【详解】对A，由题意画图，由圆的性质可得260BPCBAC==

o，故A错误；对BC，设△ABC的外接圆半径为R，则因为12PBCS=△，60BPC=，故211sin6022R=o，解得2233R=，故C错误；易得正BPC△，故23cos603BPBCR==ouuruuur，故B正确；

对D，因为△ABC为锐角三角形，故P在△ABC内部，故12ABCSxy=++V，当ABCS最大时xy+取得最大值.易得当A离BC最远时，ABCS最大，此时ABAC=，2PABPACPABxySSS+=+=VVV213606032sin223R−=

=oo，故D正确；故选：BD三、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分）13.在一次数学考试中，班级前四名的成绩是99，98，96，95，已知班级前五名学生的平均成绩是96，则这五名学生数学成绩的方

差为________．【答案】6【解析】【分析】先求出第五名同学的成绩为92，套公式求出方差.【详解】因为班级前四名的成绩是99，98，96，95，班级前五名学生的平均成绩是96，所以第五名同学的成绩为()9659998969592−+++=.所以这一组数据为：99，98，96，95

，92，方差为()()()()()22222219996989696969596929665s=−+−+−+−+−=.故答案为：614.已知向量()()1,3,3,4ab==，若()abb−⊥，则=__________．【答案】35【解析】【分析】根

据平面向量数量积的坐标表示以及向量的线性运算列出方程，即可解出．【详解】因为()()()1,33,413,34ab−=−=−−，所以由()abb−⊥可得，()()3134340−+−=，解得35=．故答案为：35．【点睛】本题解题关键是熟记平面向量

数量积的坐标表示，设()()1122,,,axybxy==，121200ababxxyy⊥=+=，注意与平面向量平行的坐标表示区分．15.《九章算术》中有记载，“刍甍者下有袤有广，而上有袤无广．刍，草也．甍，屋盖也．”翻

译为“底面有长有宽为矩形，顶部只有长没有宽为一条棱．刍甍字面意思为茅草屋顶．”现有一个刍甍如图所示，四边形ABCD为正方形，四边形ABFE，CDEF为两个全等的等腰梯形，腰长为3，//EFAB，24ABEF==，则这个刍甍的体积为________．【答案】403【解析】【分析】取CD,AB

的中点M,N,连接FM,FN,则多面体分割为棱柱与棱锥两个部分.设F到平面ABCD的距离为h,求出2h=，分别求出棱柱与棱锥的体积，即可求出总体积.【详解】取CD,AB的中点M,N,连接FM,FN,则多面体分割为

棱柱与棱锥两个部分.设F到平面ABCD的距离为h,如图示：221124522OCNC==+=,所以222352hOFCFCO==−=−=.所以1116242333FBCMNBCMNVSh−===.作出棱柱ADENMF−的一个直截面，则其面积为14242

=，所以428ADENMFV−==.所以总的体积为1640833+=.故答案为：403.16.已知三棱锥PABC−，点P，A，B，C都在半径为3的球面上，底面ABC为正三角形，若PA⊥平面ABC，PAAB=，则球心到截

面ABC的距离为________．【答案】377【解析】【分析】设正ABC的中心为1O，取BC的中点D，连接AD，设三棱锥PABC−外接球的球心为O，连接1OO、OA，则112OOPA=且1OO⊥平面ABC，再设ABPAa==，利用勾股定理得到

方程，即可求出a，从而得解；【详解】解：设正ABC的中心为1O，取BC的中点D，连接AD，则1O为AD的一个三等分点，设三棱锥PABC−外接球的球心为O，连接1OO、OA，则112OOPA=，OA即为外接球的半径，且1OO⊥平面ABC，即1OO即为球心到截面ABC的距离，设

ABPAa==，则2232ADABBDa=−=，所以12333AOADa==，所以22211AOOOAO=+，即()22213323aa=+，解得677a=，所以113727OOPA==；故答案为：377四、解答题（本大题共6小题

，共52分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.已知向量,ab满足3,5aab=−=．（1）若0ab=，求|b|的值；（2）若1ab=，求2ab+的值．【答案】（1）4（2）58【解析】【分析】（1）将5ab−=两边平方化简求解即可；（2）将5ab−=两边平方化简

