【文档说明】广东省华附、省实、广雅、深中2021届高三上学期四校联考（2月）数学试题含答案.docx，共(15)页，811.463 KB，由小赞的店铺上传

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1华附、省实、广雅、深中2021届高三四校联考数学2021.02本试卷分选择题和非选择题两部分，共5页，22小题，满分150分．考试用时120分钟．注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的校名、姓名、考号、座位号等相关信息填写在答题卡指定区域内，

并用2B铅笔填涂相关信息。2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案；不能答在试卷上。3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；

不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。4．考生必须保持答题卡的整洁。第一部分选择题一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合02Mxx=R，

11Nxx=−R，则MN=（**）A．01xxB．01xxC．12xxD．12xx−2．复数2021i3iz=+在复平面内对应的点位于（**）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

3．已知直线l，m和平面，且l⊥，则lm⊥是mP的（**）条件A．充分不必要B．必要不充分C．充分必要D．既不充分也不必要4．为了解学生的身体状况，某校随机抽取了一批学生测量体重．经统计，这批学生的体重数据(单位：千克)全部介于45至70

之间．将数据分成5组，并得到如图所示的频率分第4题图2布直方图．现采用分层抽样的方法，从)55,60，)60,65，65,70这三个区间中随机抽取6名学生，再从这6名学生中随机抽取3人，则这三人中恰有两人体

重位于区间)55,60的概率是（**）A．815B．920C．35D．9105．已知,abrr是两个夹角为π3的单位向量，则kba−rr的最小值为（**）A．14B．12C．34D．326．雷达是利用电磁波探测目标的电子设

备．电磁波在大气中大致沿直线传播．受地球表面曲率的影响，雷达所能发现目标的最大直视距离()()222212LRhRRhR=+−++−22112222RhhRhh=+++（如图），其中1h为雷达天线架设高度，2h为探测目标高度，R为地球半径．

考虑到电磁波的弯曲、折射等因素，R等效取8490km，故R远大于12,hh．假设某探测目标高度为25m，为保护航母的安全，须在直视距离390km外探测到目标，并发出预警，则舰载预警机的巡航高度至少约为．．（**）（参考数据：28.494.12）A．6400mB．7200mC

．8100mD．10000m7．已知抛物线2:2(0)Cypxp=的焦点为F，点P是抛物线C上位于第一象限内的一点，M为线段PF的中点，MQ垂直y轴于点Q，若直线QF的倾斜角为，π(,π)2，则直线PF的倾

斜角为（**）A．B．2C．π−D．2π−8．已知点,,ABC是函数π2sin(),03yx=+的图象和函数π2sin(),06yx=−图象的连续三个交点，若ABC是锐角三角形，则的取值范围为（**）第6题图3A．π(,)2+

B．π(,)4+C．π(0,)2D．π(0,)4二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，至少有两项是符合题目要求的，全部选对得5分，对而不全得2分，只要有一项选错，即得0分．9．已知定义在R上的函数()fx对任意实数x满足()()2fxfx+=，()()2f

xfx−=，且0,1x时，()21fxx=+，则下列说法中，正确的是（**）A．2是()fx的周期B．1x=−不是()fx图象的对称轴C．()2021=2fD．方程()12=fxx只有4个实根10．已知实数0,0,1abab+=，则下列说法中，正确的是（**）

A．114ab+B．2222ab+C．22loglog1abD．存在,ab，使得直线1axby+=与圆224xy+=相切11．点C，D是平面内的两个定点，=2CD，点AB，在平面的同一侧，且2=4ACBC=．若,ACBC与平面所成的角分别为5ππ,124，则

下列关于四面体ABCD的说法中，正确的是（**）A．点A在空间中的运动轨迹是一个圆B．ABC面积的最小值为2C．四面体ABCD体积的最大值为23D．当四面体ABCD的体积达最大时，其外接球的表面积为20π12．已知函数sincos()eexxfx=−，其中e是自

然对数的底数，下列说法中，正确的是（**）4A.()fx在π(0,)2是增函数B.π()4fx+是奇函数C.()fx在(0,π)上有两个极值点D.设()()fxgxx=，则满足1(π)(π)44nngg+的正整数n的最小值

是2第二部分非选择题三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知某种商品的广告费支出x（单位：万元）与销售额y（单位：万元）之间有如下对应数据：x24568y3040506070根据上表可得回归方程ˆˆˆybxa=+，根据最小二乘法计算可得ˆ=7b，则当投入10万

