【文档说明】黑龙江省哈尔滨市第九中学2021届高三上学期第四次月考数学（理）答案.pdf，共(2)页，261.113 KB，由envi的店铺上传

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第1页（共2页）高三数学上学期第四次月考答案第一部分1---6CBABDB7---12.CCDCDA第二部分13.12，114.�㓨᚟��15.�㢨㓨᚟�끄㓨�ዮ쥰ዮ或㢨쥰ᚮⳏ16.ᚮ᚟第三部分17.

（1）�᚟쥰��ᚮ᚟쥰��ᚮⳏ�㓨�，��쥰��㓨᚟쥰��㓨�，又由��쥰�᚟㓨��，可得�쥰�，所以，�᚟쥰�，��쥰��㓨᚟．（2）��쥰��㓨��㓨᚟�쥰��㓨�，᚟��쥰᚟��㓨�쥰᚟�᚟�ᚮ᚟�㓨�，所以，᚟�᚟㓨᚟��㓨�㓨᚟��쥰᚟�᚟ᚮ᚟�㓨᚟�ᚮ᚟ⳏ㓨᚟�ᚮ᚟�㓨�㓨᚟�ᚮ᚟

�㓨�쥰᚟�᚟㓨᚟�ᚮ᚟�㓨᚟ᚮ᚟�㓨�쥰᚟���ᚮ᚟�㓨᚟ᚮ᚟�㓨��᚟���ᚮ᚟᚟㓨᚟ᚮ᚟᚟㓨�쥰᚟��18.（1）在��ᚮ中，因为�tan�㓨tan쥰��tan，所以�sin�cos�㓨sincos쥰��sincos，所以�sinᚮ쥰��sincos�

，所以��쥰���cos�，所以cos�쥰��．所以A=4（2）因为ᚮ边的中线长为᚟，所以������㓨�ᚮ����쥰�，所以��㓨��㓨���cos�쥰ⳏ，即��㓨��쥰ⳏᚮ�������，解得���ⳏᚮ��．所以��쥰������ᚮ�ᚮ�����쥰��㓨

��ᚮ���cos�쥰ⳏᚮ�����ⳏᚮ��ⳏᚮ��쥰᚟�ᚮ���所以�的最小值为᚟�ᚮ��쥰��ᚮ�．19.（1）如图，由已知得四边形�ᚮⳏ是直角梯形，由�ⳏ쥰ᚮⳏ쥰��，ᚮ쥰ⳏ�，可得��ᚮ是等腰直角三角形，即���ᚮ，因

为���平面�ᚮⳏ，��平面�ᚮⳏ，所以����，又����ᚮ쥰�，所以��平面��ᚮ，又�ᚮ�平面��ᚮ，所以���ᚮ．（2）取ᚮ的中点�，连接��，���ᚮ．建立如图所示的空间直角坐标系，则�ዮǡዮǡዮ，ᚮ��ǡ��ǡዮ，ⳏዮǡ��ǡዮ，�ዮǡዮǡ�，��ǡᚮ�

�ǡዮ，�ⳏ�����쥰ዮǡ��ǡᚮ�，�ᚮ����쥰��ǡ��ǡዮ．设�������쥰��ⳏ�����ዮ൏�൏᚟，则点�为ዮǡ���ǡ�ᚮ��，所以�������쥰ዮǡ���ǡ�ᚮ��．设平面��ᚮ的法向量是���쥰㢨ǡ끄ǡ�，则�����ᚮ����쥰ዮǡ�����������쥰ዮǡ得

��㢨㓨��끄쥰ዮǡ���끄㓨�ᚮ���쥰ዮǡ则可取���쥰᚟ǡᚮ᚟ǡ��᚟ᚮ�．又����쥰ዮǡዮǡ᚟是平面�ᚮⳏ的一个法向量，所以cos����ǡ���쥰���������������쥰���ᚮ᚟�㓨���ᚮ᚟�쥰cos�ዮ�，解得�쥰�ᚮ᚟�20.（1）因为点�ǡⳏ在

抛物线끄�쥰�ᚮ㢨上，所以᚟�쥰ⳏᚮ，解得ᚮ쥰ⳏ，所以椭圆的右焦点为��ǡዮ，所以�쥰�，因为椭圆ᚮ᚟�㢨���㓨끄���쥰᚟�൐�൐ዮ的离心率为��，所以��쥰��，所以�쥰��，所以��쥰��ᚮ��쥰�ᚮ

ⳏ쥰ⳏ，所以椭圆ᚮ᚟的方程为㢨��㓨끄�ⳏ쥰᚟．（2）设直线�的方程为끄쥰䁪㢨㓨�，设�㢨᚟ǡ끄᚟，㢨�ǡ끄�，由끄쥰䁪㢨㓨�ǡ㢨�㓨�끄�쥰�消끄可得᚟㓨�䁪�㢨�㓨ⳏ䁪�㢨㓨���ᚮ�쥰ዮ，所以㢨᚟㓨㢨�쥰ᚮⳏ䁪�᚟㓨�䁪�，㢨᚟㢨�쥰���ᚮ�᚟㓨�䁪�，所以끄᚟㓨끄

�쥰䁪㢨᚟㓨㢨�㓨��쥰��᚟㓨�䁪�，끄᚟끄�쥰䁪�㢨᚟㢨�㓨䁪�㢨᚟㓨㢨�㓨��쥰��ᚮ�䁪�᚟㓨�䁪�，第2页（共2页）因为�ዮǡ�，直线��与�的斜率乘积为ᚮ᚟�，所以䁪᚟�䁪�쥰끄᚟ᚮ�㢨᚟

