【文档说明】【精准解析】四川省新津中学2019-2020学年高一4月月考（入学）数学（理）试题.doc，共(19)页，1.551 MB，由管理员店铺上传

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2019～2020学年度（下期）高2019级4月月考试卷理科数学第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共有12小题，每小题5分，共60分；在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的1.设a、b、Rc且ab，则（）A.acbcB.22abC.

33abD.11ab【答案】C【解析】【分析】利用特殊值法可判断B、D选项的正误，利用不等式的基本性质可判断A选项的正误，利用作差法可判断C选项的正误，进而可得出正确选项.【详解】对于A选项，当0c时，ab，

acbc，A选项错误；对于B选项，取1a=−，2b=−，则22ab，B选项错误；对于C选项，()()()()233222212ababaabbababab−=−++=−+++，ab，则a、b中至少有一个不为零，所以，220ab+，则()2220abab+++，所以，33

0ab−，即33ab，C选项正确；对于D选项，取1a=，1b=−，则11ab，D选项错误.故选：C.【点睛】本题考查代数式的大小比较，一般利用不等式的基本性质、作差（商）法、特殊值法来比较，考查推理能力，属于基础题.2.

已知3sin4=，则()cos2−=()A.18B.18−C.19D.53【答案】A【解析】【分析】利用诱导公式和倍角公式，2cos(2)cos22sin1−=−=−，即可求解.【详解】由3sin4=，得co

s(2)cos2−=−，得21cos22sin18−=−=答案选A【点睛】本题考查诱导公式和倍角公式，记准公式，正确计算是解题的关键.3.在等比数列na中，已知259,243aa==，那么

na的前4项和为（）.A.81B.120C.121D.192【答案】B【解析】【分析】根据352aqa=求出公比，利用等比数列的前n项和公式即可求出.【详解】35227aqa==,3q=4414(1)3(13

)120113aqSq−−===−−.故选B【点睛】本题主要考查了等比数列的通项公式，等比数列的前n项和，属于中档题.4.化简21sin352sin20−=（）A.12B.12−C.1−D.1【答案】B【解析】【分析】利用降次公式和诱导公式化简所求表达式，由此求得正确结论.【详解】

依题意，原式1cos7011cos701sin20122sin202sin202sin202−−==−=−=−，故选B.【点睛】本小题主要考查三角函数降次公式，考查三角函数诱导公式，属于基础题.5.在ABC中，内角A、B、C所对的边分别是a、b、c，60B=，且不等式2560xx−+的解

集为xaxc，则b等于（）A.7B.4C.33D.23【答案】A【解析】【分析】解不等式2560xx−+，可得出a、c，再利用余弦定理可计算出b的值.【详解】解不等式2560xx−+，得23x，2a=，3c=，由余弦定理得222cos7bacac

B=+−=.故选：A.【点睛】本题考查利用余弦定理求三角形的边长，同时也考查了一元二次不等式的求解，考查运算求解能力，属于基础题.6.已知、为锐角，3cos5=，()1tan3−=，则tan=（）A.139B.913C.3D.13【答案】C【解析】【分析】求出tan，然后利用两角和的

正切公式可求得tan的值.【详解】Q为锐角，则24sin1cos5=-=，所以，sin4tancos3==，()()()14tantan33tantan3141tantan133+−+=−+===−−−.故选：C.【点

睛】本题考查利用两角和的正切公式求值，考查计算能力，属于基础题.7.在ABC中，角,,ABC的对边分别为a，b，c，若47cos,cos,1525ACa===，则b=（）A.3925B.3625C.65D.2【答案】A【解析】【分析

】由47cos,cos,525AC==求出sin,sin,AC再求出sinB，由正弦定理求出b.【详解】∵A，C是三角形内角，∴(),0,AC.又∵47cos,cos525AC==∴324sin,sin525AC==，∴()

37424117sinsinsincoscossin525525125BACACAC=+=+=+=.又∵1a=，∴1171sin391253sin255aBbA===.故选A【点睛】本题考查同角间正余弦值互化、两角和正

弦公式、正弦定理，属于基础题.8.函数()2sinsincosyxxx=+的最大值为（）A.12+B.21−C.2D.2【答案】A【解析】由题意，得()22sinsincos2sin2sincossin2cos21yxxxxxxxx=+

