【文档说明】四川省达州市万源市万源中学2023-2024学年高二上学期10月月考数学试题 含解析 .docx，共(23)页，2.827 MB，由小赞的店铺上传

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万源中学高2025届高二（上）第一次月考数学试题本卷满分150分，考试时间120分钟.注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2．答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它

答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3．考试结束，将试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合2{N|20}Ax

xx=−，{|12}Bxx=−，则AB的真子集个数为（）A.3B.4C.7D.8【答案】C【解析】【分析】先求出集合A，再求AB，从而再利用公式可求出AB的真子集个数【详解】2{N|20}{N|02}0,1,2Axxx

xx=−==，因为{|12}Bxx=−，所以0,1,2AB=，所以AB的真子集个数为3217−=，故选：C2.已知()12i2iz−=，则z的共轭复数z=（）A.42i55+B.42i55−+C.42i5

5−D.42i55−−【答案】D【解析】【分析】根据除法运算化简复数，利用共轭复数概念直接求解即可.【详解】因为()12i2iz−=，所以()()()2i12i2i42i42i12i12i12i555z+−+====−+−

−+，所以z=42i55−−.故选：D3.设,是两个不同的平面，,mn是两条不同的直线，且,mn，则“//”是“//m且//n”的（）A充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A【解析】【分析】由面面平行的判定与性质判断充分性和必要性即可.【详解】由面面平行的性质可知：////,mmn且//n，充分性成立；当//mn时，若,mn，//m，//n，则,可能

平行或相交，必要性不成立；“//”是“//m且//n”的充分而不必要条件.故选：A.4.《几何原本》是古希腊数学家欧几里得一部不朽之作，其第十一卷中称轴截面为等腰直角三角形的圆锥为直角圆锥，若某直角圆锥内接于一球（圆锥的顶点和底面上各点均在该球面上），

且该圆锥的侧面积为2π，则此球的表面积为（）A.2πB.2πC.22πD.4π【答案】D【解析】【分析】根据给定条件，结合圆锥侧面积公式求出圆锥底面圆半径，进而求出球半径作答.【详解】设直角圆锥底面半径为r，则其母线长为2r，因此圆锥顶点到底面圆圆心的距离为：()222rrr−=，于是圆锥底面圆的

圆心为其外接球的球心，即圆锥外接球半径为r，由圆锥的侧面积为2π，得π22πrr=，解得1r=，所以球的表面积为24π4πr=.故选：D.的5.某五面体如图所示，下底面是边长为3的正方形ABCD，上棱2EF=，//EF平面ABCD，EF与平面ABCD的距离为32，该五面体的体积为（）A.1

13B.6C.9D.212【答案】B【解析】【分析】把五面体分割成一个柱体和两个椎体即可.【详解】在平面ABFE中，过,EF分别作,EKABFGAB⊥⊥，交点分别为,KG，在平面DCFE中，过,EF分别作,EMCDFHCD⊥⊥，交点分别为,M

H，连接,MKHG，//ABCD，EMAB⊥，EKEME=，EK平面EKM，EM平面EKM，AB⊥平面EKM，同理可得：AB⊥平面FGH，所以平面//EKM平面FGH，所以该几何体分成中间一个直三棱柱和左右两个四棱椎，且两个四棱锥可合为一个大的四

棱锥，平面FGH中过点F作FTAB⊥，因为AB⊥平面FGH，FT平面FGH，FTGH⊥，ABGHG=，AB平面ABCD，GHÌ平面ABCD，FT⊥平面ABCD，32FT=设两个四棱锥合在一起的大四棱锥的体积为1V所以五面体的体积1EKMFGHVVV−=+13()

32FGHSEFABKGAD=+−131332(32)32232=+−6=.故选：B.6.已知0,0xy，且141xy+=，则xy+的最小值为（）A.6B.7C.8D.9【答案】D【解析】【分析】由题意得14()xyxyxy+=++

，化简后利用基本不等式可求出其最小值.【详解】因为0,0xy，且141xy+=，所以1444()5529yxyxxyxyxyxyxy+=++=+++=，当且仅当4yxxy=，即3,6xy==时取等号，所以xy+的最小值为9，故选：D7.已知函数()fx是定义在R上的奇函数，

