【文档说明】信息必刷卷01-2023年高考数学考前信息必刷卷（新高考地区专用） 含解析.docx，共(23)页，2.642 MB，由小赞的店铺上传

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绝密★启用前2023年高考数学考前信息必刷卷01新高考地区专用新高考地区考试题型为8（单选题）＋4（多选题）＋4（填空题）＋6（解答题），其中结构不良型试题是新高考地区新增加的题型，主要涉及解三角形与数

列两大模块，以解答题的方式进行考查。所谓结构不良型试题，就是给出一些条件，另外的条件题干中给出三个，学生可从中选择一个或者两个作为条件，进行解题。需要注意的是：题目所给的三个可选择的条件是平行的，即无论选择哪

个条件，都可解答题目，而且在可选择的三个条件中，并没有哪个条件让解答过程比较繁杂，只要推理严谨、过程规范，都会得满分。2022年新高考地区解答题中，虽未以结构不良型方式考查数列与解三角形这两大知识模块，但预测2023年新高考地区将以结构不良型方式考查数列与解三角形这两大知识模块中的一个，出现在17

题的可能性较大，难度中等偏下，例如本卷第17题。同时应特别注意以数学文化为背景的新情景问题，此类试题蕴含浓厚的数学文化气息，将数学知识、方法等融为一体，能有效考查学生在新情景下对知识的理解以及迁移到不同情境中的能力，考查学生发现问题、分析

问题和解决问题的能力，一般出现在选择题第4题、第5题的位置，难度中等，例如本卷第5题。一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．（2023·

广东江门·统考一模）已知集合1,0,1A=−，2|1,1BmmAmA=−−，则集合B中所有元素之和为（）A．0B．1C．－1D．2【答案】C【详解】根据条件分别令211,0,1m−=−，解得0,1,2m=，又1mA−，所以1,

2m=−，1,2,2B−=−，所以集合B中所有元素之和是1−，故选：C．2．（2023·广东江门·统考一模）已知i为虚数单位，复数z满足()1i1iz+=+，则z=（）A．22i22+B．22i22−C．22i22−+D．22i22−−【答案】B【详解】因为()1i1iz+=+，所以(

)1i22221ii1i1i222z+===−=−++.故选：B3．（2023·全国·模拟预测）623112xxx+−的展开式中的常数项为（）A．－20B．30C．－10D．10【答案】D【详解】解:因为666222331111122xxxxxxxx

+−=−+−621xx−的展开式的通项公式为()()621231661C1CrrrrrrrTxxx−−+=−=−,令1233r−=,得3r=;令1

230r−=,得4r=,所以623112xxx+−的展开式中的常数项为:()()34334066311C1C2203010xxx−+−=−+=.故选:D4．（2023·河北石家庄·统考一模）“22a”是“圆1C：224

xy+=与圆2C：22()()1xaya−++=有公切线”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】A【详解】圆1C：224xy+=的圆心()10,0C，半径12r=，圆2C：22()()1xaya−++=的圆心()2

,Caa−，半径21r=，若两圆有公切线，则1212CCrr−，即()221aa+−，解得22a−或22a，所以“22a”是“圆1C：224xy+=与圆2C：22()()1xaya−++=有公切线”的充分而不必要条件.故选：A.5．（2023·浙

江·校联考三模）“省刻度尺”问题由英国数学游戏大师杜登尼提出：一根23cm长的尺子，要能够量出长度为1cm到23cm且边长为整数的物体，至少需要6个刻度（尺子头尾不用刻）．现有一根8cm的尺子，要能够量出长度为

1cm到8cm且边长为整数的物体，尺子上至少需要有（）个刻度A．3B．4C．5D．6【答案】B【详解】若有一根8cm的尺子，量出长度为1cm到8cm且为整数的物体，则当尺子有4个刻度时满足条件设x为长度，a为刻度，b为刻度对应的数量，则有[1,8]x且*11223344N,xxbab

ababa=+++，其中1234,,,0,1bbbb，当12342,1,4,1aaaa====时，21123232341,2,3,4,5,6aaaaaaaaaa==+==+=++=12312347,8aaaaaaa++=+++=下证，当尺子有3个刻度时不能量出1cm8cm的

