【文档说明】河北省安平中学2020-2021学年高二上学期第三次月考数学试题 【精准解析】.doc，共(18)页，1.559 MB，由小赞的店铺上传

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-1-河北安平中学2020-2021学年第一学期第三次月考高二数学试题一、单项选择题1.命题p：∀x∈N，|x+2|≥3的否定为（）A.∀x∈N，|x+2|＜3B.∀x∉N，|x+2|＜3C.∃x∈N，|x+2|≥3D.∃x∈N，|x+2|＜3【答案】D【解

析】【分析】直接利用全称命题的否定是特称命题，写出结果即可.【详解】因为命题p：∀x∈N，|x+2|≥3是全称命题，所以其否定是特称命题，所以命题p：“∀x∈N，|x+2|≥3”的否定为：∃x∈N，|x+2|＜3.故选：D.【点睛】本题主要考查含有一个量词的命题的否定，还考查了理解辨析的能力，属于

基础题.2.已知方程221221xykk+=−−表示焦点在y轴上的椭圆，则实数k的取值范围是A.1,22B.(1,)+C.(1,2)D.1,12【答案】C【解析】【详解】解：因为方程221

221xykk+=−−表示焦点在y轴上的椭圆，因此2k-1>0,2-k>0,同时2k-1>2-k,这样解得为选项C3.已知直线l的方向向量为m,平面的法向量为n,则“0mn=”是“l∥”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C

.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】-2-根据线面平行的定义结合充分必要条件的定义判断,即可求得答案.【详解】0mn=mn⊥0mn=,即mn⊥,不一定有l∥,也可能l“0mn=”是“l∥

”的不充分条件l∥,可以推出mn⊥,“0mn=”是“l∥”是必要条件,综上所述,“0mn=”是“l∥”必要不充分条件.故选:B.【点睛】本题主要考查了判断必要不充分条件,解题关键是掌握充分条件和必要条件的定义,属于中档题.4.在长方体1111ABCDABCD−中

，1ABBC==，13AA=，则异面直线1AD与1DB所成角的余弦值为A.15B.56C.55D.22【答案】C【解析】【详解】分析：先建立空间直角坐标系，设立各点坐标，利用向量数量积求向量夹角，再根据向量夹角与线线角相等或互补关系求结果.详

解：以D为坐标原点，DA,DC,DD1为x,y,z轴建立空间直角坐标系，则11(0,0,0),(1,0,0),(1,1,3),(0,0,3)DABD,所以11(1,0,3),(1,1,3)ADDB=−=,因为111111135cos,525A

DDBADDBADDB−+===，所以异面直线1AD与1DB所成角的余弦值为55，选C.点睛：利用法向量求解空间线面角的关键在于“四破”：第一，破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系；第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关”，-3-求出平面的法

向量；第四，破“应用公式关”.5.过抛物线24yx=的焦点F的直线l与抛物线交于A，B两点，若A，B两点的横坐标之和为103，则|AB|＝（）A.133B.143C.5D.163【答案】D【解析】【详解】由题意得p＝2，∴1016233ABABxxp=++=+=

．选D．6.某位教师2017年的家庭总收入为80000元，各种用途占比统计如下面的折线图.2018年收入的各种用途占比统计如下面的条形图，已知2018年的就医费用比2017年增加了4750元，则该教师2018年的家庭总收入为（）A

.100000元B.95000元C.90000元D.85000元【答案】D【解析】【分析】先求出2017年的就医费用，从而求出2018年的就医费用，由此能求出该教师2018年的家庭总收入．【详解】由已知得，2017年的就医费用为8000010%8000=

元，2018年的就医费用为8000475012750+=元，该教师2018年的家庭总收入127508500015%=元．故选D．【点睛】本题考查教师2018年的家庭总收入的求法，考查折线图和条形统计图的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．-4-7.函数()(21)21xfxxe

x=−++的极值点的个数为（）A.0B.1C.2D.3【答案】A【解析】【分析】先对()fx求导得'()(21)2xfxxe=++，无法判断其符号，通过求二阶导判断其符号，从而得原函数单调性，即可知其极值点个数.【详

解】因为()(21)2xfxxe=++，设()()gxfx=()(23)xgxxe=+，所以当32x−时，()0gx，()fx递增；32x−时，()0gx，()fx递减，所以()fx的最小值为