对任意的xR都有3()()2fxfx+=−，当3(0)4x−，时，2()log(1)=+fxx，则(2022)(2023)(2024)fff++=（）A.1−B.0C.1D.2【答案】B【解析】【分析】根据题意，分析可得()()3fxfx=+，即()f

x是周期为3的周期函数，据此可得()()20220ff=，()()()2023202211fff=+=，()()()2024202222fff=+=，结合函数的解析式和奇偶性分析可得()0f，()1f，()2f的值，计算即可得到答案.【详解】

根据题意，()fx满足对任意的xR都有3()()2fxfx+=−，所以()3(3)()2fxfxfx+=−+=，所以(3)()fxfx+=，则()fx是周期为3的周期函数，则()()20220ff=，()()()2023202211fff=+=，()()()2024202222ff

f=+=，又因为()fx是定义在R上的奇函数，则()00f=，又因为3(0)4x−，时，2()log(1)=+fxx，则()2111log(1)122ff=−−=−−+=，()112122fff=−=

−=−，则()20220f=，()20231f=，()20241f=−，则(2022)(2023)(2024)=0fff++.故选：B8.如图，直角梯形ABCD中，1//,,22ABCDABBCBCCDAB⊥===，E为AB

的中点，以DE为折痕把ADEV折起，使点A到达点P的位置，且23PC=，则下列结论错误的是（）A.PC与平面PED所成角的正切值为2B.PCBD⊥C.二面角PDCB−−的大小为π4D.平面PED⊥平面PCD【答案】A【

解析】【分析】证明PCE是PC与平面PED所成角，求出其正切值判断A，证明BD⊥平面PEC，得证线线垂直判断B，证明CD⊥平面PED，得证PDE是二面角PDCB−−的平面角，求出此角判断C，得出面面垂直判断D．【详解】由题意EBCD是正方形，22EC=，又23PC=，2P

E=，∴222PEECPC+=，∴PEEC⊥，又PEED⊥，EDECE=，,EDEC平面EBCD，∴PE⊥平面EBCD，∴PCE是PC与平面PED所成角，而22tan222PEPCEEC===

，A错；由PE⊥平面EBCD，BD平面EBCD得PEBD⊥，又BDEC⊥，,PEEC是平面PEC内两相交直线，因此BD⊥平面PEC，而PC平面PEC，所以BDPC⊥，B正确；同理由PE⊥平面EBCD，可证得

CDPE⊥，而CDED⊥，,PEED是平面PED内两相交直线，因此得CD⊥平面PED，又PD平面PED，所以CDPD⊥，所以PDE是二面角PDCB−−的平面角，在直角PEDV中易知π4PDE=，C正确；由CD平面PCD得平面

PED⊥平面PCD，D正确；故选：A．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有错选的得0分.9.已知点P为平面外一点，则下列说法正确的是（）A.过点P只能作一个平面与平行B.过点P可以作无数条直线与

平行C.过点P只能作一个平面与垂直D.过点只能作一条直线与垂直【答案】ABD【解析】【分析】利用空间中线与面的平行关系与垂直关系，逐一对各个选项分析判断即可.【详解】对于选项A，假设过点P可作多个平面平行于，则这些平面既平行又有公共

点P，相矛盾，故选项A正确；对于选项B，过点P作一个平面与平行，在平面内，过点P的直线都与平行，故选项B正确；对于选项C，如图，在长方体中，取平面ABCD为平面，显然平面BCPB与DCPD均与垂直，故选项C错误；

对于选项D，假设过点P能作无数条直线与垂直，根据线面垂直的性质知，这无数条直线互相平行，但又相交于一点，相矛盾，故选项D正确；故选：ABD.10.PM2.5是指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物

，也称为可入肺颗粒物.某地8月1日到10日的PM2.5日均值（单位：3μg/m）分别为36，32，38，34，32，88，42，36，30，32，则关于这10天中PM2.5日均值的说法正确的是（）.A.众数为32B.

