【文档说明】贵州省贵阳市第一中学2023-2024学年高一下学期教学质量监测卷（三）数学 Word版含解析.docx，共(23)页，1.206 MB，由小赞的店铺上传

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贵阳一中2023级高一年级教学质量监测卷（三）数学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.第Ⅰ卷第1页至第2页，第Ⅱ卷第3页至第4页.考试结束后，请将答题卡交回.满分150分，考试用时120分钟.第Ⅰ卷（选择题，共60分）注意事项：1

.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚.2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效.一、单项选择题（本大题共8小题，每个小题5分，共40分.在每小

题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的）1.若i12i1ia+=−++（Ra，i为虚数单位），则a的值为（）A.1B.3−C.5D.22.设2log3a=，0.3log2b=，0.30.3c=，则三者的大小关系为（）A

.b<c<aB.c<a<bC.abcD.bac3.若aR，则“2a=”是复数“24(2)izaa=−++”为纯虚数的（）A充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.已知mn，是两条不同的直线，，是两个不重合的平面，给出下面

三个结论：①若,,mn∥，则mn；②若,,,mnmn∥∥，则∥；③若mn，是两条异面直线，且,,,mmnn∥∥∥∥，则∥.其中正确结论的序号为A.①②B.①③C.②③D.③5.对任意的()0,x+，2210xmx−+恒成立，则m的取值范围为（）.

A.)1,+B.()1,1−C.(,1−D.(),1−6.ABC中，角,,ABC所对的边分别为,,abc，若()3coscosbcAaC−=，则cosA=（）A.12B.32C.33D.37

.《五曹算经》是我国南北朝时期数学家甄鸾为各级政府的行政人员编撰的一部实用算术书.其第四卷第九题如下：“今有平地聚粟，下周三丈，高四尺，问粟几何？”其意思为“场院内有圆锥形稻谷堆，底面周长3丈，高4尺，那么这堆

稻谷有多少斛？”已知1丈等于10尺，1斛稻谷的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的稻谷约有（）A.60.08斛B.171.24斛C.61.73斛D.185.19斛8.已知ABAC⊥，||ABt=，1||ACt=．若点P是△ABC所在平面内一点，且2||||ABACAPABA

C=+，则PBPC最大值为（）A.13B.522−C.526−D.1022+二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）9.函数()3sin23fxx=−的图象为C，则

以下结论中正确的是（）A.图象C关于直线12x=对称B.图象C关于点2,03对称C.函数()fx在区间5,1212−内是增函数D.6yfx=+是偶函数10

.已知函数()241fxxx=−+，则下列说法正确的是（）A.函数()yfx=在(,2−−上是单调递增B.函数()yfx=在2,0−上是单调递增C.当0x=时，函数()yfx=有最大值D.当2x=−或2x=时，函数()yfx=有最小值11.在给出

的下列命题中，正确的是（）的A.设,,,OABC是同一平面上的四个点，若()()1OAmOBmOCm=+−R，则点,,ABC必共线B.若向量a，b是平面上的两个向量，则平面上的任一向量c都可以表示为(),cab

=+R，且表示方法是唯一的C.若45A=，2a=，22b=，则ABC只有一解D.已知平面向量OA，OB，OC满足OAOBOAOC=，ABACAOABAC=+，则ABC为等边三角形12.()yfx=定义域为R，()2yfx=+为偶函数，()2

1f=且()()()242fxgxgx=−−，则下列说法正确是（）A.()yfx=的图象关于（1，0）对称B.()yfx=的图象关于2x=对称C.4为()yfx=的周期D.()2210kfk==第Ⅱ卷（非选择题，共90分）注意事项：第Ⅱ卷用黑色碳素笔在答题卡上各题的答题区域内作答，在试题

卷上作答无效.三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13.若函数()7logfxax=+在区间()1,7上有零点，则实数a的取值范围______．14.已知πtan26−=，()tan3

