【文档说明】四川省阆中中学2020届高三全景模拟（最后一考）数学（理）试题 【精准解析】.doc，共(22)页，2.349 MB，由小赞的店铺上传

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四川省阆中中学校高2017级全景模拟试题数学（理）一．选择题1.已知全集U=R，2{|20}Axxx=−，{|1}Bxx=，则()UBAC=（）A.()0,+B.(),1−C.(),2−D.()0,1【答案】C【解析】

2|20|02Axxxxx=−=,∵{|1}Bxx=，∴|1UCBxx=∴()(),2UACB=−故选C点睛：求集合的交、并、补时，一般先化简集合，再由交、并、补的定义求解．在进行集合的运算时要尽可能地

借助Venn图和数轴使抽象问题直观化．一般地，集合元素离散时用Venn图表示；集合元素连续时用数轴表示，用数轴表示时要注意端点值的取舍．2.已知i是虚数单位，则21ii=+（）A.1B.22C.2D.2【答案】D【解析】2222112iiii===++，选D.3.某路口的红绿灯，红灯时间为30

秒，黄灯时间为5秒，绿灯时间为40秒，假设你在任何时间到达该路口是等可能的，则当你到达该路口时，看见不是黄灯的概率是（）A.1415B.115C.35D.12【答案】A【解析】看见黄灯的概率是513054015P==++，则看不见黄灯的概率是11411515P=−=，故选A.4.等比数列na

的各项均为正数，且1224aa+=，24374aaa=，则5a=（）A.116B.18C.20D.40【答案】B【解析】设公比为q，则，由题意得：11262811244aaqaqaq+==1212aq==，所以，45112()28a==选A.

5.已知正方形ABCD的边长为6，M在边BC上且3BCBM=，N为DC的中点，则AMBN=()A.-6B.12C.6D.-12【答案】A【解析】【分析】以向量,BABC为基底，将,AMBN用基底表示，结合向量数量积的运算律，即可求解.【详解】由M在

边BC上且3BCBM=，N为DC的中点，13AMBMBABCBA=−=−，1122BNBCCNBCCDBCBA=+=+=+，11()()32AMBNBCBABCBA=−+2215112186362BCBCBABA=−−=−=−.故选：A

.【点睛】本题考查向量基本定理以及向量的数量积运算，考查计算求解能力，属于基础题.6.在如图所示的程序框图中，若函数12log(),?0()2,?0xxxfxx−=，则输出的结果是（）A.16B.8C.162D.82【答案】A【解析】模拟执行程序框图，可得160a=−，执行

循环体，12log1640b==−，12log420a==−，不满足条件4a，执行循环体，12log210b==−，12log10a==，不满足条件4a，执行循环体，0210b==，1220a==，不满足条件4a，执行循环

体，2240b==，4216a==，满足条件4a，退出循环，输出a的值为16．选A.点睛：算法与流程图的考查，侧重于对流程图循环结构的考查.先明晰算法及流程图的相关概念，包括选择结构、循环结构、伪代码，其次要重视循环起点条件、循环次数、循环终止条件，更要通过循环规律，明

确流程图研究的数学问题，是求和还是求项.7.《九章算术》是中国古代第一部数学专著，书中有关于“堑堵”的记载，“堑堵”即底面是直角三角形的直三棱柱.已知某“堑堵”被一个平面截去一部分后，剩下部分的三视图如图所示，则剩下部分的体积

是()A.50B.75C.25.5D.37.5【答案】D【解析】【详解】由题意得，根据给定的三视图可知，原几何体是在直三棱柱的基础上，截去一个四棱锥111CMNBA−，所得的几何体，所以截去后剩余的几何体的体积为121155535537.523VVV=−

=−=，故选D.8.已知函数()4cos()fxx=+（0，0）为奇函数，(,0)Aa，(,0)Bb是其图象上两点，若||−ab的最小值是1，则1()6f=（）A.2B.2−C.32D.32−【答案】B【解析】∵函数

()4cos()fxx=+为奇函数，且0，∴2=，()4sinfxx=−．(,0)Aa，(,0)Bb是其图象上两点，若||−ab的最小值是1，则1212=，∴=，()4sinfxx=−，则1()4sin

