【文档说明】北京市第九中学2025届高三上学期10月月考数学试卷 Word版含解析.docx，共(17)页，712.284 KB，由小赞的店铺上传

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2024北京九中高三10月月考数学（考试时间120分钟满分150分）一、单选题（共40分）1.若集合0,1,3A=，1,0,2,3B=−，则AB等于（）A.1,0,1,2,3−B.1,0,2,3−C.0,1,3D.0,3【

答案】A【解析】【分析】直接利用集合的并集运算求解.【详解】因为集合0,1,3A=，1,0,2,3B=−，所以AB=1,0,1,2,3−，故选：A2.下列函数中，既是奇函数又是增函数的是（）A.1yx=

+B.1yx=C.y＝﹣x3D.22,0,,0xxyxx=−【答案】D【解析】【分析】根据函数的单调性和奇偶性，对各个选项中的函数逐一做出判断，从而得出结论．【详解】解：由于函数y＝x+1是非奇非偶函数，故排除A；由于y1x=在（﹣∞，0）∪（0，+∞）上不具有单调性，故排除B；

由于y＝﹣x3是奇函数，且在R上是减函数，故排除C；A，B，C都不对，对于D，y2200xxxx−=，＜，，数形结合可知函数在R递增且为奇函数；故选D．【点睛】本题主要考查函数的单调性和奇偶性，熟练掌握常见函数的图像与性质是解题的关键，属于基础题．3.已知()11co

s,coscos43+==，则tantan=（）A.14B.13C.3D.4【答案】A【解析】【分析】根据余弦两角和公式和同角三角函数关系求解即可.【详解】因为()1coscoscossinsin4

+=−=，1coscos3=，所以111sinsin3412=−=.所以1sinsin112tantan1coscos43===.故选：A4.已知等比数列{}na满足135aa+=，22a=，则{}na的公比

为（）A.2−或12−B.2−或12C.2或12−D.2或12【答案】D【解析】【分析】设出公比，利用等比数列通项公式基本量计算列出方程，求出答案【详解】设公比为q，则2132225aaaaqqqq+=+=+=，解得2q=或12.故选：D5.在ABCV中，

角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若13a=，3b=，2c=，则角A=（）A.30B.60C.120D.150【答案】D【解析】【分析】根据余弦定理即可求解.【详解】由余弦定理可得34133cos2232A+−==−,

()5π0,π,6AA=，即150，故选：D6.已知4log2a=，10log4b=，0.212c−=，则下列判断正确的是（）A.cbaB.bacC.acbD.abc【答案】D【解析】【分析】根据指

对数的函数性质判断各数的大小关系.【详解】0.210104101log10log4l11lo2og0g122cab−======，故选：D7.“1x−”是“20xx+”的A.充分而不必要条

件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】解不等式20xx+，根据1x−与其解集的关系即可求出.【详解】由20xx+解得：1x−或0x，当1x−时，能推出1x−或0x成立，反之，不能由1x−或0x推出1x

−，故“1x−”是“20xx+”的充分不必要条件，故选A.【点睛】本题主要考查了二次不等式的解法，充分必要条件的判定，属于中档题.8.在𝛥𝐴𝐵𝐶中，若222sinsinsinABC+，则角A是A.钝角B.直角C

.锐角D.不能确定【答案】C【解析】【分析】首先利用正弦定理角化边，然后结合余弦定理确定∠A的大小即可.【详解】由222sinAsinBsinC+结合正弦定理可得：222abc+，则2220abc+−

结合余弦定理有：222cos02abcCab+−=，故∠C为钝角，则角A是锐角.本题选择C选项.【点睛】在处理三角形中的边角关系时，一般全部化为角的关系，或全部化为边的关系．题中若出现边的一次式一般采用到正弦定理，出

现边的二次式一般采用到余弦定理．应用正、余弦定理时，注意公式变式的应用．解决三角形问题时，注意角的限制范围．9.某班设计了一个八边形的班徽（如图），它由腰长为1，顶角为的四个等腰三角形，及其底边构成的正方形所组成，该八边

