【文档说明】【精准解析】四川省新津中学2019-2020学年高一4月月考（入学）数学（理）试题.pdf，共(19)页，300.637 KB，由管理员店铺上传

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-1-2019～2020学年度（下期）高2019级4月月考试卷理科数学第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共有12小题，每小题5分，共60分；在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的1.设a、b、Rc且ab，则（）A.acbcB.22

abC.33abD.11ab【答案】C【解析】【分析】利用特殊值法可判断B、D选项的正误，利用不等式的基本性质可判断A选项的正误，利用作差法可判断C选项的正误，进而可得出正确选项.【详解】对于A选项，当0c时，ab，acbc，A选项错误；对于B选项，取1

a，2b，则22ab，B选项错误；对于C选项，233222212ababaabbababab，ab，则a、b中至少有一个不为零，所以，220ab，则2220abab

，所以，330ab，即33ab，C选项正确；对于D选项，取1a，1b，则11ab，D选项错误.故选：C.【点睛】本题考查代数式的大小比较，一般利用不等式的基本性质、作差（商）法、特殊值法来比较，考

查推理能力，属于基础题.2.已知3sin4，则cos2()A.18B.18C.19D.53【答案】A【解析】【分析】利用诱导公式和倍角公式，2cos(2)cos22sin1，即可

求解.-2-【详解】由3sin4，得cos(2)cos2，得21cos22sin18答案选A【点睛】本题考查诱导公式和倍角公式，记准公式，正确计算是解题的关键.3.在等比数列na中，已知259,243aa

，那么na的前4项和为（）.A.81B.120C.121D.192【答案】B【解析】【分析】根据352aqa求出公比，利用等比数列的前n项和公式即可求出.【详解】35227aqa,3q4414(1)3(13)120113aqSq.故选B【点睛】本题主要

考查了等比数列的通项公式，等比数列的前n项和，属于中档题.4.化简21sin352sin20=（）A.12B.12C.1D.1【答案】B【解析】【分析】利用降次公式和诱导公式化简所求表达式，由此求得正确结论.【详解】依题意，原式1cos7011co

s701sin20122sin202sin202sin202，故选B.【点睛】本小题主要考查三角函数降次公式，考查三角函数诱导公式，属于基础题.5.在ABC中，内角A、B、C所对的边分别是a、b、c，60B，且不

等式2560xx的解集为xaxc，则b等于（）-3-A.7B.4C.33D.23【答案】A【解析】【分析】解不等式2560xx，可得出a、c，再利用余弦定理可计算出b的值.【详解】解不等式2560xx，得23x，2a，3c，由余弦定理得22

2cos7bacacB.故选：A.【点睛】本题考查利用余弦定理求三角形的边长，同时也考查了一元二次不等式的求解，考查运算求解能力，属于基础题.6.已知、为锐角，3cos5，1tan3，则tan（）A.139B.

913C.3D.13【答案】C【解析】【分析】求出tan，然后利用两角和的正切公式可求得tan的值.【详解】Q为锐角，则24sin1cos5=-=，所以，sin4tancos3，14tantan33tantan3141tantan133

.故选：C.【点睛】本题考查利用两角和的正切公式求值，考查计算能力，属于基础题.7.在ABC中，角,,ABC的对边分别为a，b，c，若47cos,cos,1525ACa，则b（）A.3925B.3625

C.65D.2【答案】A【解析】-4-【分析】由47cos,cos,525AC求出sin,sin,AC再求出sinB，由正弦定理求出b.【详解】∵A，C是三角形内角，∴,0,AC.又∵47c

os,cos525AC∴324sin,sin525AC，∴37424117sinsinsincoscossin525525125BACACAC.又∵1a，∴1171sin391253sin255aBbA.故选A【点睛】本题考查同角间正余弦值互

化、两角和正弦公式、正弦定理，属于基础题.8.函数2sinsincosyxxx的最大值为（）A.12B.21C.2D.2【答案】A【解析】由题意，得22sinsincos2sin2sincossin2c

os21yxxxxxxxxπ2sin21214x；故选A.9.在ABC中，内角A、B、C所对的边分别是a、b、c，若a、b、c成等比数列，30A，则sinbBc＝（）A.12B.22C.32D.34【答案】A【解析】【分析】由等比中项的性质

得出2bac，利用正弦定理边角互化思想得出2sinsinsinBAC，再结-5-合正弦定理边角互化思想可求得sinsinbBAc，进而得解.【详解】由于a、b、c成等比数列，则2bac，由正弦定理得2sinsinsinB

AC，所以，2sinsin1sinsin2bBBAcC.故选：A.【点睛】本题考查利用正弦定理边角互化思想求值，同时也考查了等比中项性质的应用，考查计算能力，属于基础题.10.已知ABC中，30A，2AB、BC分别是2311、231

