【文档说明】甘肃省永昌县第一高级中学2020-2021学年高二下学期期末考试理科数学试题 【精准解析】.doc，共(16)页，735.500 KB，由小赞的店铺上传

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2020-2021学年甘肃省金昌市永昌第一高级中学高二（下）期末数学试卷（理科）一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分）.1．复数z满足z＝（1+i）（1﹣i）2，则z的虚部为（）A．﹣2iB．﹣2C．2D．

2i2．若双曲线C：＝1的离心率为，则C的虚轴长为（）A．4B．2C．2D．23．若过函数f（x）＝lnx﹣2x图象上一点的切线与直线y＝2x+1平行，则该切线方程为（）A．2x﹣y﹣1＝0B．2x﹣y﹣2ln2+1＝0C．2x﹣y﹣2ln2﹣1＝0D．2x+y

﹣2ln2﹣1＝04．某方舱医院有6个医疗小组，每个小组都配备1位主治医师，现根据工作需要，医院准备将其中3位主治医师由原来的小组均相应地调整到其他医疗小组，其余的3位主治医师仍在原来的医疗小组（不做调整），如果调整后每

个医疗小组仍都配备1位主治医师，则调整的不同方案数为（）A．36B．40C．48D．565．在的展开式中，常数项为54，则a＝（）A．±1B．±2C．±3D．±46．用反证法证明：若整系数一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有有理数根，那么a、b、c中至少有一个偶数时，下列假设

正确的是（）A．假设a、b、c都是偶数B．假设a、b、c都不是偶数C．假设a、b、c至多有一个偶数D．假设a、b、c至多有两个偶数7．“女排精神”是中国女子排球队顽强战斗、勇敢拼搏精神的总概括，她们在世界杯排球赛中凭着顽强战斗、勇敢拼搏的

精神，五次获得世界冠军，为国争光.2019年女排世界杯于9月14日至9月29日在日本举行，中国队以上届冠军的身份出战，最终以11战全胜且只丢3局的成绩成功卫冕世界杯冠军，为中华人民共和国70华诞献上最及时的贺礼．朱婷连续两届当选女排世界杯MVP，她和颜妮、丁霞、王梦洁共

同入选最佳阵容，赛后4人和主教练郎平站一排合影留念，已知郎平站在最中间，她们4人随机站于两侧，则朱婷和王梦洁站于郎平同一侧的概率为（）A．B．C．D．8．函数f（x）＝x2﹣alnx在[1，+∞）单调递增，则实数a的取值范围是（）A．（0，2]B．（2，+∞）C．（﹣∞，2]D．（﹣∞，2）

9．函数在区间上的最大值是（）A．B．C．D．10．随机变量X的概率分布规律为P（X＝n）＝（n＝1，2，3，4），其中a是常数，则P（＜X＜）的值为（）A．B．C．D．11．如图在直角坐标系xOy中，过坐标原点O作曲线y

＝ex的切线，切点为P，过点P分别作x，y轴的垂线垂足分别为A，B，向矩形OAPB中随机撒一粒黄豆，则它落到阴影部分的概率为（）A．B．C．D．12．若函数在区间（a，a+5）内存在最小值，则实数a的取值范围是（）A．（

﹣3，2）B．[﹣3，2）C．[﹣1，2）D．（﹣1，2）二、填空题（每小题5分，共20分）13．“学习强国”是由中宣部主管，以深入学习宣传习近平新时代中国特色社会主义思想为主要内容，立足全体党员、面向全社会的优质学习平台．该平台设有“阅读文章”，“视听学习”等多个栏目．假设在这些栏目中

某时段更新了2篇文章和2个视频，一位学员准备学习这2篇文章和这2个视频，要求这2篇文章学习顺序不相邻，则不同的学法有种．（用数字作答）14．已知函数f（x）＝alnx+bx2的图象在点P（1，1）处的切线与直线x﹣y+1＝0垂直，则a的值为15．某居民小区