=+=−+π2sin21214x=−++；故选A.9.在ABC中，内角A、B、C所对的边分别是a、b、c，若a、b、c成等比数列，30A=，则sinbBc＝（）A.12B.22C.32D.34【答案】A【解析】【分析】

由等比中项的性质得出2bac=，利用正弦定理边角互化思想得出2sinsinsinBAC=，再结合正弦定理边角互化思想可求得sinsinbBAc=，进而得解.【详解】由于a、b、c成等比数列，则2bac=，由正弦定理得2

sinsinsinBAC=，所以，2sinsin1sinsin2bBBAcC===.故选：A.【点睛】本题考查利用正弦定理边角互化思想求值，同时也考查了等比中项性质的应用，考查计算能力，属于基础题.10.已知ABC中

，30A=，2AB、BC分别是2311+、2311－的等差中项与等比中项，则ABC的面积等于（）A.32B.34C.32或3D.32或34【答案】D【解析】【分析】计算出AB和BC，利用余弦定理求出AC，然后利用三角形的面积公式可求得ABC的面积.【详解】由于2AB、BC分别是2311+、23

11－的等差中项与等比中项，则42311231143AB=++−=，得3AB=，()()2231123111BC=+−=，得1BC=.由余弦定理得2222cosBCABACABACA=+−，整理得

2320ACAC−+=，0AC，解得1AC=或2AC=.当1AC=时，ABC的面积为1113sin312224ABCSABACA===；当2AC=时，ABC的面积为1113sin322222ABCSABACA==

=.综上所述，ABC的面积为34或32.故选：D.【点睛】本题考查三角形面积的计算，同时也考查了利用余弦定理解三角形，考查计算能力，属于中等题.11.在递减等差数列{}na中，21324aaa=−．若113a=，则数列11{}nnaa+的前n项和的最大值为()A.24143B.1143C.241

3D.613【答案】D【解析】设公差为,0dd，所以由21324aaa=−，113a=，得213(132)(13)42ddd+=+−=−（正舍），即132(1)152nann=−−=−，因为111111()(152)(132)22

15213nnaannnn+==−−−−−，所以数列11nnaa+的前n项和等于1111116()()213213213261313n−−−−=−−，选D.点睛：裂项相消法是指将数列的通项分成两个式子的代数和的形式，然后通过累加抵消中间若干项的方法，

裂项相消法适用于形如1nncaa+(其中na是各项均不为零的等差数列，c为常数)的数列.裂项相消法求和，常见的有相邻两项的裂项求和(如本例)，还有一类隔一项的裂项求和，如1(1)(3)nn++或1(2)nn+.12.设等差数列{}na满足222

2477456sincossincos1sin()aaaaaa−=+，公差(1,0)d−，当且仅当9n=时，数列{}na的前n项和nS取得最大值，求该数列首项1a的取值范围（）A.43(,)32B.43[,]32C.74(,)63D.74[

,]63【答案】A【解析】222247475647sincoscossinsin()sin()aaaaaaaa−=+=+4747sincoscossinaaaa=+，4747(sincoscossin)aaaa+4747(sincosco

ssin)aaaa−=4747(sincoscossin)aaaa+，4747sin()(sin()1)0aaaa+−−=，4756sin()sin()0aaaa+=+，则47sin()sin(3)1aad−=−=，公差()1,0d−，3(0

,3)d−，32,2dkkz−=+，则3,26dd−==−，而21()22nddSnan=+−，当且仅当9n=时，数列na的前n项和nS取得最大值，则128.59.522dad−−，把6d=−代入后解不等式14332a，选A.【点睛】本题为三角函

数式恒等变形与等差数列综合题，利用两角和差的三角函数公式简化已知条件，转化为三角方程，利用题目所提供的范围求出等差数列的公差，由于等差数列前n项和有最大值，则首项为正，公差为负，根据nS是关于n的二次函数，图象为开口向下的抛

物线上的点，当且仅当9n=时，数列na的前n项和nS取得最大值，说明对称轴介于（8.5，9.5），解不等式后得出答案.第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分13.不等式11x的解集为____________________.（用区间表示）【答案】())