第80百分位数是38C.平均数是40D.前4天的方差比后4天的方差小【答案】ACD【解析】【分析】根据已知数据，由众数、百分数定义判断A、B；应用均值、方差公式判断C、D.【详解】这10天PM2.5日均值从小到大为30，32，32，32，34，36，3

6，38，42，88，所以众数为32，故A正确；由100.88=，则第80百分位数为3842402+=，所以B错误；因为平均数为303232323436363842884010+++++++++=，所以C正确；因为前4天的均值为363238343

54+++=，所以前4天的方差为199154+++=，因为后4天的均值为42363032354+++=，所以后4天的方差为491259214+++=，故D正确.故选：ACD11.函数()()()sin0,0,0fxAxA=+在一个周期内的图象所示，则（）的A.该函数

的解析式为()2sin23fxx=+B.该函数的一条对称轴方程为6x=C.该函数的单调递减区间是7,1212kk++，ZkD.把函数()2sin3gxx=+的图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，可得函数()f

x的图象.【答案】AC【解析】【分析】利用图象求得函数()fx的解析式，可判断A选项的正误；利用正弦型函数的对称性可判断B选项的正误；利用正弦型函数的单调性可判断C选项的正误；利用三角函数图象变换可判断D选项的正误.【详解】对于A选项，()max2Afx==，函数()fx的最小

正周期为23471T−==，22T==，又772sin2126f=+=，可得7sin16+=−，0，则7713666+，7362+=，可得3=，所以，()2sin23fxx=

+，A选项正确；对于B选项，22sin3263f==，所以，函数()fx的图象不关于直线6x=对称，B选项错误；对于C选项，由()3222232kxkkZ+++，解得()71212kxkkZ++，所以，函数()fx的单调递

减区间为7,1212kk++，Zk，C选项正确；对于D选项，把函数()2sin3gxx=+的图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，可得到函数2sin23xy=+的图象，D选项错误.故选：AC.【点睛】方法点睛

：根据三角函数()()sinfxAxb=++的部分图象求函数解析式的方法：（1）求A、()()maxmin:2fxfxbA−=，()()maxmin2fxfxb+=；（2）求出函数的最小正周期T，进而得出2T=；（3）取特殊点代入函数可求得的值.12

.如图，在正方体1111ABCDABCD−中，点P在线段1BC上运动，则下列结论正确的是（）A.直线1BD⊥平面11ACDB.三棱锥11PACD−的体积为定值C.异面直线AP与1AD所成角的取值范围是ππ,42D.直线1C

P与平面11ACD所成角的正弦值的最大值为63【答案】ABD【解析】【分析】在选项A中，利用线面垂直的判定定理，结合正方体的性质进行判断即可；在选项B中，根据线面平行的判定定理、平行线的性质，结合三棱锥的体积公式进行

求解判断即可；在选项C中，根据异面直线所成角的定义进行求解判断即可；在选项D中，以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，1DD为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法进行求解即可.【详解】在选项A中，∵1111ACBD⊥，111ACBB⊥，1111BDBBB

=，且111,BDBB平面11BBD，∴11AC⊥平面11BBD，1BD平面11BBD，∴111ACBD⊥，同理，11DCBD⊥，∵1111ACDCC=，且111,ACDC平面11ACD，∴直线1BD⊥平面11ACD，故A正确；在选项B中，∵11//ADBC，1AD平面11ACD

，1BC平面11ACD，∴1//BC平面11ACD，∵点P在线段1BC上运动，∴P到平面11ACD的距离为定值，又11ACD的面积是定值，∴三棱锥11PACD−的体积为定值，故B正确；在选项C中，∵11//ADBC，∴异面直线AP与1AD所成角为直线AP与直线1BC的夹角.易知1

ABCV为等边三角形，当P为1BC的中点时，1APBC⊥；当P与点1B或C重合时，直线AP与直线1BC的夹角为π3.故异面直线AP与1AD所成角的取值范围是ππ,32，故C错误；在选项D中，以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，1D

D为z轴，建立空间直角坐标系，如图，设正方体1111ABCDABCD−的棱长为1，则(),1,Paa，()10,1,1C，()1,1,0B，()10,0,1D，所以()1,0,1CPaa=−，()11,1,1DB=−.由A选项正确：可知

()11,1,1DB=−是平面11ACD的一个法向量，∴直线1CP与平面11ACD所成角的正弦值为：112221111(1)3113222CPDBCPDBaaa==+−−+，∴当12a=时，直线1CP与平面11ACD所成角的正

弦值的最大值为63，故D正确.故选：ABD三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.若某正四棱台的上、下底面边长分别为3，9，侧棱长是6，则它的体积为________.【答案】1172【解析】【分析】运用勾股定理求得正四棱台的高，由

台体体积公式计算即可.【详解】由题意正四棱台如图所示，过A作11//AAOO交1OB于点1A，则11322OAOA==，1922OB=，所以132AB=，所以在1RtAAB△中，2216(32)32hAA==−=，又因为21

