【文档说明】河南省开封市2021-2022学年高一上学期期末数学试题 含解析.docx，共(17)页，999.812 KB，由小赞的店铺上传

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开封市2021-2022学年度第一学期期末调研考试高一数学试题一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合|3213Axx=−−，|21,BxxkkZ==+，则AB=（）A.|12xx−B.|12

xx−C.1,1−D.1,0,1−【答案】C【解析】【分析】利用集合的交集运算求解.【详解】因为集合|3213|12Axxxx=−−=−，|21,BxxkkZ==+，所以AB=1,1−

，故选：C2.命题“xR，||0xx+”的否定是（）A.xR，||0xx+B.xR，||0xx+C.xR，||0xx+D.xR，||0xx+【答案】D【解析】【分析】利用含有一个量词命题否定的定义求解.【详解】因为命题

“xR，||0xx+”是全称量词命题，所以其否定是存在量词命题，即xR，||0xx+，故选；D3.设a，bR，则“ab”是“11ba”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】D【解析】【分析】分别取特殊值验证充分性和必要性不满足，即

可得到答案.的【详解】充分性：取1,1ab==−，满足“ab”，但是“11ba”不成立，即充分性不满足；必要性：取1,1ab=−=，满足“11ba”，但是“ab”不成立，即必要性不满足；所以“ab”是“11ba”的既不充

分也不必要条件.故选：D4.方程3lgxx=−的解所在的区间为（）A.()0,1B.()1,2C.()2,3D.()3,4【答案】C【解析】【分析】将方程转化为函数()lg3fxxx=+−的零点问题，根据函数单调性判

断零点所处区间即可.【详解】函数()lg3fxxx=+−在(0,)+上单增，由(2)lg210f=−，(3)lg30f=知，函数()0fx=的根处在(2,3)里，故选：C5.下列四组函数中，表示同一函数的一组是（）A.2yx=，()2yx=B.lg10xy=，lg

10xy=C.2yx=，63yx=D.0y=，11yxx=−+−【答案】C【解析】【分析】分析每个选项中两个函数的定义域，并化简函数解析式，利用函数相等的概念可得出合适的选项.【详解】对于A选项，函数2yx=的定义域为R，函数()2yx=的定义域为)0,+，A选项中的两个函数不相等；对

于B选项，函数lg10xy=的定义域为R，函数lg10xy=的定义域为()0,+，B选项中的两个函数不相等；对于C选项，函数2yx=、63yx=的定义域均为R，且362yxx==，C选项中的两个函数相等；对于D选项，对于

函数11yxx=−+−，有1010xx−−，解得1x=，所以，函数0y=的定义域为R，函数11yxx=−+−的定义域为1，D选项中的两个函数不相等.故选：C.6.已知x，y都是正数，则下列命题为真命

题的是（）A.如果积xy等于定值P，那么当xy=时，和xy+有最大值2PB.如果和xy+等于定值S，那么当xy=时，积xy有最小值214SC.如果积xy等于定值P，那么当xy=时，和2xy+有最小值22PD.如果和2xy+等于定值S，那么当2xy=时，积xy

有最大值218S【答案】D【解析】【分析】根据基本不等式计算求出和的最小值与积的最大值，进而依次判断选项即可.【详解】由题意知，00，xy，A：xyP=，则22xyxyP+=，当且仅当xy=时取到等号，所以xy+有最小值2P，故A错误；B：xyS+=，则221()24xyxy

S+=，当且仅当xy=时取到等号，所以xy有最大值214S，故B错误；C：xyP=，则22222xyxyP+=，当且仅当2xy=时取到等号，所以2xy+有最小值22P，故C错误；D：2xyS+=，则22212(

)24xyxyS+=，有218xyS，当且仅当2xy=时取到等号，所以xy有最大值218S，故D正确；故选：D7.下列函数中，既是奇函数，又是增函数是（）①1yx=−；②||yx=；③||yxx=；④3yxx=+

．A.①②B.①④C.②③D.③④【答案】D【解析】【分析】对每个函数解析式进行分析，判断奇偶性及单调性即可.的【详解】对于①，1yx=−，奇函数，在(,0)−和(0,)+上分别单增，不满足条件；对于②，yx=，偶函数，不满足条件；对于③

，22,0,0xxyxxxx==−，奇函数，在R上单增，符合题意；对于④，3yxx=+，奇函数，在R上单增，符合题意；故选：D8.已知102a，log2ax=，12ay=，12za=，则x，y，z的大小关系是（）A.zyxB.xzyC.zxyD.xyz【

答案】B【解析】【分析】根据题意不妨设14a=，利用对数的运算性质化简x，利用指数函数的单调性求出y的取值范围，利用指数幂的运算求出z，进而得出结果.【详解】由102a，不妨设14a=，则21241log2log2log202ax−====−，1141111()()()2

222ay===，112211()42za===，所以xzy，故选：B9.函数()()sinfxx=+（0，0）在一个周期内的图象如图所示，为了得到正弦曲线，只需把()fx图象上所有的点（）A.