得到32b=r，根据()222abab+=+求解即可【小问1详解】∵5ab−=∴22222925abababb−=+−=+=rrrrrrr，∴216b=，即4b=【小问2详解】222229225abababb−=+−=

+−=，∴218b=，即32b=r()22222443641858ababaabb+=+=++=++=rrrrrrrr．18.如图，已知在正三棱柱111ABCABC−中，D为棱AC的中点，12ABAA==．（1）求正

三棱柱111ABCABC−的表面积；（2）求证：直线1AB//平面1CBD．【答案】（1）1223+（2）证明见解析【解析】【分析】（1）求解上下底的面积，结合侧面积求解即可；（2）取1CB和1BC交点M，连DM，再证明1//ABDM即可【小问1详解】232232212234S=

+=+表．【小问2详解】取1CB和1BC交点M，连DM，∵D，M分别为AC，1BC中点，故1//ABDM．1AB平面1BDC，DM平面1BDC．∴1AB//平面1BDC．19.某市疫情防控常态化，在进行核酸检测时需要一定量的志

愿者．现有甲、乙、丙3名志愿者被随机地分到A，B两个不同的岗位服务，每个岗位至少有一名志愿者．（1）求甲、乙两人同时参加A岗位服务的概率；（2）求甲、乙两人不在同一个岗位服务的概率．【答案】（1）16（2）23【解析】【分析

】（1）利用古典概型去求甲、乙两人同时参加A岗位服务的概率；（2）利用古典概型去求甲、乙两人不在同一个岗位服务的概率．【小问1详解】甲、乙、丙3名志愿者被随机地分到A，B两个不同的岗位服务，每个岗位至少有一名志愿者．基本事件（甲乙，丙），（甲丙，乙），（丙乙，甲），

（丙，甲乙），（乙，甲丙），（甲，丙乙）共有6个，其中甲乙两人同时参加A岗位服务的是（甲乙，丙）只有1个，故甲、乙两人同时参加A岗位服务的概率为16；【小问2详解】甲乙两人不在同一岗位有：（甲丙，乙），（丙乙，甲），（乙，甲丙），（甲，丙乙）共4个，故甲、

乙两人不在同一个岗位服务的概率为4263=．20.某校为了解高一学生在五一假期中参加社会实践活动的情况，抽样调查了其中的100名学生，统计他们参加社会实践活动的时间（单位：小时），并将统计数据绘制成如图的频率分布直方图．（1）估计这100名学生在这个五一假

期中参加社会实践活动的时间的众数，中位数，平均数；（2）估计这100名学生在这个五一假期中参加社会实践活动的时间的上四分位数（结果保留两位小数）．【答案】（1）众数是20，中位数是20.4，平均数为20.32（2）23.86【解

析】【分析】（1）利用直方图的性质求得a的值，然后分别根据众数、中位数、平均数的概念计算；（2）根据上四分位数确定所在的区间，再计算即可.【小问1详解】由频率分布直方图可看出最高矩形底边上的中点值为20，故众数是20；由()0.020.06

0.0750.02541a++++=得0.07a=，∵()0.020.0640.32+=且()0.020.060.07540.62++=，∴中位数位于18~22之间，设中位数为x，180.50.3222180.620.32x−−=−−得121

820.45x=+=，故中位数是20.4；平均数为()0.02120.06160.075200.07240.02528420.32++++=；【小问2详解】上四分位数即为75百分位数，又∵()0.020.060.07540

.62++=，()0.020.060.0750.0740.9+++=，∴上四分位数位于22~26之间，设上四分位数为y，则220.750.6226220.90.62y−−=−−得132223.867y=+．21.在△ABC中，角A，B，C所对边分别为a，

b，c,2,coscos,abAaBb=+=（是常数），D是AB的中点．（1）若1=，求cb的值；（2）若1=且3CD=，求cosA的值；（3）若2=时，求△BCD面积的最大值．【答案】（1）1；（2）1314；（3）23.【解析】【分析】（1）由正弦定理边角关

系及和角正弦公式得sin()sinABB+=，进而有cb=，即得结果；（2）由（1）cb=，设2ACABx==，△ABC、△BCD中利用余弦定理求得7x=，最后应用余弦定理求cosA；（3）由题设2cb=，应用余弦定理、平方关系求cosA