+=−，则πtan6+=______.15.已知ABC的顶点都是球O的球面上的点，2AB=，90ACB=，30BAC=，若三棱锥OABC−的体积为63，则球O的表面积为___________.16.已知函数()()π2sin0,0,2fxx

=+的部分图象如图所示，且()fx在0,π上恰有一个最大值和一个最小值，则的取值范围是______.的四、解答题（共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.已知向量(2,1)a=，(1,2)b=，(3,)c=．（1）若ca∥，求||

c值；（2）若()kaba+⊥，求k的值．18.在△ABC中，角、、ABC的对边分别为abc、、，若coscos2sinbCcBbA+=，且sinsinAB．（1）求角B的值；（2）若cossin0CB+=

，且ABC的面积为43，求BC边上的中线AM的长．19.党的二十大报告提出“积极稳妥推进碳达峰碳中和”，降低能源消耗，建设资源节约型社会．日常生活中我们使用的LED灯具就具有节能环保的作用，它环保不含汞，可回收再利用，功率小，高光效，长寿命，有效降低资源消耗

．经过市场调查，可知生产某种LED灯需投入的年固定成本为3万元，每生产x万件该产品，需另投入变动成本()Wx万元，在年产量不足6万件时，()212Wxxx=+，在年产量不小于6万件时，()81737Wxxx=+−．每件产品售价为6元．假设该产品每年的销量等于当年的产

量．（1）写出年利润()Lx（万元）关于年产量x（万件）的函数解析式．（注：年利润=年销售收入−固定成本−变动成本）（2）年产量为多少万件时，年利润最大？最大年利润是多少？20.已知函数()2sincos3cos2fxxxx=+.

（Ⅰ）求函数()fx的最小正周期及单调递增区间；（Ⅱ）在锐角ABC中，设角A、B、C所对的边分别是a、b、c，若()0fA=且3a=，求bc+的取值范围.的21.如图所示正四棱锥S-ABCD，4SASBSCSD====，22AB=，P为侧棱SD上的点，且3SPPD=，求：（1）正四棱

锥S-ABCD的表面积；（2）侧棱SC上是否存在一点E，使得//BE平面PAC.若存在，求SEEC值；若不存在，试说明理由.22.对于在区间,mn上有意义的函数()fx，若满足对任意的1x，2,xmn，有()()121fxfx−恒成立，则称()fx

在,mn上是“友好”的，否则就称()fx在,mn上是“不友好”的.现有函数()31logaxfxx+=.（1）当1a=时，判断函数()fx在1,2上是否“友好”；（2）若函数()fx在区间(),112mm

m+上是“友好”的，求实数a的取值范围.的贵阳一中2023级高一年级教学质量监测卷（三）数学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.第Ⅰ卷第1页至第2页，第Ⅱ卷第3页至第4页.考试结束后，请将答题卡交回.满分150分，考试用时120

分钟.第Ⅰ卷（选择题，共60分）注意事项：1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚.2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标

号.在试题卷上作答无效.一、单项选择题（本大题共8小题，每个小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的）1.若i12i1ia+=−++（Ra，i为虚数单位），则a的值为（）A.1B.3−C.5D.2【答案】B【解析】【分

析】根据复数代数形式的乘法运算化简即可.【详解】因为i12i1ia+=−++，所以()()212i1ii1i2i2ii3a=−++−=−−++−=−.故选：B2.设2log3a=，0.3log2b=，0.30.3c=，则

三者的大小关系为（）A.b<c<aB.c<a<bC.abcD.bac【答案】A【解析】【分析】本题可借助于指数函数和对数函数的单调性以及中间量比较大小.【详解】22log3log21a==＞，0.30.3log

log10b==2＜，0.300.30.31c==0＜＜，acb＞＞.故选：A.3.若aR，则“2a=”是复数“24(2)izaa=−++”为纯虚数的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】C【解析】【分析】根据纯虚数的概念

进行判断即可.【详解】若2a=，则4iz=为纯虚数；若24(2)izaa=−++为纯虚数，aR，则有24020aa−=+，解得2a=.所以，当aR时，“2a=”是复数“24(2)izaa=−++”为纯虚数的充要条件.故选：C4.已知mn，是两条不同的直线，，是两个不重合的平面，给出

下面三个结论：①若,,mn∥，则mn；②若,,,mnmn∥∥，则∥；③若mn，是两条异面直线，且,,,mmnn∥∥∥∥，则∥.其中正确结论的序号为A.①②B.①③C.②③D.