形的面积为A2sin2cos2−+；B.sin3cos3−+C.3sin3cos1−+D.2sincos1−+【答案】A【解析】【详解】试题分析：利用余弦定理求出正方形面积()221112cos22cosS=+−=−；利用

三角形知识得出四个等腰三角形面积21411sin2sin2S==；故八边形面积122sin2cos2SSS=+=−+.故本题正确答案为A.考点：余弦定理和三角形面积的求解.【方法点晴】本题是一

道关于三角函数在几何中的应用的题目，掌握正余弦定理是解题的关键；首先根据三角形面积公式1111sinsin22S==求出个三角形的面积42sinS=；接下来利用余弦定理可求出正方形的边长的平方()2211

2cos+−，进而得到正方形的面积()221112cos22cosS=+−=−，最后得到答案..10.在当前市场经济条件下，私营个体商店中的商品，所标价格a与其实际价值之间，存在着相当大的差距，对顾客而言

，总是希望通过“讨价还价”来减少商品所标价格a与其实际价值的差距.设顾客第n次的还价为nb，商家第n次的讨价为nc，有一种“对半讨价还价”法如下：顾客第一次的还价为标价a的一半，即第一次还价12ab=，商

家第一次的讨价为1b与标价a的平均值，即112abc+=；…，顾客第n次的还价为上一次商家的讨价1nc−与顾客的还价1nb−的平均值，即112nnncbb−−+=，商家第n次讨价为上一次商家的讨价1nc−与顾客这一次的还价nb的平均值，即12n

nncbc−+=，现有一件衣服标价1200元，若经过n次的“对半讨价还价”，nb与nc相差不到2元，则n的最小值为（）A.4B.5C.6D.7【答案】B【解析】【分析】判断出数列nncb−是等比数列，由此列不等式，从而求得n的最

小值.【详解】依题意可知nncb，111111111222224nnnnnnnnnnnnncbbcbcbbcbbbc−−−−−−−−−+−++=−−−==−=，则1114nnnnccbb−−−−=，又111112

0060060030022abcbb++−=−=−=，所以数列nncb−是以300为首项，公比为14的等比数列，所以111300120044nnnncb−−==，由1120024nnncb−=得11,46004600nn

，其中*nN，解得5n，因此n的最小值为5.故选：B.二、填空题（共25分）11.函数()12xfxx−=−的定义域为__________.【答案】[)(1,22),+【解析】【分析】根据函数定义域的求法求得正确答案.【详解】依题意，10

20xx−−，解得1x且2x，所以()fx的定义域为[)(1,22),+.故答案为：[)(1,22),+12.半径为6，圆心角等于π3的扇形的面积是______．【答案】6π【解析】【分析】由扇形面积公式21122Slrr==即可直接计算求解.【详

解】由题得扇形的面积是2211π66π223Sr===.故答案为：6π.13.若将函数()sin()3fxx=−的函数图象平移()R个单位，得到一个偶函数的图象，则的最小值为________.【答案】6【解析】【分析】分两种情况讨论，先求出的值，再比较即得解

的最小值.【详解】若将函数()sin()3fxx=−的函数图象向左平移()R个单位，得到函数sin()3yx=+−的图象，根据所得图象为一个偶函数图象，故32k−=+，Zk，此时，56k=+；若将

函数()sin()3fxx=−的函数图象向右平移()R个单位，得到函数sin()3yx=−−的图象，根据所得图象为一个偶函数的图象，故32k+=+，Zk，此时，6k=+；综上可得，||的最小值为6，故答案为：6．【点睛】本题主要考

查函数sin()yAx=+的图象变换规律及正弦函数的奇偶性，意在考查学生对这些知的识的理解掌握水平，属于基础题．14.点P从22,22出发，沿单位圆221xy+=逆时针方向运动3弧长到达Q点，则点Q的坐标为__________.【答案】2-62+

