【文档说明】湖南省长沙市师大附中2025届高三上学期第二次月考数学试卷 Word版含解析.docx，共(22)页，1.668 MB，由小赞的店铺上传

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湖南师大附中2025届高三月考试卷（二）数学命题人､审题人：高三数学备课组时量：120分钟满分：150分一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.复数11iz=+的虚部

是（）A.1B.12C.12−D.1−【答案】C【解析】【分析】先化简给定复数，再利用虚部的定义求解即可.【详解】因为()()11i1i1i1i1i1i222z−−====−++−，所以其虚部为12−，故C正确.故选：C.2.已知a是单位向量，向量b满

足3ab−=，则b的最大值为（）A.2B.4C.3D.1【答案】B【解析】【分析】设,OAaOBb==，由3ab−=，可得点B在以A为圆心，3为半径的圆上，利用向量的模的几何意义，可得b的最大值.【详解】设,O

AaOBb==，因为3ab−=，即3OAOBBA−==，即3AB=，所以点B在以A为圆心，3为半径的圆上，又a是单位向量，则1OA=，故OB最大值为134OAAB+=+=，即b的最大值为4.故选：B.3.已知角的终边在直线2yx=上，则cossincos+的值为（）A.

23−B.13−C.23D.13【答案】D【解析】【分析】由角的终边，得tan2=，由同角三角函数的关系得cos1sincos1tan=++，代入求值即可.【详解】因为角的终边在直线2yx=上，所以t

an2=.所以cos111sincos1tan123===+++.故选：D.4.已知函数()2e33,0,0xaxfxxax+−=+对任意的12,xxR，且12xx，总满足以下不等关系：()()12120fxfxxx−−，则实数a的取值范围为（）A.34aB.34aC

.1aD.1a【答案】D【解析】【分析】由条件判定函数的单调性，再利用指数函数、二次函数的性质计算即可.【详解】()()()12120fxfxfxxx−−在𝑅上单调递增，又()2e33,0,0x

axfxxax+−=+，当0x时，()e33xfxa=+−单调递增，当0x时，()fx单调递增，只需1330aa+−+，解得1a.故选：D.5.如图，圆柱的母线长为4,,ABCD分别为该圆柱的上底面和下底面直径，且ABCD⊥，三棱锥ABCD−的体积为83，则圆柱的表

面积为（）A.10πB.9π2C.4πD.8π【答案】A【解析】【分析】取AB的中点O，由13ABCDOCDVSAB−=△，可求解底面半径，即可求解.【详解】设底面圆半径为r，由ABCD⊥，易得BCACBDAD===，取AB的中点O，连接,OCOD，则

,ABOCABOD⊥⊥，又OCODO,OC,OD=平面OCD，所以AB⊥平面OCD，所以，11182423323ABCDOCDVSABrr−===，解得𝑟=1，所以圆柱表面积为22π42π10πrr+=.故选:A.6.已知抛物线()2:20Cypxp=的焦点F到准线的距离为

2，过焦点F的直线l与抛物线交于,AB两点，则23AFBF+的最小值为（）A.562+B.265+C.4610+D.11【答案】B【解析】【分析】（方法一）首先求出抛物线C的方程为24yx=，设直线l的方程为：1xty=+，与抛物线C的方程联立，利用

根与系数的关系求出21xx的值，再根据抛物线的定义知11AFx=+，21BFx=+，从而求出23AFBF+的最小值即可.（方法二）首先求出111AFBF+=，再利用基本不等式即可求解即可.【详解】（方法一）因为抛物线C的焦点到准线的距离为2，故2p=，所

以抛物线C的方程为24yx=，焦点坐标为𝐹(1,0)，设直线l的方程为：()()11221,,,,xtyAxyBxy=+，不妨设120yy，联立方程241yxxty==+，整理得2440yty−−=，则12124