向左平移3个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变B.向右平移3个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变C.向左平移23个单位长度，再把所

得图象上所有点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变D.向右平移23个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变【答案】B【解析】【分析】先利用图像求出函数的解析式，在对四个选项，利用图像变换一一验证即可.【详解】由图像可知：5212122T=−

−=，所以T=,所以2=，解得：2=.所以()()sin2fxx=+.又图像经过,112−，所以2620k−+=+，解得：23=，所以()2sin23fxx=+对于

A：把()fx图象上所有的点向左平移3个单位长度，得到()4sin23fxx=+，再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变得到()4sin43fxx=+.故A错误；对于B：把()fx图象上所有的点向右平移3

个单位长度，得到()()sin2fxx=，再把所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变()sinfxx=.故B正确；对于C：把()fx图象上所有的点向左平移23个单位长度，得到()()sin22sin2fxxx=+=，再把所得图象上所有点

的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变()sin4fxx=.故C错误；对于D：把()fx图象上所有的点向右平移23个单位长度，得到()2sin23fxx=−，再把所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变得到()2sin3fxx=−

.故D错误；故选：B10.关于x的不等式()2210axaxa−++的解集为12|xxxx，且211xx−=，则22aa−+=（）A.3B.32C.2D.23【答案】A【解析】【分析】根据一元二次不等式与解集之间的关系可得121xxaa+=+、121=xx，结合22112122(())

4xxxxxx−=+−计算即可.【详解】由不等式22(1)0axaxa−++的解集为12{}xxxx，得0a，不等式对应的一元二次方程为22(1)0axaxa−++=，方程的解为12xx、，由韦达定理，得21211axxaaa++==

+，121=xx，因为211xx−=，所以22211212()()41xxxxxx−=+−=，即21()41aa+−=，整理，得223aa−+=.故选：A11.已知函数()sinsin3fxxx=−，0,2x，则()fx的

值域为（）A.11,24−B.10,4C.1,02−D.11,42−【答案】A【解析】【分析】根据两角和的正弦公式、二倍角公式和辅助角公式化简可得11()sin(2)264fxx=+−，结合[0,]2x和正弦函数的单调性即可求出函

数的最大值和最小值.【详解】由题意知，()sin()sin3fxxx=−31(cossin)sin22xxx=−231sincossin22xxx=−311sin2cos2444xx=+−11sin(2)264x=+−，由[0,]2x，得

72[,]666x+，又函数sinyx=在(0,)2上单调递增，在3(,)22上单调递减，令26x=+，所以函数()fx=11sin24−在[,)62上单调递增，在7(,]26上单调递减，有111711sin

0sin2642642−=−=−，，111sin2244−=所以maxmin11()()42fxfx==−，，故()fx的值域为11[,]24−.故选：A12.中国茶文化博大精深，某同学在茶艺选修课中

了解到，茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关，某种绿茶用80℃左右的水泡制可使茶汤清澈明亮，营养也较少破坏.为了方便控制水温，该同学联想到牛顿提出的物体在常温环境下温度变化的冷却模型：如果物体的初始温度是1℃，环境温度是0℃

，则经过t分钟后物体的温度℃将满足()010ekt−=+−，其中k是一个随着物体与空气的接触状况而定的正常数.该同学通过多次测量平均值的方法得到初始温度为100℃的水在20℃的室温中，12分钟以后温度下降到50℃.则在上述条件下，100℃的水应大约冷却()分钟冲泡该绿茶(

参考数据：ln20.7，ln31.1)A.3B.3.6C.4D.4.8【答案】B【解析】【分析】根据题意求出k的值，再将θ＝80℃，1＝100℃，0＝20℃代入()010ekt−=+−即可求得t的值.【详解】由题可知

：()()112121233502010020eee88kkk−−−=+−==，冲泡绿茶时水温为80℃，故()()33802010020eelneln44tktkkt−−−=+−==()()1123ln12ln

32ln2121.120.743.6ln33ln21.130.73ln8t−−===−−.故选：B.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.函数()21xfxx−=−的定义域为______.【答案】|2xx且

1x【解析】【分析】由根式函数和分式函数的定义域求解.【详解】由2010xx−−，解得2x且1x，所以函数()21xfxx−=−的定义域为|2xx且1x故答案为：|2xx且1x14.已知函数2log,0()