有两个相互独立的安全防范系统A和B，系统A和系统B在任意时刻发生故障的概率分别为和p，若在任意时刻恰有一个系统不发生故障的概率为，则p＝．16．已知F1，F2分别为椭圆+＝1（a＞b＞0）的左、右焦点，|F1F2|＝2，过椭圆左焦点且斜率为2的直线交椭圆于A，B两点，若S＝

4，则弦长|AB|＝．三.解答题（17题10分，其余每小题10分，共70分）17．已知复数（m∈R）．（Ⅰ）当实数m取什么值时，复数z是纯虚数；（Ⅱ）当实数m取什么值时，复平面内表示复数z的点位于第一、三象

限．18．在二项式（m∈N*）的展开式中，第三项系数是倒数第三项系数的．（Ⅰ）求m的值；（Ⅱ）求展开式中所有的有理项．19．2020年初，新型冠状病毒疫情牵动着全国人民的心，某市根据上级要求，在本市某人民医院要选出护理、外科、心理治疗方面的专家4人与省专家组一起赶赴武汉参加救助工作，该医院中现有

3名护理专家A1，A2，A3，5名外科专家B1，B2，B3，B4，B5，2名心理治疗专家C1，C2．（1）求4人中有1位外科专家，1位心理治疗师的概率；（2）求至少含有2位外科专家，且外科专家B1和护理专家A1不能同时被选的概率．20．某校为了普及环保知识，增强学生的环保意识

，在全校组织了一次有关环保知识的竞赛．经过初赛、复赛，甲、乙两个代表队（每队3人）进入了决赛，规定每人回答一个问题，答对为本队赢得10分，答错得0分．假设甲队中每人答对的概率均为，乙队中3人答对的概率分

别为，，，且各人回答正确与否相互之间没有影响，用ξ表示乙队的总得分．（Ⅰ）求ξ的分布列和数学期望；（Ⅱ）求甲、乙两队总得分之和等于30分且甲队获胜的概率．21．斜率为1的直线l经过抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点F，与抛物线相交于A，B两点，且|AB|

＝16．（1）求C的方程；（2）直线x＝﹣2上是否存在点P，使得PA⊥PB，若存在，求出点P坐标；若不存在，说明理由．22．设函数f（x）＝ax﹣2﹣lnx（a∈R）．（1）若f（x）在点（e，f（e））处的切线为x﹣ey+b＝0，求a，b的值；（2）求f（x

）的单调区间．参考答案一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分）.1．复数z满足z＝（1+i）（1﹣i）2，则z的虚部为（）A．﹣2iB．﹣2C．2D．2i解：z＝（1+i）（1﹣i）2＝（1+i）（1﹣2i﹣1）＝（1+i

）（﹣2i）＝2﹣2i，故z的虚部为﹣2，故选：B．2．若双曲线C：＝1的离心率为，则C的虚轴长为（）A．4B．2C．2D．2解：双曲线C：＝1的离心率为，可得e＝＝＝，解得m＝6，故C的虚轴长为2．故选：B．3．若过函数f（x）＝lnx﹣2x图象上一点的切线与直线

y＝2x+1平行，则该切线方程为（）A．2x﹣y﹣1＝0B．2x﹣y﹣2ln2+1＝0C．2x﹣y﹣2ln2﹣1＝0D．2x+y﹣2ln2﹣1＝0解：由题意，求导函数可得y′＝﹣2，∵切线与直线y＝2x+1平行，∴﹣2＝2，∴x＝，∴切点坐标为（，﹣2ln2﹣），∴

过点P且与直线y＝2x+1平行的切线方程为y+2ln2+＝2（x﹣），即2x﹣y﹣2ln2﹣1＝0．故选：C．4．某方舱医院有6个医疗小组，每个小组都配备1位主治医师，现根据工作需要，医院准备将其中3位主治医师由原来的小组均相应地调整到其他医疗小

组，其余的3位主治医师仍在原来的医疗小组（不做调整），如果调整后每个医疗小组仍都配备1位主治医师，则调整的不同方案数为（）A．36B．40C．48D．56解：根据题意，分2步进行分析：①在6个医疗小组中选出3个，其主治医师不变，有C63＝20种安排方法，②剩下的3个医疗小组，其