,01,−+【解析】【分析】将不等式变形为10xx−，解该不等式即可.【详解】由11x得10xx−，解得0x或1x，因此，不等式11x的解集为()),01,−+.故答案为：()),01,−+.【点睛】本题考查分

式不等式的求解，考查运算求解能力，属于基础题.14.若数列是正项数列，且2*123,(),naaannnN+++=+则12231naaan++++＝__________．【答案】【解析】试题分析：令1n=，得114,16aa==，当2n=时，()()2121131na

aann−+++=−+−，与已知式相减，得22nan=+，()241,1nann=+=时，1a适合na，()241nan=+，441nann=++()212844262312nnnaaannn+++++==++．考点：数列的求和

15.船在岛A的正南方向的B处,以4/kmh的速度向正北方向航行,10ABkm=,同时乙船自岛A出发以6/kmh的速度向北偏东60°的方向驶去,当甲､乙两船相距最近时,它们所航行的时间为________.【答案】5h14【解析】【分析】如图,当两船航

行ht后,甲船到D处,乙船到C处,由余弦定理得22567528147CDt=−+，即得解.【详解】如图,当两船航行ht后,甲船到D处,乙船到C处,则104ADt=−,6ACt=,120CAD=,所以22222156

75(6)(104)26(104)2820100282147CDttttttt=+−−−−=−+=−+∴当5h14t=时,2CD最小,即两船最近.故答案为：5h14【点睛】本题主要考查余弦定理的实际应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.16.在ABC中，内角

A、B、C的对边分别为a、b、c，若ABC的面积为S，且()222Sabc=+−，则tanC等于__________.【答案】43−【解析】【分析】利用余弦定理和三角形的面积公式得出关于sinC和cosC的等式，结合22sincos1CC+=建立方程组解出sinC和cosC的值

，由此可计算出tanC的值.【详解】()()2222222Sabcabcab=+−=+−+，由三角形的面积公式和余弦定理得sin2cos2abCabCab=+，得sin2cos2CC−=，0C，sin0C，由题意可

得22sin2cos2sincos1sin0CCCCC−=+=，解得4sin53cos5CC==−，因此，sin4tancos3CCC==−.故答案为：43−.【点睛】本题考查

利用三角形的面积公式和余弦定理求角，解答的关键就是建立有关sinC和cosC的方程组，利用方程思想求解，考查运算求解能力，属于中等题.三、解答题：（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.已知公差不为零的等

差数列{}na中，11a=，且139,,aaa成等比数列.（1）求数列{}na的通项公式；（2）设2nanbn=+，求数列{}nb的前n项和nS.【答案】(1)nan=;(2)1(1)222nnnnS++=−+.【解析】试题分析：设等差数列的公差，利用首项和公差表示数列

的项，利已知三项成等比列方程求出公差，写出等差数列的通项公式，根据2nanbn=+，求出数列nb的通项公式，由于适合使用分组求和，所以利用分组求和法求出数列的前n项的和，注意利用等差数列和等比数列的前n项

和公式的使用.试题解析：（1）设数列na公差为d139,,aaa成等比数列2319aaa=()()212118dd+=+0d=（舍）或1d=nan=.（2）令22nannbnn=+=+123nnSbbbb=++++()()()()1232122232nn=++++++++()()

()()12322221232121122nnnnn=+++++++++−+=+−()11222nnn++=−+()11222nnnnS++=−+.【点睛】本题是等差数列与等比数列及数列求和综合题，设等差数列的公差，利用首项和公差表示数列的项，利已知三项成等比列方程求出公差，写出

等差数列的通项公式，根据2nanbn=+，求出数列nb的通项公式，由于适合使用分组求和，所以利用分组求和法求出数列的前n项的和，注意利用等差数列和等比数列的前n项和公式的使用.18.在ABC中，内角,,ABC所对的边分别为,,abc，已知ABC面积为315，5bc−=，1cos4

A=−.(1)求a的值；(2)求cos26A−的值.【答案】(1)85a=;(2)157316+−.【解析】试题分析：(1)通过三角形的面积以及已知条件求出b，c，利用余弦定理求a的值;(2)利用两角和的余弦函数化简cos