元广告费时，销售额的预报值为__**___万元．14．2421(2)xx+−的展开式中，2x的系数是__**___．15．已知双曲线2222:1(0,0)xyCabab−=的左焦点为1F，P为双曲线上一点，1PF与双曲线C的渐近线平行，且1POFO=，其中O为坐标原点，则双曲线C的离心率=e

__**___．16．已知数列na的前n项和2433=nnSan+−，则数列na的通项公式为na=__**__，则1nnaa+的最大值为__**___．四、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（本小题满分10分

）已知正项数列na满足11a=，11,(2)nnnnaaaan−−−=，等比数列nb满足：2123,abbb=−=8a．5（1）证明数列1na是等差数列，并求数列,nnab的通项公式；（2）设1211nnnnbbbTaaa−=+++K，求nT

．18．（本小题满分12分）已知函数()πsin(),(,0)6fxAxA=+只能同时满足以下三个条件中的两个．①函数()fx的最大值是2；②函数()fx的图象可由函数()22cos2sincossin2222xxxxfx=+−左右平移得到；③函数()fx的对称中心与()fx的对称轴之间

的最短距离是π4；（1）写出这两个条件的序号（不必说明理由）并求出函数()yfx=的单调递增区间；（2）已知ABC△的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，满足()1fB=，点D为BC的中点，且ADb=，求sinsinBACC的值．19．（本小题满分12分）如图，

在三棱柱111ABCABC−中，P、O分别为AC、11AC的中点，1122PAPC==，1111ABBC=123PB==，114AC=.（1）求证：PO⊥平面111ABC；（2）求二面角111BPAC−−的余弦值．20．（本小题满分12分）第19题图

6某工厂的质检部门对拟购买的一批原料进行抽样检验，以判定是接收还是拒收这批原料．现有如下两种抽样检验方案：方案一：随机抽取一个容量为10的样本，并全部检验，若样本中不合格品数不超过1个，则认为该批原料合格，予以接收．方案二：先随机抽取一个容量为5的样本，全部检验．若都合格，则予以接收；若样本中不

合格品数超过1个，则拒收；若样本中不合格品数为1个，则再抽取一个容量为5的样本，并全部检验，且只有第二批抽样全部合格，才予以接收．假设拟购进的这批原料，合格率为p（01p），并用p作为原料中每件产品是合格品的概

率．若每件产品的所需的检验费用为10元，且费用由工厂承担．（1）若2=3p，记方案二中所需的检验费用为随机变量X，求X的分布列；（2）分别计算两种方案中，这批原料通过检验的概率．如果你是原料供应商，你希望该工厂的质检

部门采取哪种抽样检验方案？并说明理由．21．（本小题满分12分）已知离心率为12的椭圆22122:1(0)xyCabab+=与抛物线22:2(0)Cypxp=有相同的焦点F，且抛物线经过点(1,2)P，O是坐标原点

．（1）求椭圆和抛物线的标准方程；（2）已知直线l：xtym=+与抛物线交于A,B两点，与椭圆交于C,D两点，若ΔABP的内切圆圆心始终在直线PF上，求ΔOCD面积的最大值．22．（本小题满分12分）7已知函数2()(1)(1)ln,22xfxaxaxa=−−+−．（1）求函数()fx的单调区间

；（2）若()(1)fmf=且1m，证明：(1,)xm，(1)ln1axx−−；（3）记方程243ln42xxx−+=−的三个实根为123,,xxx，若1x2x3x，证明：3223xx−．华附、省实、广雅、深中2021届高三四校联考数学参考答案一、单项选择题：1-4：BABB5-8

:DCDA第8题提示：将π2sin()3yx=+变形为π2cos()6yx=−，然后研究图象即可.二、多项选择题：9、AC10、BC11、ABD12、ABD第10题C选项解析：2222loglogloglog(1)abaa=−令222lnln(1)

()loglog(1),01(ln2)=xxfxxxx−=−，因为()(1)fxfx=−，故()fx关于12x=对称，故只需研究10,2x的情况即可.2(1)ln(1)ln()(ln2)(1)xxxxfxxx−−−=−.令()(1)ln(1)lngxxxxx

=−−−，则2()ln()2gxxx=−−−.易知()gx在102，上单调递减.8因为221()ln(1)20gee=−−+，1()2ln2202g=−，所以存在0211,2xe，使得0()0gx=，且()00,xx时，()0gx，()gx