33302223()222(1)2()02feeee−−−−=−=−=−，所以()0fx′，故()fx单增，所以()fx无极值点．故选：A.【点睛】本题考查利用导数研究函数的极值点，解题关键在于对函数()fx求一阶导数后无法判断其符号，需要对其求二阶

导判断一阶导的符号，得原函数的单调性，属于中档题.8.已知双曲线2222:1(0,0)xyCabab−=的两条渐近线分别为直线1l，2l，直线l经过双曲线C的右焦点F且垂直于1l，设直线l与1l，2l分别交于A，B两点，若3FBAF=，则双曲线C的离心率为（）A.2

33B.32C.62D.433【答案】C【解析】【分析】-5-由已知可得FAb=，OAa=，过F作FGOB⊥于G，易得FGb=，22BGb=，从而22OBab=+，在OAB中，利用勾股定理222OBOAAB=+即可建立,,abc之间的关系.【详解】如图1，

1:0lbxay+=，2:0lbxay−=，由已知，22||cbFAbab==+，3FBb=，所以2222OAOFFAcba=−=−=，如图2，过F作FGOB⊥于G，易证AOFFOG，所以FGb=，故OGOAa==，2222922BGBFGFbbb=−=−=，从而22OBab=+，在OAB

中，222OBOAAB=+，所以222(22)16abab+=+，化简得2ab=，故双曲线离心率为2161()122cbeaa==+=+=.故选：C.【点睛】本题考查双曲线离心率的求法，求双曲线离心率的问题，

关键是找到,,abc之间的关系，建立方程或不等式，本题是一道中档题.二、多项选择题9.定义在区间1,42−上的函数()fx的导函数()fx图象如图所示，则下列结论正确的是（）-6-A.函数()fx在区间()0,4单调递增B.

函数()fx在区间1,02−单调递减C.函数()fx在1x=处取得极大值D.函数()fx在0x=处取得极小值【答案】ABD【解析】【分析】根据导函数图像判断出函数()fx的单调性和极值，由此判断出正确选项.【详解】根据导函数图像可知，()fx在区间(),0−上，()'0fx，

()fx单调递减，在区间()0,+上，()'0fx，()fx单调递增.所以()fx在0x=处取得极小值，没有极大值.所以A,B,D选项正确，C选项错误.故选：ABD【点睛】本小题主要考查利用导函数图像判断函数单调区间、极值，

属于基础题10.已知椭圆C：221625400xy+=，关于椭圆C下述正确的是（）A.椭圆C的长轴长为10B.椭圆C的两个焦点分别为(0,3)−和(0,3)C.椭圆C的离心率等于35D.若过椭圆C的焦点且与长轴垂直的直线l

与椭圆C交于,PQ，则32||5PQ=-7-【答案】ACD【解析】【分析】椭圆方程化为标准方程，求出,,abc，然后判断各选项．【详解】由已知椭圆标准方程为2212516xy+=，则5,4ab==，∴3c=．长轴长为210a=，A正确

；两焦点为(3,0),(3,0)−，B错误；离心率为35cea==，C正确；3x=代入椭圆方程得2216325400y+=，解得165y=，∴325PQ=，D正确．故选：ACD．11.已知函数()32fxxaxbxc=−+++，下列结论中正确的是（）A.0xR，()00fx=

B.若()fx有极大值M，极小值m，则必有MmC.若0x是()fx极小值点，则()fx在区间()0,x−上单调递减D.若()00fx=，则0x是()fx的极值点【答案】ABC【解析】【分析】对于A，利用零点存在性定理解决，对于B、C可根据条件及(

)fx的单调性判断，对于D利用极值点的概念即可判断.【详解】因为当x→+时，()fx→−，当x→−时，()fx→+，由零点存在性定理知0xR，()00fx=，故A正确；因为'2()32fxxaxb=−++，若()fx有极大值M，极小值m，则'()0fx=有两根1x，2x

，不妨设1x2x，易得()fx在1(x2,)x上单调递增，在1(,)x−，2(,)x+单调递减，所以-8-2()fxM=1()fxm=，故B、C正确；导数为0的点不一定是极值点，故D错误.故选ABC【点睛】本题考查利用导数研究三

次函数的性质，涉及到函数的零点、极值、极值点、单调性等性质，是一道中档题.12.已知点0(1)M，，A，B是椭圆2214xy+=上的动点，当MABA取下列哪些值时，可以使0MABM=（）A.3B.6C.9D.12【答案】ABC【解析】【分析