主治医师由原来的小组均相应地调整到其他医疗小组，有2×1＝2种安排方法，则有20×2＝40种不同的方案；故选：B．5．在的展开式中，常数项为54，则a＝（）A．±1B．±2C．±3D．±4解：展开式的通项＝，令2﹣k＝0，即k＝2，即常数项，解得a＝±1．故选：A．6．用反证法证明：若整系数一元二

次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有有理数根，那么a、b、c中至少有一个偶数时，下列假设正确的是（）A．假设a、b、c都是偶数B．假设a、b、c都不是偶数C．假设a、b、c至多有一个偶数D．假设a、b、

c至多有两个偶数解：根据反证法的步骤，假设是对原命题结论的否定“至少有一个”的否定“都不是”．即假设正确的是：假设a、b、c都不是偶数故选：B．7．“女排精神”是中国女子排球队顽强战斗、勇敢拼搏精神的总概括，她们在世界杯排球赛中凭着顽强战斗、勇敢拼搏的精神，五次获得世界冠军，为国争光.2019

年女排世界杯于9月14日至9月29日在日本举行，中国队以上届冠军的身份出战，最终以11战全胜且只丢3局的成绩成功卫冕世界杯冠军，为中华人民共和国70华诞献上最及时的贺礼．朱婷连续两届当选女排世界杯MVP，她和颜妮、丁霞、王梦

洁共同入选最佳阵容，赛后4人和主教练郎平站一排合影留念，已知郎平站在最中间，她们4人随机站于两侧，则朱婷和王梦洁站于郎平同一侧的概率为（）A．B．C．D．解：记朱婷和王梦洁站于郎平同一侧为事件A,基本事件总

数为••＝24，事件A包含的基本事件数2•＝8,∴p(A)＝＝．故选：B．8．函数f（x）＝x2﹣alnx在[1，+∞）单调递增，则实数a的取值范围是（）A．（0，2]B．（2，+∞）C．（﹣∞，2]D．（﹣∞，2）解：函数f（x）＝x2﹣alnx，则f'（x）＝，因为f（x

）＝x2﹣alnx在[1，+∞）单调递增，所以在[1，+∞）上恒成立，即a≤2x2在[1，+∞）上恒成立，因为y＝2x2在[1，+∞）上单调递增，所以（2x2）min＝2，则a≤2，所以实数a的取值范围是（﹣∞，2]．故选：C．9．函数在

区间上的最大值是（）A．B．C．D．解：函数f（x）＝，x∈，f′（x）＝1﹣2sinx，令f′（x）＝0，解得x＝．∴函数f（x）在内单调递增，在内单调递减．∴x＝时函数f（x）取得极大值即最大值．＝﹣＝．故选：B．10．随机变量X的概率分布规律为P（X＝n）

＝（n＝1，2，3，4），其中a是常数，则P（＜X＜）的值为（）A．B．C．D．解：∵P（X＝n）＝（n＝1，2，3，4），∴+++＝1，∴a＝，∵P（＜X＜）＝P（X＝1）+P（X＝2）＝×+×＝．故选：D．11．如

图在直角坐标系xOy中，过坐标原点O作曲线y＝ex的切线，切点为P，过点P分别作x，y轴的垂线垂足分别为A，B，向矩形OAPB中随机撒一粒黄豆，则它落到阴影部分的概率为（）A．B．C．D．解：设P（x0，

e），由y′＝ex，则以点P为切点过原点的切线方程为：y﹣e＝e（x﹣x0），又此切线过点（0，0），求得：x0＝1，即P（1，e），以点P为切点过原点的切线方程为：y＝ex由定积分的几何意义得：S阴＝∫（ex﹣ex）dx＝（ex﹣ex2）|＝，设“向矩形OAPB中随机撒

一粒黄豆，则它落到阴影部分”为事件A，由几何概型的面积型可得：P（A）＝＝＝，故选：A．12．若函数在区间（a，a+5）内存在最小值，则实数a的取值范围是（）A．（﹣3，2）B．[﹣3，2）C．[﹣1，2）D．（﹣1，2）解：令f′（x）＝x2﹣2x＝0，解得x＝0或x＝2，在开区间（a，a+