物体长度设[1,8]x且*112233N,xxbababa=++，其中123,,0,1bbb，所以当123,,bbb中有1个0，x的取值至多有3个当123,,bbb中有2个0时，120bb==或230bb==，x的取值至多有2个当123,,bbb中没有0时，x的取值有

1个所以x取值至多有6个，即当尺子有3个刻度时不能量出1cm8cm的物体长度．故选:B6．（2023·江西赣州·统考一模）已知函数()()cos04fxxb=−+的最小正周期为T，23T，且()yfx=的图象关于点3,12中

心对称，若将()yfx=的图象向右平移()0mm个单位长度后图象关于y轴对称，则实数m的最小值为（）A．10B．310C．710D．1110【答案】B【详解】2T=，0，且23T，223，即23，()yfx=的图像关

于点3,12中心对称，1b=，且3cos024−=，即()3242kk−=+Z，解得()1223kk=+Z，23，取3k=，52=，()5cos124fxx=−+，将()yfx=的图像向右平移()0mm

个单位长度后得到()55cos1224xmfxm−=−−+的图像，()fxm−的图像关于y轴对称，()524mkk−−=Z，解得()2105kmk=−−Z，0m，m的最小值，令1k=−，得min2310510m

=−+=，故选：B.7．（2023·河南·统考模拟预测）实数x，y，z分别满足2022ex=，20222023y=，20222023z=，则x，y，z的大小关系为（）A．xyzB．xzyC．zxyD．yxz【答案】B【详解】解：由已知得120

22ex=，2022log2023y=，20232022z=，设ln()xfxx=，21ln()xfxx−=，当()e,x+时，()0fx，所以ln()xfxx=在()e,+上单调递减，因此20232022ff（）（），即ln2023ln20222023202

2所以20222023ln2023log20232022ln2022=，zy；又设()e1xhxx=−−，()e1xhx=−，当()0,x+时，()0hx，所以()e1xhxx=−−在()0,x+上单调递增，因此()12022

11e10020222022hh=−−=，所以1202212023e120222022+=，则xz；综上得xzy.故选：B．8．（2023春·山西吕梁·高二校考开学考试）如图，正方体1111ABCDABCD−的棱长为2，线段11BD上有

两个动点,EF（E在F的左边），且2EF=．下列说法错误的是（）A．当,EF运动时，不存在点,EF使得AECF⊥B．当,EF运动时，不存在点,EF使得AEBF∥C．当E运动时，二面角EABC−−的最大值为45D．当,EF运动时，二面角AEFB−−为定值【答案】C【详解】建

立如图所示的空间直角坐标系，则()()()()()12,2,0,0,2,0,0,0,0,2,0,0,2,0,2ABCDD．因为,EF在11BD上，且1122BD=，2EF=，可设()(),2,212Ettt−，则()1,3,2Ftt−−，则()()2,,2,1,3,2AEttCFtt=−−=

−−，所以()()()()22134266AECFtttttt=−−+−−+=−+，故AECF恒为正，故A正确．若AEBF∥，则11,,,ABBD四点共面，与AB和11BD是异面直线矛盾，故B正确．设平面ABE的法向量为(),,mx

yz=，又()2,0,0AB=−，所以00ABmAEm==，即()20220xtxtyz−=−−+=，取2y=，则()0,2,mt=，平面ABC的法向量为()0,0,1n=，所以2cos,4tmnt=+．设二面角EABC−−的平面角为

，则为锐角，故221cos441mntmntt===++，因为12t，241yt=+在1,2上单调递减，所以24215t+，故52cos52，当且仅当2t=时，cos取得最大值22，即取最小值45，故C错误．连接1

1,,BDADAB．平面EFB即为平面11BDDB，而平面AEF即为平面11ABD，故当,EF运动时，二面角AEFB−−的大小保持不变，故D正确．故选：C二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选