,4yytyy+==−，故221212144yyxx==，又|𝐴𝐹|=𝑥1+𝑝2=𝑥1+1，2212pBFxx=+=+，则()()121212232131235265265AFBFxxxxxx+=+++=+++=+，当且仅当1266,23xx==时等号成立，故2

3AFBF+的最小值为265+.故选：B.（方法二）由方法一可得121xx=，则11AFBF+211111xx=+++121212211xxxxxx++==+++，因此23AFBF+()1123AFBFAFBF=++

235AFBFBFAF=++3252526BFAFAFBF+=+，当且仅当661,123AFBF=+=+时等号成立，故23AFBF+的最小值为265+.故选：B.7.设函数()()cosfxx=+，其中π2.若Rx，都有ππ44fxfx+=−

.则()yfx=的图象与直线114yx=−的交点个数为（）A.1B.2C.3D.4【答案】C【解析】【分析】利用给定条件求出()πcos4fxx=−，再作出图像求解交点个数即可.【详解】对Rx，都有ππ44fxfx+=−，所以π4x=是�

�=𝑓(𝑥)的一条对称轴，所以()ππZ4kk+=，又π2，所以π4=−.所以()πcos4fxx=−，在平面直角坐标系中画出()πcos4fxx=−与114yx=−的图象，

当3π4=−x时，3π14f−=−，11113π3π)4164y−−=(−=−−，当5π4x=时，5π14f=−，5π5π14111461y=−=−−，当9π4x=时，9π14f=，11

119π9π4416y=−=−，当17π4x=时，17π14f=，111117π17π4416y=−=−所以如图所示，可知𝑦=𝑓(𝑥)的图象与直线114yx=−的交点个数为3，故C正确.

故选：C.8.已知定义域为R的函数()(),fxgx满足：()()()()()()00,gfxgyfygxfxy−=−，且()()()()()gxgyfxfygxy−=−，则下列说法正确的是（）A.()01f=B.

()fx是偶函数C.若()()1112fg+=，则()()2024202420242fg−=−D.若()()111gf−=，则()()202420242fg+=【答案】C【解析】【分析】对A，利用赋值法令0,0xy==即可求解；对B，根据题中条件求出()fyx−，再利用偶函数定义即可求

解；对C，先根据题意求出()()001fg−=−，再找出()()11fxgx−−−与()()fxgx−的关系，根据等比数列的定义即可求解；对D，找出()()11fxgx−+−与()()fxgx+的关系，再根据常数列的定义即可求解.【详解】对A，(

)()()()()fxgyfygxfxy−=−，令0,0xy==，即()()()()()00000fgfgf−=，解得()00f=，故A错；对B，根据()()()()()fxgyfygxfxy−=−，得()()()()()fygxfxgyf

yx−=−，即()()fyxfxy−=−−，故()fx为奇函数，故B错；对C，()()()()()gxgyfxfygxy−=−令0xy==，即()()()()()00000ggffg−=，()00f=，()()200gg=，又()00g，()0

1g=，()()001fg−=−，由题知：()()fxygxy−−−()()()()()()()()fxgyfygxgxgyfxfy=−−−()()()()fygyfxgx=+−，令1y=，即()()()()()()1111fxgx

fgfxgx−−−=+−，()()1112fg+=，()()()()1112fxgxfxgx−−−=−，即()()fxgx−是以()()001fg−=−为首项2为公比的等比数列；故()()()2024202420242024122fg−=−=−，

故C正确；对D，由题意知：()()fxygxy−+−()()()()()()()()fxgyfygxgxgyfxfy=−+−()()()()gyfyfxgx=−+，令1y=，得()()()(

)()()1111fxgxgffxgx−+−=−+，又()()111gf−=，即()()()()11fxgxfxgx−+−=+，即数列()()fxgx+为常数列，由上知()()001fg+=，故()()202420241fg+=，故D错.故选：C.【点睛】关键点点睛：本题的关键

是对抽象函数进行赋值，难点是C，D选项通过赋值再结合数列的性质进行求解.二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.下列说法中正确的是（）A.一个样本的方差()()()22