39S==，22981S==，所以112211()(998181)32117233VSSSSh=++=++=.故答案为：1172.14.若向量(1,1)a=−，向量(2,1)b=，则向量b在向量a上的投影向量坐标为_______【答案】

11(,)22−【解析】【分析】利用投影向量求解公式进行计算.【详解】因为向量(1,1)a=−，向量(2,1)b=，则向量b在向量a上的投影向量为111(1,1)(,)222abaaa=−=−，故答案为：11(,)22−.15.某项选拔

共有三轮考核，每轮设有一个问题，能正确回答问题者进入下一轮考试，否则即被淘汰．已知某选手能正确回答第一、二、三轮的问题的概率分别为45，35，25，且各轮问题能否正确回答互不影响，则该选手被淘汰的概率为_________．【

答案】101125【解析】【分析】设事件(1,2,3)iAi=表示“该选手能正确回答第i轮的问题”，选手被淘汰，考虑对立事件，代入123(),(),()PAPAPA的值，可得结果；【详解】记“该选手能正确回答第i轮的问题”为事件(1,2,3)iAi

=，则()()()123432,,555PAPAPA===.该选手被淘汰的概率：112123112123()()()()()()()PPAAAAAAPAPAAPAAA=++=++142433101555555125=++=故答案为：10

1125【点睛】求复杂互斥事件概率的两种方法：(1)直接法：将所求事件的概率分解为一些彼此互斥的事件的概率的和；(2)间接法：先求该事件的对立事件的概率，再由()1()PAPA=－求解．当题目涉及“至多”“至少”型问题时，多考虑间

接法．16.如图，在棱长为1的正方体1111ABCDABCD−中，点E，F分别是棱BC，1CC的中点，P是侧面11BCCB内一点（包含边界），若1//AP平面AEF，则线段1AP长度的取值范围是_________.【答案】3

25,42【解析】【分析】分别取棱111,BBBC的中点,MN，通过证明1//AMN平面AEF可得P必在线段MN上，进而可求得1AP长度的取值范围.【详解】如下图所示，分别取棱111,BBBC的中点,MN，连接MN，连接1BC，因为,,,MNEF为所

在棱的中点，所以11//,//MNBCEFBC，所以//MNEF，又MN平面,AEFEF平面AEF，所以//MN平面AEF；因为11//,AANEAANE=，所以四边形1AENA为平行四边形，所以1//ANAE，又1AN平面AEF，AE平面AEF，所以1//

AN平面AEF，又1ANMNN=，所以1//AMN平面AEF，因为P是侧面11BCCB内一点，且1//AP平面AEF，则P必在线段MN上，在直角11ABMV中，2221111151()22AMABBM=+=+=，同理，在直角11ABN中，求得152AN=，所以AMN为等腰三角形，当P在MN中点O时

，1APMN⊥，此时1AP最短，P位于,MN处时1AP最长，2222115232()()244AOAMOM=−=−=，1152AMAN==，所以线段1AP长度取值范围是32542，.故答案为：32542，

.【点睛】关键点睛：本题考查空间点的存在性问题，解题的关键是取棱111,BBBC的中点,MN，得出点P必在线段MN上，从而将问题转化为在AMN中.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.如图，正方体1111ABCDABC

D−边长为2,EF、分别为11,ADCD中点．的（1）求证：//EF平面ABCD；（2）求异面直线EF与11BC所成角的大小．【答案】（1）证明见解析（2）45°【解析】【分析】（1）连接AC，根据//EFAC，结合判定定

理即可证明；（2）根据题意，ACB是两异面直线EF与11BC所成角或其补角，再求解即可.【小问1详解】证明：连接AC，∵EF、分别为11ADCD、中点，∴//EFAC，又∵EF平面ABCD，AC平面ABCD，∴//EF平面ABCD．【小问2详解】解：∵11////

EFACBCBC，，∴ACB是两异面直线EF与11BC所成角或其补角，∵ABC是等腰直角三角形，∴45ACB=，∴两异面直线EF与11BC所成角的大小为45°．18.某校对高一年级1000名学生的身高进行了统计，发现这1000名学生的身高介于165,190（

单位：cm），现将数据分成))))165,170,170,175,175,180,180,185,185,190五组，得到如图所示的频率分布直方图．已知第五组的频率与第三组的频率相同，第三组的频率是第二组频率的2倍，第二组频率是第一组频率的