26A−，然后直接求解即可．.试题解析：(1)在ABC中，由1cos4A=−，可得，15sin4A=，又因为315ABCS=，所以1sin3152bcA=，即24bc=.又5bc−=，解得8b=，3c=.由2222cos85abcbcA=+−

=，得85a=.(2)因为27cos22cos18AA=−=−，15sin22sincos8AAA==−，所以cos2cos2cossin2sin666AAA−=+731511573828216+=−+−=−.19.已知在A

BC中，角,,ABC的对边分别为,,abc,且coscos23sin3sinBCAbcC+=.（1）求b的值；（2）若cos3sin2BB+=,求ac+的取值范围.【答案】（1）32b=（2）3,32ac+

【解析】试题分析：（1）本问考查解三角形中的的“边角互化”.由于求b的值，所以可以考虑到根据余弦定理将cos,cosBC分别用边表示，再根据正弦定理可以将sinsinAC转化为ac，于是可以求出b的值；（2）首先根据sin3cos2BB+

=求出角B的值，根据第（1）问得到的b值，可以运用正弦定理求出ABC外接圆半径R，于是可以将ac+转化为2sin2sinRARC+，又因为角B的值已经得到，所以将2sin2sinRARC+转化为关于A的正弦型函数表达式，这样就可求出取值范围；另外本问也可以在求

出角B的值后，应用余弦定理及重要不等式222acac+，求出ac+的最大值，当然，此时还要注意到三角形两边之和大于第三边这一条件.试题解析：（1）由coscos23sin3sinBCAbcC+=，应用余弦定理，可得22222223223acbabcaabc

abcc+−+−+=化简得23b=则32b=（2）cos3sin2BB+=13cossin122BB+=即sin16B+=()0,B62B+=所以3B=法一.21sinbRB==,则sinsinacAC+=+=2sinsin3AA+−=

33sincos22AA+=3sin6A+又20,3A332ac+法二因为32b=由余弦定理2222cosbacacB=+−得()2334acac=+−，又因为22acac+，当且仅当ac=时“=”成立.所

以()2334acac=+−()()222324acacac+++−=3ac+又由三边关系定理可知32acb+=综上3,32ac+20.已知数列1nnaa+−是一个以2为首项，2为公比的等比数列，且11a=（1）求数列

na的通项公式；（2）设1nnba=−，1212231...nnnnaaaSbbbbbb+=+++，求nS；（3）若对任意*nN，有2823nmSm−恒成立，求实数m的取值范围．【答案】（1）2nna=；（2）11121nnS+=−−；（3）1,1

4−.【解析】【分析】（1）求出数列1nnaa+−的通项公式，然后利用累加法可求得数列na的通项公式；（2）求得11112121nnnnnabb++=−−−，然后利用裂项相消法可求得nS；（3）求出数列nS的最小值，可得出关于实数m的不等式，解出该不等式即可得

出实数m的取值范围.【详解】（1）数列1nnaa+−是首项、公比均为2的等比数列，12nnnaa+−=，故()()()()11211213212122222212nnnnnaaaaaaaa−−−−=+−+−++−=++++=+−2n=.所以，数列na的通项公式为2nna=

；（2）2nna=，121nnnba=−=−，()()11121121212121nnnnnnnnabb+++==−−−−−，因此，1223111111111121212121212121nnnnS++

=−+−++−=−−−−−−−−；（3）因11121nnS+=−−，所以数列nS单调递增，即nS的最小值为123S=，由于对任意*nN，有2823nmSm−恒成立，则282233mm−，整理得

2431mm−，解得114m−.因此，实数m的取值范围是1,14−．【点睛】本题考查利用累加法求数列通项，同时也考查了裂项求和法以及数列不等式恒成立问题的求解，考查计算能力，属于中等题.21.在ABC中，内角A、B、C所对的边

分别是a、b、c，不等式23cos2sin02xCxC++对一切实数x恒成立.（1）求cosC的取值范围；（2）当C取最大值，且ABC的周长为9时，求ABC面积的最大值，并指出面积取最大值时ABC的形状．（参考知识：已知a、bR，222abab+；a、bR+，