6,44【解析】【分析】由题意先求出POx的正弦值、余弦值，再根据条件得到3QOxPOx=+，再根据两角和的正弦、余弦公式求出QOx的正弦值、余弦值，然后求出点Q的坐标．【详解】解：∵点22,22

在单位圆221xy+=上，∴2sin2POx=，2cos2POx=，∵点P沿单位圆逆时针方向运动3弧长到达Q点，∴点P逆时针转动了3，则3QOxPOx=+，∴sinsin3QOxPOx=+sincoscossin33POxPOx=+2123

2222=+264+=，coscos3QOxPOx=+coscossinsin33POxPOx=−21232222=−264−=，∴点Q的坐标为2-62+6,44，故答案为：2-62+6,44．【点睛】本题主要考查三角函数的定义以及

两角和的正余弦公式，属于基础题．15.已知函数()xxfxe=，给出下列结论：①(1,)()fx+是的单调递减区间；②当1(,)ke−时，直线y=k与y=f（x）的图象有两个不同交点；③函数y=f（x）

的图象与21yx=+的图象没有公共点；④当(0,)x+时，函数1()()yfxfx=+的最小值为2．其中正确结论的序号是_________【答案】①③【解析】【分析】①先求出函数的导数，令导函数小于0，解出即可判断；②根据函数的单调性画出函数的图象，通过图象读出即可；③求出f（x）

的最大值小于y＝x2+1的最小值，从而得到答案；④利用对勾函数即可作出判断．【详解】解：①f′（x）1xxe−=，令f′（x）＜0，解得：x＞1，∴函数f（x）在（1，+∞）递减，故①正确；②∵f（x）在（﹣∞，1）递增，在（1，+∞）递减，∴f（x）max＝f

（1）1e=，x→﹣∞时，f（x）→﹣∞，x→+∞时，f（x）→0，画出函数f（x）的图象，如图示：，∴当k∈（﹣∞，0）时，直线y＝k与y＝f（x）的图象有1个不同交点，当k∈（0，1e）时，直线y＝k与y＝f（x）的图象有两个不同交点，故②错误；③

函数f（x）1e，而y＝x2+1≥1，∴函数y＝f（x）的图象与y＝x2+1的图象没有公共点，故③正确；④当()0,x+时，令t=()10fxe，，()()11yfxtfxt=+=+在10e，上单调递减，∴()()11yfx

efxe=++，最小值不等于2，故④错误.故答案为①③．【点睛】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用，是一道中档题．三、解答题（共85分）16.已知数列na是公差不为0的等差数列，31246,,,aaaa=成等比数列.（1）求数列na的通项公式；（

2）若12nnnbaa+=，设数列nb的前n项和为nS，求nS.【答案】（1）2nan=（2）22nnSn=+【解析】【分析】（1）根据等差数列的通项公式及等比中项列出方程组求出首项与公差，即可得解；

（2）利用裂项相消法求和.【小问1详解】因为31246,,,aaaa=成等比数列，所以()()312111263aadadaad=+=+=+，解得122ad==，所以()2212nann=+−=.【小问2详解】因为12nnnbaa+=，所以()211222222nbnnn

n==−++，所以123111111111244668222nnnSbbbbbnn−=+++++=−+−+−++−+，所以2221122nSnnn=−=++.17.已知函数()π2s

in2cos4fxxx=−+．（1）求()fx的最小正周期；（2）求()fx图象的对称轴方程；（3）求()fx在π,0−上的最大值和最小值．【答案】（1）2π（2）ππ,Z4xkk=+（3）()min2fx=−，()max1fx=.【解析】【分析】（1）利用辅助角公式可将化

简()fx，从而求得其最小周期；（2）利用整体代入法求得()fx图象对称轴方程，从而得解；（3）利用正弦函数的性质，结合整体法即可得解.【小问1详解】因为()222sincos2cos22fxxxx=−+πsincos2sin4xxx=+=+，所以()fx的最小

正周期为：2π2π1T==；【小问2详解】令πππ,Z42xkk+=+，得ππ,Z4xkk=+，所以()fx图象的对称轴方程为ππ,Z4xkk=+；【小问3详解】因为π,0x−，所以π3ππ,444x+−，的注意到sinyx=在3