221220133320sxxx=−+−++−L，则这组样本数据的总和等于60B.若样本数据1210,,,xxx的标准差为8，则数据1221,21,xx−−，1021x−的标准差为16C.数据13,27,24,12,14,30,1

5,17,19,23的第70百分位数是23D.若一个样本容量为8的样本的平均数为5，方差为2，现样本中又加入一个新数据5，此时样本容量为9，平均数不变，方差变小【答案】ABD【解析】【分析】对于A，由题意可得样本容量为20，平均数是3,从而可得样本数据的总和，即可判断；对于B，

根据标准差为8，可得方差为64，从而可得新数据的方差及标准差，即可判断；对于C，根据百分位数的定义，求出第70百分位数，即可判断；对于D，由题意可求得新数据的平均数及方差，即可判断.【详解】解：对于A，因为样本的方差()()()222212201333,20sxxx=−+−++−所以这个样

本有20个数据，平均数是3,这组样本数据的总和为32060,=A正确；对于B，已知样本数据1210,,,xxx的标准差为8s=，则264s=，数据121021,21,,21xxx−−−的方差为2222

264s=，其标准差为22642816==，故B正确；对于C，数据13,27,24,12,14,30,15,17,19,23共10个数，从小到大排列为12,13,14,15,17,19,23,24,27,30，由于10

0.77=，故选择第7和第8个数的平均数作为第70百分位数，即232423.52+=，所以第70百分位数是23.5，故C错误；对于D，某8个数的平均数为5，方差为2，现又加入一个新数据5，设此时这9个数的平均数为x，方差为2S，则2285

582(55)165,2999xS++−====，故D正确.故选：ABD.10.已知函数()32fxaxbx=−+，则（）A.()fx的值域为RB.()fx图象的对称中心为()0,2C.当30ba−时，(

)fx在区间()1,1−内单调递减D.当0ab时，()fx有两个极值点【答案】BD【解析】【分析】利用一次函数、三次函数的性质结合分类讨论思想可判定A，利用函数的奇偶性判定B，利用导数研究函数的单调性结合特殊值法排除C，利用极值点的定义可判定D.【详解】对于A：当,a

b至少一个不为0，则()fx为三次或者一次函数，值域均为𝑅；当,ab均为0时，值域为2，错误；对于B：函数()()32gxfxaxbx=−=−满足()()3gxaxbxgx−=−+=−，可知()gx奇函

数，其图象关于()0,0中心对称，所以()fx的图象为()gx的图象向上移动两个单位后得到的，即关于(0,2)中心对称，正确；对于C：()23fxaxb=−，当30ba−时，取1,1ab=−=−，当33,33x−时，()()23

10,fxxfx=−+在区间33,33−上单调递增，错误；对于D：()23fxaxb=−，当0ab时，()230fxaxb=−=有两个不相等的实数根，所以函数()fx有两个极值点，正确.故选：BD.11.

我国古代太极图是一种优美的对称图.定义：能够将圆O的周长和面积同时等分成两个部分的函数称为圆O的一个“太极函数”，则下列命题中正确的是（）为A.函数()sin1fxx=+是圆22:(1)1Oxy+−=的一个太极函数B.对于圆22:1Oxy+=

的所有非常数函数的太极函数中，都不能为偶函数C.对于圆22:1Oxy+=的所有非常数函数的太极函数中，均为中心对称图形D.若函数()()3fxkxkxk=−R是圆22:1Oxy+=的太极函数，则()2,2k−【答案】AD【解析】【分析】根据题意，对于A，D利

用新定义逐个判断函数是否满足新定义即可，对于B，C举反例说明．【详解】对于A，圆22:(1)1Oxy+−=，圆心为(0,1)，()sin1fxx=+的图象也过(0,1)，且(0,1)是其对称中心，所以()sin1fxx=+的图象能将圆一分为二，所以A正确；对于B,C，根据题意