2,0xxxfxx=，则((1))ff−的值是________【答案】-1【解析】【分析】利用分段函数的解析式，代入即可求解.【详解】解：因为2log,0()2,0xxxfxx=，则1((1))()12fff−==−.故答案为：-115.若lga（0a）与lgb（

0b）互为相反数，则11ab+的最小值为______.【答案】2【解析】【分析】有题设得到1ab=，利用基本不等式求得最小值.【详解】由题知，lglgab=−，则1ab=，,0ab，则1112babb+=+，当且仅当1ab==时等号成立，故

答案为：216.已知函数()1fxx=+，()2(1)gxx=−，对xR，用()Mx表示()fx，()gx中的较大者，记为()()()max,Mxfxgx=，则()Mx的最小值为______.【答案】1【解析】【分析】作出函数()()()max,Mxfxgx=的图象，结合图

象即可得()Mx的最小值.【详解】如图，在同一直角坐标系中分别作出函数()1fxx=+和()2(1)gxx=−的图象，因为对xR，()()()max,Mxfxgx=，故函数()Mx图象如图所示：的由图可知，当0x=时，函数()Mx取

得最小值1.故答案为：1.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.已知集合3Axx=，2560Bxxx=−+.（1）求AB，()RABð；（2）若1Cxmxm=

+，且BC，求实数m的取值范围.【答案】（1）3ABxx=，()23RABxx=ð（2）2mm【解析】【分析】（1）解出集合B，利用并集、补集以及交集的定义可求得结果；（2）由已知条件可得出关于m的不等式，即可解

得实数m的取值范围.【小问1详解】解：因为3Axx=，25602Bxxxxx=−+=或3x，所以3ABxx=，23RBxx=ð，()23RABxx=ð.【小问2详解】解：因为BC，所以2m或13m+，

解得2m或m>2，所以m的取值范围为2mm.18.如图，在平面直角坐标系xOy中，角的始边与x轴的非负半轴重合，终边在第二象限且与单位圆O相交于点A，过点A作x轴的垂线，垂足为点B，35OB=.（1）求tan的值；（2）求()()sin5coscos2−++−

的值.【答案】（1）43−（2）47【解析】【分析】（1）由三角函数的定义可得出cos的值，再结合同角三角函数的基本关系可求得tan的值；（2）利用诱导公式结合弦化切可求得结果.【小问1详解】解：由题意可知点A的横坐标为35-，则3cos5=−，因为为第二象限角

，则24sin1cos5=-=，故sintans43co==−.【小问2详解】解：()()74sinsin345cotassin1coscosnt24an13==−−−

−==+−−++−.19.溶液酸碱度是通过pH计量的.pH的计算公式为pHlgH+=−，其中H+表示溶液中氢离子的浓度，单位是摩尔/升.（1）根据对数函数性质及上述pH的计算公式，说明溶液酸碱度与溶液中氢离子的浓度之间的变化关系；（2）已知胃酸中氢离子的浓度为2H

2.510+−=摩尔/升，计算胃酸的pH.（精确到0.001）（参考数据：lg20.301）【答案】（1）溶液中氢离子的浓度越大，溶液的酸性就越强（2）1.602【解析】【分析】（1）根据复合函数的单调性判断说明；（2）

由已知公式计算．【小问1详解】根据对数的运算性质，有pHlgH+=−1lgH−+=1lgH+=.在()0,+上，随着H+的增大，1H+减小，相应地，1lgH+也减小，即pH减小，所以，随着H+的增大，pH减小，即溶液中氢离

子浓度越大，溶液的酸性就越强.【小问2详解】当H+22.510−=时，2pHlg2.510−=−2lg211.602=+.20.已知函数()sin2fxAx=（0A）在同一半周期内的图象

过点O，P，Q，其中O为坐标原点，P为函数()fx图象的最高点，Q为函数()fx的图象与x轴正半轴的交点，OPQ△为等腰直角三角形.（1）求A的值；（2）将OPQ△绕点O按逆时针方向旋转角（04），得到OPQ，若点P和点Q都恰好落在曲线kyx=（0k）上，求k的值.【答案】

（1）1A=（2）255k=【解析】【分析】（1）根据OPQ△为等腰直角三角形可求解．（2）根据三角函数定义分别得到P、Q的坐标，再代入kyx=中可求解．【小问1详解】由题意可知()fx的周期242T==，所以2OQ=，()1,PA，

的OPQ△为等腰直角三角形，所以1A=.【小问2详解】由（1）可得2OP=，所以2cos,2sin44P++，2OQ=，所以()2cos,2sinQ，点P，Q都落在曲线kyx=（0k）上