对的得2分，有选错的得0分．9．（2023春·浙江衢州·高一校考阶段练习）已知向量()1,2a=−，()1,bm=−，则正确的是（）A．若1m=，则13ab−=B．若//ab，则2m=C．若a与b的夹角为钝角，则12m

−D．若向量是c与a同向的单位向量，则525,55c=−【答案】ABD【详解】对于A，若1m=，则()2,3ab−=−，所以13ab−=，故A正确；对于B，若//ab，则20m−=，所以2m=，故B正确；对于C，若a与b的夹

角为钝角，则0ab，且a与b不共线，即12020mm−−−，解得12m−，且2m，故C不正确；对于D，若向量是c与a同向的单位向量，则525,55aca==−，故D正确.故选

：ABD.10．（2023·全国·高三专题练习）甲箱中有4个红球，2个白球和3个黑球，乙箱中有3个红球，3个白球和3个黑球，先从甲箱中随机取出一球放入乙箱，分别以1A，2A和3A表示由甲箱取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙箱中随机取出一球，以B表示由乙

箱取出的球是红球的事件，则下列结论正确的是（）A．事件B与事件()1,2,3iAi=相互独立B．()1845PAB=C．()13PB=D．()2631PAB=【答案】BD【详解】()149PA=，()229PA=，()33193PA==先1A发生，则乙袋中有4

个红球3白球3黑球，()142105PBA==先2A发生，则乙袋中有3个红球4白球3黑球，()2310PBA=，先3A发生，则乙袋中有3个红球3白球4黑球，()3310PBA=．()()()1112485945PABPBAPA===，B对．()()()22232110915PABPB

APA===()()()33331110310PABPBAPA===()()()()()()()112233311903PBPBAPAPBAPAPBAPA=++=，C错．()()()11PAPBPAB，A错．()()()()()(

)2222326109313190PBAPAPABPABPBPB====，D对．故选:BD.11．（2023秋·浙江湖州·高二统考期末）已知12,FF分别为椭圆2222:1(0)xyCabab+=和双曲线()22002200:10,0xy

Eabab−=的公共左，右焦点，P（在第一象限）为它们的一个交点，且1260FPF=，直线2PF与双曲线交于另一点Q，若222PFFQ=，则下列说法正确的是（）A．1PFQ△的周长为165aB．双曲线E的离心率为133C．椭圆C的离心率为135D．124

PFPF=【答案】BCD【详解】设2QFt=，则22PFt=，1022PFta=+，102QFta=+，1PFQ△中由余弦定理22211112cosQFPFPQPFPQFPQ=+−，得222000(

2)(22)92(22)3cos60tatatatt+=++−+，化简得03at=，10228PFtat=+=24PF=，D正确；又12210aPFPFt=+=，所以5at=，又1027QFtat=+=，1PFQ△的周长为18837185tttta++==，A错误；12

PFF△中，122FFc=，由余弦定理得2224(8)(2)282cos60ctttt=+−，所以13ct=，因此双曲线的离心率为10131333cteat===，B正确；椭圆的离心率为2131355cteat===，C正确，故选：BCD．12．（

2023·全国·模拟预测）已知函数()fx的定义域为)0,+，当)0,2x时，()22fxxx=−+；且对于任意2x，恒有()()12fxfx−=−，则（）A．()fx是周期为2的周期函数B．()2023211012ifi==C．当0,8x时，方程()fxkx=有且仅有8个不同的

实数解，则k的取值范围为1,14652−D．()11912216xfxx−+【答案】BCD【详解】已知对于任意2x，恒有()()12fxfx−=−，即任意2x，恒有()()21fxfx=−−，又当)0,2x时，()22fxxx=−+，所以当)2,22xn

n+时，()()()2222fxxnxnn=−−+−+,nN.选项A，由已知对于任意2x，恒有()()12fxfx−=−，不符合周期性定义，所以A错误；选项B，()()20231112210111011101221210111022ifi==+++++++=+

++()()2023211011110112102210222ifi=+=+=，故B正确；选项C，如图1，当0,8x时，方程()fxkx=有且仅有8个不同的实数解，当直线ykx=过点()2,1时，直线为12yx=，与()yfx=有9个交点