圆22:1Oxy+=，如图()331,332313,032313,032331,332xxxxfxxxxx−−−+−=−+−，与圆交于点()1,0−，(1,0)，且在x轴上方三角形面积与x

轴下方个三角形面积之和相等，()fx为圆O的太极函数，且()fx是偶函数，所以B，C错误；对于D，因为()()()()()33()fxkxkxkxkxfxk−=−−−=−−=−R，所以()fx为奇函数，由()30fxkxk

x=−=，得0x=或1x=，所以()fx的图象与圆22:1Oxy+=的交点为()()1,0,1,0−，且过圆心()0,0，由3221ykxkxxy=−+=，得()2624222110kxkxkx−++−=，令2

tx=，则()232222110ktktkt−++−=，即()()222110tktkt−−+=，得1t=或22210ktkt−+=，当1t=时，1x=，当22210ktkt−+=时，若0k=，则方程无解，合题意；

若0k，则()4222Δ44kkkk=−=−，若Δ0，即204k时，方程无解，合题意；所以()2,2k−时，两曲线共有两个交点，函数能将圆一分为二，如图，若Δ0=，即2k=时，函数与圆有4个交点，将圆分成四部分，若Δ0，即24k时

，函数与圆有6个交点，且均不能把圆一分为二，如图，所以()2,2k−，所以D正确.故选：AD.【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是理解新定义，即如果一个函数过圆心，并且函数图象关于圆心中心对称，且函数将圆分成2

部分，不能超过2部分必然合题．如果函数不是中心对称图形，则考虑与圆有2个交点，交点连起来过圆心，再考虑如何让面积相等．三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.曲线2lnyxx=−在点()1,

2处的切线与抛物线22yaxax=−+相切，则a=__________.【答案】1【解析】【分析】求出曲线2lnyxx=−在点()1,2处的切线方程，由该切线与抛物线22yaxax=−+相切，联立消元，得到一元

二次方程，其Δ0=，即可求得a.【详解】由2lnyxx=−，则12yx=−，则11xy==，曲线2lnyxx=−在点()1,2处的切线方程为21yx−=−，即1yx=+，当0a时，则212yxyaxax=+=−+

，得()2110axax−++=，由2Δ(1)40aa=+−=，得1a=.故答案为：1.13.已知椭圆𝐶:𝑥2𝑎2+𝑦2𝑏2=1(𝑎>𝑏>0)的左､右焦点分别为12,FF，若P为椭圆C上一

点，11212,PFFFPFF⊥的内切圆的半径为3c，则椭圆C的离心率为______.【答案】23【解析】【分析】由内切圆半径的计算公式，利用等面积法表示焦点三角形12PFF的面积，得到,ac方程，即可得到离心率e的方

程，计算得到结果.【详解】由题意，可知1PF为椭圆通径的一半，故21bPFa=，12PFF的面积为21122bccPFa=，又由于12PFF的内切圆的半径为3c，则12PFF的面积也可表示为()12223cac+，所以()

111222223ccPFac=+，即()212223bccaca=+，整理得：22230aacc−−=，两边同除以2a，得2320ee+−=，所以23e=或1−，又椭圆的离心率()0,1e，所以椭圆C的离心率为23.故答案为：23.14.设函数()()44xf

xaxxx=+−，若a是从1,2,3,4四个数中任取一个，b是从4,8,12,16,20,24六个数中任取一个，则()fxb恒成立的概率为__________.【答案】58##0.625【解析】【分析】根据题意，利用基本不等式，求得2min()(21)fxa=

+，转化为2(21)ab+恒成立，结合a是从1,2,3,4四个数中任取一个，b是从4,8,12,16,20,24六个数中任取一个，得到基本事件总数有24个，再利用列举法，求得()fxb成立的基本事

件的个数，结合古典概型的概率计算公式，即可求解.【详解】因为0,4ax，可得40x−，则()()441441444xfxaxaxaxaxxx=+=++=−+++−−−2441(21)aaa++=+，当且仅当44xa=+时，等号成立，