】设00(,)Axy，利用0MABM=求得MABA的最大值和最小值即可得．【详解】设00(,)Axy，且0MABM=.因为()()2222001MABAMABMMAMAMABMMAxy=+=+==−+，将A点坐标代入椭圆，得22001

4xy+=，所以220014xy=−代入上式可得()2222000003342112244433xxMABAxxx=−+−=−+=−+()022x−.所以()min23MABA=，()max9

MABA=.对照选项MABA可以取ABC.故选：ABC．三、填空题13.已知椭圆C：2214xy+=上两点A，B，若AB的中点为D，直线OD的斜率等于1，则直线AB的斜率等于______.【答案】14−【解析】【分析】设1122(,),(,)

AxyBxy，代入椭圆方程作差，求得直线OD斜率与AB斜率之间的关-9-系，从而得结论．【详解】设1122(,),(,)AxyBxy，则1212(,)22xxyyD++，221122221414xyxy+=+=，两式相减得12

121212()()()()04xxxxyyyy+−++−=，即12121212121211144yyxxyyxxyyxx−+=−=−+−++，所以11111444ABODkk=−=−=−．故答案为：14−．【点睛】结论点睛：AB是椭圆22221xyab+=的弦，D是AB中点，则22ABO

Dbkka=−．14.若2()2(1)fxxfx=+，则(0)f等于______.【答案】4−【解析】【分析】求导函数()fx，然后令1x=求得(1)f，再求(0)f．【详解】由已知()2(1)2fxfx=+，所以(1)2(1)2ff=+，(1)

2f=−，所以(0)2(1)04ff=+=−．故答案为：4−．15.设12,FF分别是椭圆2212516xy+=的左、右焦点，P为椭圆上任一点，点M的坐标为()6,4，则1PMPF+的最大值为________．【答案】15【解析】【分析】利

用椭圆的定义将左焦点问题转化为右焦点问题，然后求解最值即可.【详解】由椭圆方程可得：5,4,3abc===，12(3,0),(3,0)FF−，由椭圆的定义可得：12210PFPFa+==，-10-()22

1222||||210||10103415PMPFPMaPFPMPFMF+=+−=+−+=++=，则1||PMPF+的最大值为15.故答案为：15.【点睛】本题主要考查椭圆的定义与几何性质，等价转化的数学思想，数形结合的数学思想等知识，意在考查学

生的转化能力和计算求解能力.16.设定义域为R的函数()fx满足()()fxfx，则不等式()()121xefxfx−−的解集为__________．【答案】(1,)+【解析】【分析】根据条件构造函数F（x）(

)xfxe=，求函数的导数，利用函数的单调性即可得到结论．【详解】设F（x）()xfxe=，则F′（x）()()'xfxfxe−=，∵()()fxfx，∴F′（x）＞0，即函数F（x）在定义域上单调递增．∵()()121xefxfx−−∴()()2121xxfxf

xee−−＜，即F（x）＜F（2x1−）∴x2x1−＜，即x＞1∴不等式()()121xefxfx−−的解为()1,+故答案为()1,+【点睛】本题主要考查函数单调性的判断和应用，根据条件构造函数是解决本题的关键．-11-四、解答题17.（

1）若抛物线的焦点在直线240xy−−=上，求此抛物线的标准方程；（2）若双曲线与椭圆2216416xy+=共焦点，且以3yx=为渐近线，求此双曲线的标准方程.【答案】（1）216yx=或28xy=-；

（2）2211236xy−=.【解析】【分析】（1）解出直线240xy−−=与坐标轴的交点坐标，根据焦点坐标设出抛物线的方程，即可求出；（2）写出椭圆的焦点坐标，根据焦点坐标设出双曲线的方程，再结合渐近线方程即可求出.【详解】解：（1）直线240xy−−=与坐标轴的交点为

()4,0，()0,2−①若焦点为()4,0，则抛物线开口向右，设方程为22ypx=()0p，由42p=，得：8p=，故方程为：216yx=；②若焦点为()0,2−，则抛物线开口向下，设方程为22xpy=

−()0p，由22p=，得：4p=，故方程为：28xy=-；抛物线的标准方程为216yx=或28xy=-；（2）2216416xy+=，641643c=−=，椭圆的焦点坐标为：()43,0，即双曲线的焦点为：()43,0，-12-设双曲线的方程为22221xyab−=()0,0ab