，所以可得2cos2sin44k++=，sin22k+=，cos2k=，可得2cos2sink=，sin22k=，由22cos2sin21+=，得2214kk+=，245k

=（0k），所以255k=.21.已知函数()4||fxxx=+.（1）直接写出()fx的单调区间，并选择一个单调区间根据定义进行证明；（2）解不等式()()|sin|1|cos|1fxfx++.【答案】（1）()fx在区间()

,0−，(2,)+上单调递增，在区间()0,2上单调递减，证明见解析（2）|,44xkxkkZ−+【解析】【分析】(1)根据增减函数的定义，利用作差法比较()()12fxfx−与0的大小即可；(2)根据三角函数的性质可得1|sin|1

2x+、1|cos|12x+，利用函数()fx的单调性列出三角不等式，解不等式即可.【小问1详解】()4,04,0xxxfxxxx+=−()fx在区间(),0−，(2,)+上单调递增，在区间()0,2上单调递减.①选区间(),0

−进行证明.1x，()2,0x−，且12xx，有()()12fxfx−121244xxxx=−−−()122144xxxx=−+−()()1212124xxxxxx−=−+()121241xxxx=−+，由120xx，所以

12410xx+，由12xx，所以120xx−，所以()()120fxfx−，()()12fxfx，所以()fx在区间(),0−上单调递增.②选区间()0,2进行证明.1x，()20,2x，且12xx，有()()12fxfx−121244x

xxx=+−+()121244xxxx=−+−()()2112124xxxxxx−=−+()()1212124xxxxxx−−=，由1204xx，120xx−，所以()()120fxfx−，()()12fxfx，所以()fx在区间

()0,2上单调递减.③选区间()2,+进行证明.参考②的证明，()fx在区间()2,+上单调递增.【小问2详解】()()|sin|1|cos|1fxfx++，因1|sin|12x+，1|cos|12x

+，()fx在区间1,2上单调递减，所以|sin|1|cos|1xx++，|sin||cos|xx（cos0x），所以|tan|1x，所求解集为|,44xkxkkZ−+.为22.我们知道，函数()yfx=的图象关于坐标原点成中心对称图形

的充要条件是函数()yfx=为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数()yfx=的图象关于点(),Pmn成中心对称图形的充要条件是函数()yfxmn=+−为奇函数.若函数()fx的图象关于点()1,1对称，且当0,1x时，()222fxxaxa=−+

.（1）求()()02ff+的值；（2）设函数()2xgxx=−.(i)证明函数()gx的图象关于点()2,1-对称；(ii)若对任意()10,2x，总存在()20,2x，使得()()12fxgx=成立，求a的取值范围.【答案】（1）2；（2）(i)证明见解析；(ii)0,1.【解析】

【分析】(1)根据题意∵()11yfx=+−为奇函数，∴()()1111fxfx+−=−−++，令x＝1即可求出()()02ff+；(2)(i)验证()21ygx=++为奇函数即可；(ii))求出()gx在区间()0,2上的值域为A，记()fx在区间()0,2上

的值域为B，则BA.由此问题转化为讨论f(x)的值域B，分0a，01a，1a三种情况讨论即可.【小问1详解】∵()11yfx=+−为奇函数，∴()()1111fxfx+−=−−++，得()()112fxfx++−=，则令1x=，得()()022ff+=.【小问2详解】(i)()21ygx

=++()222xx+=−+1+2x=−，∵2yx=−为奇函数，∴()21ygx=++为奇函数，∴函数()gx的图象关于点()2,1-对称.(ii)()212gxx=−−在区间()0,2上单调递增，∴()gx在区

间()0,2上的值域为()0,+，记()fx在区间()0,2上的值域为B，由对()10,2x，总()20,2x，使得()()12fxgx=成立知()0,B+，①当0a时，()fx在()0,1上单调递增，由对称性知，()fx在()1,2上单调递增，∴()fx在()0,

2上单调递增，只需()020fa=即可，得0a，∴0a=满足题意；②当01a时，()fx在()0,a上单调递减，在(),1a上单调递增，由对称性知，()fx在()1,2a−上单调递增，在()2,2a−上单调递减，∴()fx在()0,a上单调递减，在

(),2aa−上单调递增，在()2,2a−上单调递减，∴()(),2Bfafa=−或()()()2,0Bff=，当01a时，()220faaa=−+，()()220ff=−220a=−，∴01a满足题意；③

当1a时，()fx在()0,1上单调递减，由对称性知，()fx在()1,2上单调递减，∴()fx在()0,2上单调递减，只需()2220fa=−即可，得1a，∴1a=满足题意.综上所述，a的取值范围为0,1.