266f=−=−．选B.9.已知点(1,2)P在抛物线E：22(0)ypxp=上，过点(1,0)M的直线l交抛物线E于A、B两点，若3AMMB=，则直线l的倾斜角的正弦值为（）A.32B.12C.35D.45【答案】A【解析】【分析】由已知点坐标求出2p=，l方程为1xty=+，

代入抛物线方程整理得2440yty−−=，设1122(,),(,)AxyBxy，则124yyt+=，124yy=−，再利用3AMMB=得123yy=−，结合进来可求得A、B（只要有一个即可）点坐标，得出直线斜率后即得倾斜角，从而得倾斜角的正弦值．【详解】由已知2221p=，

2p=，即抛物线方程为24yx=，(1,0)M为抛物线的焦点，题中直线l斜率显然不为0，设l方程为1xty=+，代入抛物线方程整理得2440yty−−=，设1122(,),(,)AxyBxy，则124y

yt+=①，124yy=−②，由3AMMB=得1122(1,)3(1,)xyxy−−=−，所以123yy−=，即123yy=−③，③代入②得2243y=，2233y=，2233y=时，222143yx==，223

3y=−时，222143yx==，所以123(,)33B或123(,)33B−，设直线l的倾斜角为，则233tan3113==−−，或233tan3113−==−，即23=或3，所以3sin2=．故选：A

．【点睛】本题考查直线与抛物线相交问题，解题方法是设出直线方程，设出交点坐标，应用韦达定理，得出1212,yyyy+，结合已知条件求出交点坐标，然后可得出结论．考查了学生的运算求解能力．10.已知函数1()cos2(2)sin2fxmxmx=+−，其中12

m，若函数()fx的最大值记为()gm，则()gm的最小值为（）A.14−B.1C.33−D.31−【答案】D【解析】函数1()cos2(2)sin2fxmxmx=+−，化简可得：2211()(12sin)(2)si

nsin(2)sin22fxmxmxmxmxm=−+−=−+−+，令sintx=，令21(2)2ymtmt=−+−+，11t−，∵12m，开口向下，对称轴21[,0]22mtm−=−，故当22mtm−=时，()fx取得最大值为22213131()()(2)1213122244mm

mmgmmmmmmmm−−=−+−+=+−−=−（当且仅当314mm=，即233m=时取等号），故得()gm的最小值为31−．选D.11.三棱锥PABC−中，,,PAPBPC互相垂直，1PAPB==，M是线段BC上一动点，若直线

AM与平面PBC所成角的正切的最大值是62，则三棱锥PABC−的外接球的表面积是（）A.2B.4C.8D.16【答案】B【解析】M是线段BC上一动点，连接PM，∵,,PAPBPC互相垂直，∴AMP就是直线AM与平面PBC所成角，当PM最短时，即PMBC⊥时直线

AM与平面PBC所成角的正切的最大．此时62APPM=，63PM=，在直角△PBC中，26··123PBPCBCPMPCPCPC==+=．三棱锥PABC−扩充为长方体，则长方体的对角线长为1122++=，∴三棱锥PA

BC−的外接球的半径为1R=，∴三棱锥PABC−的外接球的表面积为244R=．选B.点睛:空间几何体与球接、切问题的求解方法(1)求解球与棱柱、棱锥的接、切问题时，一般过球心及接、切点作截面，把空间问题转化为平面图

形与圆的接、切问题，再利用平面几何知识寻找几何中元素间的关系求解．(2)若球面上四点,,,PABC构成的三条线段,,PAPBPC两两互相垂直，且,,PAaPBbPCc===，一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体，利用22224Rabc=++求解．12.中国古代十进制的算筹计数法，在数学史上是

一个伟大的创造，算筹实际上是一根根同长短的小木棍．如图，是利用算筹表示数1－9的一种方法．例如：3可表示为“≡”，26可表示为“=⊥”，现有6根算筹，据此表示方法，若算筹不能剩余，则可以用1－9这9个数字表示两位数中，能被

