【文档说明】江西省宜春市上高二中2023-2024学年高二上学期第二次月考试题+数学+含答案.docx，共(5)页，731.200 KB，由小赞的店铺上传

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2024届高二年级第二次月考数学试卷一、单选题（每小题5分，共40分）1．已知复数13zi=−，z的共轭复数为z，则2zzzz=−（）A．13i44−B．13i22−C．13i44+D．13i22+2．两条平行直线34120xy+−=与8110axy−−=之间的距离（）A．235B．2

310C．72D．73．已知某圆锥的高为4，其内切球的体积为43，则该圆锥的侧面积S=（）A．B．3C．6D．124．若直线l的斜率()1,3k−，则直线l的倾斜角的取值范围是（）A．π3π,34B．π3π0,,π34

C．π2π,63D．π3π0,,π645．已知(2,1,3)=−a，(1,2,3)=−b，(7,6,)=c，若a，b，c共面，则等于（）A．9−B．9C．3−D．3

6．已知圆()()()2122292:xmymmC−+−=−与圆22288340:xyxCym+−−+−=，则“4m=”是“圆1C与圆2C外切”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件7．已知圆22120Cxykxy

+−+=：与圆22220Cxyky++−=：的公共弦所在直线经过定点P，且点P在直线20mxny−−=上，则22mn+的取值范围是（）A．)3,+B．)2,+C．0,3D．0,48．如图，在二面角l−−的棱上有两个点，线段BD与AC分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱l，

当4,6,8217ABACBDCD====，时，则四面体ABCD外接球的半径为（）A．833B．733C．23D．533二、多选题（每小题5分，共20分）9．下列结论中正确的是（）A．若1z=，则1z=或iz=B．若Cz，则22||||zz=C．若复数z满足1z=，则2iz+的最

大值为3D．若i1iab+=+（a，Cb），则1ab==10．下列选项正确的是（）A．若直线l的一个方向向量(1，3)，则直线l的斜率为3B．已知向量()()9,4,4,1,2,2ab=−=，则a在b上的投影向量为()1,2,2C．若0ab，则,ab是锐角D．直线l的方向向

量为(1,1,0)m=，且l过点(1,1,1)A，则点(2,2,1)P−到直线l的距离为211．给出下列命题，其中正确的是（）A．对空间任意一点O和不共线的三点A，B，C，若222OPOAOBOC=−−uuuruuruuuuruuuur，则P，A，B，C四点共面B．若a，b是两

个不共线的向量，且cab=+rrr（，R，，0），则,,abc构成空间的一个基底C．若空间四个点P，A，B，C满足1344PCPAPB=+，则A，B，C三点共线D．平面的一个法向量为()1,

3,4a=−，平面的一个法向量为()2,6,bk=−−.若∥，则8k=12．如图,在正方体1111ABCDABCD−中,12AA=,P为线段1BC上的动点,则下列说法正确的是（）A．11BDAP⊥B．DP∥平面11ABDC．三棱

锥1PACD−的体积为定值2D．1APPC+的最小值为31+三、填空题（每小题5分，共20分）13．若复数121i,24izz=−=+，其中i是虚数单位，则复数12zz的虚部是．14．如图，在几何体ABCFED中，4AB=，5BC=，3AC=，侧棱AE，

CF，BD均垂直于底面ABC，3BD=，4FC=，5AE=，则该几何体的体积为.15．已知实数x，y满足2220xxy−+=，则21yx+的取值范围为．16．已知直三棱柱111ABCABC-，ABAC⊥，14ABACAA===，点

P为此直三棱柱表面上一动点，且4PB=，当1PC取最小值时，1BPBC的值为.四、解答题（17题10分，18-22题每题12分，共70分）17．已知直线()2210xy+−++=过定点A，直线l的方程为143120.xyl++=与l

垂直且过点A.(1)求直线1l的方程；(2)若直线2l经过1l与l的交点，且直线2l在x轴和y轴的截距相等，求直线2l的方程.18．已知圆1C：221xy+=与圆2C：222210xyxy+−−+=(1)求经过圆1C与圆2C交点的直线

方程；(2)求圆1C与圆2C的公共弦长.19．如图，在四棱锥PABCD−中，底面ABCD为直角梯形，,,ABCDABADPA⊥⊥∥平面ABCD，E是棱PC上的一点．(1)证明：平面ADE⊥平面PAB；(2)已知3,22ADABAPCD====，若,EF分别是,PCPB的中点，求点B到平