故2min()(21)fxa=+，由不等式()fxb恒成立转化为2(21)ab+恒成立，因为a是从1,2,3,4四个数中任取一个，b是从4,8,12,16,20,24六个数中任取一个，则构成(),ab的所有基本事件总数有24个，又由()22(211)9,(221)9421

2,16+=+=+，()22(231)134319,20,(241)25+=++=，设事件A=“不等式()fxb恒成立”，则事件A包含事件：()()1,4,1,8，()()()2,4,2,8,2,12，()(

)()()3,4,3,8,3,12,3,16，()()()()()()4,4,4,8,4,12,4,16,4,20,4,25共15个，因此不等式()fxb恒成立的概率为155248=.故答案为：58.四､解答题：本题共5小

题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.在ABCV中，角,,ABC所对的边分别为,,abc，已知()()()sinsinsinbcBCacA+−=−.（1）求B；（2）若ABC面积为334，且2ADDC=，求BD的最小值.【

答案】（1）π3B=（2）2.【解析】【分析】（1）利用正弦定理可得()()()bcbcaca+−=−，再结合余弦定理得2221cos22acbBac+−==，从而可求解.（2）结合ABCV的面积可求得3ac=，再由.112333BDBCCABABC=

+=+，平方后得，()222142993BDca=++，再结合基本不等式即可求解.【小问1详解】由正弦定理得()()()bcbcaca+−=−，即222acbac+−=，由余弦定理可得2221cos222acbacBacac+−===，因为()0,πB，所以π3B=.【小

问2详解】的因为ABCV的面积为33π,43B=，所以133sin24acB=，所以3ac=.因为()11123333BDBCCABCBABCBABC=+=+−=+，所以()()()()22222221421441422cos999999993BDBABCBABCcaacBca=

++=++=++，所以2214212222993333caca+++=，当且仅当6,62ac==时取等号，所以BD的最小值为2.16.已知双曲线E的焦点在x轴上，离心率为233，点()3,2在双曲线E上，点12,FF分别为双曲线的左､右焦点.（1）求

E的方程；（2）过2F作两条相互垂直的直线1l和2l，与双曲线的右支分别交于A，C两点和,BD两点，求四边形ABCD面积的最小值.【答案】（1）2213xy−=（2）6【解析】【分析】（1）由222cab=+和233e=，及点(

)3,2在双曲线E上，求出22,ab，即可求出E的方程；（2）设直线()()121:2,:2lykxlyxk=−=−−，其中0k，根据题中条件确定2133k，再将1l的方程与2213xy−=联立，利用根与系数的关系，用k表示AC，BD的长，再利用12ABCDSA

CBD=，即可求出四边形ABCD面积的最小值.【小问1详解】因为222cab=+，又由题意得22243cea==，则有223ab=，又点()3,2在双曲线E上，故229213−=bb，解得221,3ba==，故E

方程为2213xy−=.【小问2详解】根据题意，直线12,ll的斜率都存在且不为0，设直线()()121:2,:2lykxlyxk=−=−−，其中0k，因为12,ll均与E的右支有两个交点，所以313,33kk−，所以2133k，将1l的方程与2213xy−=联

立，可得()222213121230kxkxk−+−−=.设()()1122,,,AxyCxy，则2212122212123,1313kkxxxxkk−−−+==−−，所以()222121212114ACkxxkxxxx=+−=++−()

222222222222311212323114113133113kkkkkkkkkk+−−−+=+−=+=−−−−，同理()222313kBDk+=−，所以()()()()()22222222231231111622313313ABCDkkkSACBDkkkk+++===−

−−−.令21tk=+，所以241,,43ktt=−，则2222166661616316161131612ABCDtSttttt===−+−−+−−−+，当112t=，即1k=时，等号成立.的故四边形ABCD面积的最小值为6.17.如图，侧面11BC