，则2248ab+=，渐近线方程为byxa=，可得：3ba=，解得23a=，6b=，故双曲线的方程为2211236xy−=.18.已知函数32()3()fxxxaaR=−++（1）求函数()fx的极值；（2）若函数()fx在[2,3]−上的最小值

为2，求它在该区间上的最大值．【答案】（1）极大值为4a+，极小值为a；（2）22.【解析】【分析】（1）对函数求导，得到2()363(2)fxxxxx=−+=−−，用导数的方法判断函数单调性，即可确定极值；（2）由（1）先确定函数在[2,3]−上的

单调性，再由题中条件，得出2a=，进而可求出最大值.【详解】（1）2()363(2)fxxxxx=−+=−−()002fxx，()00fxx或2x当x变化时，()fx，()fx的变化情况如下表：x(,0)−0(0

,2)2(2,)+()fx−0+0−()fx极小值极大值则极大值为(2)4fa=+，极小值为(0)fa=；（2）由（1）知()fx在[2,0]−上单调递减，在[0,2]上单调递增，在[2,3]上单调递减又(0)

fa=，(3)fa=，-13-所以最小值为a，即2a=，最大值在2x=−或2x=处取，(2)2022fa−=+=，(2)46fa=+=，所以()fx在[2,3]−上的最大值为22．【点睛】本题主要考查导数的方法求函数极值，以及最值，属于常考题型.19.在四棱锥PABCD

−中，底面ABCD是边长为4的正方形，PD⊥平面ABCD，M为PC中点.（1）如果4PD=，求证：PC⊥平面MAD；（2）当BP与平面MBD所成角的正弦值最大时，求三棱锥DMBC−的体积V.【答案】（1）证明见解析；（2）163.

【解析】【分析】（1）结合PCD为等腰三角形可证PCDM⊥，再由线面垂直判定定理可证AD⊥平面PCD，得到ADPC⊥，进而得证；（2）设PDt=，以D为坐标原点，分别以,,DADCDP所在方向为,,xyz轴正方向，建立空间直角坐标系，结合向量表示出线面角

的正弦值，结合基本不等式求得t值，再由体积公式计算即可【详解】证明：（1）在PDC△中，PDDC=，M为PC中点，所以PCDM⊥，因为PD⊥平面ABCD，AD平面ABCD，所以PDAD⊥，又因为ADCD

⊥，PDCDD=，所以AD⊥平面PCD，因为PC平面PCD，所以ADPC⊥，-14-因为ADDMD=，所以PC⊥平面MAD；（2）设PDt=，以D为坐标原点，分别以,,DADCDP所在方向为,,xyz轴正方向，建立Oxyz−空间直角坐标系，则()()0,0,0,4,4,0,0,2,2t

DBM,()0,0,Pt，设平面MBD的法向量为(),,nxyz=，所以()0,2,,4,4,02DtDBM==，()4,4,BPt=−−所以00nDMnDB==，得202440tyzxy+=+=，令1y=，可得41,1,nt=−−，所以B

P与平面MBD的法向量n所成角的正弦值为2222441cos,316256161611802()BPntttt−==++++++（当且仅当22256tt=，即4t=时等号成立），所以三棱锥DMBC−

的体积11111644424433DMBCMDBCPDBCPABCDVVVV−−−−=====【点睛】方法点睛：本题考查线面垂直的证明，由线面角的关系求解具体线段长度，锥体体积公式的应用，具体用到以下方法：（1）线面垂直的证明：常通过证线线垂直证线面垂直，线线

垂直常通过几何性质（等腰、等边三角形、矩形、正方形）或勾股定理证明，也可通过线面垂直的性质证线线垂直；-15-（2）已知二面角大小求解具体线段长度或确定动点位置问题常通过建系法求解，合理建系和正确求解点坐标与法向量是

解题关键20.某个服装店经营某种服装，在某周内获纯利y（元）与该周每天销售这些服装件数x之间有如下一组数据：x3456789y66697381899091已知71280iix==，713487iiixy==.参考公式：(

)()()1111222ˆˆˆiiiiiinniiinnxxyyxynxybxxxnxaybx====−−−==−−=−（1）求x，y；（精确到0.01）（2）求纯利y与每天销售件数x之间的回归直线方程（精确到0.01）；（3）每天多销售1件，纯利y增加多少