面AEF的距离．20．已知ABC的顶点()3,2A，边AB上的中线所在直线方程为380xy−+=，边AC上的高所在直线方程为290xy−−=．(1)求顶点,BC的坐标；(2)求ABC的面积．21．已知圆心在x轴上的圆C与直线:4360lxy+−=切于点36,55M.(

1)求圆C的标准方程；(2)已知()2,1N，经过原点且斜率为正数的直线1l与圆C交于()11,Pxy，()22,Qxy.求22PNQN+的最大值．22．如图，菱形ABCD的边长为2，60BAD=，E为AB的中点．将ADEV

沿DE折起，使A到达A，连接AB，AC，得到四棱锥ABCDE−．(1)证明：DEAB⊥；(2)当二面角ADEB−−的平面角在π2π,33内变化时，求直线AC与平面ADE¢所成角的正弦值的取值范围．2024届高二年级第二次月考数学试卷答案1．A2．

C3．C4．B5．A6．C7．A8．A9．BC10．ABD11．CD12．ABD13．214．2415．2323,33−16．3233/323317．(1)3460xy−−=；(2)2yx=或1805xy++=.【分析】（1）求出定点A的坐标，

直线1l的斜率，再利用直线方程的点斜式求解即得.（2）求出直线1l与l的交点坐标，利用直线方程的截距式分类求解即得.【详解】（1）直线()2210xy+−++=化为(2)210xxy++−+=，由20210xxy+=−+=，解得23xy=−=−，即(2,3)A−−，直线:43

120lxy++=的斜率为43−，则1ll⊥，得直线1l的斜率为34，方程为33(2)4yx+=+，即3460xy−−=，所以直线1l的方程为3460xy−−=.（2）由346043120xyxy−−=++=，解得65125xy=−=−，即直线1l与l的

交点612(,)55B−−，设直线2l的纵截距为a，则其横截距也为a，当0a=时，直线2l过原点，斜率为2，方程为2yx=，当0a时，直线2l的方程为1xyaa+=，即xya+=，则61218()555a=−+−=−，此时2l的方程为1805xy++=，所以直线2

l的方程为2yx=或1805xy++=.18．(1)10xy+−=；(2)2.【分析】（1）判断两圆的相交，再把两圆方程相减即可.（2）利用弦长公式，借助点到直线的距离求解即可.【详解】（1）圆1C：

221xy+=的圆心1(0,0)C，半径11r=，圆2C：22(1)(1)1xy−+−=的圆心2(1,1)C，半径21r=，于是121212||2(,)CCrrrr=−+，即圆1C与圆2C相交，令两圆的交点分别为A，B，则A，B的坐标是方程组222212210xyxyxy+=

+−−+=的解，两式相减得10xy+−=，则A，B两点的坐标满足10xy+−=，所以AB所在直线方程为10xy+−=．（2）对于圆1C：221xy+=，圆心1C到直线10xy+−=的距离为2212211d==+，所以圆1C与圆2C的公共弦长为22212221()22rd−=−

=.19．(1)证明见解析(2)2217【分析】（1）利用平面和平面垂直的判定定理证明；（2）建立空间直角坐标系，分别求出平面AEF和平面AED的法向量，再计算距离和角的正弦值.【详解】（1）证明：因为PA⊥平面ABCD，AD平面ABCD，所以PAAD⊥．又ADAB⊥，ABPAA=，

AB，PA平面PAB，AD⊥平面PAB，AD平面ADE，平面ADE⊥平面PAB．（2）如图所示，建立空间直角坐标系，(0,0,0)A，(0,0,2)P，(0,2,0)B，(0,1,1)F，(3,1,0)C，(3,0,0)D，31(,,1)22E，31(,,1)22AE=

，(0,1,1)AF=，(0,2,0)AB=，(3,0,0)AD=，设平面AEF的一个法向量为(,,)nxyz=，则00nAEnAF==，即310220xyzyz++=+=，取(

1,3,3)n=−，点B到平面AEF的距离2217nABdn==．20．(1)B的坐标为()8,7，C的坐标为()1,3(2)152【分析】（1）设(),Bab，(),Cmn，由题意列方程求解即可得出答案.（2）