1－的等差中项与等比中项，则ABC的面积等于（）A.32B.34C.32或3D.32或34【答案】D【解析】【分析】计算出AB和BC，利用余弦定理求出AC，然后利用三角形的面积公式可求得ABC的面积.【详解】由于2AB、

BC分别是2311、2311－的等差中项与等比中项，则42311231143AB，得3AB，2231123111BC，得1BC.由余弦定理得2222cosBCABACABACA，整理得2320ACAC，0

AC，解得1AC或2AC.当1AC时，ABC的面积为1113sin312224ABCSABACA；当2AC时，ABC的面积为1113sin322222ABCSABACA

.-6-综上所述，ABC的面积为34或32.故选：D.【点睛】本题考查三角形面积的计算，同时也考查了利用余弦定理解三角形，考查计算能力，属于中等题.11.在递减等差数列{}na中，21324aaa．若113a，则数列11{}nnaa的前n项和的最大值为()A.24143B.1143C.2

413D.613【答案】D【解析】设公差为,0dd，所以由21324aaa，113a，得213(132)(13)42ddd（正舍），即132(1)152nann，因为111111()(152)(

132)2215213nnaannnn，所以数列11nnaa的前n项和等于1111116()()213213213261313n，选D.点睛：裂项相消法是指将数列的通项分成两个式子的代数和的形式

，然后通过累加抵消中间若干项的方法，裂项相消法适用于形如1nncaa(其中na是各项均不为零的等差数列，c为常数)的数列.裂项相消法求和，常见的有相邻两项的裂项求和(如本例)，还有一类隔一项的裂项求和，如1(1)(3)nn或1(2)nn.

12.设等差数列{}na满足2222477456sincossincos1sin()aaaaaa，公差(1,0)d，当且仅当9n时，数列{}na的前n项和nS取得最大值，求该数列首项1a的取值范围（）A.43(,)32B.43[,]32C.74(,)63D

.74[,]63-7-【答案】A【解析】222247475647sincoscossinsin()sin()aaaaaaaa4747sincoscossinaaaa，4747(sinc

oscossin)aaaa4747(sincoscossin)aaaa4747(sincoscossin)aaaa，4747sin()(sin()1)0aaaa，4756sin()sin()0aaaa，则47sin()sin(3)1aad，公差

1,0d，3(0,3)d，32,2dkkz，则3,26dd，而21()22nddSnan，当且仅当9n时，数列na的前n项和nS取得最大值，则128.59.522dad，把6d代入后解不等式14

332a，选A.【点睛】本题为三角函数式恒等变形与等差数列综合题，利用两角和差的三角函数公式简化已知条件，转化为三角方程，利用题目所提供的范围求出等差数列的公差，由于等差数列前n项和有最大值，则

首项为正，公差为负，根据nS是关于n的二次函数，图象为开口向下的抛物线上的点，当且仅当9n时，数列na的前n项和nS取得最大值，说明对称轴介于（8.5，9.5），解不等式后得出答案.第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：本大题共4小题，每

小题5分13.不等式11x的解集为____________________.（用区间表示）【答案】,01,【解析】【分析】将不等式变形为10xx，解该不等式即可.【详解】由11x得10xx

，解得0x或1x，因此，不等式11x的解集为-8-,01,.故答案为：,01,.【点睛】本题考查分式不等式的求解，考查运算求解能力，属于基础题.14.若数列是正项数列，

且2*123,(),naaannnN则12231naaan＝__________．【答案】【解析】试题分析：令1n，得114,16aa，当2n时，2121131naaann

，与已知式相减，得22nan，241,1nann时，1a适合na，241nan，441nann212844262312nnnaaannn．考点：数列的求和15.船在岛A的正南方向的B处,以4/kmh的速度向正北方向航行,10A

Bkm,同时乙船自岛A出发以6/kmh的速度向北偏东60°的方向驶去,当甲､乙两船相距最近时,它们所航行的时间为________.【答案】5h14【解析】【分析】如图,当两船航行ht后,甲船到D处,乙船到C处,由余弦定理得22567528147CDt

，即得解.【详解】如图,当两船航行ht后,甲船到D处,乙船到C处,则104ADt,6ACt,120CAD,-9-所以2222215675(6)(104)26(104)2820100282147CDttttttt∴当5h14

t时,2CD最小,即两船最近.故答案为：5h14【点睛】本题主要考查余弦定理的实际应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.16.在ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若ABC的面积为S，且222Sabc

，则tanC等于__________.【答案】43【解析】【分析】利用余弦定理和三角形的面积公式得出关于sinC和cosC的等式，结合22sincos1CC建立方程组解出sinC和cosC的值，由此可计算出tanC的值.【详解】2222222Sabcabcab