5）内的最小值一定是，又，故，解得﹣1≤a＜2．故选：C．二、填空题（每小题5分，共20分）13．“学习强国”是由中宣部主管，以深入学习宣传习近平新时代中国特色社会主义思想为主要内容，立足全体党员、面向全社会的优质学习平台．该平台设有“阅读文章”，

“视听学习”等多个栏目．假设在这些栏目中某时段更新了2篇文章和2个视频，一位学员准备学习这2篇文章和这2个视频，要求这2篇文章学习顺序不相邻，则不同的学法有12种．（用数字作答）解：根据题意，2篇文章和这2个视频，共有A44＝24种不同的顺序，若文章学习相邻，

有A22A33＝12种顺序，则2篇文章学习顺序不相邻的学法有24﹣12＝12种；故答案为：12．14．已知函数f（x）＝alnx+bx2的图象在点P（1，1）处的切线与直线x﹣y+1＝0垂直，则a的值为﹣3解：由已知可得P（1，1）在函数f（x）的图象上，所以f（1）＝1，即aln1+b×1

2＝1，解得b＝1，所以f（x）＝alnx+x2，故．则函数f（x）的图象在点P（1，1）处的切线的斜率k＝f′（1）＝a+2，因为切线与直线x﹣y+1＝0垂直，所以a+2＝﹣1，即a＝﹣3．故答案为：﹣3．15．某居民小区有两个相

互独立的安全防范系统A和B，系统A和系统B在任意时刻发生故障的概率分别为和p，若在任意时刻恰有一个系统不发生故障的概率为，则p＝．解：某居民小区有两个相互独立的安全防范系统A和B，系统A和系统B在任意时刻发生故障的概率分别为和p，∵在任意时刻恰有一个系统不发生故障的概率为，∴＝，解得p＝．

故答案为：．16．已知F1，F2分别为椭圆+＝1（a＞b＞0）的左、右焦点，|F1F2|＝2，过椭圆左焦点且斜率为2的直线交椭圆于A，B两点，若S＝4，则弦长|AB|＝2．解：因为|F1F2|＝2，所以2c＝2，即c＝1，因为S＝4，所以×2c×|yA﹣yB|＝4，所以

|yA﹣yB|＝4，因为过椭圆左焦点且斜率为2的直线交椭圆于A，B两点，所以|AB|＝|yA﹣yB|＝×4＝2，故答案为：2．三.解答题（17题10分，其余每小题10分，共70分）17．已知复数（m∈R）．（Ⅰ）当实数m取什么值时，复

数z是纯虚数；（Ⅱ）当实数m取什么值时，复平面内表示复数z的点位于第一、三象限．解：（Ⅰ）当复数z是纯虚数时，有，解得m＝﹣1．所以当实数m＝﹣1时，复数z是纯虚数．（Ⅱ）当表示复数z的点位于第一、三象限时，有（3+3m）（1+3m）＞0，解得m＜﹣1或，

所以当实数时，表示复数z的点位于第一、三象限．18．在二项式（m∈N*）的展开式中，第三项系数是倒数第三项系数的．（Ⅰ）求m的值；（Ⅱ）求展开式中所有的有理项．解：（Ⅰ）展开式的通项为：，依题可得：，解得m＝7．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，展开式的通项为，当r＝0，2，4，

6时，对应项是有理项，所以展开式中所有的有理项为：，，，．19．2020年初，新型冠状病毒疫情牵动着全国人民的心，某市根据上级要求，在本市某人民医院要选出护理、外科、心理治疗方面的专家4人与省专家组一起赶赴武汉参加救助工作，该

医院中现有3名护理专家A1，A2，A3，5名外科专家B1，B2，B3，B4，B5，2名心理治疗专家C1，C2．（1）求4人中有1位外科专家，1位心理治疗师的概率；（2）求至少含有2位外科专家，且外科专家B1和护理专家A1不能同时被选的概率．解：（1）该医院完中现有3名护理专家A