③【答案】D【解析】【分析】利用线面平行、面面平行的判定定理和性质定理，逐项判定，即可求解．【详解】由题意，若∥，mn，，则m与n平行或异面，故①错误；若mnmn，，∥，∥，则与可能平行也可

能相交，故②错误；若m，n是两条异面直线，且mmnn∥，∥，∥，∥，则∥，故③正确.故正确的结论只有③，故选D.【点睛】主要考查了空间中平行关系的判定与证明，其中解答中熟记线面平行、面面平行的判定定理和性质定理，准确判定是解答的关键，着重考查了推理与论证能力，属于基

础题．5.对任意的()0,x+，2210xmx−+恒成立，则m的取值范围为（）A.)1,+B.()1,1−C.(,1−D.(),1−【答案】D【解析】【分析】参变分离可得12mxx+对任意的()0,x+恒成立，利用基本不等式求出1xx+的最小值，即可求

出参数的取值范围.【详解】因为对任意的()0,x+，2210xmx−+恒成立，所以对任意的()0,x+，2112xmxxx+=+恒成立，又1122xxxx+=，当且仅当1xx=，即1x=时取等号，所以22m，解得1m，即m的取值范围为(),1−

.故选：D6.ABC中，角,,ABC所对边分别为,,abc，若()3coscosbcAaC−=，则cosA=（）A.12B.32C.33D.3【答案】C【解析】【分析】根据正弦定理得到()3sincos

sinsinBAACB=+=，结合两角和的正弦公式即可得到答案.【详解】()3coscosbcAaC−=，则()3sinsincossincosBCAAC−=，即()3sincossincoscossinsinsinBAACAC

ACB=+=+=，因为(0,)B，所以sin0B，所以3cos3A=，故选：C.的【点睛】本题考查了正弦定理，意在考查学生的计算能力和应用能力.7.《五曹算经》是我国南北朝时期数学家甄鸾为各级政府的行政人员编撰

的一部实用算术书.其第四卷第九题如下：“今有平地聚粟，下周三丈，高四尺，问粟几何？”其意思为“场院内有圆锥形稻谷堆，底面周长3丈，高4尺，那么这堆稻谷有多少斛？”已知1丈等于10尺，1斛稻谷的体积约为1.62立

方尺，圆周率约为3，估算出堆放的稻谷约有（）A.60.08斛B.171.24斛C.61.73斛D.185.19斛【答案】C【解析】【分析】根据圆锥的底面周长求出底面半径，再计算圆锥的体积，从而估算堆放的稻谷数．【详解】设圆锥形稻谷堆的底面半径为r尺，则底面周长为2π30

lr==尺，解得15πr=尺，又高为4h=尺，所以圆锥的体积为221115900ππ410033π3πVrh===（立方尺）；又10061.731.62（斛），所以估算堆放的稻谷约有61.7

3（斛）．故选：C．8.已知ABAC⊥，||ABt=，1||ACt=．若点P是△ABC所在平面内一点，且2||||ABACAPABAC=+，则PBPC的最大值为（）A.13B.522−C.526−D.1022+【答案】B【解析】【分析】以A为原点，建立直

角坐标系，利用向量的数量积的坐标运算，以及二次函数的性质，即可求解.【详解】以A为坐标原点，建立如图所示的直角坐标系，设P（x，y）则1(,0),(0,)(0)BtCtt，可得(1,0)ABAB=，2(0,2)||ACAC

=，所以(1,2)AP=，即(1,2)P，故(1,2)PBt=−−，11,2PCt=−−，所以22145522PBPCtttt=−+−=−+−，当且仅当2tt=即2t=时等号成立．故选：B．二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，