，当直线ykx=与()()()26263fxxx=−−+−+，)6,8x相切时，此时是7个交点，令()()26263xxkx−−+−+=，整理得()214450xkx+−+=，由()2144450k=−−=，解得1465k=，当1465k=+时，方程265450xx++=，即

()2350x+=，解得350x=−，舍；当1465k=−时，方程265450xx−+=，即()2350x−=，解得)6,358x=，满足题意；且()1,1，()3,3，()5,5点在直线()1

465yx=−的上方.所以k的取值范围为1,14652−，故C正确；选项D，如图2，112yx=−过点()2,0，()4,1，()6,2，()8,3，()112xfx−成立；当)2,22xnn+时，()()()2222fxxnxnn=−

−+−+,nN.()2221933322220216444xfxxnxnxn+−=−+++=−+，即()19216fxx+，所以()11912216xfxx−

+，故D正确；故选：BCD.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．（2023·江苏泰州·统考一模）写出一个同时满足下列条件①②的等比数列{na}的通项公式na＝___．①10nnaa+；②1nnaa+【答案】112

n−−（答案不唯一）【详解】依题意，na是等比数列，设其公比为q，由于①10nnaa+，所以0q，由于②1nnnnaaaqaq+==，所以01q，所以112nna−=−符合题意.故答

案为：112n−−（答案不唯一）14．（2023·浙江嘉兴·统考模拟预测）从某地抽取1000户居民用户进行月用电量调查，发现他们的用电量都在50~650kW·h之间，进行适当分组后（每组为左闭右开的区间），画出频率分布直方图如图所示.若根据图示估计

得该样本的平均数为322，则可以估计该地居民月用电量的第60百分位数约为______.【答案】350【详解】由题意可得3224006000.360.90.36100100(20.00180.0030.0

006)1xyyx++++=++++=，解得0.0022,0.0012xy==，由0.120.180.30.6++=知，估计该地居民月用电量的第60百分位数约为350.故答案为：35015．（2023

·四川·校联考模拟预测）已知圆锥的侧面展开图为半圆，其内切球的体积为4π3，则该圆锥的高为________．【答案】3【详解】因为内切球的体积为4π3，故内切球的半径R满足344ππ33R=，故1R=.设母

线的长为l，底面圆的半径为r，故12π2π2rl=，故2lr=，故轴截面为等边三角形（如图所示），设,EF分别为等边三角形的内切圆与边的切点，O为内切圆的圆心，则,,OPE共线且OPAB⊥，OFPB⊥，而30OPF=，故22OPOF==，故213EP=+

=，故答案为：3.16．（2023·辽宁沈阳·统考一模）三棱锥ABCD−中，60ABCCBDDBA===∠∠∠，2BCBD==，点E为CD中点，ABE的面积为22，则AB与平面BCD所成角的正弦值为______，此三棱锥外接球的体积为______．【答案】63##16332π3##32π3【详解】

设AO⊥平面BCD，垂足为O，如图，过O作OFBC⊥于点F，过O作OGBD⊥于G，连接,AFAG，由AO⊥平面BCD，BC平面BCD，得AOBC⊥，又OFAOO=，,OFAO平面AFO，BC⊥平面AFO，AF

平面AFO，得AFBC⊥，同理AGBD⊥，从而,,ABFABGBFO均为直角三角形，∵60ABCCBDDBA===∠∠∠，2BCBD==，∴OFOG=，则O在CBD的平分线BE上，易知AB与平面BC

D所成角即为ABE．∵cos,cos,cosBFBOBFABCABEEBCABABBO===，∴coscoscosABCABEEBC=，又60,30ABCEBC==，3cos3ABE=，即6sin3ABE=，则AB与平面BCD所成角的正弦值为63，又13,

sin222ABEBESABBEABE===，解得4AB=，又60,2ABCABDBCBD====，2222cos12ACABBCABBCABC=+−=，222ACBCAB+=，同理222ADBDAB+=，90ACBADB==，AB为外接球

直径，三棱锥外接球的体积为34π432π()323=．故答案为：63，32π3.四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）（2023·全国·高三专题练习）在ABC中，