、sinA，再应用三角形面积公式求△BCD面积关于b的函数，利用二次函数性质求最值.【小问1详解】当1=时，coscosbAaBb+=，由正弦定理可知sincossincossinBAABB+=，即sin(

)sinsinABCB+==，．故cb=，即1cb=；【小问2详解】由（1）知：1=时，cb=，又2a=且3CD=，设2ACABx==，在△ABC中，()()()2222221cos2222xxBxx+−==，

△BCD中，2222235cos224xxBxx+−−==，则25142xxx−=，解得7x=，故()()222272725213cos561422727A+−===.【小问3详解】当2=时，2cb=，则()222222254co

s224bbbAbbb+−−==，而sin0A，在故2sin1cosAA=−2225414bb−=−4242442540169401611616bbbbbb−+−+−=−=，1112sin2

22BCDABCSSbbA==242424940161940162168bbbbbb−+−==−+−．当2209b=时，()()max2361640128363BCDS−−−==−.22.已知四棱锥P－ABCD中，△PBC为正三角形，底面ABCD为直角梯形，//ADBC，90ADC=，3

ADCD==，4BC=．（1）设F为BC中点，间：在线段AD上是否存在这样的点E，使得平面PAD⊥平面PEF成立．若存在，求出AE的长；若不存在，请说明理由；（2）已知13PD=.①求二面角PBCA−−的平面角的余弦值；②求直线AC和平面PAD所成角的正弦值．【答案】（1）存在，

1AE=（2）①33；②23【解析】【分析】（1）存在这样的E点；且当1AE=时满足，过点F作//FECD交AD于点E，则可得PFAD⊥，FFAD⊥，从而由线面垂直的判定可得AD⊥平面PEF，再由面面垂直的判定定理可证得结

论，（2）①由（1）可得∠PFE即为所求二面角P－BC－A的平面角，然后在△PEF中利用余弦定理可求得答案，②法1：设AC与平面PAD所成角为，设d为点C到平面PAD的距离，则sindAC=，由于BC//面PAD，所

以C到平面PAD的距离等于F点到平面PAD的距离，由等积法求出d，从而可求出sin，法2（等体积法）：设AC与平面PAD所成角为，设d为点C到平面PAD的距离，则sindAC=，利用CPADPACDVV−−=求出d，从而可求出sin，【小问

1详解】存在这样的E点；且当1AE=时过点F作//FECD交AD于点E，∵△PBC为正三角形，∴PFBC⊥，∵//ADBC，∴PFAD⊥，又∵//,FECDCDAD⊥，∴EFAD⊥，∵PFEFF=∴AD⊥平面PEF，∵AD平面PAD，故

平面PAD⊥平面PEF【小问2详解】①解：由（1）知，PFBC⊥，EFBC⊥，∴∠PFE即为所求二面角P－BC－A的平面角．∵13PD=，2DE=，∴3PE=，又∵3EFDC==，23PF=，∴△PEF中，()22232333cos32323PFE+−==②法1：设AC与平面PAD所

成角为，设d为点C到平面PAD的距离，则sindAC=∵3AD=，3DC=，∴32AC=，∵//ADBC，∴BC//平面PAD，C到平面PAD的距离等于F点到平面PAD的距离．在由（1）知，F到平面PAD

的距离等于F到PE的距离，在△PEF中，3PEEF==，23PF=，3cos3PFE=，∴6sin3PFE=，则163233223PEFS==，又1322PEFSdPEd==，∴3322d=，∴22d=．∴222sin332==，

即直线AC与平面PAD所成角的正弦值为23．法2（等体积法）：设AC与平面PAD所成角为，设d为点C到平面PAD的距离，则sindAC=，其中32AC=．∵CPADPACDVV−−=，即1133PADACDPACDSdSh−=其中92ACDS=V，又3AD=，2DE=，13PD=，

∴3PF=，故92PABS=，∴PACDdh−=过P作PHEF⊥交EF于点H，由（1）中知AD⊥面PEF，∵AD平面ABCD，故平面ABCD⊥平面PEF，又平面ABCD平面PFFEF=，PHEF⊥，PH

平面PEF，故PH⊥平面ABCD，∴PACDhPH−=，由（2）题①知，3cos3PFE=，故可求6sin3PFE=，故6sin23223PHPFPFE===．∴222sin332dPHACAC====．