共20分.在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）9.函数()3sin23fxx=−的图象为C，则以下结论中正确的是（）A.图象C关于直线12x=对称B.图象C关于点2,03对称C.函数()f

x在区间5,1212−内是增函数D.6yfx=+是偶函数【答案】BC【解析】【分析】利用正弦型函数的对称性可判断AB选项；利用正弦型函数的单调性可判断C选项；利用正弦型函数的奇偶性可判断D选项.【详解】对于A选项，因为3

3sin31262f=−=−，故图象C不关于直线12x=对称，A错；对于B选项，因为23sin03f==，故图象C关于点2,03对称，B对；对于C选项，当5

,1212x−时，2232x−−，所以，函数()fx在区间5,1212−内是增函数，C对；对于D选项，3sin23sin2663fxxx+=+−=为奇函数，D错.故选：BC

.10.已知函数()241fxxx=−+，则下列说法正确是（）A.函数()yfx=在(,2−−上是单调递增B.函数()yfx=在2,0−上是单调递增C.当0x=时，函数()yfx=有最大值D.当2x=−或2x=时，函数()yfx=有最小值【答案】

BD【解析】【分析】作出函数的图象，结合图象逐项判断即可．【详解】()22241,04141,0xxxfxxxxxx−+=−+=++，作出函数()fx的图象如下：由图象可知函数()yfx=在(,2−−上是单调递减，在2,0

−上是单调递增，故A错误，B正确；由图象可知()fx在2x=−或2x=时，函数()yfx=有最小值，没有最大值，故C错误，D正确；故选：BD．11.在给出的下列命题中，正确的是（）A.设,,,OABC是同一平面上的四个点，若()()1OAmOBmOCm=

+−R，则点,,ABC必共线B.若向量a，b是平面上的两个向量，则平面上的任一向量c都可以表示为(),cab=+R，且表示方法是唯一的C.若45A=，2a=，22b=，则ABC只有一解的D.已知平面向量OA，OB，OC满足OAOBOAO

C=，ABACAOABAC=+，则ABC为等边三角形【答案】AC【解析】【分析】对A，化简得出CAmCB=，根据向量共线定理可判断；对B，根据平面向量基本定理可判断；对C，利用正弦定理求出B即可判断，对D，首先可得OACB

⊥，根据ABACAOABAC=+可得OA为BAC的角平分线即可判断.【详解】对于A，若(1)OAmOBmOC=+−，则()OAOCmOBOC−=−，即CAmCB=，则//CACB，且有公共点C，故,,ABC共线，故A正确；对于B，根据平面向量基本定

理可得若,ab共线，则不满足题意，故B错误；对于C，由正弦定理sinsinabAB=，即222sin22B=，则sin1B=，又0135B，所以90B=，则45C=，故ABC只有一解，故C正确；对于D，OAOBOAOC=

，()0OAOBOC−=，即0OACB=，所以OACB⊥，因为ABAB表示与AB同向单位向量，ACAC表示与AC同向的单位向量，则ABACABAC+为BAC的角平分线上的向

量，又ABACAOABAC=+，所以OA为BAC的角平分线，所以ABC为等腰三角形，故D错误.故选：AC12.()yfx=定义域为R，()2yfx=+为偶函数，()21f=且()()()242fxgxgx=−−，则下列说法正确的是（）A.()yfx=的图象关

于（1，0）对称B.()yfx=的图象关于2x=对称的C.4为()yfx=的周期D.()2210kfk==【答案】ABC【解析】【分析】根据抽象函数的奇偶性和对称性，求出周期，确定对称轴，求函数值的和分别判断

各个选项.【详解】因为()2yfx=+为偶函数，则()()22fxfx+=−+，可知函数()yfx=关于2x=对称，()()()242fxgxgx=−−，把x换成2x−可得()()()2422fxgxgx−=−−，两式相加可得()()20fxfx+−=，()yfx=关于()1,0对称，又()fx