3整除的概率是（）A.518B.718C.716D.516【答案】D【解析】【分析】根据题意把6根算筹所能表示的两位数列举出来后，计算哪些能被3整除即可得概率．【详解】1根算筹只能表示1,2根根算筹可以表示2和6,3根算筹可以表示3和7,4根算筹可以表示4和8,5根算筹

可以表示5和9，因此6根算筹表示的两位数有15,19,51,91,24,28,64,68,42,82,46,86,37,33,73,77共16个，其中15,51,24,42,33共5个可以被3整除，所以所求概率为516P=．故选：D．【点睛】本题考查古典概型，考查中国古代数学

文化，解题关键是用列举法写出6根算筹所能表示的两位数．二、填空题13.若实数,xy满足0205yxyxy−+，则2xy+的最小值是__________.【答案】0【解析】【分析】画出满足条件的可行域，令2zxy

=+，根据图象求出目标函数的最小值.【详解】画出满足0205yxyxy−+的可行域，如下图所示，设2zxy=+，由图形可得，目标函数过原点O时，取得最小值，所以2xy+的最小值为0.故答案为：0【点睛】本题考

查二元一次不等式组表示平面区域，利用数形结合求线性目标函数的最值，属于基础题.14.过定点M的直线：120kxyk−+−=与圆：22(1)(5)9xy++−=相切于点N，则||MN=__．【答案】4【解析】直线：120kxyk−+−=过定点(2,1)M，22(1)(5)9

xy++−=的圆心(1,5)−，半径为：3；定点与圆心的距离为：22(21)(15)5++−=．过定点M的直线：120kxyk−+−=与圆：22(1)(5)9xy++−=相切于点N，则22534MN=−=．点睛：

判断直线与圆的位置关系的常见方法(1)几何法：利用d与r的关系．(2)代数法：联立方程之后利用Δ判断．(3)点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内，可判断直线与圆相交．上述方法中最常用的是几何法，点与圆的位置关系法适用于动直线问题．15.已知()22nxxy+−的展开式中各项系数

的和为32，则展开式中52xy的系数为__________．（用数字作答）【答案】120【解析】【详解】由题意，(2x2+x-y)n的展开式中各项系数的和为32，即2n=32，∴n=5，那么(2x2+x-y)5=[(2x2+x)-y]5，通项公式()()52152

rrrrTCyxx−+=−+，展开式中含有x5y2，可知r=2．那么(2x2+x)3中展开必然有x5，由通项公式，可得()3232tttCxx−，含有x5的项：则t=1，∴展开式中x5y2的系数为212532120CC=.16.设公差不为

0的等差数列na的前n项和为nS，若2511,,aaa成等比数列，且112()mnaSS=−(0,,)mnmnN，则mn+的值是____.【答案】9【解析】【分析】由2511,,aaa成等比数列得25211aaa=，再由na为等差数列代入等差数列的通

项公式可得12ad=，再由112()(0,,)mnaSSmnmnN=−得1112(1)12(1)10mammdnanndad+−−−−=+，化简可得(3)()12mnmn++−=，从而得1312mnmn−=++=或236mnmn−=++=即可求解.【详解】

设等差数列na的公差为()dd0，因为2511,,aaa成等比数列，所以25211aaa=，所以2111(4)()(10)adadad+=++，解得12ad=，又112()(0,,)mnaSSmnmnN=−，所以1112(1)12(1)

10mammdnanndad+−−−−=+，化简得(3)()12mnmn++−=，因为0,,mnmnN，所以1312mnmn−=++=或236mnmn−=++=解得54mn==或5212mn==(舍去)，所以9mn

+=.故答案为9【点睛】本题主要考查等比中项、等差数列的通项公式，需熟记公式，属于中档题.三、解答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17.在△ABC中，,,abc分别是内角,,ABC的对边，且22()3acbac+

=+．（1）求角B的大小；（2）若2b=，且sinsin()2sin2BCAA+−=，求△ABC的面积．【答案】（1）3B=（2）233【解析】【分析】（1）直接根据余弦定理可得角B的大小；（2）先根据两角和与

