【文档说明】上海市上海中学东校2021-2022学年高一下学期期末数学试题 含解析.docx，共(14)页，902.076 KB，由小赞的店铺上传

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上海市上海中学东校2021-2022学年高一下期末数学试卷一、填空题（本大题满分36分，本大题共有12题）1.已知是第四象限角，(,4)Px−是角终边上的一个点，若3cos5=，则x=______．【答案】3【解析】【分析】根据三角函数的定义求解即可.【详解】解：由题意可得0x，且23co

s516xx==+，解得3x=.故答案为：3.2.在等差数列{}na中，11a=，公差2d=，则7a=_______．【答案】13【解析】【分析】根据等差数列的通项即可得解.【详解】解：因为11a=，公差2d=

，所以17613aad=+=.故答案为：13.3.函数()3sin26fxx=−的最小正周期为___________.【答案】【解析】【分析】直接应用正弦型最小正周期公式进行求解即可.【详解】函数()3sin26f

xx=−的最小正周期22T==.故答案为：4.已知(1,3),(4,8)ab==−，则b在a方向上的数量投影为_______．【答案】210【解析】【分析】根据投影定义求解即可.【详解】解：由(1,3)

,(4,8)ab==−，得10,45,20abab===，所以b在a方向上的数量投影为210aba=.故答案为：210.5.若﹣1，x，y，z，﹣9（x､y､Rz）是等比数列，则实数y=___________.【答

案】-3【解析】【分析】由等比数列的性质直接计算即可得出结果.【详解】﹣1，x，y，z，﹣9（x､y､Rz）是等比数列，()()219xzy−−==.解得：3=y.又2xy=−，0y，则=3y−.故答案

为：3−6.已知数列na是公比为q的无穷等比数列，且()121lim2nnaaa→+++=，则12aq+=___．【答案】1【解析】【分析】由无穷等比数列极限的求法可直接构造等式，整理即可得到结果.【详解】()1121li

m12nnaaaaq→+++==−，121aq=−，即121aq+=.故答案为：1.7.已知平面向量a，b，满足1a=，1=b，且a，b的夹角为π3，则2ab+=________．【答案】7【解析】

【分析】首先根据数量积的定义求出ab，再根据()222abab+=+及数量积的运算律计算可得；的【详解】解：因为1a=，1=b，且a，b的夹角为π3，所以11cos11322abab===，所以()2222244ab

abaabb+=+=++2244aabb=++221414172=++=故答案为：78.利用数学归纳法证明不等式1111()2321nfn++++−（2n，*nN）的过程中，由nk=到1nk=+时，左边增加了________项；【答案】2k【解析】【分

析】根据数学归纳法的知识，判断出增加的项数.【详解】当nk=时，不等式左边为11112321k++++−；当1nk=+时，不等式坐标为11111111232122121kkkk+++++++++−+−；故增加的项数为()121212222kkkkk+−−−=−=.故答案为

：2k【点睛】本小题主要考查数学归纳法的知识，考查分析、思考与解决问题的能力，属于基础题.9.在ABC中，“AB=”是“sin2sin2AB=”的_____条件．【答案】充分不必要【解析】【分析】在ABC中，先化简sin2sin2AB=，再根据充分、必要条件的定义判断即可

.【详解】在ABC中，由sin2sin2AB=，可得22AB=或22AB+=，即AB=或2AB+=，所以“AB=”是“sin2sin2AB=”的充分不必要条件.故答案为：充分不必要.10.已知{}na和{}nb均为等差数列，若23456,9abab

=+=+，则67ab+的值是____．【答案】12【解析】【分析】设数列{}na和{}nb的公差分别为12,dd，根据题意可求得12dd+，再根据等差数列的通项即可得解.【详解】解：设数列{}na和{}nb的公差分别为12,dd，由23456,9abab=+=+，得12223dd+=，所以6

147251222babadd+=++=+.故答案：12.11.已知点G是ABC的重心，过点G作直线与,ABAC两边分别交于M、N两点，且,,0,0AMmABANnACmn==，则35mn+的最小值是_____．【答案】82153+【解析】【分析】延长AG交BC于点D，则点D为BC

的中点，且23AGAD=，将AG用,AMAN表示，再根据,,MNG三点共线，可得,mn的等量关系，再利用等量代换结合基本不等式即可得解.【详解】解：延长AG交BC于点D，则点D为BC的中点，且23AGAD=，故()()22113323

AGADABACABAC==+=+，又因为,,0,0AMmABANnACmn==，所以111333AMANAGAMANmnmn=+=+，因为,,MNG三点共线，所以11313mn+=，则()858582153535

2333331133nmnmmnmnmnmnmn++=+=+++=+，为当且仅当53nmmn=，即155315,159nm++==时，取等号，所以35mn+的最小值是82153+.故答案为：82153