单调递增，012xx，时，()0gx，()gx单调递减.因为0x→时，()0gx→，且1()02g=，故102x，，()0gx.所以当10,2x时，()0fx，()fx单调递增，所以1()()12fxf=

.第12题提示：sincos()ecosesinxxfxxx=+，显然π2x=不是极值点.当ππ(0,)(,π)22x时，π2sin()cos4()ecos(etan)xxfxxx−=+.绘制函数π2sin()4y=ey=tanxx−−与的草图可知，此时()0fx=仅有一个根0x，且0ππ

2x.故C选项错误.由上述分析可知0(0,)xx时，函数()fx单调递增，0(,π)xx时，函数()fx单调递减.当1n=时，ππ()0,()e142ff==−，显然ππ()()42gg.当2n=时，2222

π3π()e1,()ee24ff−=−=−.()()fxgxx=的几何意义为点(,())xfx与坐标原点连线的斜率.因为33ππ=422，故只需比较3π3π()()224ff与的大小即可.22223π3π31()()=(e1)(ee)

1.51.7(e)02242eff−−−−−−−.故D正确.三、填空题：13、8514、56−15、516、(2)1n−+；75−917．解：（1）∵na各项为正，且11,(2)nnnnaaaan−−−=，∴1111,(2)nnnaa−−=.∴1na是公

差1d=，首项11=1a的等差数列.………………2分∴1nna=，则1nan=.………………3分设等比数列nb的公比为q，则2123111,()28bbbbqq=−=−=.故21=4qq−，解得1=

2q.故1112nnnbbq−==.………………5分（2）122311121=...2222nnnnnbbbnnnTaaa−−−=+++++++K.①211212=...222nnnnTn−−−++++.②………………6分②—①：23111111...22222nnnTn−

=−+++++（）.………………8分11(1)12211212nnnn−=−=−+−.………………10分18．解：（1）函数()fx只能同时满足①③.………………2分由①知=2A，由③知12ππ444T==,则2=.故()π2sin(2)6fxx=+.……………

…4分由πππ2π22π+262kxk−+,Zk解得ππππ+36kxk−，Zk.所以()yfx=的单调递增区间为ππππ+36kk−，，Zk.………………6分10（2）()π11sin(2)62fBB=+=.

∵ππ13π(0,π)2(,)666BB+.∴π5ππ2==.663BB+，………………8分（此处若未结合角B的范围，直接写出B的值，扣1分.）法一：作线段CD的中点E,因为ADAC=，故AECD^．因为πcos=3BEAB，即

312==423aacc.………………10分由正弦定理知sin2==.sin3BACaCc………………12分法二：分别在,ABDABC中对角B运用余弦定理，可得边长a,c的关系，略.19．（1）证明：连接1OB.∵11PAPC=,O为11AC的中点,∴11.POAC⊥∵111

4,22ACPA==,∴22112POPAOA=−=.………2分∵1111ABBC=,O为11AC的中点,∴111.OBAC⊥∵11123,2ABAO==,∴22111122OBABOA=−=.………4分222

11123,=PBPBOBOP=+故,1POOB⊥.∵11111,.POACACOBO⊥=∴PO⊥平面111ABC.………6分（2）以O为坐标原点，11OBOCOP，，所在的直线分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系.则1(22,0,0)B,1(0,2,0)A−,(0,0,2

)P.则11(22,2,0)AB=,1(0,2,2)AP=.………7分zyx11设平面11PAB的法向量1(,,)nxyz=，则11111022202200nABxyyznAP=+=+==.令12,2.xyz==−=，则则1(1,2,2)n=−.………9分易证1OB⊥

平面11PAC,故取平面11PAC的法向量2(1,0,0)n=.………10分1212125cos,.5nnnnnn==因为二面角111BPAC−−的平面角为锐角，所以5cos.5=………12

分20．解：（1）X可能的取值为50,100．………………1分4151280(X100)33243PC===,(X50)P==801631243243−=,………………3分故X的分布列为:X50100P16324380243………………4分（2）方案一通过检验的概率为101991

10(1)(109)PpCpppp=+−=−.………………6分方案二通过检验的概率为51455425(1)15(1)PpCpppppp=+−=+−………………8分54412(109)15(1)PPppppp−=−−−−，其中01p.12令4454()(109)1