差正弦公式化简得cos0A=，或sin2sinCA=，再根据正弦定理得2ca=，结合条件()223acbac+=+可解得a,c，最后根据三角形面积公式求面积【详解】（1）:()223acbac+=+，可得：222acbac+−=，∴由余

弦定理可得：2221cos22acbBac+−==，∵()0,B，∴3B=．（2）∵()sinsin2sin2BCAA+−=，∴()()sinsin2sin2CACAA++−=，∴sincoscossinsincos

cossin4sincosCACACACAAA++−=，可得：()cossin2sin0ACA−=，∴cos0A=，或sin2sinCA=，∴当cos0A=时，2A=，可得2tan3bcB==，可得11

22322233ABCSbc===；当sin2sinCA=时，由正弦定理知2ca=，由余弦定理可得：2222224423acacaaaa=+−=+−=，解得：233a=，433c=，1234332323323ABCS==．18.

共享单车进驻城市，绿色出行引领时尚．某市有统计数据显示，2020年该市共享单车用户年龄等级分布如图1所示，一周内市民使用单车的频率分布扇形图如图2所示．若将共享单车用户按照年龄分为“年轻人”（20岁－3

9岁）和“非年轻人”（19岁及以下或者40岁及以上）两类，将一周内使用的次数为6次或6次以上的称为“经常使用单车用户”，使用次数为5次或不足5次的称为“不常使用单车用户”．已知在“经常使用单车用户”中有56是“年轻人”．（1）现对该市市民进行

“经常使用共享单车与年龄关系”的调查，采用随机抽样的方法，抽取一个容量为200的样本，请你根据图表中的数据，补全下列22列联表，并根据列联表的独立性检验，判断是否有85%的把握认为经常使用共享单车与

年龄有关？年轻人非年轻人合计经常使用单车用户120不常使用单车用户80合计16040200使用共享单车情况与年龄列联表（2）将（1）中频率视为概率，若从该市市民中随机任取3人，设其中经常使用共享单车的“非年轻人”人数为随机变量X，求X的分布列与期望．参考数据：独立性检验界值表()20PKk

0.150.100.0500.0250.0100k2.0722.7063.8415.0246.635其中，22()()()()()nadbcKabcdacbd−=++++，nabcd=+++【答案】（1）列联表见解析，有85%的把握可以认为经常使用共享单车与年龄有

关；（2）分布列见解析，数学期望为0.3．【解析】【分析】（1）补全的列联表，利用公式求得22.0832.072K，即可得到结论；（2）由（1）的列联表可知，经常使用单车的“非年轻人”的概率，即可利用独立

重复试验求解随机变量X取每个数值的概率，列出分布列，求解数学期望.【详解】（1）补全的列联表如下：年轻人非年轻人合计经常使用共享单车10020120不常使用共享单车602080合计16040200于是1

00a=，20b=，60c=，20d=，∴22200(100206020)2.0832.0721208016040K−=，即有85%的把握可以认为经常使用共享单车与年龄有关．（2）由（1）的列联表可知，经常使用共享单车的“非年轻人”占样本总数的频率为20100

%10%200=，即在抽取的用户中出现经常使用单车的“非年轻人”的概率为0.1，∵~(3,0.1)XB，0,1,2,3X=∴3(0)(10.1)0.729PX==−=，(1)0.243PX==(2)0.027PX==，3(3)0.10.001PX===，∴X的分布列为X0123P0.72

90.2430.0270.001．∴X的数学期望()30.10.3EX==．【点睛】本题主要考查了22列联表,独立性检验，二项分布，二项分布的期望，属于中档题.19.已知矩形ADEF和菱形ABCD所在平面互相垂直，如图，其中1AF=

，2AD=，3ADC=，点N为线段AD的中点．（Ⅰ）试问在线段BE上是否存在点M，使得直线//AF平面MNC？若存在，请证明//AF平面MNC，并求出BMME的值，若不存在，请说明理由；（Ⅱ）求二面角NCE

D−−的正弦值．【答案】（1）见解析（2）104【解析】【详解】试题分析：（1）因为//EFBC，所以,,,BCEF在同一平面，取EF的中点P，连结PCBEM=，交点即为所求点，因为//FAPN；（2