+.12.已知数列{}na满足11(1)31nnnaan+++−=−，nS是数列{}na的前n项和，则20251aa−=______．【答案】6072【解析】【分析】分n为奇数和偶数两种情况讨论，即当*2,Nnkk=时

，有21261kkaak+−=−，232265kkaak++−=+，当*21,Nnkk=−时，有22164kkaak−+=−，222162kkaak+++=+，从而可得232112kkaa+−−=，即可得出答案.【详解】解：由11(1)31nnnaan+++−=−，当*2,

Nnkk=时，有21261kkaak+−=−，232265kkaak++−=+，当*21,Nnkk=−时，有22164kkaak−+=−，222162kkaak+++=+，所以2223kkaa++

=，2121125kkaak+−=+−，2321127kkaak+++=+，作差可得232112kkaa+−−=，所以()()()20252025202120212017201720131112506aaaaaaaaa=+++=−−−++，所以202516072aa−=.故答案：6

072.为二、选择题（本大题满分16分，本大题共有4题）13.下列结论中，正确的是（）A零向量只有大小没有方向B.||||ABBA=C.对任一向量a，||0a总是成立的D.||AB与线段BA的长度不相等【答案】B【解析】【分析】根据平面向量的概念

，逐一判断即可得出答案．【详解】既有大小又有方向的量叫向量，则零向量既有大小又有方向，故A错误；由于AB与BA方向相反，长度相等，故B正确；因为零向量的模为0，故C错误；||AB与线段BA的长度相等，故D错

误．故选：B．14.函数()()sinfxAx=+，（其中0A，0，2）其图象如图所示，为了得到()cosgxAx=−的图象，可以将()fx的图象（）A.向右平移12个单位长度B.向右平移512个单位长度C.向左平移12个

单位长度D.向左平移512个单位长度【答案】B【解析】【分析】根据函数所过的特殊点和正弦最小正周期公式，结合诱导公式和正弦型函数的变换性质进行判断即可.【详解】由函数图象可知：1A=，函数过7(,0),(,1)312−两点，设()()sinfxAx=+的最小正周.期为

T，因为0，所以有2T=，而741234TT=−==，因此2=，即()()sin2fxx=+，因03f=，所以()22sin0()33fxkkZ=+=+=，因为2，所以1k=，即3=，因此()sin2sin[

2()]36fxxx=+=+，而()coscos2sin(2)sin[2()]24gxAxxxx=−=−=−=−，而()5sin2sin[2()]3124fxxx=+=+−，因此该函数向右平移512个单位长度得到函数()gx的图象，故选

：B15.某病毒研究所为了更好地研究“新冠”病毒，计划改建十个实验室，每个实验室的改建费用分为装修费和设备费，每个实验室的装修费都一样，设备费从第一到第十实验室依次构成等比数列，已知第五实验室比第二实验室的改建费用高28万元，第七实验室比第四实验室的改建费用高112万元，并要

求每个实验室改建费用不能超过1100万元.则该研究所改建这十个实验室投入的总费用最多需要（）A.2806万元B.2906万元C.3106万元D.3206万元【答案】A【解析】【分析】设每个实验室的装修费用

为x，设备费为na，依据题意可得527428112aaaa−=−=，联立求解可得1,aq的值，根据每个实验室的改建费用不能超过1100万元，可求解x取值范围，再利用等比数列的求和公式可求解总费用，即得解.【详解】设每个实验室的装修费用为x万元，设备费为na万元(1,2,3

,,10)n=，则5228aa−=，且74112aa−=，解得12aq==，故101024a=.依题意，10241100x+„，即76x„，所以，总费用为：()1012102121010102046280612xaaaxx−++++=+=

+−„.故选：A.为16.数列{}na满足154a=，211nnnaaa+=−+，*nN，则122022111aaa+++的整数部分是（）A.1B.2C.3D.4【答案】C【解析】【分析】先根据数列的递推公式，利用裂项相消法求和即可

得到1220222023111141aaaa+++=−−，再先判断111nnaaa−，通过计算可判断出20232a，即可求出结果.【详解】因为数列na满足154a=，211nnnaaa+=−+，所以()111nnnaaa+−=−，即()11111111nnnnnaaaa

a+==−−−−，所以111111nnnaaa+=−−−，所以1220221223202220232023111111111141111111aaaaaaaaaa+++=−+−++−=−−−−−−−−，又因为()2212101n

nnnnaaaaa+−+=−=−，即1nnaa+，所以111nnaaa−，所以111110111nnaaa−−−−，154a=，22116a=，3361256a=，410344165536a=，51.91a，62.742a，202362aa

，即202311a−，20231011a−，()2023143,41a−−，因此122022111aaa+++的整数部分是3.故选：C.三、解答题（本大题满分48分，本大题共有5题）17.已知1tan2=−，求下列各式的