关于2x=轴对称，则可得()()()22fxfxfx=−−=−+，()()()24fxfxfx=−+=+，可知4为()fx的周期，所以ABC都正确．令1x=，()()()1220fgg=−=，()()310ff==，()()021ff=−=−，()()()()()()2

2151234121iffffff==+++++=，D选项错误.故选:ABC．第Ⅱ卷（非选择题，共90分）注意事项：第Ⅱ卷用黑色碳素笔在答题卡上各题的答题区域内作答，在试题卷上作答无效.三、填空

题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13.若函数()7logfxax=+在区间()1,7上有零点，则实数a的取值范围______．【答案】()1,0−【解析】【分析】依据函数零点存在定理列不等式组解之即可求得实数a的取值范围.【详解】函数()fx在区间()

1,7上为增函数，若函数()fx在区间()1,7上有零点，则()10f，()70f，即77log10log70aa++，解之得10a−故答案为：()1,0−14.已知πtan26−=，()tan3+=−，则πtan6+=

______.【答案】1【解析】【分析】根据()ππtantan66+=+−−利用两角差的正切公式计算可得.【详解】因为πtan26−=，()tan3+=−，所以()()()πtantan

ππ6tantanπ661tantan6+−−+=+−−=++−()321132−−==+−.故答案为：115.已知ABC的顶点都是球O的球面上的点，2AB=，90ACB=，30BAC=

，若三棱锥OABC−的体积为63，则球O的表面积为___________.【答案】36【解析】【分析】取AB的中点M，则M为ABC外接圆的圆心，得到OM⊥平面ABC，结合三棱锥的体积求得OM22=，结合球的截面圆的性质，求得球O的半径，利用球的表面积公式，即可求解.【详

解】因为90ACB=，取AB的中点M，则M为ABC外接圆的圆心，所以OM⊥平面ABC，因为2AB=，90ACB=，30BAC=，所以1,3BCAC==，所以131322ABCS==，又由三棱锥OABC−的体积为63，所以1363

23OM=，解得OM22=，所以球O的半径为228132ABOM+=+=，故球O的表面积24336S==.故答案为：36.16.已知函数()()π2sin0,0,2fxx=+的部分图象如图所示，且()fx在0,π上恰有一个最大

值和一个最小值，则的取值范围是______.【答案】47,33【解析】【分析】由(0)1f=，推出π6=，从而知()π2sin6fxx=+，再由0,πx，求得π6x+的取值范围，

并结合正弦函数的图象与性质，即可得解．【详解】由图知(0)1f=，所以1sin2=，因为2π0,，所以π6=，即()π2sin6fxx=+，由0,πx，知,πππ66π6x++

，因为()fx在0,π上恰有一个最大值和一个最小值，所以π3π5ππ,622+，解得47,33．故答案为：47,33．四、解答题（共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.已知向量(2,1)a=，(1,2)b=，(3,

)c=．（1）若ca∥，求||c的值；（2）若()kaba+⊥，求k的值．【答案】（1）35||2c=（2）45k=−【解析】【分析】（1）由向量平行得出，进而由模长公式的得出||c的值；（2）根据向量垂直的坐标表示得出k的值．【小问1详解】由ca∥得23=，∴32=，∴22

335||322c=+=【小问2详解】由已知(2,1)(1,2)(21,2)kabkkk+=+=++，又()kaba+⊥，∴(21)21(2)0kk+++=，解得45k=−18.在△ABC中，角、、ABC的对边分别为abc、、，若coscos2

sinbCcBbA+=，且sinsinAB．（1）求角B的值；（2）若cossin0CB+=，且ABC的面积为43，求BC边上的中线AM的长．【答案】（1）π6（2）27【解析】【分析】（1）根据正弦定理，边化角，求得1sin2B=，判断角的范围，确定答案;（2）由条件可推得ba=，