1，A2，A3，5名外科专家B1，B2，B3，B4，B5，2名心理治疗专家C1，C2．选出护理外科、心理治疗方面的专家4人与省专家组一起赶赴武汉参加救助工作，基本事件总数n＝＝210，其中4人中有1位外科专家，1位

心理治疗师包含的基本事件的个数m＝＝30，∴4人中有1位外科专家，1位心理治疗师的概率P＝＝＝．（2）基本事件总数n＝＝210，其中4人中至少含有2位外科专家，且外科专家B1和护理专家A1不能同时被选包含的基

本事件有：m′＝+﹣+＝108，∴至少含有2位外科专家，且外科专家B1和护理专家A1不能同时被选的概率为：P＝＝＝．20．某校为了普及环保知识，增强学生的环保意识，在全校组织了一次有关环保知识的竞赛．经过初赛、复赛，甲、乙两个代表队（每队3人）进入了决赛，规定每人回答一个问题，答对为本队赢得10分

，答错得0分．假设甲队中每人答对的概率均为，乙队中3人答对的概率分别为，，，且各人回答正确与否相互之间没有影响，用ξ表示乙队的总得分．（Ⅰ）求ξ的分布列和数学期望；（Ⅱ）求甲、乙两队总得分之和等于30分且甲队获胜的概率．解：由题意知，ξ的可能取值为0，

10，20，30，由于乙队中3人答对的概率分别为，，，P（ξ＝0）＝（1﹣）×（1﹣）×（1﹣）＝，P（ξ＝10）＝×（1﹣）×（1﹣）+（1﹣）××（1﹣）+（1﹣）×（1﹣）×＝＝，P（ξ＝20）＝××（1﹣）+（1﹣）××+×（1﹣）×＝＝，P（ξ＝30）＝××＝，∴ξ的

分布列为：ξ0102030P∴Eξ＝0×+10×+20×+30×＝．（Ⅱ）由A表示“甲队得分等于30乙队得分等于0”，B表示“甲队得分等于20乙队得分等于10”，可知A、B互斥．又P（A）＝＝，P（B）＝××＝，则甲、乙两队总得分之和等于30分且甲队获胜的概率为P（A+B）＝P

（A）+P（B）＝＝．21．斜率为1的直线l经过抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点F，与抛物线相交于A，B两点，且|AB|＝16．（1）求C的方程；（2）直线x＝﹣2上是否存在点P，使得PA⊥PB，若存在，求出点P坐标；若不存在，说

明理由．解：（1）由题可知，直线l方程为y＝x﹣，设A（x1，y1），B（x2，y2），联立方程，得，∴x1+x2＝3p，∵直线AB过焦点F，|AB|＝x1+x2+p＝4p，∴p＝4，故抛物线C的方程y2＝8x．（2）联立，得x2﹣12x+4＝0，∴x1+x2＝12，x1x2

＝4，设点P（﹣2，t），则，，∵PA⊥PB，∴+（y1﹣t）（y2﹣t），＝，∴t2﹣8t+16＝0，解得t＝4，∴存在P（﹣2，4），符合题意．22．设函数f（x）＝ax﹣2﹣lnx（a∈R）．（1）若f（x）在点（e，f（e））处的切线为x﹣

ey+b＝0，求a，b的值；（2）求f（x）的单调区间．解：（1）f（x）＝ax﹣2﹣lnx（a∈R）的定义域为（0，+∞），，因为f（x）在点（e，f（e））处的切线为x﹣ey+b＝0，所以，所以；所以f（e）＝﹣1把点（e，﹣1）代入x﹣ey+b＝0得：

b＝﹣2e．即a，b的值为：，b＝﹣2e．（2）由（1）知：．①当a≤0时，f'（x）＜0在（0，+∞）上恒成立，所以f（x）在（0，+∞）单调递减；②当a＞0时，令f'（x）＝0，解得：，列表得：xf'（x）﹣0+y＝

f（x）↗↘所以，a＞0时，f（x）的递增区间为，单减区间为．综上所述：当a≤0时，f（x）在（0，+∞）单调递减；当a＞0时，f（x）的递增区间为，单减区间为．