值：（1）cossinsin3cos+−；（2）2sinsin212coscos2+++．【答案】（1）17−（2）12−【解析】【分析】（1）直接利用同角三角函数的基本关系求解即可；（2）先利用二倍角公式化简，然后计算即可.【小问1详解】11cossin1ta

n121sin3costan3732−++===−−−−−【小问2详解】22sinsin22sin2sincos2sin(1cos)1tan12coscos212cos2cos12cos(1cos)2+++====−++++−+18.已知

向量()1,2a=，()3,2b=−．（1）求ab；（2）若向量ab+与−akb互相垂直，求k的值．【答案】（1）1（2）37【解析】【分析】（1）根据平面向量数量积的定义计算即可；（2）根据平面向量垂直的性质可得到()()0abakb+−=，计算即可求解.【小

问1详解】由()1,2a=，()3,2b=−，()1322341ab=−+=−+=.【小问2详解】若向量ab+与−akb互相垂直，则22()()(1)51310abakbakbkabkk+−=−+−=−+−=，所以37k=

．19.已知数列1221,2,5,43.++===−nnnnaaaaaa（1）令1nnnbaa+=−，求证：数列{}nb是等比数列；（2）若nncnb=，求数列{}nc的前n项和nS．【答案】（1）见

解析（2）11133244nnSn+=−+【解析】【分析】（1）根据递推公式证明2113nnnnaaaa+++−−为定值即可；（2）利用错位相减法求解即可.【小问1详解】证明：因为2143nnnaaa++=−，所以()2113nnnna

aaa+++−=−，即13nnbb+=，又1213baa−==，所以数列{}nb是以3为首项，3为公比的等比数列；【小问2详解】解：由（1）得11333nnnnaa+−−==，3nnncnbn==，则23323333nnSn=++++，23413323333

nnSn+=++++，两式相减得()2311131313233333331322nnnnnnSnnn+++−−=++++−=−=−−−，所以11133244nnSn+=−+．20.如图，现要在一块半径为1m，

圆心角为π3的扇形白铁片AOB上剪出一个平行四边形MNPQ，使点P在圆弧AB上，点Q在OA上，点,MN在OB上，设BOP=，平行四边形MNPQ的面积为S.（1）求S关于的函数关系式；（2）求S的最大值及相应的角．【答案】（1）13πsin2cos2,(0,)263S=+

（2）S的最大值为23m6，此时6=【解析】【分析】（1）分别过,PQ作PDOB⊥于D，QEOB⊥于E，则四边形QEDP为矩形,则MNQPED==,直接利用平行四边形的面积公式求解即可.（2）利用辅助角公式恒等变形求其最值即可.【小问1详解

】分别过,PQ作PDOB⊥于D，QEOB⊥于E，则四边形QEDP为矩形．由扇形半径为1m，得sinPD=，cosOD=.在Rt△OEQ中，3333OEQEPD==,3cossin3MNQPEDODOE===−=−,233(cos

sin)sinsincossin33SMNPD==−=−13sin2cos226=+，π(0,)3.【小问2详解】由（1）得1333π3sin2cos2sin(2)266366S=+−=+−.∵π(0,)3，∴ππ5π2(,

)666+，∴π1sin(2)(,1]62+当π6=时，2max3m6S=.21.已知数列{}na的前n项和为21122nSnn=+．（1）求数列{}na的通项公式；（2）设1nnba=，nT为数列{}nb的前n项和．试问：是否存在关于

n的整式()gn，使得121(1)()nnTTTTgn++++=−恒成立（其中Nn且1n），若存在，写出()gn的解析式，并加以证明；若不存在，说明理由．【答案】（1）nan=（2）答案见解析【解析】【分析】（1）由1n=时，111aS

==，2n时，1nnnaSS−=−即可求得na；（2）由题意可得111123nTn=++++，则11(1)1nnTTnn+−=+，可得1(1)1nnnnTnTT++−=+，然后用累加法求得1231(1)(1)nnTTTTnT+++++=+−，即可得出

答案．【小问1详解】当1n=时，111aS==，当2n时，2211111[(1)(1)]2222nnnaSSnnnnn−=−=+−−+−=，当1n=时，也适合上式，所以nan=；【小问2详解】1nbn=，111123nTn=++++，其中11T=则11

(1)1nnTTnn+−=+，即1(1)(1)1nnnTnT++−+=，所以1(1)1nnnnTnTT++−=+，由1(1)1nnnnTnTT++−=+，11(1)1nnnnTnTT−−−−=+，L，21

121TTT−=+，累加得11123(1)nnnTTTTTTn++−=+++++，所以12311(1)(1)(1)(1)nnnTTTTnTnnT++++++=+−+=+−，则()1gnn=+，故存在关于n的整式()

1gxn=+满足题意．