先求出AB和直线AB所在的方程，再由点到直线的距离公式求出边AB上的高，即可求出ABC的面积．【详解】（1）设(),Bab，因为边AB上的中线所在直线方程为380xy−+=，边AC上的高所在直线方程为290xy−−=，所以2903238022abab−

−=++−+=，解得87ab==，即B的坐标为()8,7．设(),Cmn，因为边AB上的中线所在直线方程为380xy−+=，边AC上的高所在直线方程为290xy−−=，所以3802132mnnm−+=−=−−，解得13mn==

，即C的坐标为()1,3．（2）因为()()3,2,8,7AB，所以22(38)(27)52AB=−+−=．因为边AB所在直线的方程为237283yx−−=−−，即10xy−−=，所以点()1,3C到边AB的距离为1313222−−=，即边AB上的高为3

22，故ABC的面积为1321552222=．21．(1)()2214xy++=(2)21022+【分析】（1）根据已知条件求得圆心和半径，从而求得圆C的标准方程.（2）设出直线1l的方程，并与圆的方程联立，化简写出根与系数关系，

求得22PNQN+的表达式，结合换元法以及基本不等式求得22PNQN+的最大值.【详解】（1）由圆心在x轴上的圆C与直线:4360lxy+−=切于点36,55M，设(),0Ca，直线:4360lxy+−=的斜率为43−，则6535CMka=−

，所以6451335a−=−−．所以1a=−，所以()1,0C−，22361255CM=−−+−=，即2r=，所以圆C的标准方程为()2214xy++=．（2）设直线()1:0lykxk=，与

圆联立方程组()2214ykxxy=++=，可得()221230kxx++−=，()241210k=++，由根与系数的关系得12221xxk+=−+，12231xxk=−+，()()()()2222

1122222121PNQNxyxy=−++−+−+−()()()()222211222121xkxxkx=−+−+−+−()()()()()22212121221241214210161kkxxkxxkxxk+

=++−+−+++=++，令33tkt=+（），则3kt=−，所以()22124444161616161011013626ktkttttt++=+=++++−+−−416210222106=+=+−，当且仅当10tt=，即10=t时取

等号，此时103k=−，所以22||PNQN+的最大值为21022+.22．(1)证明见解析(2)30[,31]10−【分析】（1）通过证明面面垂直，即可得出结论；（2）求出AC平面ADE¢的法向量n，得出直线AC与平面ADE¢所成角的余弦值表达式，进而求出正弦值的取值范围.【详解】（1）由题

意证明如下，在菱形ABCD中，E为AB的中点，60BAD=，∴DEAB⊥，在翻折过程中，恒有DEAE⊥，DEBE⊥，又AEBEE=，,AEBE平面ABE，∴DE⊥平面ABE，而AB平面ABE，∴DEAB⊥（2）由题意及（1）得，AEB为二面角ADEB−

−的平面角，记其为，则π2π,33，以EB的方向为x轴的正方向，ED的方向为y轴的正方向建立空间直角坐标系，如图所示，则()0,0,0E，()cos,0,sinA，()0,3,0D，()2,3,0C，()cos,0,sinEA

=，()0,3,0ED=，设平面ADE¢的法向量(),,nxyz=，则0EAnEDn==，得cossin0,30,xzy+==令sinx=，得()sin,0,cosn=−，()2cos,3,si

nAC=−−，则22sinsin1cos,84cos2cos2cos1cosACnACnACn====−−−−，令2cost=−，π2π,33，得35,22t2113cos,442331

13344ACnttttttt===−++−=−−+−−++，当且仅当3t=时，等号成立，设直线AC与平面ADE¢所成角为，则sincos,ACn=，故直线AC与平面ADE¢所成角的正弦值的最大值为31−，当32t=时，2cos,2ACn=，当52t=时，

30cos,10ACn=∵302102，∴直线AC与平面ADE¢所成角的正弦值的范围为30[,31]10−【点睛】关键点睛：本题第二问的关键是利用空间向量法得到关于线面角正弦值的表达式，设()cos,0,sinA，则得到21cos,2cos1cosACn

=−−，再结合换元法和基本不等式求出其最大值，再代入端点得到其最小值，从而得到正弦值范围.获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxue100.com