元？【答案】（1）6x=，79.86y；（2）51.364.ˆ75yx=+；（3）4.75.【解析】【分析】（1）由均值公式求得平均值；（2）根据所给数据求得方程的系数得回归直线方程；（3）在（2）的回归直线方程中x的系数即为增加量．【详解】（1）1(3456789)67x=+

+++++=，1(66697381899091)79.867y=++++++.（2）设回归直线方程为ˆˆˆyabx=+，则7172221734877679.864ˆ.75280767iiiiixyxybxx=−=−−

==−−.79.864.75651.ˆ36ˆaybx=−−=.∴所求的回归直线方程为51.364.ˆ75yx=+.（3）每天多销售1件，纯利平均增加4.75元.21.设椭圆22221(0)xyabab+=的右顶点为A，上顶点为B．已知椭圆的离心

率为53，13AB=．-16-（1）求椭圆的方程；（2）设直线:(0)lykxk=与椭圆交于P，Q两点，l与直线AB交于点M，且点P，M均在第四象限．若BPM△的面积是BPQV面积的2倍，求k的值．【答案】（1）22194xy+

=；(2)12−．【解析】【详解】分析：（I）由题意结合几何关系可求得3,2ab==.则椭圆的方程为22194xy+=.（II）设点P的坐标为()11,xy，点M的坐标为()22,xy，由题意可得215xx=

.易知直线AB的方程为236xy+=，由方程组236,,xyykx+==可得2632xk=+.由方程组221,94,xyykx+==可得12694xk=+.结合215xx=，可得89k=

−，或12k=−.经检验k的值为12−.详解：（I）设椭圆的焦距为2c，由已知得2259ca=，又由222abc=+，可得23ab=．由22||13ABab=+=,从而3,2ab==．所以，椭圆的方程为22194xy+=．（II）设点P的坐标为11(,)x

y，点M的坐标为22(,)xy，由题意，210xx，点Q的坐标为11(,)xy−−．由BPM△的面积是BPQV面积的2倍，可得||=2||PMPQ，从而21112[()]xxxx−=−−，即215xx=．易知直线AB的方程为236x

y+=，由方程组236,,xyykx+==消去y，可得2632xk=+．由方程组221,94,xyykx+==消去y，可得12694xk=+．由215xx=，可得2945(32)kk+=+，-1

7-两边平方，整理得2182580kk++=，解得89k=−，或12k=−．当89k=−时，290x=−，不合题意，舍去；当12k=−时，212x=，1125x=，符合题意．所以，k的值为12−．点睛：解决直线与椭圆的

综合问题时，要注意：(1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；(2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．22.已知函数21()ln(1),2fxa

xxaxaR=+−+.（1）当1a=时，求函数()yfx=的图像在1x=处的切线方程；（2）讨论函数()fx的单调性；（3）若对任意的(,)xe+都有()0fx成立，求a的取值范围.【答案】(1)32y=−(2)答案见解析；(3)222(1)eea

e−−.【解析】【详解】试题分析：()1当1a=时，求出函数的导数，利用导数的几何意义即可求出曲线()yfx=在1x=处的切线方程；()2求函数的导数，利用函数单调性和导数之间的关系即可求函数()fx的单调性；()3根据函数的单调性求出函数的最小值，即实数a的取值范围

．解析：（1）()221'xxfxx−+=()()3'10,12ff==−，所求切线方程为32y=−.（2）()()()()211'xaxaxxafxxx−++−−==-18-当1a=时，()fx在()0,+递增当0

a时，()fx在()0,1递减，()1,+递增当01a时，()fx在()0,a递增，(),1a递减，()1,+递增当1a时，()fx在()0,1递增，()1,a递减，(),a+递增.（3）由()0fx得()21ln2xxaxx−−注意到1ln,'xyxxyx−=−=，于是ln

yxx=−在()0,1递减，()1,+递增，最小值为0所以(),xe+，ln0xx−于是只要考虑(),xe+，212lnxxaxx−−设()212lnxxgxxx−=−，()()()()21122ln2'lnxxxgxxx−+−=−注意到

()()222ln,'xhxxxhxx−=+−=，于是()22lnhxxx=+−在(),e+递增()()0hxhee=所以()gx在(),e+递增于是()()2221eeagee−=−.