角A，B，C所对的边分别为a，b，c．从①②③中选取两个作为条件，补充在下面的问题中，并解答．①17cos25A=−；②ABC的面积是6215；③3c=．问题：已知角A为钝角，5b=，______．(1)求ABC外接圆的面积；(2)AD为角A的平分线，D在BC上，求AD的

长．【答案】(1)条件选择见解析，2125π84(2)32AD=【详解】（1）选①②，17cos25A=−，2421sin1cos25AA=−=，又1sin2ABCSbcA=△Q，即621142155225c=，得3c=，由余弦定理，得222172722cos259253255abcb

cA=+−=++=，由正弦定理，得()22221252sin21aRA==，2212584R=，所以，ABC外接圆的面积为2125π84．选①③，因为17cos25A=−，3c=．所以由余弦定理

，得222172722cos259253255abcbcA=+−=++=，由正弦定理，得()22221252sin21aRA==，2212584R=，所以，ABC外接圆的面积为2125π84．选②③，由621153sin52A=，421sin25A=，A为钝角，得17c

os25A=−，由余弦定理，得222172722cos259253255abcbcA=+−=++=，由正弦定理，得()22221252sin21aRA==，2212584R=，所以，ABC外接圆的面积为2125π84．（2）由AD为角A的平分线，设2A=，π0,2

，则有21cos2121sin,sin2255A−===，由ABC的面积62111sinsin522bADcAD=+，即6211211215352525ADAD=+，解得

32AD=．故AD的长为32.18．（12分）（2023·湖南邵阳·统考二模）已知nS为数列na的前n项和，12a=，143nnnSSa+=+−，记()2log13nnba=−+．(1)求数列nb的通项公式；(2)已知()1111nnnnnbcbb+++=−，记数列

nc的前n项和为nT，求证：221nT．【答案】(1)()*21Nnbnn=+(2)证明见解析【详解】（1）由143nnnSSa+=+−，得143nnnSSa+−=−．∴143nnaa+=−，则()1141nnaa+−=−．∴11211a−=−=，∴数列1

na−是以1为首项，4为公比的等比数列，∴()122*142Nnnnan−−−==．∵()2log13nnba=−+，∴()22*2log2321Nnnbnn−=+=+．（2）∵()1111nnnnnbcbb+++=−，∴()()()()11221111121232

2123nnnncnnnn+++=−=−+++++∴123nnTcccc=++++()1111111111123557792123nnn+=+−+++−+−+++

当n为奇数时，111122323621nTn=++．当n为偶数时，1112323nTn=−+，nT是递增数列，∴2111223721nTT=−=．综上得：221nT．19．（12分）（2023·全国·哈尔滨三中校联考一模）某学校号召学生参加

“每天锻炼1小时”活动，为了了解学生参与活动的情况，随机调查了100名学生一个月（30天）完成锻炼活动的天数，制成如下频数分布表：天数[0，5]（5，10]（10，15]（15，20]（20，25]（25，30]人数41

53331116(1)由频数分布表可以认为，学生参加体育锻炼天数X近似服从正态分布()2,N，其中μ近似为样本的平均数（每组数据取区间的中间值），且6.1=，若全校有3000名学生，求参加“每天锻炼1小时”活动超过21

天的人数（精确到1）；(2)调查数据表明，参加“每天锻炼1小时”活动的天数在（15，30]的学生中有30名男生，天数在[0，15]的学生中有20名男生，学校对当月参加“每天锻炼1小时”活动超过15天的学生授予“运动

达人”称号.请填写下面列联表：性别活动天数合计[0，15]（15，30]男生女生合计并依据小概率值0.05=的独立性检验，能否认为学生性别与获得“运动达人”称号有关联.如果结论是有关联，请解释它们之间如何相互影响.附：参考数据：()0.6827

PX−+=；()220.9545PX−+=；()330.9973PX−+=.()()()()()()22nadbcnabcdabcdacbd−==+++++++α0.10.050.010.0050.001x2.7063.8416.6