2倍．（1）求第一组学生的人数，并估计这1000名学生身高（单位：cm）的中位数（保留1位小数）；（2）若采用分层抽样的方法从前两组中抽取6位同学参加某项课外活动，在这6位同学中随机选出2人作为队长，求这两人来自于同一组的

概率．【答案】（1）70人,180.2cm（2）715【解析】【分析】（1）由频率分布直方图可求得第四组的频率，根据概率和为1，求出前三组频率和为0.49，从而求得频率为0.5的中位数在第四组，从而求出中位数；（2）根据

分层抽样求出第一组抽取2人，第二组抽取4人，由古典概型的概率公式即可求解.【小问1详解】由频率分布直方图可知第四组的频率为0.04650.23=,设第一组的频率为x，由题可知240.2341xxxx++++=，解得0.07x=∴第一组的人数为10000.0770=人,前三组的

频率之和为240.49xxx++=，0.50.490.01−=，估计中位数为0.011805180.2cm0.23+.【小问2详解】第二组频率是第一组频率的2倍，所以第一组抽取16212=+人，记为,AB，第二组抽取

26412=+人，记为,,,CDEF,从6人中随机抽取2人的样本点有()()()()()()()(),,,,,,,,,,,,,,,ABACADAEAFBCBDBE，()()()()()()()B,F,C,D,C,E,C,F,D,E,D,F,E,F，共15个，且每个样本点等可

能发生，其中两人来自于同一组的样本点有()()()()()()(),,,,,,,,,,,,,ABCDCECFDEDFEF，共7个，故所求概率为715P=.19.在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且()(sinsin)sin3sinbcBCaAbC++=+.（1）求角A的大小

；（2）若6a=，且ABC的面积为3，求ABC的周长.【答案】（1）π3（2）326+【解析】【分析】（1）由()(sinsin)sin3sinbcBCaAbC++=+，根据正弦定理化简得22()3bcabc+=+，利用余弦定理求得1cos2A=，即可求解；（2）由ABC的面积为3，求得4

bc=，结合余弦定理，求得32bc+=，即可求解.【小问1详解】由题意及正弦定理知22()3bcabc+=+，222abcbc=+−，2221cos22bcaAbc+−==，0πA，π3A=.【小问2详解】6

a=，226bcbc+−=①又13=sin324SbcAbc==，4bc=②由①，②可得32bc+=，所以ABC的周长为326+.20.如图，在三棱锥P－ABC中，PA⊥AB，PA⊥BC，AB⊥BC，PA＝AB＝BC＝

2，D为线段AC的中点，E为线段PC上一点.(1)求证：PA⊥BD；(2)求证：平面BDE⊥平面PAC；(3)当PA∥平面BDE时，求三棱锥E－BCD的体积．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）13【解析】【详解】试题分析：（Ⅰ）要证明线线垂直，一般转化为证明

线面垂直；（Ⅱ）要证明面面垂直，一般转化为证明线面垂直、线线垂直；（Ⅲ）由13BCDVSDE=即可求解.试题解析:（I）因为PAAB⊥，PABC⊥，所以PA⊥平面ABC，又因为BD平面ABC，所以PABD⊥.（II）因为ABBC=，D为AC中点，所

以BDAC⊥，由（I）知，PABD⊥，所以BD⊥平面PAC.所以平面BDE⊥平面PAC.（III）因为PA平面BDE，平面PAC平面BDEDE=，所以PADE因为D为AC的中点，所以112DEPA==，2BDDC==.由（I）

知，PA⊥平面ABC，所以DE⊥平面PAC.所以三棱锥EBCD−的体积1163VBDDCDE==.【名师点睛】线线、线面的位置关系以及证明是高考的重点内容，而其中证明线面垂直又是重点和热点，.要证明线面垂直，根据判定定理可转化为证明线与平面内的两条相交直线垂直，也可根据性质定理

转化为证明面面垂直.21.已知函数2()3sincoscos(0)fxxxx=−周期是2.（1）求()fx的解析式，并求()fx的单调递增区间；（2）将()fx图像上所有点的横坐标扩大到原来的2倍，再向左平移6个单位，最后将整个函数图像向上平移32个单位后得到函

数()gx的图像，若263x时，()2gxm−恒成立，求m得取值范围.【答案】（1）1()sin462fxx=−−，单调递增区间为,21226kk−+，Zk；（2）()0,2.【解析】【分析】（1）根据正弦和余弦的二倍角公式化