�끄�ᚮ�㢨�쥰끄᚟끄�ᚮ�끄᚟㓨끄�㓨ⳏ㢨᚟㢨�쥰�ᚮ���㓨�쥰ᚮ᚟�，解得�쥰ዮ，所以直线�的方程为끄쥰䁪㢨，线段�的中点为坐标原点，由弦长公式可得���쥰᚟㓨䁪�㢨᚟㓨㢨��ᚮⳏ㢨᚟㢨�쥰��䁪�㓨᚟᚟㓨�䁪�，因为����쥰���，所以��垂直平分

线段�，当䁪�ዮ时，设直线��的方程为끄쥰ᚮ᚟䁪㢨，同理可得����쥰᚟���᚟䁪�㓨᚟��᚟䁪�㓨᚟쥰᚟���䁪�㓨᚟䁪�㓨�，所以����쥰᚟���������쥰�䁪�㓨᚟�䁪�㓨��䁪�㓨᚟，当䁪

쥰ዮ时，���的面积也适合上式，令�쥰䁪�㓨᚟，��᚟，ዮ൏᚟��᚟，则����쥰����㓨᚟��ᚮ᚟쥰�᚟ᚮ᚟��㓨᚟�㓨�쥰�᚟ᚮ᚟�ᚮ᚟��㓨�ⳏ，所以当᚟�쥰᚟�时，即䁪쥰�᚟时，����的最小值为᚟��．21.（1）当㢨�ᚮ᚟时，对任意�൐ዮ，�㢨൐ዮ；当㢨൐ᚮ᚟时，由�㢨

�ዮ，得��e㢨㢨㓨᚟，令�㢨쥰e㢨㢨㓨᚟㢨൐ᚮ᚟，则��㢨쥰e㢨㢨㢨㓨᚟�．当㢨�ᚮ᚟ǡዮ时，��㢨൏ዮ；当㢨�ዮǡ㓨�时，��㢨൐ዮ．故�㢨max쥰�ዮ쥰᚟．所以��᚟，�的最大值为᚟．（2）设㢨᚟，㢨�是

任意两个实数，且㢨᚟൏㢨�，则有�㢨�ᚮ�㢨᚟㢨�ᚮ㢨᚟൐�．故�㢨�ᚮ�㢨�൐�㢨᚟�㢨᚟．所以函数�㢨쥰�㢨ᚮ�㢨在ᚮ�ǡ㓨�上单调递增．所以��㢨쥰��㢨ᚮ�൐ዮ恒成立．即对任意的��ᚮ᚟，任意的㢨��，�൏��㢨恒成立．又��㢨쥰e㢨ᚮ�ᚮ�e㢨��e㢨ᚮ�e㢨ᚮ�

쥰ᚮ�㓨�ᚮ�쥰ᚮ�㓨᚟�ᚮ᚟��ǡ当且仅当㢨쥰ዮ，�쥰ᚮ᚟时两个等号同时成立．故�൏�．（3）存在，�的最小值为�．下面给出证明：由（�）知，e㢨�㢨㓨᚟．故ዮ൏᚟ᚮ����e����쥰᚟ǡ�ǡ�ǡ��ᚮ᚟．所以��ᚮ�����eᚮ���쥰᚟ǡ�ǡ�ǡ��ᚮ᚟．于是᚟���㓨��

��㓨����㓨�㓨��ᚮ᚟���൏eᚮ��ᚮ᚟�㓨eᚮ��ᚮ��㓨eᚮ��ᚮ��㓨�㓨eᚮ᚟�쥰eᚮ᚟�᚟ᚮeᚮ�᚟ᚮeᚮ᚟൏eᚮ᚟�᚟ᚮeᚮ᚟쥰eeᚮ᚟�22.由㢨ǡ끄ǡ���㓨，且㢨㓨끄㓨�쥰᚟，可得�㢨�

끄㓨�㓨끄㓨�����㢨�끄㓨��끄㓨��쥰�㢨，同理可得�끄��㓨㢨㓨�㓨㢨���끄，���㢨㓨끄㓨㢨㓨끄����，三式相加，可得�㢨�끄㓨�㓨�끄��㓨㢨㓨���㢨㓨끄㓨㢨㓨끄㓨���㢨㓨끄㓨�，即为�㢨�끄㓨�㓨�끄��㓨㢨㓨���

㢨㓨끄�㢨㓨끄㓨�，则�㢨�끄㓨�㓨�끄��㓨㢨㓨���㢨㓨끄�᚟成立．23（1）因为ᚮ᚟的圆心是ᚮ᚟᚟ǡ�，且与끄轴相切，故圆ᚮ᚟的半径是᚟，所以圆ᚮ᚟的方程是㢨ᚮ᚟�㓨끄ᚮ��쥰᚟．因为㢨쥰�cos�，끄쥰�sin�，将

其代入圆ᚮ᚟的方程，得��ᚮ��cos�ᚮⳏ�sin�㓨ⳏ쥰ዮ．（2）将�쥰πⳏ代入��ᚮ��cos�ᚮⳏ�sin�㓨ⳏ쥰ዮ，整理得��ᚮ���㓨ⳏ쥰ዮ，解得�᚟쥰��或��쥰�．故�᚟ᚮ��쥰�，即���쥰�．因为圆ᚮ᚟的半径是᚟，所以点ᚮ᚟到直线�的距离是

��．所以��ᚮ᚟的面积是�쥰᚟������쥰᚟�．