2abab+）【答案】（1）1,12；（2）ABC面积的最大值为934，此时ABC为等边三角形.【解析】【分析】（1）分cos0C=和cos0C两种情况讨论，在cos0C=时检验即可，在cos0C时，可得出cos00C

，由此可求得cosC的取值范围；（2）由（1）知3C=，利用余弦定理结合基本不等式可求得ab的最大值，利用等号成立的条件判断ABC的形状，利用三角形的面积公式可求得ABC面积的最大值.【详解

】（1）0C，则sin0C.当cos0C=时，sin1C=，原不等式即为3202x+对一切实数x不恒成立；当cos0C时，应有2cos04sin6cos0CCC=−，2cos02cos3cos20CCC+−解

得1cos2C或cos2C−（舍去）.0C，则1cos1C−，所以，1cos12C，因此，cosC的取值范围是1,12；（2）0C，1cos12C，C的最大值为3.由余弦定理得222222coscabab

Cabab=+−=+−，由基本不等式可得229223abcababababababab=++=+++−+−=，9ab（当且仅当ab=时，等号成立）.ABC的面积为193sin234ABCSab=V（当且仅当ab=时，等号成立）.此时，ABC面积的最大值为9

34，ABC为等边三角形.【点睛】本题考查利用变系数的二次不等式恒成立求参数的取值范围，同时也考查了三角形面积最值的计算，涉及余弦定理和基本不等式的应用，考查计算能力，属于中等题.22.已知数列{}na的前n

项和为nS，11a=，且()+12(N)nnnaSn=*，数列{}nb满足112b=，214b=，对任意*Nn,都有212nnnbbb++=.（1）求数列{}na、{}nb的通项公式；（2）令1122...nnnTababab=+++.若对任

意的*Nn，不等式22(3)nnnnnTbSnb++恒成立，试求实数的取值范围.【答案】（1）nan=，12nnb=；（2）[1,)+.【解析】【分析】（1）利用11,1,2nnnSnaSSn−==−，结合累乘法，求得数列{}na的

通项公式.根据已知条件判断出数列nb是等比数列，由此求得数列nb的通项公式.（2）利用错位相减求和法求得nT，利用差比较法证得nT是递增数列，由此求得nT的取值范围.化简不等式()223nnnnnTbSnb++，得()2*(1)(12)60Nnnn−+

−−恒成立.构造函数()2*()(1)(12)6Nfnnnn=−+−−，对进行分类讨论，结合二次函数的性质，求得的取值范围.【详解】（1）∵()12nnnaS+=∴()+1=2nnnaS，*Nn当2n时，()11122nnnn

nnanaaSS−−+=−=−∴1(1)−=−nnnana，即1(2)1nnannan−=−∴1321122112321(2)12321nnnnnaaaannnaannaaaannn−−−−−===−−−又11a=,也满足上式，故数列{}na的

通项公式(N)nann=*由212nnnbbb++=，知数列{}nb是等比数列，其首项为12、公比为2112aaq==，∴数列{}nb的通项公式12nnb=（2）∵2111112(1)2222nnnTnn−=+++−+

①∴231111112(1)22222nnnTnn+=+++−+②由①②，得2311111111212222222nnnnnTn+++

=++++−=−1111-1221212nnn+=−−∴222nnnT+=−∵22nn+>0，∴2222nnnT+=−又1111322(2)(3)12222nnnnnnnnnnnTT++++

+++−++−=−+==恒正.故nT是递增数列，112nTT=∴122nT又(1)1232nnnSn+=++++=.不等式()223nnnnnTbSnb++，即2(1)322222nnnnnnnn++−++

，即()2*(1)(12)60Nnnn−+−−恒成立.设()2*()(1)(12)6Nfnnnn=−+−−，当1=时，()60fnn=−−恒成立，则1=满足条件；当1时，由

二次函数性质知不恒成立；当1时，由于对称轴1201x−=−−则()fn在[1,)+上单调递减，()(1)340fnf=−−恒成立，则1满足条件，综上所述，实数的取值范围是[1,)+.【点睛】本小题主要考查根据递推关系求数列的通项公式，

考查累乘法求数列通项公式，考查等比数列的识别，考查等比数列通项公式，考查错位相减求和法，考查数列不等式恒成立问题的求解，考查分类讨论的数学思想方法，属于难题.