357.87910.828【答案】(1)476人(2)答案见解析【详解】（1）由频数分布表知42.5157.53312.53117.51122.5627.514.9100+++++==，则(14.9,6.1)XN−，()0.6

827PX−+=，10.6827(21)(14.96.1)0.158652PXPX−=+==，30000.15865475.95476=，参加“每天锻炼1小时”活动超过21天的人数约为476人.（2）

由频数分布表知，锻炼活动的天数在[0,15]的人数为：4153352++=，参加“每天锻炼1小时”活动的天数在[0，15]的学生中有20名男生，参加“每天锻炼1小时”活动的天数在[0，15]的学生中有女生人数：522032−=由频数分布表知，锻炼活动的天数在(15,30]的人数为311164

8++=，参加“每天锻炼1小时”活动的天数在（15，30]的学生中有30名男生，参加“每天锻炼1小时”活动的天数在[0，15]的学生中有女生人数：483018−=列联表如下：性别活动天数合计[0,15](15,30]男生203050女生321

850合计5248100零假设为0H：学生性别与获得“运动达人”称号无关22100(30322018)5.7693.84150505248−=依据0.05=的独立性检验，我们推断0H不成立，即：可以认为学生性别与获得“运动达人”称号有关；而且此推

断犯错误的概率不大于0.05，根据列联表中的数据得到，男生、女生中活动天数超过15天的频率分别为：300.650=和180.3650=，可见男生中获得“运动达人”称号的频率是女生中获得“运动达人”的称号频率的0.61.670.36倍，于是依据频率稳定与概率的原理，我们可以认为男

生获得“运动达人”的概率大于女生，即男生更容易获得运动达人称号.20．（12分）（2023·陕西商洛·统考一模）已知F是抛物线()2:20Expyp=的焦点，点M在抛物线E上，2MF=，以MF为直径的圆C与x轴

相切于点N，且MNNF=．(1)求抛物线E的方程；(2)P是直线4y=−上的动点，过点P作抛物线E的切线，切点分别为,AB，证明：直线AB过定点，并求出定点坐标．【答案】(1)24xy=(2)证明见解析，定点坐标为()0,4【详解】（1）由抛物线方程知：0,2pF，连接

CN，NQ为切点，CNON⊥，又CFCM=，MNNF=，CNFM⊥，//FMON．2MF=，12pOFCN===，解得：2p=，则抛物线E的方程为24xy=．（2）设211,4xAx，222,4xBx，(),4

Pt−，由24xy=得：24xy=，2xy=，则2111442PAxxkxt+==−，化简整理可得：211802xtx−−=，即11280ytx−−=，同理：由2222442PBxxkxt+==−得：22280ytx−−=，则点()()1122

,,,AxyBxy都在直线280ytx−−=上，即直线AB的方程为280ytx−−=，令0x=得：4y=，直线AB过定点，该定点坐标为()0,4．21．（12分）（2023·湖北·统考模拟预测）如图，在斜三棱柱111ABCAB

C-中，底面ABC是边长为2的正三角形，侧面11BCCB为菱形，已知160BBC=，1ABa=．(1)当6a=时，求三棱柱111ABCABC-的体积；(2)设点P为侧棱1BB上一动点，当3a=时，求直线1PC与平面11

ACCA所成角的正弦值的取值范围．【答案】(1)3(2)39313,1313【详解】（1）解：如图，取BC的中点为O，因为11BCCB为菱形，且160BBC=，所以1BBC为正三角形，又有ABC为正三角形且边长为2，则BCAO⊥，1BCBO⊥，且13AO

BO==，16AB=，所以22211AOBOAB+=，所以1BOAO⊥，因为又BCAOO=，BC平面ABC，AO平面ABC，所以1BO⊥平面ABC，所以三棱柱111ABCABC-的体积2133234ABCVBOS==

=△．（2）在1AOB中，13AOBO==，13AB=，由余弦定理可得()()22213331cos2233AOB+−==−，所以12π3AOB=，由（1）BCAO⊥，1BCBO⊥，又1BOAOO=，1BO平面1B