）根据底面菱形，根据余弦定理求NC，三边满足勾股定理，所以NCND⊥，NP⊥平面ABCD，所以以,,NCNDNP建立空间直角坐标系，分别计算平面NCE和平面DCE的法向量，求法向量夹角的余弦值，再求正弦值.试题解析：（1）取FE的中点P，连接CP交BE于点M，M点即为所求的点.证明：连

接PN，∵N是AD的中点，P是FE的中点，∴//PNAF，又PN平面MNC，AF平面MNC，∴直线//AF平面MNC.∵//,//PEADADBC，∴//PEBC，∴2BMBCMEPE==.（2）由（1）知PNAD^，又面A

DEF⊥面ABCD，面ADEF面ABCDAD=，PN面ADEF，所以PN^面ABCD.故,PNADPNNC⊥⊥.以N为空间原点，,,NDNCNP分别为,,xyz轴建立空间直角坐标系Nxyz−，∵23ADCADDC

===，，∴ADC为正三角形，3NC=，∴()()()()0,0,0,3,0,0,0,1,0,0,1,1NCDE，∴()()()()0,1,1,3,0,0,0,0,1,3,1,0NENCDEDC===

=−.设平面NEC的一个法向量()1,,nxyz=，则由110,0nNEnNC==可得0,{30,yzx+==令1y=，则()10,1,1n=−.设平面CDE的一个法向量()2111,,nxyz=，则由220,0nDEnD

C==可得1110,{30,zxy=−=令11x=，则()21,3,0n=.则12121236cos,422nnnnnn===，设二面角NCED−−的平面角为，则2610sin144=−=，∴二面角NCED−−的正弦值为104.20.已

知点(2,0)E−，点P是圆F：22(2)36xy−+=上任意一点，线段EP的垂直平分线交FP于点M，点M的轨迹记为曲线C．（1）求曲线C的方程；（2）过F的直线交曲线C于不同的A，B两点，交y轴于点N，已知NAmAF=，NBnBF=，求mn+的值．【

答案】（1）22195xy+=；（2）185mn+=−．【解析】【分析】（1）根据垂直平分线的性质及几何关系，结合椭圆的定义，求得曲线C的方程；（2）过F的直线斜率为0时，直接求出,mn，可得185mn+=−，斜率不为0时可设为2xty=+，0t，再联立方程

组，运用根与系数的关系，化简向量式并表示出mn+，化简可得185mn+=−.【详解】解：（1）由题意知，||||||||6||4MEMFMPMFrEF+=+===，故由椭圆定义知，点M的轨迹是以点E，F为焦点，长轴为6，焦距为4的椭圆，从而长半轴长为3a=，短半轴长为22325b=−

=，∴曲线C的方程为：22195xy+=．（2）由题意知(2,0)F，若直线AB恰好过原点，则(3,0)A−，(3,0)B，(0,0)N，∴(3,0)NA=−，(5,0)AF=，则35m=−，(3,0)NB=，(1,0)BF=−，则3n=−，∴185mn+=−．若直线AB不过原点，设直线AB：2x

ty=+，0t，()112,Atyy+，()222,Btyy+，20,Nt−．则1122,NAtyyt=++，()11,AFtyy=−−，2222,NBtyyt=++，()22,BFtyy=−−，由NAmAF=，得()112ymyt+=−，从而121mty=

−−；由NBnBF=，得()222ynyt+=−，从而221nty=−−；故121212122221121122yymntytytyytyy++=−−+−−=−−+=−−．联立方程组得：222,1,95xtyxy=++=整理得()225920250t

yty++−=，∴1222059tyyt+=−+，1222559yyt=−+，∴121222208182222555yytmntyyt+−+=−−=−−=−−=−−．综上所述，185m

n+=−．【点睛】本题考查了椭圆的定义，直线与椭圆的位置关系，向量共线的坐标表示，椭圆中的定值问题，还考查了设而不解，联立方程组，根与系数的关系等基本技巧，考查了学生的运算能力，属于中档题.21.函数()ln4pxxx=+−，()()xqxax

eaR=．（1）若()qx在点(1,())qx处的切线与直线10xy−+=平行，求a的值；（2）若ae=，设()()()fxpxqx=−，试证明()fx存在唯一零点010,xe，并求()fx的最大值．【答案】（1）12ae=；（2）证明见解析；最大值为6−．【解析】【分析】（1