ππ,42−−上单调递减，在ππ,24−上单调递增，而3π2sin14−=−，π2sin14=，π2sin22−=−，所以()min2fx=−，()

max1fx=.18.设函数()()23fxxxxa=−+，Ra（1）当9a=−时，求函数()fx的单调增区间；（2）若函数()fx在区间()1,2上为减函数，求a的取值范围；（3）若函数在区间()0,2内存在两个极值点1x，2x，且()()()()2121fx

fxfxfx−+，求a取值范围.【答案】（1）(,1)−−，(3,)+.（2）0a（3）904a【解析】【分析】(1)把9a=−代入求导，再求出导函数大于0的不等式解集即可；(2)由函数()fx的导函数在()1,2上恒

小于等于0即可出a的范围；(3)根据给定条件可得函数()fx在区间(0,2)内的两个极值一正一负，再列出不等式求解即得.【小问1详解】当9a=−时，239()()fxxxx=−−，则2()3693(1)(3)fxxxxx==+−−−，由()0fx解得：1x

−或3x，所以函数()fx的单调增区间是(,1)−−，(3,)+.【小问2详解】函数2())3(fxxaxx=−+，则2()36fxxxa=−+，因函数()fx在区间()1,2上为减函数，则(1,2)x，()0fx成立，即(1,2)

x，2236036xxaaxx−+−+，显然236xx−+在()1,2上单调递减，即(1,2)x，2360xx−+，则0a，的所以a的取值范围是0a.【小问3详解】由(2)知，2()36fxxxa=−+，因函数()fx在区间()0,

2内存在两个极值点1x，2x，则()0fx=在区间()0,2内有两个不等根1x，2x，即有(0)(2)0(1)30ffafa===−+，解得0<<3a，且有12122,3axxxx+==，不妨令1202xx，则123()

())(fxxxxx=−−，当10xx或22xx时，()0fx，当12xxx时，()0fx，则()fx在1x处取得极大值1()fx，在2x取得极小值2()fx，显然，12()()fxfx，由1212()()(

)()fxfxfxfx−+两边平方得12()()0fxfx，而2211112222()()()03)3(xxxaxxxffxax−+−+=，即221122()()330xxaxxa+−+−，整理得：2221212121

2121212()3()[()2]93()0xxxxxxaxxxxxxaxxa−+++−+−++，把12122,3axxxx+==代入上述不等式并整理得：2409aa−，解得904a，综上得904a，所以

实数a的取值范围是904a.【点睛】含有多个变量的处理方法是减少变量的个数，减少变量方法有：（1）若这些变量之间有关系可以用它们之间的关系消元，如在本题中不等式221122()()330xxaxxa+−+−含有三个变量，可以通过韦达定理12122,3axxxx+==代

入的办法消去1x，2x，只剩下关系a的不等式.（2）若这些变量之间没有关系可以通过构造比值或差值消元，如证明不等式121212lnln2xxxxxx−+−时可变形为112212112lnxxxxxx−+后构造

12xtx=消元，只剩下关于t的不等式；证明不等式121212eeee2xxxxxx−+−时可变形为121212e1e12xxxxxx−−−+−后构造12txx=−消元，只剩下关于t的不等式.19.在ABC中，

sin3sinAB=，π6C=.（1）求BAC的大小；（2）E是AC的中点.从条件①7BE=，条件②423abc++=+，条件③2cb=中选择一个作为已知，使ABC存在且唯一确定，求ABC的面积；注：如果选择多个条件分别解答，按第一个个解答计分.【答案】（1）2π3（2）答案

见解析【解析】【分析】（1）由正弦定理化角为边可得3ab=，结合余弦定理证明bc=，由此可求B，再结合内角和公式求A；（2）对于①：在BCE，利用余弦定理求得2c=，进而可得面积；对于②：根据（1）中边的关系分析可得2b=，进而可得面积；对于③：根据（1）中边的关系分析判断；【小问