5(1)45p1fpppppp=−−−−=−+−，则433()202020(1)0fppppp=−+=−.………………10分故()fp在(0,1)p上单调递增，()(1)0fpf=.故12.PP原料供应商更希望该工厂的质检部门采取方案二，因为原料通过检验

的概率更高．………………12分21．解：（1）由题：422pp==，故抛物线2C的方程为24yx=．………………1分抛物线2C的焦点为(1,0)F，故221ab−=.又因为椭圆离心率为12，即112a=.解得=2,3ab=.∴椭圆1C的方程为22143xy+=.………………3分（2

）因为ΔABP的内切圆圆心始终在直线PF上，即PF平分APB.设直线,PAPB的斜率分别为12,kk．因为PF垂直于x轴，故12=0.kk+………………4分设1122(,),(,)AxyBxy，则121222=011yyxx−−+−−.∵221122=4=4y

xyx，，∴1244=022yy+++，即12=4yy+−.………………5分∴12121241AByykxxyy−===−−+，即=1t−.………………6分将直线xym=−+与24yx=联立，可得2440

ymy+−=，由题16(1=)0m+，故1.m−………………7分将直线xym=−+与22143xy+=联立，可得22637120ymym−+−=，13由题248(7)0=m−，故77m−，故17m−．………………8分设3344(,),(,)CxyDxy，则2343463

12,.77mmyyyy−+==则2223434461()47.7CDtyyyym=++−=−………………9分坐标原点O到直线l的距离为2md=，故ΔOCD的面积2242371237277mmSCDdmm−===−.…………

……10分∵17m−，∴207m．故当27=2m时，max237=3.72S=………………12分22．解：（1）1(1)(1)()axxafxxaxx−−−+=−+=，0x……………1分∵2a∴11a−

∴()0fx1xa−或01x，()0fx11xa−.∴()fx的单调递增区间为(0,1),(1,)a−+，单调递减区间为(1,1)a−.……………3分（2）令()ln1hxxx

=−+，则1()xhxx−=.()001hxx.故()hx在(0,1)单调递增，在(1,)+上单调递减.故()(1)0hxh=，即ln1xx−.……………4分欲证：(1,)xm，(1)ln1axx−−，即证：(1,)xm，11lnxax−−

.令1(),1lnxgxxmx−=，则21ln1()(ln)xxgxx−+=.14因为ln1xx−，故1ln10xx−+.所以()0gx，()gx在(1,)m上单调递增.∴1()()lnmgxgmm−=.故欲证(1,)xm，11lnxa

x−−，只需证11lnmam−−.……………6分∵()(1)fmf=，∴21(1)(1)ln22mamam−−+−=，即2(1)(1)(1ln)2mamm−=−−−因为ln1mm−，故1ln0mm−−.故等价于证明：1ln21mmm−+

.……………7分令2(1)()ln,11xHxxxx−=−+，则22(1)()0(1)xHxxx−=+，()Hx在(1,)+上单调递增.故()(1)=0HxH．即2(1)ln1xxx−+.从而结论得证.……………8分（3）法一：令4a=，则2()4(1)3

ln.2xfxxx=−−+由（1）可知，()fx在(0,1),(3,)+上单调递增，在(1,3)上单调递减.由题易知.242114()20e2eef=−−，17(1)0(3)3ln3022ff==−，，故101x23x3x.因为21(e)2

f，故存在1m，使得1()(1)=2fmf=，由（2）可知(1,)xm，3ln1xx−，故(1,)xm，22()4(1)1=33.22xxfxxxx−−+−−+……………10分令2()=332xFxx−+，则(1,)xm，()().fxFx易知(

)Fx在(,3)−上单调递减，在(3,)+上单调递增.记()Fx的两个零点为,pq，易知13pqm.故2()()()fpFpfx=，3()()()fqFqfx=因为()fx在(1,3)上单调递减，在(3,)+上单

调递增.15所以2px，3qx，所以32=23xxqp−−.……………12分法二：（切线放缩）略解.令4a=，则2()4(1)3ln.2xfxxx=−−+研究函数()fx在点(2,(2))Af处的切线11:3ln212xly=−+−以及在点(4,(4))Bf处的切线223:6

ln274xly=+−,然后证明当1x时，()3ln212xfx−+−以及3()6ln274xfx+−.切线1l与x轴的交点为(6ln22,0)−；切线2l与x轴的交点为28(8ln2,0)3−，故3228

348ln2(6ln22)14ln21.62333xx−−−−=−.