继而求得边长，再根据余弦定理即可求得答案.【小问1详解】因为coscos2sinbCcBbA+=由正弦定理得()sincossincos2sinsinsinsinBCCBBABCA+==+=所以1sin2B=，π6B

=或5π6又因为sinsinAB，则π5π,66A，故π6B=故答案为：π6B=【小问2详解】由（1）知π6B=，又cossin0CB+=，所以12πcos,23CC=−=，则ππ3ABC=−−=，所以ba=.又2112πsinsin43223ABCSbaCa

===△，所以4a=，在ACM中，122CMa==，由余弦定理得2222π2cos1648283AMACCMACCM=+−=++=，所以27AM=.故答案为：2719.党的二十大报告提出“积极稳妥推进碳达峰

碳中和”，降低能源消耗，建设资源节约型社会．日常生活中我们使用的LED灯具就具有节能环保的作用，它环保不含汞，可回收再利用，功率小，高光效，长寿命，有效降低资源消耗．经过市场调查，可知生产某种LED灯需投入的年固定成本为3万元，每生产x万件该产品，需另投入变动成本()Wx万元

，在年产量不足6万件时，()212Wxxx=+，在年产量不小于6万件时，()81737Wxxx=+−．每件产品售价为6元．假设该产品每年的销量等于当年的产量．（1）写出年利润()Lx（万元）关于年产量x（万件）的函数解析式．（

注：年利润=年销售收入−固定成本−变动成本）（2）年产量为多少万件时，年利润最大？最大年利润是多少？【答案】（1）()2153,0628134,6xxxLxxxx−+−=−−+（2）年产量为9万件时，年利润最大，最大年利润是16

万元．【解析】【分析】（1）根据已知条件及年利润=年销售收入−固定成本−变动成本即可求解；（2）根据分段函数分段处理的原则，利用二次函数的性质及基本不等式，再比较两者的大小即可求解．小问1详解】由题可知，()()63LxxWx=−−，所以()221163,0653,06

22818134,663737,6xxxxxxxLxxxxxxxx−−+−+−==−−+−−+−；【小问2详解】当06x时，()()2211

19535222Lxxxx=−+−=−−+，由二次函数的性质知，对称轴为5x=，开口向下，所以当5x=时，()Lx取得最大值为()21191955222−−+=；当6x时，()81813423416Lxxxxx=−−+−+=，当且仅当81xx=，

即9x=时，等号成立，因为19162，所以年产量为9万件时，年利润最大，最大年利润是16万元．20.已知函数()2sincos3cos2fxxxx=+.（Ⅰ）求函数()fx的最小正周期及单调递增区间；（Ⅱ）在锐角ABC中，设角A、B、C所对的边分别是a、b

、c，若()0fA=且3a=，求bc+的取值范围.【【答案】（Ⅰ）最小正周期为，5,1212kk−+，Zk；（Ⅱ）(33,6.【解析】【分析】（Ⅰ）化简函数2n2)3(sifxx=+，结合三角函数的图象与性质，即可求解；（Ⅱ）由（1）及()0fA=，求

得3A=，根据正弦定理得到23sinbB=，23sincC=，得到23(sinsin)6sin6bcBCB+=+=+，结合62B，即可求解.【详解】（Ⅰ）由题意，函数()2sincos3cos2sin23cos22sin23fxxxxxxx

=+=+=+，所以函数()fx的最小正周期为22T==，令222,232kxxkkZ−++，解得5,1212kxkkZ−+，所以函数的单调递增区间是5,1212kk−+，Zk.（Ⅱ）由

（1）可得()2sin203fAA=+=，因为0,2A，可得3A=，由正弦定理可知323sinsinsin32abcABC====，所以23sinbB=，23sincC=，由3A=及ABC为锐角三角形022032BB

−，解得62B，则23(sinsin)23sinsin()bcBCBAB+=+=++1323sinsincos233sin6sin2266BBBBB=++=+=+

.因为62B，可得2363B+，所以3sin126B+，所以(6sin33,66bcB+=+.21.如图所示正四棱锥S-ABCD，4SASBSCSD====，22AB=，P为侧棱SD上的点，且3SPPD=，求：（1）正四棱锥S-