AO，AO平面1BAO，所以BC⊥平面1AOB，因为BC平面ABC，所以平面1AOB⊥平面ABC，所以在平面1AOB内作OzOA⊥，则Oz⊥平面ABC，以OA，OC，Oz所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系如

图所示：则133,0,22B−，()0,1,0B−，()3,0,0A，()0,1,0C，133,2,22C−，133,1,22A，设(),,nxyz=是平面11ACCA

的一个法向量，()3,1,0AC=−，1333,2,22AC=−，则100nACnAC==，即303332022xyxyz−+=−++=，取1z=得()3,3,1n=−−，设()101BPBB=

，则11113333,3,,1,2222CPCBBPCBBB=+=+=−−+−()()331,3,122=−−−，设直线1PC与平面11ACCA所成角为，则

111sincos,nCPCPnnCP==()2263133313433==−+−+，令()()23011333f=−+，则()f在0,1单调递增，所以()39313,1313f，故直线1PC与平面11AC

CA所成角的正弦值的取值范围为39313,1313．22．（12分）（2023·湖南张家界·统考二模）已知函数()1ln12fxxxx=−−,()()()31ln1hxaxaxx=−+−+−.(1)

()()fxFxx=,求()Fx的最值;(2)若函数()()()gxhxfx=−恰有两个不同的零点,求a的取值范围.【答案】(1)最大值是ln22−,无最小值(2)51,2【详解】（1）由

题意可得()()1ln12fxFxxxx==−−,定义域为()0,+.设()11222xFxxx−=−=,由()0Fx,得02x,由()0Fx,得2x.则()Fx在()0,2上单调递增,在()2,+

上单调减,()()max12ln221ln222FxF==−−=−,故()Fx在()0,+上的最大值是ln22−,无最小值.（2）由题意可得()()()()()2121ln12gxhxfxxaxax=−=+−+−−,()12agxxa

x−=+−+()()()22111xaxaxaxxx+−+−+−−==,()gx的定义域是()0,+.①当10a−,即1a时,1x时()0gx,01x时()0gx,则()gx在()0,1上单调递减,在()

1,+上单调递增.因为0x→时,()gx→+,x→+时,()gx→+,所以()gx要有两个零点,则()112102ga=+−−,解得52a,故512a;②当10a−=,即1a=时,由()21102gxxx=−−=,解得13x=,因为0x,所以1

3x=+,则()gx有且仅有1个零点,故1a=不符合题意;③当011a−,即01a时,由()0gx,得01xa−或1x,由()0gx,得11ax−,则()gx在()0,1a−和()1,+上单调递增,在()1,1a−上单调递减.因为0x→时,()0gx,x

→+时,()gx→+,所以()gx要有两个零点,则()112102ga=+−−=或()()()()()()2111211ln1102gaaaaaa−=−+−−+−−−=,若()10g=,解得52a=,不符合题意,若()10ga−=,设()10,1ta=−,则()10ga−=化为

()22111ln1ln1022ttttttttt+−−+−=−−+−=,01t时,ln0tt,()22111110222ttt−−−=−+−,所以21ln102tttt−−+−,21ln102tt

tt−−+−=无解,即()10ga−=无解,故01a不符合题意;④当11a−=,即0a=时,()0gx恒成立,则()gx在()0,+上单调递增,从而()gx最多有1个零点,则0a=不符合题意;⑤当11a−,即0a时,由()0gx,

得01x或1xa−,由()0gx,得11xa−,则()gx在()0,1和()1,a−+上单调递增,在()1,1a−上单调递减.因为0x→时,()0gx,x→+时,()gx→+,所以()gx要有

两个零点,则()10g=或()10ga−=.若()112102ga=+−−=,解得52a=,不符合题意,若()()()()()()2111211ln1102gaaaaaa−=−+−−+−−−=.设()1

1,ta=−+,则()10ga−=化为()22111ln1ln1022ttttttttt+−−+−=−−+−=,由（1）知21ln12ytttt=−−−在()1,+上单调递减,所以21ln102tttt−−+−,21ln102tttt−−+−=无解,即()10ga

−=无解,故a<0不符合题意.综上,a的取值范围是51,2.获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxue100.com