）求导，由两直线平行可得'(1)21qae==，可求得a的值；（2）对()fx求导()()'(1)1()>0xxexefxxx+−=，令()1xxexe=−，对()x求导得'()(1)0(0)xxexex=−+，又(

0)10=，1110eee=−，可知得存在010,xe，使得()00x=，可得证，再由()'fx的正负区间得出()fx的单调性，可求得()fx的最大值.【详解】（1）'()()xqxaxae=+，因为()qx在点(1

,())qx处的切线与直线10xy−+=平行，所以'(1)21qae==，∴12ae=；（2）证明：由题意知()ln4xfxxxexe=+−−，于是()'(1)111()1(1)(1)xxxxexexfxexeexexxx+−+=+−+=−+=，令()1xx

exe=−，'()(1)0(0)xxexex=−+，∴()x在(0,)+上单调递减．又(0)10=，1110eee=−，所以存在唯一010,xe，使得()00x=，综上得()fx存在唯一零

点010,xe．当()00,xx，()0x，于是()0fx，()fx在()00,x单调递增；当()0,xx+，()0x，于是'()0fx，()fx在()0,x+单调递减；故()0max0000()ln4

xfxfxxxexe==+−−，又()00010xxexe=−=，001xeex=，0001ln1lnxxex==−−，故()max00001()ln1ln4516fxxxexex=+−−−−=−−=−．所以()fx的最大值为-6.【点睛】本题考查运用导函数求得函数的切线，研究函数的零点，函

数的最值问题，关键在于得出函数的导函数的正负区间，得出函数的单调性，属于难题.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．22.在平面直角坐标系xOy中，曲线1C：的参数方程是13cos3sinxy=+=

，（为参数）.以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线2C的极坐标方程为1=.（1）分别写出1C的极坐标方程和2C的直角坐标方程；（2）若射线l的极坐标方程(0)3=，且l分别交曲线1C、2C于A，B两点，求A

B.【答案】（1）1C:22cos20ρρθ−−=,2C:221xy+=;（2）1.【解析】试题分析：（1）首先写出1C的直角坐标方程，再根据互化公式写出极坐标方程，和2C的直角坐标方程,互化公式为22cos,sin,xyxy===+；（2

）根据图象分析出12AB=−.试题解析：（1）将1C参数方程化为普通方程为()2213xy−+=，即22220xyx+−−=，∴1C的极坐标方程为22cos20−−=.将2C极坐标方程化为直角坐标方程为221xy+=.（2）将=3代入1:C22cos20−−=整理

得220−−=，解得12=，即12OA==.∵曲线2C是圆心在原点，半径为1的圆，∴射线=3()0与2C相交，即21=，即21OB==.故12211AB=−=−=.23.已知函数()|3||36|fxxax=−+−，()|

2|1gxx=−+．（1）1a=时，解不等式()8fx；（2）若对任意1xR都有2xR，使得()()12fxgx=成立，求实数a的取值范围．【答案】（1）15,,62−−+；（2）(,5][7,)−+．【解析】【分析】（1）将1a=代入方程，利用分类讨

论的方法去掉绝对值求解；（2）利用绝对值的三角不等式，分别求出()fx和()gx的值域，结合题意分析即可求解.【详解】解：（1）1a=时，()|31||36|fxxx=−+−，当13x时，()76fxx=−，由()8fx解得

16x−，综合得16x−，当123x时，()5fx=，显然()8fx不成立，当2x时，()67fxx=−，由()8fx解得52x，综合得52x，所以()8fx的解集是15,,62−−+．（2）()|3

||36||(3)(36)||6|fxxaxxaxa=−+−−−−=−，()|2|11gxx=−+，∴根据题意|6|1a−，解得7a或5a．故a的取值范围为(,5][7,)−+【点睛】本题考查含有绝对值的不等式的解法，绝对值的三角不等式，恒成立问题，

考查了计算化简，分析求值的能力，属中档题.