CB水平放置的正三棱台11111,24ABCABCABAB−==，侧棱长为2,P为棱11AB上的动点.（1）求证：1AA⊥平面11BCCB；（2）是否存在点P，使得平面APC与平面111ABC的夹角的余弦值为53333？若存在，求出点P；若不

存在，请说明理由.【答案】（1）证明见解析（2）存在，点P为11AB中点【解析】【分析】（1）延长三条侧棱交于一点O，由勾股定理证明OAOB⊥，OAOC⊥，根据线面垂直的判定定理得证；（2）建立空间直角

坐标系，求出平面111ABC和平面APC的法向量，利用向量夹角公式求解.【小问1详解】延长三条侧棱交于一点O，如图所示，由于11124,2ABABBB===，所以22OBOA==，所以22216OAOBAB+==，

所以OAOB⊥，同理OAOC⊥又OBOCO=，,OBOC平面OBC，所以OA⊥平面OBC，即1AA⊥平面11BCCB..【小问2详解】由（1）知,,OAOBOAOCOBOC⊥⊥⊥，如图建立空间直角坐标系，则()()0,0,22

,0,22,0AC，()()()1110,0,2,2,0,0,0,2,0ABC，所以()()1110,0,2,0,22,22,(2AAACAB=−=−=，()110,2),2,2,0BC−=−.设()()1112,0,22,0,2APAB==−=−，则

1APAA=+()12,0,22,0,1AP=−−，设平面111ABC和平面APC的法向量分别为(),,,mxyzn==(),,rst，所以()2202210220220xzrtxyst−=−+=−+=−=，，取()()1,1

,1,1,,mn==+，则231533cos,333321mnmnmn+===++.整理得212870+−=，即()()21670−+=，所以12=或76=−（舍），故存在点P（点P为11AB中点时），满足题意.18

.若无穷正项数列na同时满足下列两个性质：①存在0M，使得*,naMnN；②na为单调数列，则称数列na具有性质P.（1）若121,3nnnanb=−=，（i）判断数列,nnab是否具有性质P，并说明理由；（ii）记

1122nnnSababab=+++，判断数列nS是否具有性质P，并说明理由；（2）已知离散型随机变量X服从二项分布()1,,02Bnpp，记X为奇数的概率为nc.证明：数列nc具有性质P.【答案】（1）（i）数列na不具有性质P，数列nb具有性质P，理由见

解析；（ii）数列nS具有性质P，理由见解析（2）证明见解析【解析】【分析】（1）判断数列是否满足条件①②，可得（i）的结果；利用错位相减法求数列nnab的前n项和，再判断是否满足条件①②.（2）先求数列nc的通项公式，再判断是否满足条件①②.【小

问1详解】（i）因为21nan=−单调递增，但无上限，即不存在M，使得naM恒成立，所以数列{𝑎𝑛}不具有性质P.因为113nnb=，又数列{𝑏𝑛}为单调递减数列，所以数列{𝑏𝑛}具有性质P.（ii）数列nS具有性质P.2112113333nnnS−=+++

，23111121133333nnnS+−=+++，两式作差得23121111211222333333nnnnS+−=++++−，即1121121212223313333313nnnnnnS++−−+

=−+−=−−，所以111,3nnnS+=−数列nS满足条件①.()11210,,3nnnnnnabnSSS+=−为单调递增数列，满足条件②.综上，数列nS具有性质P【小问2详解】.因为*0,1,,,Xnn=N，

若X为奇数的概率为,ncX为偶数的概率为nd，()1[1]nnncdpp+==−+001112220C(1)C(1)C(1)C(1)nnnnnnnnnpppppppp−−=−+−+−++−①()001112220[1

]C()(1)C()(1)C()(1)C()(1)nnnnnnnnnnpppppppppp−−−−=−−+−−+−−++−−②，2nc−=①②，即1(12)2nnpc−−=.所以当102p时，0121p−