ABCD的表面积；（2）侧棱SC上是否存在一点E，使得//BE平面PAC.若存在，求SEEC的值；若不存在，试说明理由.【答案】（1）887+；（2）存在，2SEEC=.【解析】【分析】（1）应用棱锥表面积的求法求正四棱锥S-ABCD的表面积；（2）取SD中点为Q，过Q作PC的平行线交SC于E，

连接BQ，BE，由线面平行的判定可得//BQ平面PAC，根据等比例性质有//QEPC，再根据线面平行的判定得//QE平面PAC，最后由面面平行的判定及性质即可确定存在性.【小问1详解】正四棱锥S-ABCD中4SASBSCSD====，22AB=，则侧面的高14h=，所以

正四棱锥S-ABCD的表面积12222414228872S=+=+.【小问2详解】在侧棱SC上存在一点E，使//BE平面PAC，满足2SEEC=，理由如下：取SD中点为Q，因为3SPPD=，则PQPD=，过Q作PC的平行线交SC于E，连接BQ，BE.在BDQ△中有//BQPO，P

O平面PAC，BQ平面PAC，所以//BQ平面PAC，由2SESQECQP==，则//QEPC，PC平面PAC，QE平面PAC，所以//QE平面PAC，而BQQEQ=，故面//BEQ面PAC，又BE面

BEQ，则//BE平面PAC，此时2SEEC=.22.对于在区间,mn上有意义的函数()fx，若满足对任意的1x，2,xmn，有()()121fxfx−恒成立，则称()fx在,mn上是“友好”的，否则就称()fx在,mn上是“不友好”的.现有

函数()31logaxfxx+=.（1）当1a=时，判断函数()fx在1,2上是否“友好”；（2）若函数()fx在区间(),112mmm+上是“友好”的，求实数a的取值范围.【答案】（1）()fx在1,2上“友好”（2）1,4−+【解析】【分析】（1）

判断函数的单调性，利用单调性求出最值，即可判断；（2）根据单调性求出函数的最值，即可得到3311loglog31aamm+++，参变分离得到212(1)mamm−−+，换元，利用函数

的单调性求出212(1)mmm−−+的最大值，即可求出参数的取值范围.【小问1详解】当1a=时，31()log1fxx=+，因11yx=+在[1,2]上单调递减，3logyx=在[1,2]上单调递增，所以()fx在[1,2]上单调递减，所以()

()3max1log2fxf==，()()3min32log2fxf==，所以maxmin33334()()log2loglog123fxfx−=−=，即12,1,2xx，有()()121fxfx−，所以当1a=时，函数()fx在[1,2]上是“友好”的.

【小问2详解】依题意可得()3311loglogaxfxaxx+==+在[,1]mm+上单调递减，则max31()()logfxfmam==+，min31()(1)log1fxfmam=+=++，则有maxmin3311()()loglog11fxf

xaamm−=+−++，即3311loglog31aamm+++，即11031aamm+++，可得1321amm−+，即212(1)mamm−−+，令

21tm=−，因为12m，则13t且12tm+=，则22141133(1)4312244mtttttmmttt−===+++++++，令13144ytt=++，()13t，令()344tmtt=+()13t

，令任意的()12,1,3tt且12tt，则()()()()121212121212333044444ttttttmtmttttt−−−=+−−=，为即()()12mtmt，所以函数()344tm

tt=+在()1,3上单调递减，同理可得()344tmtt=+在()3,3上单调递增，又()11m=，()31m=，当1t=或3t=时，344tt+取最大值1，此时min12y=，于是当1t=或3t=时，212(1)mmm−−

+取最大值14−，依题意14a−，又对于任意的[,1]xmm+，10ax+恒成立，即1ax−恒成立，因为12m，所以111213m−−−+，即max111axm=−−+，所以13a−，此时10am+，综上可得a的取值范围是1,4−+

.