，由三角形的面积公式和余弦定理得sin2cos2abCabCab，得sin2cos2CC，0C，sin0C，由题意可得22sin2cos2sincos1sin0CCCCC，解得4sin53cos5CC，因此，sin4tancos3C

CC.故答案为：43.-10-【点睛】本题考查利用三角形的面积公式和余弦定理求角，解答的关键就是建立有关sinC和cosC的方程组，利用方程思想求解，考查运算求解能力，属于中等题.三、解答题：（本大题共6小题，共70分.解答应写出

文字说明、证明过程或演算步骤.）17.已知公差不为零的等差数列{}na中，11a，且139,,aaa成等比数列.（1）求数列{}na的通项公式；（2）设2nanbn，求数列{}nb的前n项和nS.【答案】(1)nan;(2)1(1)222nnnnS.【解析】试题分析：设等差数列的

公差，利用首项和公差表示数列的项，利已知三项成等比列方程求出公差，写出等差数列的通项公式，根据2nanbn，求出数列nb的通项公式，由于适合使用分组求和，所以利用分组求和法求出数列的前n项的和，注意利用等差数列和等比数列的前n项和公式的使用.试题解析：（1）设数列na公差为d

139,,aaa成等比数列2319aaa212118dd0d（舍）或1dnan.（2）令22nannbnn123nnSbbbb1232122232nn

12322221232121122nnnnn11222nnn-11-11222nnnnS.【点睛】本题是等差数列与等比数列及数列求和综合题，设等差数

列的公差，利用首项和公差表示数列的项，利已知三项成等比列方程求出公差，写出等差数列的通项公式，根据2nanbn，求出数列nb的通项公式，由于适合使用分组求和，所以利用分组求和法求出数列的前n项的和，

注意利用等差数列和等比数列的前n项和公式的使用.18.在ABC中，内角,,ABC所对的边分别为,,abc，已知ABC面积为315，5bc，1cos4A.(1)求a的值；(2)求cos26A的值.【答案】(1)85a;(2)157316.【解析】试题分析：(1)通过

三角形的面积以及已知条件求出b，c，利用余弦定理求a的值;(2)利用两角和的余弦函数化简cos26A，然后直接求解即可．.试题解析：(1)在ABC中，由1cos4A，可得，15s

in4A，又因为315ABCS，所以1sin3152bcA，即24bc.又5bc，解得8b，3c.由2222cos85abcbcA，得85a.(2)因为27cos22cos18

AA，15sin22sincos8AAA，所以cos2cos2cossin2sin666AAA-12-731511573828216.19.已知在ABC中，角,,ABC的对边分别为,,abc,且coscos2

3sin3sinBCAbcC.（1）求b的值；（2）若cos3sin2BB,求ac的取值范围.【答案】（1）32b（2）3,32ac【解析】试题分析：（1）本问考查解三角形中的的“边角互化”.由于求b的值，所以可以考虑到根据余弦定理将

cos,cosBC分别用边表示，再根据正弦定理可以将sinsinAC转化为ac，于是可以求出b的值；（2）首先根据sin3cos2BB求出角B的值，根据第（1）问得到的b值，可以运用正弦定理求出ABC外接圆半径R，于是可以将ac转化为2sin2si

nRARC，又因为角B的值已经得到，所以将2sin2sinRARC转化为关于A的正弦型函数表达式，这样就可求出取值范围；另外本问也可以在求出角B的值后，应用余弦定理及重要不等式222acac，求出ac的最大值，当然，此时还要注意到三角形两边之

和大于第三边这一条件.试题解析：（1）由coscos23sin3sinBCAbcC，应用余弦定理，可得22222223223acbabcaabcabcc化简得23b则32b（2）cos3sin2BB13cossin122BB即

sin16B-13-0,B62B所以3B法一.21sinbRB,则sinsinacAC=2sinsin3AA=33sincos22AA=3sin6A又20,3A332ac

法二因为32b由余弦定理2222cosbacacB得2334acac，又因为22acac，当且仅当ac时“”成立.所以2334acac222324acacac3ac又由三边关系定理可知3

2acb综上3,32ac20.已知数列1nnaa是一个以2为首项，2为公比的等比数列，且11a（1）求数列na的通项公式；（2）设1nnba，1212231...nnnnaaa

Sbbbbbb，求nS；-14-（3）若对任意*nN，有2823nmSm恒成立，求实数m的取值范围．【答案】（1）2nna；（2）11121nnS；（3）1,14.【

解析】【分析】（1）求出数列1nnaa的通项公式，然后利用累加法可求得数列na的通项公式；（2）求得11112121nnnnnabb，然后利用裂项相消法可求得nS；（3）求出数列nS的最

小值，可得出关于实数m的不等式，解出该不等式即可得出实数m的取值范围.【详解】（1）数列1nnaa是首项、公比均为2的等比数列，12nnnaa，故11211213212122222212nnnnnaaaaaa

aa2n.所以，数列na的通项公式为2nna；（2）2nna，121nnnba，11121121212121nnnnnnnnabb，因此，122311111111112121212121