1详解】因为sin3sinAB=，由正弦定理可得3ab=，又因为π6C=，由余弦定理可得222222232cos3232cababCbbbb=+−=+−=，即cb=，则π6BC==，所以()2ππ3BACBC=

−+=.【小问2详解】对于①：AC边上的中线长为7BE=，在BCE，由余弦定理得2222cosBEBCCEBCCEC=+−即()22237323422bbbb=+−，解得2b=，则2,23===bca，所以ABC的面积为111s

in2323222ABCSacB===；对于②：因为3423++=++=+abcbbb，解得2b=，则2,23===bca，所以ABCV的面积为111sin2323222ABCSacB===；对于

③：若2cb=，这与bc=相矛盾，不合题意；20.已知函数()(1)exafxx=+，其中0a．（Ⅰ）求函数()fx的零点；（Ⅱ）讨论()yfx=在区间(,0)−上的单调性；（Ⅲ）在区间(,]2a−−上，()fx是否存在最小值？若存在，求出最小值；若

不存在，请说明理由．【答案】(1)函数()fx的零点为a−.(2)在区间24(,)2aaa−−+−上()fx是增函数，在区间24(,0)2aaa−−+上()fx是减函数(3)见解析.【解析】【详解】（I）解，得所以函数的零点为－a（II）函数在区域（－∞，0）上有意义，，令因为当x在定义域上变化

时，的变化情况如下：（）+-所以在区间上是增函数，在区间是减函数．（III）在区间上存在最小值()2af−证明：由（I）知-a是函数的零点，因为22144022aaaaaaaxa−−+−++−−=−−=所以．由知，当时

，．又函数在上减函数，且．所以函数在区间1,2ax−上的最小值为，且．计算得．21.在无穷数列{𝑎𝑛}中，11a=，对于任意*nN，都有*naN，1nnaa+．设*mN，记使得nam成立的n的最大值为mb．（1）设数列{𝑎𝑛}为1,4,7,10,，写出1b，2b，3

b，4b的值；（2）若{𝑎𝑛}为等比数列，且22a=，求12350bbbb++++的值．（3）设paq=，12paaaA+++=，直接写出12qbbb+++的值．（用,,pqA表示）【答案】（1）12342,

,11,1bbbb====（2）243；（3）12(1)qbbbpqA+++=+−【解析】【分析】（1）根据使得1nnaa+成立的n的最大值为mb，结合数列na为1,4,7,10,，分析即可；是（2）若{}nb为等差数列，先判断nan，再证明nan，即可求出所有可

能的数列{}na；（3）确定11b=，232bb==，依此类推，发现规律，得出qb，从而求出12qbbb+++的值．【小问1详解】由使得1nnaa+成立的n的最大值为mb，数列na为1,4,7,10,，得1na，则11b=，2na，则21b=，3na，则31b

=，4na，则42b=，所以12342,,11,1bbbb====；【小问2详解】∵na为等比数列，11a=，22a=，∴12nna−=，所以345674,8,16,32,64aaaaa=====，∵使得nam成立的n的最大值为mb，∴11b=，232bb==，45673bbbb====，

89154bbb====，1617315bbb====，3233506bbb====，∴123501224384165196243bbbb++++=+++++=；【小问3详解】设2(1)akk=，因为123naaaa，所以121

1kbbb−====，且2kb=，所以数列{}nb中等于1的项有1k−个，即21aa−个，设3()allk=，则112kklbbb+−====，且3lb=，所以数列{}nb中等于2的项有lk−个，即32aa−个，以此类推，数列{}nb中等于1p−的项有1ppaa−−个.，

所以1221321()2()(1)()qppbbbaaaapaap−+++=−+−++−−+121(1)ppaaapap−=−−−−+−+121()ppppapaaaa−=+−++++(1)pqA=+−，即12(

1)qbbbpqA+++=+−.【点睛】关键点点睛：本题巧妙得将数列和不等关系融合在一起，理解题目所表达得具体含义是解决本题得关键.