，故nc随着n的增大而增大，且12nc.故数列nc具有性质P.19.已知函数()24e2xfxxx−=−，()2233gxxaxaa=−+−−（aR且2a）.（1）令()()()(),xfxgxhx=−是()x的导函数，判断()

hx的单调性；（2）若()()fxgx对任意的()1,x+恒成立，求a的取值范围.【答案】（1）ℎ(𝑥)在(),0−和(0,+∞)上单调递增；（2）(,1−.【解析】【分析】（1）需要二次求导，利用导函数的

符号分析函数的单调性.（2）法一先利用()()22fg这一特殊情况，探索a的取值范围，再证明对()1,x+时，()()fxgx恒成立；法二利用导数工具求出函数()x的最小值()0x，同法一求证(0,1a时()00x，接着求证()1,2a时(

)20不符合题意即可得解.【小问1详解】()()()2224e233xxfxgxxxaxaax−=−=−+−++，定义域为0xx∣，所以()()()224e1223xxhxxxax−−==−+−，所以()()2234e2

220xxxhxx−−+=+.所以()hx在(),0−和()0,+上单调递增.【小问2详解】法一：由题知()()22fg即()()()2232120aaaa=−+=−−，即1a或2a，所以1a.下证当1a时，()()fxgx对任意的()1,

x+恒成立.令()()24exFxfxxxx−=+=−，则()()()()()222234e224e11,0xxxxxFxtxtxxx−−−+−=−==，所以()()224e11xxFxx−−=

−在()1,+单调递增，又()20F=，所以当()1,2x时，()()0,FxFx单调递减，当()2,x+时，()()0,FFxx递单调增，所以()()20FxF=，故()fxx−，要证()()fxgx，只需证()xgx−，即证()223

130xaxaa−+++，令()()22313Gxxaxaa=−+++，则()()()222Δ(31)43561151aaaaaaa=+−+=−+=−−，若115a，则0，所以()()223130Gxxaxaa=−+++.若15a，则对称轴31425ax+=，所以()G

x在()1,+递增，故()()210GxGa=，综上所述，a的取值范围为(,1−.法二：由题知2224e233xxxaxaax−−−+−−对任意的()1,x+恒成立，即()2224e2330xxxxaxaax−=−+−++对任意的()1,x+恒成立.由（1）知()(

)224e1223xxxxax−−=−+−在()1,+递增，又()13a=−.①若0a，则()()()10,xx在()1,+递增，所以()()24110exa=−+，符合；②若0a，则()130a=−，又()112224e1

4e(1)(1)(1)aaaaaaaaa−−+=−=−+++，令()124e(1)amaa−=−+，则()()()14e21amaaha−=−+=，则()14e2aha−=−为单调递增函数，令()0ha=得1ln2a=−，当()0,

1ln2a−时()()0,hama单调递减，当()1ln2,a−+时()()0,hama单调递增，又()()10,00mm=，所以当()0,1a时，()()0,mama单调递

减，当()1,a+时，()()0,mama单调递增，所以()()10mam=，则()12214e(1)0(1)aaaaa−+=−++，所以(01,1xa+，使得()00x=，即()0200204e12230xxxax−−−+−=

，且当()01,xx时，()()0,xx单调递减，当()0,xx+时，()()0,xx单调递增，所以()()0222min000004e233xxxxxaxaax−==−+−++.若(0,1a，同法一可

证()0222000004e2330xxxxaxaax−=−+−++，符合题意.若()1,2a，因为()()()2232120aaaa=−+=−−，所以不符合题意.综上所述，a的取值范围为(,1−.【点睛】方法点睛：导数问题经常会遇到恒成立的问题.常见的解决思路

有：（1）根据参变分离，转化为不含参数的函数最值问题.（2）若()0fx恒成立，就可以讨论参数不同取值下的函数的单调性和极值与最值，最终转化为()min0fx；若()0fx()max0fx.（3）若(

)()fxgx恒成立，可转化为()()minmaxfxgx（需在同一处取得最值）.