2121nnnnS；（3）因11121nnS，所以数列nS单调递增，即nS的最小值为123S，由于对任意*nN，有2823nmSm恒成立，则282233mm，整理得2431mm，解

得114m.因此，实数m的取值范围是1,14．【点睛】本题考查利用累加法求数列通项，同时也考查了裂项求和法以及数列不等式恒成立-15-问题的求解，考查计算能力，属于中等题.21.在ABC中，内角

A、B、C所对的边分别是a、b、c，不等式23cos2sin02xCxC对一切实数x恒成立.（1）求cosC的取值范围；（2）当C取最大值，且ABC的周长为9时，求ABC面积的最大值，并指出面积取

最大值时ABC的形状．（参考知识：已知a、bR，222abab；a、bR，2abab）【答案】（1）1,12；（2）ABC面积的最大值为934，此时ABC为等边三角形.【解析】【分析】（1）分cos0C和cos0C两种情况讨论，在cos0C时检

验即可，在cos0C时，可得出cos00C，由此可求得cosC的取值范围；（2）由（1）知3C，利用余弦定理结合基本不等式可求得ab的最大值，利用等号成立的条件判断ABC的形状，利用三角形的面积公式可求得ABC面积的最大值.【详解】

（1）0C，则sin0C.当cos0C时，sin1C，原不等式即为3202x对一切实数x不恒成立；当cos0C时，应有2cos04sin6cos0CCC，2cos02cos3cos20CCC

解得1cos2C或cos2C（舍去）.0C，则1cos1C，所以，1cos12C，因此，cosC的取值范围是1,12；（2）0C，1cos12C，C的最大值为3.由余弦定理得222222coscab

abCabab，-16-由基本不等式可得229223abcababababababab，9ab（当且仅当ab时，等号成立）.ABC的面积为193sin234ABCSabV（当且仅当ab时，等号成立）.此时，ABC面积的最大值为9

34，ABC为等边三角形.【点睛】本题考查利用变系数的二次不等式恒成立求参数的取值范围，同时也考查了三角形面积最值的计算，涉及余弦定理和基本不等式的应用，考查计算能力，属于中等题.22.已知数列{}na的前n项和为nS，11a，且+12(N)nnnaSn*，数列{}nb满足11

2b，214b，对任意*Nn,都有212nnnbbb.（1）求数列{}na、{}nb的通项公式；（2）令1122...nnnTababab.若对任意的*Nn，不等式22(3)nnnnnTbSnb恒成立，试求实数的取值范围.【答案】（1）

nan，12nnb；（2）[1,).【解析】【分析】（1）利用11,1,2nnnSnaSSn，结合累乘法，求得数列{}na的通项公式.根据已知条件判断出数列nb是等比数列，由此求得数列nb的通项公式.（2）利用错位相减求和法求得nT，利用差

比较法证得nT是递增数列，由此求得nT的取值范围.化简不等式223nnnnnTbSnb，得2*(1)(12)60Nnnn恒成立.构造函数2*()(1)(12)6Nfnnnn，对进行分类讨论，结合二次函数的性质，求得的取值范围.【详解

】（1）∵12nnnaS∴+1=2nnnaS，*Nn-17-当2n时，11122nnnnnnanaaSS∴1(1)nnnana，即1(2)1nnannan∴1321122112321(2)12321nnnnnaaaannnaanna

aaannn又11a,也满足上式，故数列{}na的通项公式(N)nann*由212nnnbbb，知数列{}nb是等比数列，其首项为12、公比为2112aaq，∴数列{}nb的通项公式12nnb（2）∵2

111112(1)2222nnnTnn①∴231111112(1)22222nnnTnn②由①②，得2311

111111212222222nnnnnTn1111-1221212nnn∴222nnnT∵22nn>0，∴2222

nnnT又1111322(2)(3)12222nnnnnnnnnnnTT恒正.故nT是递增数列，112nTT∴122nT又(1)1232nnnSn.不等式223nnnnnTbSnb，-18-

即2(1)322222nnnnnnnn，即2*(1)(12)60Nnnn恒成立.设2*()(1)(12)6Nfnnnn，当1

时，()60fnn恒成立，则1满足条件；当1时，由二次函数性质知不恒成立；当1时，由于对称轴1201x则()fn在[1,)上单调递减，()(1)340fnf恒成立，则1

满足条件，综上所述，实数的取值范围是[1,).【点睛】本小题主要考查根据递推关系求数列的通项公式，考查累乘法求数列通项公式，考查等比数列的识别，考查等比数列通项公式，考查错位相减求和法，考查数列不等式恒成

立问题的求解，考查分类讨论的数学思想方法，属于难题.-19-