简可得1()sin262fxx=−−，由222T==，解得2=，带入正弦函数的递增区间242262kxk−−+，化简即可得解；（2）根据三角函数的平移和伸缩变换可得()sin216gxx

=++，根据题意只需要maxmin[()2][()2]gxmgx−+，分别在263x范围内求出()gx的最值即可得解.【详解】（1）2()3sincoscosfxxxx=−31sin2(cos21)22xx=−+1sin262x

=−−由222T==，解得2=所以，1()sin462fxx=−−∵242262kxk−−+∴224233kxk−+∴21226kkx−+∴()fx的单调递

增区间为,21226kk−+，Zk（2）依题意得()sin216gxx=++因为|()|2gxm−，所以()2()2gxmgx−+因为当2,63x

时，()2()2gxmgx−+恒成立所以只需maxmin[()2][()2]gxmgx−+转化为求()gx的最大值与最小值当2,63x时，()ygx=为单调减函数所以max()1126gxg==+=，()min211

03gxg==−+=，从而max[()2]0gx−=，min[()2]2gx+=，即02m所以m的取值范围是()0,2.【点睛】本题考查了三角函数的单调性和最值，考查了三角函数的辅助角公式和平移伸缩变换，有一定的计算量，属于中档题.本题关键点有：

（1）三角函数基本量的理解应用；（2）三角函数图像平移伸缩变换的方法；（3）恒成立思想的理解及转化.22.如图（1），在ABC中，2ABBC==，90ABC=，E、F、H分别为边AB、AC、BC的中点，以EF为折痕把AEF△折起，使点A到达点P位置（如图（2））．（1）当3P

B=时，求二面角PEFB−−的大小；（2）当四棱锥PBCFE−的体积最大时，分别求下列问题：①设平面PBE与平面PFH的交线为l，求证：l⊥平面PEF；②在棱PF上是否存在点N，使得BN与平面PEF所成角的正弦值为22613？若存在，求PN的长；若不存在，请说明

理由．【答案】（1）23（2）①证明见解析②存在，24PN=或324【解析】【分析】（1）分析可知二面角PEFB−−的平面角为PEB，利用余弦定理可求得PEB的大小，即可得解；（2）①证明//BE平面PF

H，利用线面平行的性质可得出//lBE，证明出BE⊥平面PEF，进而可证得结论成立；②分析可知，BN与平面PEF所成角为BNE，利用已知条件可求得EN的长，再利用余弦定理可求得PN的长.【小问1详解】解：翻折前，在ABC中，90ABC=，即ABBC⊥，E、F分别为AB、AC的中

点，则//EFBC且112EFBC==，翻折后，在图（2）中，EFPE⊥，EFBE⊥，则二面角PEFB−−的平面角为PEB，因为1PEBE==，3PB=，由余弦定理可得2221cos22BEPEPBPEBBEPE+−==−，0PEB，故23PEB=，即当3PB=时，

二面角PEFB−−的大小为23.【小问2详解】解：①过点P在平面PBE内作POBE⊥，垂足为点O，EFPE⊥，EFBE⊥，PEBEE=，则EF⊥平面PBE，PO平面PBE，POEF⊥，POBE⊥，EFBEE=，PO⊥平面BCFE

，则sinPOPEPEO=，故当PE⊥平面BCFE时，四棱锥PBCFE−的体积取最大值，BEPE⊥，EFBE⊥，EFPEE=，BE⊥平面PEF，因为//EFBC，12EFBC=，H为BC的中点，所以，//EFBH且EFBH=，故四边形BHFE为平行四边形，所以，/

/BEFH，BEQ平面PFH，FH平面PFH，//BE平面PFH，因为BE平面PBE，平面PBE平面PFHl=，l//BE，因此，l⊥平面PEF；②因为BE⊥平面PEF，BN与平面PEF所成角为BNE，因为E

N平面PEF，BEEN⊥，所以，2221226sin131BEBNEBEENEN===++，解得104EN=，在RtPEF△中，4EPF=，1PE=，104EN=，由余弦定理可得222252cos1284ENPEPNPEPNPNPN==+−=+−

，所以，23208PNPN−+=，解得24PN=或324.因此，在棱PF上存在点N，使得BN与平面PEF所成角的正弦值为22613，且24PN=或324.获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxue100

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